HSG Toan 9-PGD Tam Dao

phòng gd & đt tam đảo đề chính thức Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008-2009 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề Câu 1: (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức : 2 3 3 2 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2 1 x x x M x + + = + . Câu 2: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 2 2 2 4 12 0x y xy x y + + = b) Giải hệ phơng trình: 2 3 2 2 2 3 4 4 ( 1) 2 2 1 0 x y x x x x x y xy + = + + + + = Câu3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 Q a b c abc = + + + . Trong đó , ,a b c là các số thực dơng thỏa mãn a b c+ + =1 Câu 4:(1,5 điểm) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Hai dây cung AC và BD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AH.AC+BH.BD =AB 2 . Câu 5:(1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng: OE CD. ---------------------------------------Hết--------------------------------------- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. phòng gd & đt tam đảo Hớng dẫn chấm thi Chọn hsg lớp 9 THCS Năm học 2008-2009 Môn: Toán C Câu Điểm toàn bài Nội dung Điểm thành phần 1 2 điểm * ĐKXĐ: 1 1x 2 3 3 2 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2 1 x x x M x + + = + 2 3 3 2 2. 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2. 2 1 x x x M x + + = + 2 2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 )) 2 1 x x x x x x x x x + + + + + + + = + 2 1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 )) 2 1 x x x x x x x x x + + + + + + + = + 2 ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 )( 1 1 ) (1 ) (1 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x = + + + = + + + = + + + = + = Vậy 2 2 2 M x x= = 0,5 0,5 0,5 0,5 a) 2 2 2 4 12 0x y xy x y + + = 2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 12 0 2 2 4 2 4 x y y y y y + + + = ữ 2 2 1 1 9 9 1 12 0 2 2 4 2 4 x y y y + + = ữ 2 2 1 1 3 3 10 2 2 2 2 x y y + = ữ ữ 1 1 3 3 1 1 3 3 10 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y x y y + + + = ữ ữ ữ ữ ( ) ( ) 2 2 1 10x y x y + + = . Vì ,x y Z + nên 2 2x y+ >0 và 2 2x y+ 1x y + , mà 10=1.10=2.5 nên ta 0,5 0,5 2 3,0 điểm có bảng: 2 2x y+ 10 5 1x y + 1 2 2x y+ 12 7 x y 0 1 x 4 3 y 4 2 KL: Tập hợp các nghiệm của phơng trình là (x,y) { } (4; 4),(3, 2) -------------------------------------------------------------------------------- b) 2 3 2 2 2 3 (1) 4 4 ( 1) 2 2 1 0(2) x y x x x x x y xy + = + + + + = Giải (2): 3 2 2 2 4 ( 1) 2 2 1 0x x x x x y xy + + + + = 2 2 2 4 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 0x x x x x y x + + + + = 2 2 2 4 ( 1)( 1) ( 1) ( ) 0x x x x x y + + + + = [ ] 2 2 ( 1) 4 ( 1) 1 ( ) 0x x x x y + + + = 2 2 2 ( 1)(2 1) ( ) 0x x x y + + = (*) Vì 2 2 ( 1)(2 1)x x+ 0 và 2 ( )x y 0 ,x y nên (*) có nghiệm khi và chỉ khi 2 1 0 0 x x y = = 1 2 x y = = Thay 1 2 x y= = vào (1) thỏa mãn. Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất 1 2 x y= = . 0,5 0,5 0,5 0,5 3 2,0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1= a b c + + 3 3 abc và 2 3 3 ( )ab bc ca abc+ + 3 3 abc . 2 3 3 ( )abc = 9abc Từ đó 2 2 2 1 9 Q a b c ab bc ca + + + + + = 2 2 2 1 1 1 7 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca + + + + + + + + + + + (1) Lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 . . .a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c = + + + + + + + + ữ + + + + + + 2 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca ab bc ca + + ữ + + + + + + ( ) 2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + + + + ( áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ) 0,5 0,5 2 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca ab bc ca + + + + + + + + 2 9 ( )a b c+ + =9 (2) Mặt khác: 1=( a b c + + ) 2 = 2 2 2 2( )a b c ab bc ca+ + + + + 3 ( )ab bc ca+ + 1 ab bc ca+ + 3 (3) Thay (2), (3) vào (1) ta đợc: 9 7.3 30.Q + = Vậy Min 30Q = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c= = = . 0,5 0,5 4 1,5 điểm D H C O B A K Xét ACBV có : ( ) 1 ( ) 2 OA OB gt CO AB gt = = ACBV vuông tại C. Tơng tự: ADBV vuông tại D. Kẻ HK AB (K AB). Ta có AKHV đồng dạng với ACBV ( g-g) . . AK AH AC AH AK AB AC AB = = (1) Mặt khác: BKHV đồng dạng với BDAV ( g-g) . . BK BH BD BH BK AB BD AB = = (2) Từ (1) và (2) suy ra: .AC AH + .BD BH = .AK AB + .BK AB =( )AK BK AB+ = 2 AB ( ĐPCM) 0,5 0,5 0,5 5 1,5 điểm E O C A B D G M N Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD, AC; G là giao đểm của CD và OA, E là giao điểm của DN và CM. Vì tam giác ABC cân tai A nên AO là đờng trung trực của BC, mà AO cắt CD tai G suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC 2 . 3 CG CD = Mặt khác E là trọng tâm của ADC nên 2 . 3 EC CM = Xét DCMV có 2 3 GC EC CD CM = = nên theo định lí Talét đảo ta suy ra //EG MD hay //EG AB . Lại có: OD AB ( D là trung điểm của dây cung AB) OD EG . Do DN là đờng trung bình của tam giác ABC //DN BC mà AO BC AO DN . Xét DEGV có GO và DO là hai đờng cao cắt nhau tại O O là trực tâm của DEGV OE DG hay OE CD . 0,5 0,5 0,5 ----------------------------------------------- . 2 . Câu 5:(1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng:. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. phòng gd & đt tam đảo Hớng dẫn chấm thi Chọn hsg lớp 9 THCS Năm học 2008-2009 Môn: Toán C Câu Điểm toàn bài