SKKN 2016 HUYỀN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP -TỰ DO-HẠNH PHÚC - CHUYÊN ĐỀ SINH HOẠT TỔ CHUYÊN MÔN “CHUYÊN ĐỀ DÙNG LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN” Giáo viên: Trần Thanh Huyền Tổ: khoa học tự nhiên Năm học:2018-2019 ````` CHUYÊN ĐỀ SINH HOẠT TỔ CHUYÊN MÔN “CHUYÊN ĐỀ DÙNG LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN” A- PHẦN MỞ ĐẦU I- Lời giới thiệu: Chúng ta biết toán học sở ngành khoa học Vì mơn tốn đóng vai trò quan trọng nhà trường Học sinh nắm vững kiến thức tốn học, từ dễ dàng học tập môn khác, thông qua việc học mơn tốn em rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, cách tính tốn khoa học, cách đặt vấn đề giải vấn đề Từ giúp em phát triển trí thơng minh, óc sáng tạo Đồng thời việc học tốn góp phần hình thành cho em phẩm chất đạo đức tốt như: cần cù, chịu khó, kiên trì, cẩn thận, làm việc có kế hoạch, khoa học Đó yếu tố cần thiết mà học sinh cần có để từ làm chìa khóa chiếm lĩnh khám phá kiến thức môn học khác Để giúp học sinh học tốt mơn tốn đòi hỏi người thầy phải có lao động sáng tạo nghiêm túc Là giáo viên giảng dạy mơn tốn Bản thân tơi ln trăn trở nhiều q trình học toán làm toán em học sinh, q trình học tốn, làm tốn em học sinh gặp nhiều khó khăn dạng tốn phong phú , kiến thức học sinh có hạn Chính mà dạy học để học sinh nắm vững kiến thức cách có hệ thống có chiều sâu mà em hứng thú say mê học tốn Vấn đề đặt giải toán phải biết nhận dạng lựa chọn phương pháp giải thích hợp Dạng toán lũy thừa đề cập sách giáo khoa từ đầu năm lớp đến lớp lớp có yêu cầu khác nên làm cho người học người dạy vất vả học sinh lớp lớp Sau em học lũy thừa với số mũ tự nhiên chương I lớp thời lượng học cá em phải giải lượng tập nhiều Để giải tập nâng cao tốn lũy thừa, ngồi việc nắm bắt kiến thức có chương trình, học sinh phải nắm bắt số kiến thức bổ sung mở rộng Những kiến thức không phân phối trong tiết học nên học sinh vận dụng rèn luyện trừ gặp tốn khó Vì gặp tập khó học sinh cảm thấy bế tắc, chán nản từ khơng thích thú học mơn toán ````` Là giáo viên dạy toán tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp số dạng toán Tôi thấy cần phải giúp em nắm kiến thức , dạng toán , phương pháp giải Từ gây hứng thú cho em đồng thời rèn cho em kỹ giải thành thạo dạng toán với toán nâng cao Vì tơi chọn chun đề để nghiên cứu thử nghiệm II Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: 1- Mục đích nghiên cứu: -Nhằm rút số biện pháp, phương pháp thích hợp giúp học sinh lớp 6,7 giải toán lũy thừa - Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2- Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tìm phương pháp giải toán lũy thừa - Xây dựng hệ thống tập theo dạng thức cụ thể, đảm bảo tính xác, khoa học, phù