Chương 4 Ứng dụng của đạo hàm.doc

Chương 4 Ứng dụng của đạo hàm.doc

Chương 3: Ứng dụng của đạo hàm chuong3a – nick yahoo, mail: chuong2a@gmail.com

* Các bdt lồi: 5

* Bdt Jensen: 5

*/ BDT về số trung bình: 5

* BDT Holder: 6

* BDT Minkowski: 7

* Cách tìm tiệm cận 1 số hàm số: 7

6/ Điểm kì dị, điểm lùi: 8

7/ Khảo sát đường cong trong tọa độ cực: 9

8/ Đối xứng trong tọa độ cực: 11

9/ Tiếp tuyến của đường cong trong tọa độ cực: 12

10/ Vi phân cung: 12

11/ Độ cong: 13

* Giải pt f(x)  0 bằng phương pháp Newton: 15

* Định lí Weiertrass: 17

Ta nói hàm f(x) tăng trên (a, b) nếu: x , x1 2a,b , x 1x2  f x 1 f x 2

Ta nói hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) nếu: x , x1 2a,b , x 1x2  f x 1 f x 2

Định lí 1: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b) Hàm f(x) tăng trên (a, b)

'

'

o

x 0

'

o

x 0 ' '

x

x 0 f x x f x 0 do ham f x dong bien

x Nguoc lai, neu f x 0 tren a, b , theo dinh lí Larrange ta có :





 





 

  



  





Định lí 2: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b) Hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) khi:

   

'

'

1 / f x 0, x a, b

2 / Ko ton tai khoang con a , b a, b sao cho f x 0 tren a , b

Cho f(x) thỏa 1/ và 2/, vậy theo định lí 1 hàm f(x) tăng trên (a, b)

'

1 2

2 x

2

Gia su: x , x a, b x x : f x f x f x f x f x

f x 0 tren x , x trái voi 2/

x VD1: Cm voi x 0 ta có :e 1 x

2 x

2

f x tang tren 0, nhung f 0 0 f x 0 x 0

f x tang tren 0, f x f 0 0

Định lí: Cho f(x) khả vi trong lân cận x và f xo ' o 0

1/ Nếu f x'' o 0 thì f(x) đạt cực đại tại xo

2/ Nếu f x'' o  thì f(x) đạt cực tiểu tại 0 xo

Với f x' o 0 I use Taylor formula với n  2:

 

''

2 ''

o 2

2

''

2

f x

2!

f x

Because : 0 khi x 0 nen f x x f x cùng dau voi f x

x







Định nghĩa: Hàm f(x) xác định và liên tục trên (a, b) được gọi là lõm trên (a, b) nếu:

x , x a, b , c 0,1 f cx 1 c x cf x 1 c f x

Xét ý nghĩa hình học của hàm lõm:

Xét đồ thị cùa hàm số y  f(x) và 2 điểm A x ,f x1 1  1 , A x ,f x2 2  2  trên đồ thị.

 

f cx  1 c x là tung độ của điểm A x ,f xo o  o  trên đồ thị với

Còn cf x 1  1 c f x   2 là tung độ của điểm B nằm trên dây trương cung A A1 2

(đoạn thẳng A A )1 2

Vậy hàm lõm trên (a, b) nếu điểm A nằm dưới điểm B hay cung o A A nằm dưới dây 1 2 trương cung A A1 2

1 2

A x , y parametric equation of line segment

A A :







cx 1 c x voi c 0,1 The x vào 1 :

Parametric equation: pt tham số line segment: đoạn thẳng

Hàm được gọi là lồi trên (a, b) nếu f cx 11 c x  2 cf x 1  1 c f x   2

Nói cách khác hàm f(x) lồi nếu hàm – f(x) lõm

Định lí dấu hiệu lồi, lõm: Cho f(x) khả vi đến cấp 2 trên (a, b) Khi ấy hàm số lõm trên (a, b)

''

f x 0 tren a, b

Ki hieu : x cx 1 c x voi c 0,1 y f x y f x y f x

c y

       

1 2 ''

f x loi neu f x 0











 Ngược lại, cho f x''  0 tren a, b Lay x  x , x1 2 theo định lí Larrange ta có:

Voi x c x c x Vì f x 0 nen f x dong bien

* Cho f là 1 hàm số xác định và liên tục trong [a, b] and f'' 0 trong a, b  khi đó hàm số

f lồi trong [a, b]

set dat : g t t.f a  1 t f b  f t.a 1 t b muốn cm f lồi trong đoạn [a, b], ta

cm f(x) thỏa bdt lồi, nghĩa là cm: g t  0 voi moi t0,1, từ biểu thức định nghĩa, ta có:

