BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG KHÔNGTHUẦN NHẤT

Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG KHÔNG THUẦN NHẤT LỜI MỞ ĐẦU ất đẳng thức dạng toán hay khó, chủ đề trọng tâm B chương trình tốn phổ thơng Ngồi bất đẳng thức dạng toán thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp: Tỉnh, Quốc gia, Olympic Trong trình giải tập, lực suy nghĩ, sáng tạo học sinh phát triển đa dạng, phong phú tập bất đẳng thức có cách giải khơng theo quy tắc Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo biết kết hợp kiến thức kiến thức cũ Thông thường, ta hay gặp bất đẳng thức dạng Nhưng năm gần đây, kỳ thi VMO, xuất toán bất đẳng thức đối xứng không Để giúp hiểu thêm dạng bất đẳng thức này, chúng tơi đưa số ví dụ minh họa, rút nhận xét, hướng giải kỹ thuật làm Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh I CÁC BÀI TỐN MINH HỌA Bài Tốn Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 25 + (a + b + c)2 12 Các toán phát biểu theo dạng điều quan tâm đẳng thức xảy ra√và chọn phương án dồn biến, dễ thấy tốn có đẳng thức xảy a = b = c = nên ta chọn hai cách dồn biến sau Cách Giả sử a2 − b2 − ≥ Do ta có (a2 + 2)(b2 + 2) ≥ (a2 + 2)(b2 + 2) − a2 − b2 − = 2a2 + 2b2 + Vậy nên ta cần chứng minh 2a2 + 2b2 + (c2 + 2) ≥ [3 + (a + b + c)2 ] Hay chứng minh chặt [(a + b)2 + 3](c2 + 2) ≥ [3 + (a + b + c)2 ] (a + b)2 c2 + − (a + b) 10c 4c2 + +1≥0 3 Bất đẳng thức ln ∆a+b = − (2c2 − 1)2 Hoàn tất chứng minh ❑ Cách (a2 + 2)(b2 + 2) = 2(a2 + b2 ) + a2 b2 + ≥ 2(a2 + b2 ) + ab + 15 15 3(a2 + b2 ) + (a + b)2 + 2 5(a + b) 15 ≥ + 2 = Tới dùng A-G tương tự ta ∆a+b = − Có thể tách ax2 + bx + c = (2ax + b)2 b2 − 4ac − 4a 4a 25 (2c − 1)2 12 Bài Toán Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh (a2 + 3)(b2 + 3)(c2 + 3) ≥ 192 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Cách Trước tiên ta thấy dấu xảy biến hai biến mà (a2 + 3)(b2 + 3) phải đưa tổng để dồn biến c Khi theo Cauchy-Schwarz, ta có (a2 + 3)(3 + b2 ) đưa tổng, muốn ta cần có ab = Khi đó c → Vậy nên ta giả sử c = min{a, b, c} Vì đưa đến cách giải sau Giả sử c ∈ 0; Áp dụng Cachy-Schwarz, ta có (a2 + 3)(3 + b2 ) ≥ 3(a + b)2 Do ta cần chứng minh 3(5 − c)2 (c2 + 3) ≥ 192 Hay (c − 1)2 19 −c −c + ≥0 Hoàn tất chứng minh ❑ Cách Bài có giả thiết tổng, ta dồn biến đơn giản nhiều Vì dồn a = b ta cần phải giả sử c = max{a, b, c} ý có a + b + c = nên ta có cách dồn biến sau đơn giản 2 (a + 3)(b + 3) − a+b 2 +3 = (a − b)2 − ab − a+b 2 ≥0 Do ta cần chứng minh (c + 3) a+b 2 +3 ≥ 192 Hay (c − 3)2 c2 c − 2 + 15 c −1 2 ≥0 Hoàn tất chứng minh (Đây khơng phải BĐT khơng Nhưng lấy ví dụ cho việc dồn biến chọn nhé)❑ Bài tập cách dồn biến Cho số thức a, b, c ≥ thỏa mãn a + b + c = Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≤ 216 Bài Toán Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ Dễ thấy a = b = c = (a + b + c + 1)2 16 ta có (a2 + 1)(b2 + 1) = a2 + b2 + a2 b2 + Thấy khó có Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh lượng a2 b2 để khử ta cần dùng nguyên lí dirichlet A-G Cách 1 a2 + b b2 − ≥ hay a2 b2 ≥ − 4 16 Như trên, ta cần chứng minh Giả sử a2 − (4a2 + 4b2 + 3)(c2 + 1) ≥ (a + b + c + 1)2 Viết lại bất đẳng thức sau (4a2 + 4b2 + + 2) 1 + + c2 + 4 ≥ (a + b + c + 1)2 Bất đẳng thức hiển nhiên theo Cauchy-Schwarz ❑ Cách (a2 + 1)(b2 + 1) = a2 + b2 + a2 b2 + ≥ a2 + b2 + ab 15 + 16 15 3(a2 + b2 ) + (a + b)2 + 4 = 2(a + b)2 + 16 = Do ta cần chứng minh 2(a + b)2 + (c2 + 1) ≥ (a + b + c + 1)2 Hay 2(a + b)2 + + 1 + c2 + 2 ≥ (a + b + c + 1)2 Bất đẳng thức hiển nhiên theo Cauchy-Schwarz ❑ Bài Toán Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 2 Bài tốn khơng có điều kiện tổng nên ta dồn (a + 2)(b + 2) ≥ a+b 2 +2 để tránh phức tạp ý a = b = c = nên cách dồn Cách Giả sử (a2 − 1)(b2 − 1) ≥ hay a2 b2 + ≥ a2 + b2 Tiếp tục xét (a2 + 2)(b2 + 2) = 2(a2 + b2 ) + a2 b2 + ≥ 3(a2 + b2 ) + Vì ta cần chứng minh (a2 + b2 + 1)(c2 + 2) ≥ (a + b + c)2 Hay (a2 + b2 + 1)(1 + + c2 ) ≥ (a + b + c)2 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Bất đẳng thức hiển nhiên theo Cauchy-Schwarz ❑ Cách (a2 + 2)(b2 + 2) = 2(a2 + b2 ) + a2 b2 + ≥ 2(a2 + b2 ) + 2ab + ≥ 3(a + b)2 +3 Vì ta cần chứng minh (a + b)2 + (c2 + 2) ≥ (a + b + c)2 Hay (a + b)2 + (2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 Bất đẳng thức hiển nhiên theo Cauchy-Schwarz ❑ Bài Toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Những dạng phát biểu bất đẳng thức khó abc Để khử ta dùng dirichlet đưa biến tâm Cách Giả sử c(a − 1)(b − 1) ≥ hay abc ≥ c(a + b) − c Do ta cần chứng minh a2 + b2 + c2 + 2c(a + b) − 2c + ≥ 2(ab + bc + ca) Hay (a − b)2 + (c − 1)2 ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên Hoàn tất chứng minh ❑ Cách Đặt   a=x+1    b=y+1    c = z + Bài tốn phát biểu qua ngơn ngữ x, y, z với biến lớn -1 sau x2 + y + z + 2xyz ≥ Giả sử yz ≥ Viết lại bất đẳng thức sau x2 + (y − z)2 + 2(x + 1)yz ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên Hoàn tất chứng minh ❑ Cách mở rổng giả thiết Nếu toán phát biểu abc ≥ bất đẳng thức khơng nhé? Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Vì abc(a − 1)2 (b − 1)2 (c − 1)2 ≥ Nên khơng tính tổng qt giả sử c(a − 1)(b − 1) ≥ Từ ta chọn cách giải theo hướng tốn hồn tất Cách Ta đưa tốn khơng nhờ AG sau abc + abc + ≥ 3 (abc)2 Bầy ta loại bỏ thức cách a = x3 , b = y , c = z Khi tốn qua ngơn ngữ x, y, z sau x6 + y + z + 3x2 y z ≥ 2(x3 y + y z + z x2 ) Ta cần chứng minh bất đẳng thức mạnh x6 + y + z + 3x2 y z ≥ x2 y (x2 + y ) cyc Bất đẳng thức ln theo Schur bậc Hồn tất chứng minh ❑ Tổng quát với số k Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca kết hợp với bất đẳng thức ta thu a2 + b2 + c2 + 2kabc + k ≥ (k + 1)(ab + bc + ca) với ≤ k ≤ (0.1) Bài Toán Cho số thực a, b, c thỏa mãn abc ≥ Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(a + b + c) + ab + bc + ca Bài khó bất đẳng xảy ngồi tâm, xảy biến hai biến 2, muốn khử abc phải thận trọng Chú ý abc(a − 1)2 (b − 1)2 (c − 1)2 ≥ 0, Vì phương án dùng giả sử coi an toàn Giả sử a(b − 1)(c − 1) ≥ abc ≥ a(b + c) − a Do tốn thành cơng ta cần chứng minh a2 − (4 − b − c)a + b2 + c2 − bc − 2(b + c) + ≥ Rút gọn ta b+c a+ −2 2 + 3(b − c)2 ≥0 Bất đẳng thức hiển nhiên Hoàn tất chứng minh ❑ Tổng qt với số k Vì ta có (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ kết hợp ta a2 + b2 + c2 + kabc + 2k ≥ k(a + b + c) + ab + bc + ca Với ≤ k ≤ Bài Toán chọn k=1 (0.2) Cho số thực a, b, c thỏa mãn abc ≥ Chứng minh a2 + b2 + c2 + abc + ≥ a + b + c + ab + bc + ca Khơng tính tổng quát, giả sử a(b − 1)(c − 1) ≥ hay abc ≥ a(b + c − 1) Do ta cần Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh chứng minh a2 + b2 + c2 + a(b + c − 1) + ≥ a + b + c + ab + bc + ca Ta lại có b2 + c2 − bc ≥ (b + c)2 Vậy nên để thành công, ta chứng minh a2 − 2a + (b + c)2 − (b + c) + ≥ Rút gọn ta (a − 1)2 + b+c −1 2 ≥0 Bất đẳng thức hiển nhiên Hoàn tất chứng minh ❑ Bài Tốn Cho số thực khơng âm a, b, c Chứng minh a2 + b2 + c2 + kabc + 2k + ≥ (k + 2)(a + b + c) Với k = √ Bài giải Đặt   a=x+1    b=y+1    c = z + Bài toán phát biểu qua ngôn ngữ x, y, z với biến lớn -1 sau x2 + y + z + √ 2(xy + yz + zx + xyz) ≥ Giả sử yz ≥ ta có (x + 1)yz ≥ Do ta cần chứng minh x2 + (y + z)2 √ + 2(y + z)x ≥ 2 y+z Bất đẳng thức ln x + √ ≥ Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy √ a = b = c = 1, a = b = c = + , hoán vị số ❑ Tổng quát với số k Vì (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ kết hợp với bất đẳng thức ta thu a2 + b2 + c2 + kabc + 2k + ≥ (k + 2)(a + b + c) với ≤ k ≤ √ (0.3) Bài Toán Cho số thực a, b, c thỏa a, b, c ∈ [0, 1] tìm k lớn để bất đẳng thức a + b + c + 4abc ≥ k(ab + bc + ca) Bài giải Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Cho a = b = c = ta kmax = Chọn a = b = c = ta kmax = Với số ta ngược lại nút k = lại không đúng, nên ta chọn k = Xét hàm số f (a) := (1 + 4bc − 2b − 2c)a + b + c − 2bc ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên  f (0) := b + c − 2bc = b(1 − c) + c(1 − b) ≥ f (1) := bc + (1 − a)(1 − b) ≥ Hồn tất chứng minh ❑ Bài Tốn 10 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh 2(a2 + b2 + c2 ) + abc(a + b + c) + ≥ 4(ab + bc + ca) Cách Nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c, trọng số abc(a + b + c) deg( abc(a + b + c)) = 2, điều đưa bất đẳng thức nhất, ý nghĩa quan trọng Vậy nên ta có cách giải sau Áp dụng AG ta có abc(a + b + c) + ≥ 3abc(a + b + c) 3abc(a + b + c)3 (a + b + c)2 18abc ≥ a+b+c =2 Vì ta cần chứng minh a2 + b2 + c2 + 9abc ≥ 2(ab + bc + ca) a+b+c Đây bất đẳng thức Schur bậc quen thuộc Hoàn tất chứng minh ❑ Cách Ta có cách làm cho theo kiểu khác, phải đảm bảo ý nghĩa trên, √ a b (a2 b + 1) ≥ abc(a + b + c) + = cyc cyc Bây việc quan trọng không phải loại bỏ thức cách a = x2 , b = y , c = z Khi phát biểu tốn qua ngơn ngữ x, y, z sau x4 + y + z + xyz(x + y + z) ≥ 2(x2 y + y z + z x2 ) Nhờ AG ta cần chứng minh bất đẳng thức mạnh x4 + y + z + xyz(x + y + z) ≥ xy(x2 + y ) cyc Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Đây bất đẳng thức Schur bậc quen thuộc Hoàn tất chứng minh ❑ Bài Toán 11 Cho số thực không âm a Chứng hai bất đẳng thức sau + a3 + a2 ≥ + a4 a2 + a+1 a2 − a + ≥ (0.4) (0.5) Bài giải Trước tiên ta chứng minh + a3 + a2 ≥ + a3 1+a Hay (1 + a3 )(1 + a) ≥ (1 + a2 )2 Bất đẳng thức theo Cauchy-Schwarz Bây ta cần chứng minh 2(1 − a + a2 )2 ≥ + a4 Rút gọn ta (1 − a)4 ≥ Hiển