hợp với học sinh - Tìm phương pháp giải hợp lý với kiểu cụ thể III- Giới hạn đề tài - Đề tài thực phạm vi năm học 2018-2019 lớp trường THCS Nhạo Sơn - Giới hạn chuyên đề: Phương pháp giải toán lũy thừa IV- Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan - Phương pháp điều tra - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp phân tích - tổng hợp - Phương pháp gợi mở vấn đáp B - PHẦN NỘI DUNG I Khảo sát thực tế: Khảo sát thực tế trường THCS Nhạo Sơn nơi giảng dạy sau :Việc học bồi dưỡng học sinh giỏi trường tôi, trường vùng nông thơn, xa trung tâm có mặt thuận lợi gặp khơng khó khăn a, Thuận lợi: - Ban giám hiệu nhà trường quan tâm, đạo sát việc bồi dưỡng học sinh giỏi ````` - Học sinh ngoan, cần cù học tập, có đủ sách vở, tài liệu học tập - Lãnh đạo địa phương quan tâm, động viên khen thưởng kịp thời học sinh giỏi giáo viên có thành tích bồi dưỡng học sinh giỏi b, Khó khăn: - Năng lực học tập học sinh hạn chế mơn tốn - Phụ huynh chưa thực quan tâm đến việc học bồi dưỡng em - Thời gian học học sinh khơng nhiều em ngồi học khố phải lao động giúp đỡ gia đình c, Số liệu điều tra trước thực hiện: -Vì nguyên nhân trên, dẫn đến chất lượng đội ngũ học sinh giỏi mà đặc biệt đội tuyển học sinh giỏi Toán thấp - Học sinh sợ gặp tập nâng cao lũy thừa - Khơng biết tốn thuộc dạng nào, cách giải - Hay nhầm lẫn công thức - Cụ thể kết khảo sát mơn tốn 42 học sinh lớp 6A: có em có học lực khá, giỏi mơn Tốn việc giải tốn lũy thừa kết cụ thể sau: 80% khơng tìm lời giải 13% biết phát lời giải, giải tập đơn giản 7s% biết vận dụng phương pháp, đôi lúc chưa khoa học hợp lý nên hiệu chưa cao - Qua kết việc giải toán lũy thừa tơi thấy số em giải thấp, khơng giải nhiều Từ thực trạng vậy, dành nhiều thời gian để nghiên cứu thử nghiệm phương pháp riêng bước đầu có dấu hiệu khả quan II Biện pháp thực : PHẦN 1: KIẾN THỨC CẦN ÔN TẬP VÀ MỞ RỘNG 1)Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên + Lũy thừa bậc n a tích n thừa số , thừa số a a 43a (n ∈ N*) an = a14 +Quy ước : n thừa số a a =a a0 = (a ≠ 0) ````` 2)các phép toán lũy thừa *) Với a, b, m, n ∈ N ta có phép tính + Nhân hai lũy thừa số : am an = am+n, am an ap = am+n+p (p ∈ N) + Chia hai lũy thừa số : am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) + Lũy thừa tích : (a.b)m = am bm + Lũy thừa thương (a : b)m = am : bm (b ≠ ) +Lũy thừa lũy thừa (am)n = am.n + Lũy thừa tầng : a mn (m ) =a n *) Với x, y phân số ; m, n ∈ N; a, b ∈ Z x.x x xn =     ( x ∈ N*) n thừa số x n a an +   = n b b (b ≠ 0) + xm xn = xm+n + xm = x m −n n x (x ≠ 0) + x-n = xn (x ≠ 0) + (xm)n = xm.n + (x.y)m = xm ym 3) Tính chất thứ tự : + Nếu a = b an = bn + Nếu an = bn a = b a = -b ( n chẵn ) a = b ( n lẻ) m n + Nếu a = a m = n + Nếu a > b > => am > bm (m ≠ 0) + Nếu m > n > , a > => am > an ````` + Nếu am > bn bn > ck => am > ck + Chú ý : Với n ∈ N: (-x)2n = x2n ; (-x)2n+1 = - x2n+1 PHẦN RÈN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA , HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI , ĐẶC ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.Dạng : Viết kết phép tính nhân chia dạng lũy thừa a.Loại : Các lũy thừa đưa số *Phương pháp giải : - Biến đổi đưa lũy thừa số - Áp dụng công thức : am an = am + n ; am : an = am- n * Ví dụ : Viết tích , thương sau dạng lũy thừa a, = 45.84 + Nhận xét : Các số đưa lũy thừa có số nên ta làm sau + Giải: Ta có : A = 165.84 = ( 24 ) ( 23 ) = 220.212 = 232 b, B = 813.93.273 + Hướng dẫn : Các số 81 ; ; 27 đưa số + Giải : B = 813.93.273 = ( ) ( ) = 312.36.33 = 312 +6+3 3 = 321 c, C = 258 :1253 + Hướng dẫn : số 25 ; 125 đưa số ( ) :( ) + Giải : C = 258 :1253 = 52 3 = 516 : 59 = 516−9 = 57 b Loại : Các lũy thừa đưa số mũ * Phương pháp giải : - Biến đổi đưa lũy thừa số mũ - Áp dụng công thức : am bm = (a.b)m ; am : bm = (a : b)m (b ≠ ) * Ví dụ 2: Viết tích , thương sau dạng lũy thừa a, A = 415.530 + Hướng dẫn : Các số đưa số số mũ 15 30 đưa số mũ 30 15 + Giải : A = 415.530 = ( 22 ) 530 15 ````` = 230.530 = ( 2.5) 30 = 1030 b, B = 1512.256 + Hướng dẫn : số 15 25 không đưa số ta tìm cách đưa số mũ + Giải : B = 1512.256 = ( 3.5 ) ( 52 ) 12 = 312.512.512 = ( 3.5.5 ) 12 = 7512 c, C = 1352.754 + Hướng dẫn : Ta thấy không đưa số ta đưa số mũ + Giải : C = 1352.754 = ( 27.5 ) ( 3.25 ) = ( 33.5 ) ( 3.52 ) 4 = 36.52.34.58 = 310.510 = 1510 *Nhận xét : + Đối với phép tính phải đưa lũy thừa số mũ thường có nhiều cách để đưa , ví dụ a ta đưa số mũ 15 , ví dụ b ta đưa số mũ hay phần c đưa số mũ việc tính tốn số lại to Vì trước phép tính ta nên lựa chọn cách nhanh ,gọn phù hợp với toán + Đây dạng toán sở để giải toán lũy thừa khác với học sinh lớp bắt đầu học nên em bỡ ngỡ Để làm tốt dạng giáo viên nên yêu cầu học sinh thuộc giá trị lũy thừa bậc , bậc 3, bậc 4, bậc 5, số tự nhiên Để em gặp lũy thừa phát xem cần phải đưa số hay số mũ số hay số mũ Dạng : Tính giá trị biểu thức a Loại : Các biểu thức dạng biểu thức nguyên * Phương pháp :-, Thực theo thứ tự phép tính sử dụng phép tính lũy thừa để tính ````` - Sử dụng phép tính lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối phép nhân phép cộng * Ví dụ : Ví dụ : Tính giá trị biểu thức : a, A = 483 : 33 − 246 : 66 + Hướng dẫn : Các lũy thừa 48 có số mũ lũy thừa 24 có số mũ ta cần thực theo thứ tự phép tính : Nhân , chia đến cộng ,trừ + Giải : A = 483 : 33 − 246 : 66 = ( 48 : 3) − ( 24 : ) = 163 − 46 = ( 24 ) − ( 22 ) = 212 − 212 = b, B = 34.18 − 33.15 + Hướng dẫn : Ta thấy tích thứ tích thứ hai có chung thừa số lũy thừa , nên ta dùng