' '

g t f a f b a b f t.a 1 t b

theo cong thuc Larrange,ton tai c t a 1 t b, t 0,1

sao cho a c b and f a f b a b f c

the giá tri cua f a f b vào bieu thuc cua g t , ta dc:



o

theo gia thiet: f 0 f tang, a b 0

and t.a 1 t b t a b b t a b b

khi t t , ta có g t g t 0 if t t , g t g t 0 if t t

g t tang trong 0, t and giam trong t ,1 , because g 0 g 1 0

g t 0 with t 0,1

Điểm uốn: điểm M x ,f x o  o  được gọi là điểm uốn nếu nó phân cách cung lồi và cung

lõm của đường cong f(x)

Định lí: Cho hàm f(x) có đạo hàm f x''  trong lân cận điểm x , nếu khi qua o x đạo hàm o cấp 2 f x đổi dấu thì điểm ''  M x ,f x o  o  là điểm uốn

* Các bdt lồi:

* Bdt Jensen:

n

k k

k 1

Cho f là 1 hàm so loi trên D a, b , with x ,x , x D and a ,a , a 0,1

sao cho a 1, ta có : f a x a f x

Cm : with n 2, do la dn tính loi cua f , bay gio ta se quy nap theo n :

gia su bdt dung voi so nguyen n 2 : f a x







n

k 1

n 1

k 1

a f x

ta cm nó cung dung voi n 1: lay x , x , x , x D and a ,a , a ,a 0,1

sao cho a 1 gia su a , i 1, n ko dong thoi 0, dat set :











n 1

k 1

k k

n

k k

k 1

1

c dùng dn hàm loi, ta có:

dùng gia thiet quy nap, ta dc: f y f a f x













k 1

a f x





*/ BDT về số trung bình:

       

1 n

''

2 n

k 1

1 Cho a 0; i 1, n set : A a , B a khi do : B A

n

1

Cm : Xét hàm f x ln x, x 1, , f x 0 f x loi

x

do dó có the dùng bdt Jensen và dc, with b 1, b 0,1 , i 1, n





bk

1

k 1 k 1

* BDT Holder:

bk

p

1 1 Cho p 1, q 1 sao cho 1 khi do :

p q

with n 2, a x , a y , b , b , ta dc: x.y

BDT van dung khi x or y=0

p q

p q

khi p q 2, bdt tren dc goi là bdt Cauchy-schwartz:

p 1, q 1 p

 

* BDT Minkowski:

4/ Đường tiệm cận:

1/ Đường thẳng x  a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f(x) nếu thỏa 1

2/ Đường thẳng y  b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f(x) nếu thỏa 1

xlim f x b xlim f x b

3/ Đường thẳng y  ax + b được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f(x) nếu

 

xlim f x ax b 0

 

Cách tìm các hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y  ax + b

 

* Cách tìm tiệm cận 1 số hàm số:

5/ Pt tham số của đường cong:

1/ Elip: 2 2

1

a  b  Vì tổng bình phương của

x y

a b  , nên có thể coi chúng là cost và sint:

cos t sin t t 0,2 Vay ta có pt tham so cua elip : x a cos t, y bsin t

2/ Xicloit là quỹ đạo của 1 điểm M nằm trên đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn

ko trượt trên 1 đường thẳng d Pt tham số của xicloit: x a t sin t    y a 1 cos t   

3/ Epixicloit (ngoại xicloit) và hypoxicloit (nội xicloit):

Cho 1 vòng tròn (C) lăn ko trượt trên bề mặt của 1 vòng tròn khác Quỹ tích 1 điểm của vòng tròn (C) được gọi là epixicloit (ngoại xicloit) Trong trường hợp vòng tròn (C) lăn theo bề mặt trong, quỹ tích được gọi là hypoxicloit (nội xicloit)

Cho vòng tròn cố định có tâm tại tại gốc tọa độ O bán kính a, vòng tròn (C) lăn ngược chiều kim đồng hồ và có bán kính m.a

Pt tham so cua epixicloit:

x a 1 m cos mt m.cos 1 m t y a 1 m sin mt m.sin 1 m t

Pt tham so cua hypoxicloit:

x a 1 m cos mt m.cos 1 m t y a 1 m sin mt m.sin 1 m t

Các pt tham số của hypoxicloit nhận được từ pt của epixicloit bằng cách thay m bởi – m 6/ Điểm kì dị, điểm lùi:

Định nghĩa: Điểm M x , y o o xo x t o yo y t 0 của đường cong (C) được gọi là điểm kì dị nếu: x t' o 0, y t' o 0

Xét điểm M x , y o o xo x t o yo y t 0 có tính chất x t liên tục trong lân cận' 

 

'

 

t a x Thay vào biểu thức của y ta được y là hàm số của x: y y a x    

Như vậy trong lân cận của t , hàm y được biểu diễn tường minh qua xo

Tương tự đối với trường hợp y t' o 0 thì ta có hàm tuong minh x x b y    

Như vậy chỉ có trường hợp x t' o 0, y t' o  là đường cong (C) ko thể có pt tường 0 minh

Tính chất của tiếp tuyến: Giả sử x t' o 0 thì tiếp tuyến với C tại A x , y có hệ số  o o

góc:

' o

o

y t

x t

       

' o

o

x t

y t

tiếp tuyến song song Oy

Tiếp tuyến tại điểm kì dị

Qua 2 điểm M x , y o o và N x t , y t cùa đường cong (C) ta có cát tuyến với pt:     

x x t y y t Theo cong thuc Taylor, ta có:

pt tiep tuyen tai M :

Vì tiếp tuyến tại M là vị trí tới hạn của cát tuyến MN khi N M t  to

Điểm lùi: Giả sử x t'' o  , vậy hàm số x  x(t) có cực tiểu tại 0 to  x t  x t o xo trong lân cận t o

Điều đó về mặt hình học có ý nghĩa: nếu chia đường cong (C) thành 2 nhánh ứng với

C : t t và C : t t  thì 2 nhánh gặp nhau tại t t o và cùng có chung tiếp tuyến Vì

x t x t voi t t và t t  nên cà 2 nhánh đều nằm về bên phải của đường thẳng o

x x Khi ấy điểm M x , y được gọi là điểm lùi của đường cong (C) o o

7/ Khảo sát đường cong trong tọa độ cực:

Trong mặt phẳng chọn 1 điểm O cố định gọi là cực và 1 tia Ox gọi là tia cực Vị trí của điểm M trong mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi 2 đại lượng:

r OM   Ox,OM

Trong đó: r là bán kính vector, φ là góc cực của điểm M

φ là góc định hướng có chiều dương ngược với chiều quay của kim đồng hồ

Cặp (r, φ) được gọi là các tọa độ cực của điểm M

Để biểu diễn được tất cả các điểm của mặt phẳng chỉ cần hạn chế: r 0, 0   2 Công thức đổi từ hệ tọa độ Decaster Oxy sang tọa độ cực:

x

        Ta chọn φ sao cho sinφ cùng dấu với y

VD: điểm M trong tọa độ Descarter là: x 1, y 3

2 2

3

Ta chon vì sin 0 cùng dau voi y 0

Vay M 1,

3

 

              

 



Hệ tọa độ cực mở rộng:

Cho M(r, φ), với r, φ ko bị hạn chế mà được lấy các giá trị bất kì Khi ấy ta có tọa độ cực

mở rộng Như vậy 1 điểm có nhiều tọa độ cực khác nhau

4

VD : Cho M 1,

3





  trên tia Ou (kéo dài) tạo với Ox góc 4

3



  , lấy điểm M có

OM 1

thì M phải ngược hướng với Ou

Đổi sang tọa độ Descarter: x 1.cos4 1 y 1.sin4 3

Điểm M có nhiều cách biểu diễn trong tọa độ cực mở rộng: 1,4 , 1, , 1,5



VD1: lập pt đường tròn bán kính a đi qua cực O và có tâm trên trục cực:

Cách 1: Cho tâm tại điểm I(a, 0) và đường kính OA đi qua I M thuộc đường tròn với

Ox,OM   xét tam giác vuong OMI thì r OM OA.cos   2a.cos

Cách 2: trong tọa độ Descarter đường tròn đó có pt: x a 2 y2 a2

Thế x r cos  y r sin vào pt trên ta duoc : r 2a.cos   

VD2: Cm đường r a sin  a 0  là pt đường tròn bán kính a

2 2

Voi r 0 ta có : r a sin r ar sin

duong tròn tâm 0, bán kính

VD3: Lập pt của các đường conic (parabol, elip, hyperbol) trong tọa độ cực

Cho trước 1 đường chuẩn (L), 1 tiêu cự F và 1 số e > 0 (được gọi là tâm sai) Khi ấy đường conic là quỹ tích tất cả những điểm M sao cho: d M, F  d M, L   

d(M, (L)) là khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn (L)

d(M, F) là khoảng cách từ điểm M đến tiêu cự F

Nếu 0 < e < 1 ta có elip, e  1: ta có parabol, e > 1: ta có hyperbol

Cho tiêu cự F trùng với cực O, đường chuẩn (L) cách cực O 1 khoảng 2p và tạo với trục cực 1 góc α M(r, φ) là 1 điểm bất kì trên đường conic, r > 0, MF  MO  r