nhiên Vì (0.4) chứng minh xong a2 − a + b ≥ a2 + b2 a+b ( Với b=1>0) Rút gọn ta (a + b)(a3 + b3 ) ≥ (a2 + b2 )2 Bất đẳng thức theo Cauchy-Schwarz Vì (0.5) chứng minh xong Hoàn tất chứng minh ❑ 10 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh II BÀI TOÁN THTT- VMO-IMO Bài Toán AP MO (2004) Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) Bài giải Khai triển trực tiếp bất đẳng thức ta a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + ≥ 9(ab + bc + ca) Ta có √ a2 b c + + ≥ a2 b c (a2 b2 c2 (a + b + c)3 (a + b + c)3 9abc ≥ a+b+c =33 ≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c)2 (Schur) Và theo A-G a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + ≥ 2(ab + bc + ca) Vì để hoàn tất, cần chứng minh 4(a2 + b2 + c2 ) + 8(ab + bc + ca) − (a + b + c)2 ≥ 9(ab + bc + ca) Tiếp tục rút gọn (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = ❑ Nhận xét Bài toán nhẹ Chúng ta có phát biểu chặt với điều kiện sau (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 + (abc − 1)2 Bài giải Khai triển trực tiếp bất đẳng thức ta a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + ≥ 3[a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)] + a2 b2 c2 − 2abc + Tiếp tục rút gọn 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 6(ab + bc + ca) Theo A-G a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + ≥ 2(ab + bc + ca) Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh 11 Theo a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Vì hồn tất chứng minh.❑ Bài Tốn VMO (2002) Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh 2(a2 + b2 + c2 ) + abc + ≥ 5(a + b + c) Cách Đưa toán sau Viết lại toán sau 12(a2 + b2 + c2 ) + 6abc + 48 ≥ 30(a + b + c) Áp dụng A-G Schur ta có √ 2abc + ≥ a2 b2 c2 a2 b2 c2 (a + b + c)3 (a + b + c)3 9abc ≥ a+b+c =33 ≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c)2 Tiếp tục áp dụng A-G ta có (a + b + c)2 + ≥ 6(a + b + c) Từ hai bất đẳng thức phụ ta điều phải chứng minh ❑ Cách Đưa toán tâm cách đặt sau   x = a − ≥ −1    y = b − ≥ −1    z = c − ≥ −1 Thế vào bất đẳng thức ta 2(x2 + y + z ) + xyz + (xy + yz + zx) ≥ Giả sử yz ≥ ta có (x + 1)yz ≥ bất đẳng thức chặt sau 2x2 + (y + z)2 + x(y + z) ≥ Hay y+z x+ + 7(y + z)2 ≥0 16 Bất đẳng thức đúng, hoàn tất chứng minh ❑ Mở rộng điều kiện 12 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Nếu abc ≥ bất đẳng thức Thật Do abc(a − 1)2 (b − 1)2 (c − 1)2 ≥ Nên theo dirichlet ta giả sử a(b − 1)(c − 1) ≥ Do ta cần chứng minh 2(a2 + b2 + c2 ) + a(b + c) − a + ≥ 5(a + b + c) Rút gọn ta b+c−6 2a + + (b − c)2 7(b − 1)2 7(c − 1)2 + + ≥0 2 Hoàn tất chứng minh ❑ Nhận xét tổng quát (0.3) Tiếp tục với k = ta có toán Chọn HSG Quốc Gia, Chuyên Lê Quý Đơn-Ninh Thuận 2014-2015 Bài Tốn Chọn HSG Quốc Gia, Chun Lê Quý Đôn-Ninh Thuận 2014-2015 Cho Đây trường hợp riêng ứng với k = số thực không âm a, b, c Chứng minh a2 + b2 + c2 + abc + ≥ 3(a + b + c) Cách Đặt   a=x+1    b=y+1    c = z + Bài tốn phát biểu qua ngơn ngữ x, y, z với biến lớn -1 sau x2 + y + z + (xy + yz + zx + xyz) ≥ Giả sử yz ≥ ta có (x + 1)yz ≥ Do ta cần chứng minh (y + z)2 + (y + z)x ≥ Bất đẳng thức ln (x + y + z)2 ≥ Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy x2 + a = b = c = ❑ Cách Đưa toán AG dùng Schur Viết lại bất đẳng thức sau 2(a2 + b2 + c2 ) + 2abc + ≥ 6(a + b + c) − Áp dụng A-G Schur ta có √ 2abc + ≥ a2 b2 c2 a2 b2 c2 (a + b + c)3 (a + b + c)3 9abc ≥ a+b+c =33 ≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c)2 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh 13 Tiếp tục áp dụng A-G ta có (a + b + c)2 + ≥ 6(a + b + c) Từ hai bất đẳng thức phụ ta điều phải chứng minh ❑ Bài Toán JB MO 2003 Cho số thực a, b, c > −1 Chứng minh + a2 + b2 + c2 + + ≥2 + b + c + c + a2 + a + b Bài giải Chúng ta đưa toán nhờ bất đẳng thức AG Thật a2 + ≥ 2a, b2 + ≥ 2b, c2 + ≥ 2c Vì ta có cyc + a2 ≥ + b + c2 + b2 + c2 + a2 + + b2 + c2 + a2 + 2 1+ +c 1+ +a 1+ + b2 2   x = + a2    Đặt: y = + b2    z = + c Ta cần chứng minh x y z + + ≥1 y + 2z z + 2x x + 2y Theo Cauchy-Schwarz ta có cyc x = y + 2z cyc x2 (x + y + z)2 ≥ ≥1 xy + 2zx 3(xy + yz + zx) Vì hồn tất chứng minh ❑ Bài Toán Vasile Cirtoeje Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh (1 + a3 )(1 + b3 )(1 + c3 )(1 + d3 ) + abcd ≥ (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 )(1 + d2 ) Bài giải Theo bất đẳng thức (0.4) ta có 14 + a3 + a2 + c3 + c2 + a4 ≥ , + b3 + b2 + c4 , + d3 + d2 ≥ ≥ + b4 ≥ + d4 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh Nhân bất đẳng thức chiều ta a,b,c,d cyc + a3 + a2 ≥ 16 a,b,c,d (1 + a4 ) cyc Theo bất đẳng thức Holder ta đươc a,b,c,d (1 + a4 ) ≥ (1 + abcd)4 cyc Lấy bậc bốn hai vế ta điều phải chứng minh ❑ Bài Toán THTT số 423 Cho số thực x, y, z ∈ [0; 2] Chứng minh 2(x + y + z) − (xy + yz + zx) ≤ Bài giải Viết bất đẳng thức lại sau f (x) := (2 − y − z)x + 2(y + z) − yz − ≤ Nếu y + z = Bất đẳng thức hiển nhiên Nếu y + z = x ∈ [0; 2] nên ta có f (x) ≤ max {f (0); f (2)} Xét:  f (0) := −(2 − y)(2 − z) ≤ ∀y, z ∈ [0; 2] f (2) = −yz ≤ Hoàn tất chứng minh ❑ Bài Tập Ứng Dụng: (Italia MO) Cho a, b, c số thực thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh a2 + b + c ≤ a2 b + b c + c a + Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn ab + bc + ca > Chứng minh 2016 a2 + + a+b 2016 b2 + + b+c 2016 c2 + ≥3 c+a Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh (1 + a + b + c)(1 + ab + bc + ca) ≥ Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh 2(a + bc)(b + ca)(c + ab) 15 KẾT THÚC CHUN ĐỀ Q ua thuyết trình, chúng tơi hy vọng mang lại kiến thức tích lũy kinh nghiệm cho bạn Trong soạn tài liệu nà dù cố gắng nhiều, hẳn không tránh khỏi sai sót Chúng tơi xin cảm ơn mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô bạn qua địa chỉ: Nguyễn Lương Thoại Anh ✆ : 01297977279 Hoặc kích vào online Biên soạn: Lê Khánh Sỹ- Nguyễn Lương Thoại Anh Xin liên hệ qua trang cá nhân https: // www facebook com/ profile php? id= 100004123097922& fref= ts 16 Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh TÀI LIỆU THAM KHẢO http://www.mediafire.com/download/pivsnzmnbajh9iu/vi%C3%AAt+nhanh+%283%29.pdf http://artofproblemsolving.com/community/c6t243f6_inequalities Lê Khánh Sỹ Nguyễn Lương Thoại Anh 17