tính chất phân phối phép nhân để thực + Giải : B = 34.18 − 33.15 = 33 ( 3.18 − 15 ) = 33 ( 54 − 15 ) = 33 − 39 = 27 − 39 = −12 24 23 66 c, C = ( + ) : + Đưa số số ,sau sử dụng tính chất phân phối phép cộng dể thực 24 23 66 + Giải : C = ( + ) : = ( 824 + 823 ) : ( 23 ) 22 = ( 824 + 823 ) : 822 = 824 : 822 + 823 : 822 = 82 + = 72 b.Loại : Các biểu thức có dạng phân số : + Phương pháp : Viết tử mẫu dạng tích lũy thừa sau sử dụng tính chất phân số chia tử mẫu cho lũy thừa khác khơng + Ví dụ : ````` Ví dụ : Tính giá trị biểu thức 11.322.37 − 915 ( a, 2.314 ) + Hướng dẫn : Tử mẫu tích lũy thừa có số số nguyên tố Ta việc viết gọn tử mẫu cách sử dụng nhân lũy thừa ,tính lũy lũy thừa ,rồi rút gọn lũy thừa giống a)Giải = 11.322.37 − 915 11.329 − (32 )15 11.329 − 330 329.(11 − 3) 3.8 = = = = =6 2 28 28 4.3 4.3 2.314 22 314 ( b, ) B= ( ) 914.255.87 1812.6253.243 + Hướng dẫn : Tử mẫu tích lũy thừa không số mà cá lũy thừa có số chưa phải số nguyên tố Do ta viết lũy thừa thành lũy thừa có số số nguyên tố , rút gọn 14 25 + Giải : B = 12 18 6253.243 328.510.221 = 27 12 21 c, ( ) ( ) ( ) = ( ) ( 3.8 ) 14 12 = 12 3 328.510.221 = 12 24 12 3 = 25 210.13 + 29.52 C= 28.260 + Hướng dẫn : Biểu thức C có tử tổng sử dụng tính chất phân phối viết tử thành tích lũy thừa sau rút gọn 51 210.13 + 29.52 ( 2.13 + ) 2.51 = = + Giải : C = = 130 260 260 28.260 c.Loại 3: Biểu thức có dạng tổng lũy viết theo quy luật * Phương pháp : Làm xuất biểu thức khác bội biểu thức có chứa lũy thừa có số với lũy thừa tổng cho cộng trừ hai biểu thức * Ví dụ : Ví dụ : TÝnh c¸c tỉng sau a)A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 b)B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100 Giải: ````` a)A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 2A = + 22 + 23 + + 210 + 211 Khi : 2A – A = 211 – b)B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100 3B = + 32 + 33 + + 3100 + 3101 Khi : 3B – B = 2B = 3101 – Vậy B = Ví dụ : Thu gọn biểu thức : TÝnh c¸c tỉng sau a)A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 b)B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Giải: a)+ Hướng dẫn :- Biểu thức A tổng lũy thừa với số mũ đơn vị - Nhân hai vế biểu thức với 22 ( 22 có số số lũy thừa A có số mũ khoảng cách số mũ liên tiếp ) + Giải : A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 32A – A = 3102 – Hay A( 32 – 1) = 3102 – Vậy A = ( 3102 – 1): Từ kết suy 3102 chia hết cho b) Tơng tự nh ta nhân hai vÕ cđa B víi 72 råi trõ cho B , ta đợc : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B – B = 7101 – , hay B( 72 – 1) = 7101 – VËy B = ( 7101 – 7) : 48 Tơng tự nh ta suy 7101 chia hÕt cho 48 ; 7100- chia hÕt cho 48 Ví dụ : Thu gọn biểu thức 1 1 C = + + + + 99 3 3 + Hướng dẫn : - Biểu thức C tổng số hạng phân số có tử mẫu lũy thừa với số mũ 1đơn vị - Nhân hai vế biểu thức với + Giải : 1 1 C = + + + + 99 3 3 10 ````` 31 1 1 3C = + + + + + 98 3 3 1 1  1 1 3C − C = (1 + + + + + 98 ) −  + + + + 99 ÷ 3 3  3 3 399 1 C = − 99 2.3 2C = − Dạng : So sánh hai lũy thừa a.Loại : So sánh hai lũy thừa số * Phương pháp : - Đưa lũy thừa số -Sử dụng tính chất Nếu m > n a m > a n ( a > ) * Ví dụ : Ví dụ : So sánh số sau : a, 2711 818 + Hướng dẫn :-Các số 27 81 lũy thừa -Do ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số so sánh + Giải: Ta có 2711 = ( 33 ) = 333 11 818 = ( 34 ) = 332 Vì 333 > 332 ⇒ 2711 > 818 b, 6255 1257 + Hướng dẫn :-Các số 625 125 lũy thừa -Do ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số so sánh + Giải : Ta có : 6255 = ( 54 ) = 520 1257 = ( 53 ) = 521 Vì 521 > 520 ⇒ 1257 > 6255 c, 215 275.498 + Hướng dẫn :-Các số 21 27 ; 49 viết thành tích hai số nguyên tố -Do ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số số so sánh +Giải : Ta có : 2115 = ( 3.7 ) = 315.715 15 11 ````` 275.498 = ( 33 ) ( ) = 315.716 Vì 716 > 715 ⇒ 315.716 > 315.715 Vậy 275.498 > 215 b Loại : So sánh hai lũy thừa số mũ * Phương pháp : - Đưa lũy thừa số mũ lớn -Sử dụng tính chất Nếu a > b a m > b m ( m > ) * Ví dụ : Ví dụ : So sánh a, 536 1124 + Hướng dẫn :-Các số 11 không đưa số Do ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số mũ - Ta thấy số mũ 36 24 có ƯCLN 12 nên ta viết hai lũy thừa thành lũy thừa có số mũ 12 + Giải: Ta có : 536 = 53.12 = ( 53 ) 12 = 12512 1124 = 112.12 = ( 112 ) = 12112 12 Vì 12512 > 12112 ⇒ 536 > 1124 b, So sánh 23n với n ∈ N g + Hướng dẫn : Ta thấy số mũ 2n 3n có chung thừa số n nên ta viết hai lũy thừa thành lũy thừa có số mũ n + Giải : Ta có : 32 n 32 n = ( 32 ) = 9n n 23 n = ( ) = n n Với n ∈ N gnên ta có 9n > 8n ⇒ 32 n > 23n cLoại : So sánh qua lũy thừa trung gian * Phương pháp : - Sử dụng tính chất phép nhân : Nếu c > a > b => a.c > b.c Nếu c > a < b => a.c < b.c -Tính chất bắc cầu để so sánh : Nếu a > b b > c a > c * Ví dụ : Ví dụ : so sánh : a, So sánh : 3299 2502 12 ````` + Hướng dẫn : Hai lũy thừa khó đưa số hay số mũ Ta thấy số mũ 299 < 300 502 > 500 , mà 300 500 có ƯCLN 100 ta dùng lũy thừa trung gian có số mũ 100 so sánh + Giải : Ta có : 3299 < 3300 = 33.100 = ( 33 ) 100 2502 > 2500 = 25.100 = ( 25 ) 100 = 27100 = 32100 Ta có 2502 > 32100 > 27100 > 3299 Vậy 2502 > 3299 b, so sánh : 19920 200315 + Hướng dẫn : Hai lũy thừa khó đưa số hay số mũ Ta thấy số 199 < 200 2003 > 2000 , mà 200 2000 viết thành tích số nguyên tố ta dùng lũy thừa trung gian có số so sánh + Giải : Ta có : 19920 < 20020 = ( 8.25 ) 20 = ( 23.52 ) 20 = 260.540 200315 > 200015 = ( 16.125 ) = ( 24.53 ) = 260.545 15 15 Ta có : 545 > 540 ⇒ 260.545 > 260.540 ⇒ 200315 > 19920 Vậy 200315 > 19920 Ví dụ : so sánh hai lũy thừa : 2102 545 ( Đề thi khảo sát chất lượng HSG tốn Huyện Ba Vì năm 2011-2012) + Hướng dẫn : Số mũ 102 45 không so sánh với lũy thừa trung gian có số mũ hay số ta phải thực biến đổi để hạ bậc tương đương so sánh + Giải : Ta có : 2102 = 296.26 = 22.16.3.64 < 22.16.3.125 = 48.2.3.125 = 48.4 2.43.125 545 = 542.53 = 57.2.3.125 = 57.52.53.125 Ta lại có : 48.4 = 49 = ( 43 ) = 643 < 653 = ( 13.5 ) = 133.53 3 57.4 = 54.4.53 Ta thấy : 133 = 2197 < 54.4 = 2500 133.53 < 54.4.53 ⇔ 48 < 57 ⇔ 48.2.3.125 < 57.2.3.125 ⇒ 2102 < 545 Vậy 2102 < 545 Dạng : Tìm số chưa biết lũy thừa 13 ````` a Loại : Tìm số thành phần số lũy thừa : * Phương pháp : -Biến đổi vế thành lũy thừa có số mũ - Áp dụng tính chất : Nếu an = bn a = b a = -b ( n chẵn ) a = b ( n lẻ) * Ví dụ : Ví dụ 1: Tìm x biết : ( x + 1) = −27 + Hướng dẫn : Số x phải tìm nằm số lũy thừa có số mũ nên ta viết vế phải thành lũy thừa có số mũ + Giải : ( x + 1) ( x + 1) = ( −3 ) = −27 ⇒ x + = −3 x = −3 − x = −4 Ví dụ 2: Tìm x biết : (2x – 3) = + Hướng dẫn : Số x phải tìm nằm số lũy thừa có số mũ nên ta viết vế phải thành lũy thừa có số mũ + Giải : (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 Vậy x = x = Ví dụ 3:Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 + Hướng dẫn : Số x phải tìm nằm số lũy thừa có số mũ hai lũy thừa biết số mũ ,nhưng số chưa biết ta sử dụng tính chất bình phương hai lũy thừa số chúng đối + Giải : Ta có : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = 1– 3x x – = 3x – => 4x = 2x = -4 => Vậy x = x= = x = -2 x = -2 b Loại : Tìm số mũ thành phần số mũ lũy thừa * Phương pháp : -Biến đổi vế thành lũy thừa có số - Áp dụng tính chất : a m = a n m = n 14 ````` * Ví dụ : Ví dụ : Tìm số tự nhiên x Biết : 5x = 625 + Hướng dẫn : Số x phải tìm nằm số mũ lũy thừa có số nên ta viết vế phải thành lũy thừa có số + Giải : 5x = 625 x = 54 ⇒x=4 Ví dụ : Tìm n ∈ N biết : 5n + 5n+2 = 650 +Hướng dẫn : Tổng hai lũy thừa có số khơng số mũ Ta thấy 5n+2 viết thành tích hai lũy thừa có số để tiếp tục biến đổi đưa hai vế thành lũy thừa số +Giải: 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = Ví dụ : : Tìm n ∈ N biết : 32-n 16n = 1024 + Hướng dẫn : Viết lũy thừa dạng lũy thừa + Giải : 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 c Loại Một số loại khác * Ngồi hai cách có tốn khơng thể quy hai cách để làm tùy thuộc vàobài để có cách làm phù hợp *Ví dụ : Ví dụ : Tìm x biết : ( 2) ( x − ) ( x −1) = ( Đề khảo sát chất lượng HSG Huyệ Ba Vì năm 2012-2013) + Hướng dẫn : số x phải tìm nằm số mũ không biến đổi thành hai lũy thừa có số Vì vế trái ta sử dụng quy ước a = + Giải : ( ) ( x − ) ( x −1) =1 15 ````` ⇒ ( x − ) ( x − 1) = ⇒ x − = x − = x−2=0⇒ x = x −1 = ⇒ x = Vậy x = x = Ví dụ : Tìm cặp số ( x ; y ) thỏa mãn : 2010  3x −   ÷   2012  y + 0,  + ÷   = ( Đề khảo sát chất lượng HSG Huyệ Ba Vì năm 2012-2013) + Hướng dẫn : số x , y phải tìm nằm số hai lũy thừa có số mũ chẵn mà tổng khơng ta sử dụng tính chất lũy thừa có số mũ chẵn lớn 2010  3x −  + Giải : Ta có :  ÷   ≥0 2012  y + 0,   ÷   2010  3x −  Mà  ÷   2010  3x −  Nên  ÷   ≥0 2012  y + 0,  + ÷   =0 2012  y + 0,  =  ÷   2012  y + 0,  Với  ÷   2010 Với  3x −   ÷   =0 =0  3x −  ⇒ ÷=   ⇒ 3x − = x= 3 y + 0, =0 3 y + 0, = 3y = − y= Vậy x = y= −4 30 Ví dụ : Tìm x ∈ N biết x + x = x 16 ````` =0 10 −4 30 + Hướng dẫn : Bằng phương pháp nhẩm ta thấy x = giá trị cần tìm Ta cần chứng minh x khác không thỏa mãn đề + Giải : - Nếu x = 40 + 50 ≠ 90 ⇒ x = không thỏa mãn - Nếu - Nếu x = 41 + 51 = 91 ⇒ x = thỏa mãn x >1 x x     ta có  ÷ +  ÷ = 9 9 x x 4 4 5 5 Vì x > ⇒  ÷ <  ÷  ÷ <  ÷ 9 9 9 9 x x  4 5 Nên  ÷ +  ÷ < + = 9 9 9 ⇒ x > không thỏa mãn đề Vậy x = PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.Dạng : Viết kết phép tính nhân chia dạng lũy thừa Bài 1: Viết thức sau dạng luỹ thừa ( nhiều cách có) a , 410 815 b , 82 253 Giải: a , 410 815 = (22)10 (23)15 = 220 245 = 265 Ta thấy 265 = (25)13 = 3213 265 = (213)5 = 81925 Vậy ta có cách viết là: 410 815 = 265 410 815 = 3213 410 815 = 81925 b , 82 253 = (23)2 (52)3 = 26 56 = 106 Ta thấy 106 = (102)3 = 1003 106 = (103)2 = 10002 Vậy ta có cách viết là: 82 253 = 106 82 253 = 1003 82 253 = 10002 Bài Viết biểu thức sau dạng luỹ thừa ( 2a3x2y) ( 8a2x3y4) ( 16a3x3y3) Giải: ( 2a3.x3y ) (8a2x3y4) ( 16a3x3y3) 17 ````` = (2.8.16) (a3 a2 a3) ( x2x3 x3) (y.y4.y3) = 28 a8 x8 y8 = (2axy)8 Dạng : Tính giá trị biểu thức Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 Giải: 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 = 35 - 35 + 58- 58 = Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 Giải: A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 = ( 25: )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) = 56 + 36 - 26 = 15625 + 729 - 64 = 16290 Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau: A= 30.5 + 213.5 27 27.5 + 210.5 27 Giải: 213.5 (217 + 20 ) 30.5 + 213.5 27 A = 27 10 27 = 10 17 20 = 23 = ( + ) + Bài 6: Tính tổng B = - 32 + 33 - - 3100 Giải: B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 32 + 33 - - 3100) + ( 32 - 33 +34 - - 3101) 4B = - 3101 Vậy B = ( 3- 3101) : Bài 7: Tính tổng C = + 52 + 54 + 56 + + 5200 Giải: C = + 52 + 54 + 56 + + 5200 25 C = 52 + 54+ + 5202 25 C - C = 5202 - Vậy C = ( 5202 -1) : 24 Bài 8: Tính 18 ````` 1 1 + + + + 100 7 7 A= Giải: 1 1 + + + + 100 7 7 1 7A = + + + + 99 7 => 7A - A = - 100 A=   A = 1 −  : 100  Dạng : So sánh hai lũy thừa Bài 9: So sánh luỹ thừa sau: 27 72 Giải: Ta có: 27 = 128 72 = 49 Vì 128 > 49 nên 27 > 72 Bài 10: So sánh luỹ thừa sau a, 95 273 b , 3200 2300 Giải: a , Ta có: 95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39 Vì 310 > 39 nên 95 > 273 b , Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300 Bài 11: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714 Giải: Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) (2) 311 < 255 < 256 < 1714 19 ````` nên 3111 < 1714 Dạng : Tìm số chưa biết lũy thừa Bài12: Tìm x ∈ N biết a , 4x = 2x+1 b , 16 = (x -1)4 Giải: a , 4x = 2x + (22)x = x + 22x = 2x+ 2x = x +1 2x- x = x=1 b , 16 = ( x -1)4 24 = (x -1)4 2= x - x = 2+1 x=3 Bài 13: Tìm x∈ N biết a , x10 = 1x b , x10 = x c , (2x -15)5 = ( 2x -15)3 d , x2 x2 ∈ { 0; ; ; ; } Mặt khác x2 số phương nên x2 ∈ { ; 1; } hay x2 ∈ { 02 ; 12 ; 22 } x ∈ { 0; ; } Bài 14: Tìm x ∈ N biết 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 Giải: 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 55 = x +1 x = 55- x = 54 PHẦN CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Viết tích sau dạng luỹ thừa số: a , A = 82.324 b , B = 273.94.243 Bài 2: Thực phép tính: a , 52 – 16 : 22 ; b , 23 17 – 23 14 ; c , 15 141 + 59 15 ; d , 17 85 + 15 17 – 120 ; f , 33 : 32 + 23 22 ; g , (39 42 – 37 42) : 42 Bài 3: So sách cặp số sau: a, A = 275 B = 2433 b, A = 300 B = 3200 Bài Chứng tỏ : a, A = 262n - 26   10 ( n∈ N, n > 1) b, B = 242n+1 + 76  100 (Với n∈ N) c, M = 512000 742000 992000 có chữ số tận 76 21 ````` Bài Tính : 1 1 + + + + 100 2 2 1 1 b, B = 1+ + + + + 500 5 5 a, A = Bài 6: Chứng tỏ K= 1 1 1 1 + + + + + + < 2 10 12 14 Bài Tìm số dư chia A cho 7, biết A = 1+2+ 22 + 23 +……+ 22008 + 22002 PHẦN : KẾT LUẬN Sau thực đề tài thấy em học sinh có hứng thú say mê học toán Đặc biệt giải toán lũy thừa Đa số em nắm dạng ,phương pháp để giải dạng vận dụng vào giải toán lũy thừa có hiệu cao nhiều so với trước thực chuyên đề Trên toàn trình nghiên cứu thực đề tài tơi Qua q trình nghiên cứu thực đề tài cung cấp cho học sinh hệ thống dạng , phương pháp giải toán lũy thừa với số mũ tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp Bước đầu thực tơi thấy có kết định ,nhất việc bồi dưỡng học sinh giỏi ,phần giúp học sinh định hình số phương pháp giải , phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo làm tốn lũy thừa giải tốn nói chung Tuy cố gắng tìm tòi , nghiên cứu thời gian có hạn chắn đề tài không tránh khỏi hạn chế định Vậy tơi mong giúp đỡ góp ý đồng nghiệp để nội dung chuyên đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Nhạo Sơn ngày 28 tháng 11 năm 2018 Người viết Trần Thanh Huyền 22 ````` ... hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Nhạo Sơn ngày 28 tháng 11 năm 2018 Người viết Trần Thanh Huyền 22 `````