 

d M, L 2p r sin

Tu d M, F d M, L r 2pe resin

2ep

pt duong conic: r

1 esin

    

   

Ta xét 1 trường hợp thường gặp: khi đường chuẩn vuông góc trục cực:

2



 

2

2ep

1 ecos

Neu e 1 parabol , ta duoc : y 4p x p

Đó là pt parabol, tiêu cự trùng với gốc tọa độ và đường chuẩn có pt x  – 2p

2

2

2

Cho e 1 elip , ta dua 1 ve dang : x

Do là elip voi các bán truc : a , b ,

a

1 e



đường chuẩn có pt x  – 2p

8/ Đối xứng trong tọa độ cực:

1/ Nếu khi thay (r, φ)  (r, π – φ) or (– r, – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi thì đồ thị đối xứng qua đường

2



 

x r cos  r cos     r cos   y r sin  r sin    r sin  

2/ Nếu khi thay (r, φ)  (r, – φ) or (– r, π – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi thì đồ thị đối xứng qua trục cực

x r cos  r cos    r cos    y r sin  r sin    r sin   

3/ Nếu khi thay (r, φ)  (– r, φ) or (r, π + φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi thì đồ thị đối xứng qua cực O

 

 

4/ Nếu r  f(sinφ) or r là hàm lẻ theo φ thì đồ thị đối xứng qua đường

2



 

         

Voi dk f là hàm le theo , f sin f sin

                  

                

5/ Nếu r  f(cosφ) or r là hàm chẵn theo φ thì đồ thị đối xứng qua trục cực

                  

9/ Tiếp tuyến của đường cong trong tọa độ cực:

Gọi a là góc giữa bán kính vector OM với tiếp tuyến tại M(r, φ)

b là góc của tiếp tuyến tại M với Ox, tiếp tuyến tại M cắt Ox tại C, trong OMC góc MCO là góc ngoài của tam giác

tgb tg

1 tgb.tg

 

Đường cong r  f(φ) có thể viết ở dạng tham số sau:

'

y r sin r cos

x r cos r sin





  

  

' dr

r

d



 Thế vào (1) ta được: tga r'

r

 Tiệm cận: coi φ là tham số và đưa đường cong về dạng tham số:

 

 

VD : r Dua ve tham so : x , y

Khi 0 thì x , y 1 nên y 1 là tiem can ngang







10/ Vi phân cung:

Chia cung AB thành n phần bởi các điểm: A M , M , M , M o 1 2 n B ứng với các giá trị:

t t t  t Gọi p là độ dài của đường gấp khúc: p M M o 1M M1 2  Mn 1 n M Đường gấp khúc ấy được gọi là đường gấp khúc nội tiếp cung AB

Độ dài cung AB là cận trên đúng của độ dài các đường gấp khúc nội tiếp cung AB

S  Sup(p)

Giả thiết tồn tại các đạo hàm liên tục x t , y t Khi ấy ta có:'  ' 

       

k 0

k 0

theo dinh lí Larrange, ta có :















Kí hiệu m1 là giá trị nhỏ nhất của x t' , M1 là giá trị lớn nhất của x t' 

m2 là giá trị nhỏ nhất của y t , M2 là giá trị lớn nhất của '  y t' 

Kí hiệu M(t) là điểm trên cung AB ứng với giá trị t, và S(t)  độ dài cung AM t   Xét cung

M t M t t voi do dài S Theo 1 ta có : m m   t S M M t

ở đây m , m , M , M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của1 2 1 2

t 0

S

t Cho t 0, vì x t , y t lien tuc, nên m x t , M x t ,

S

t

 









11/ Độ cong:

a/ định nghĩa: trên đường cong (C) lấy 1 điểm cố định I gọi là gốc của hoành độ cong và chọn 1 hướng tính độ dài cung (1 hướng độ dài cung dương và 1 hướng độ dài cung âm) Cho A, B là 2 điểm trên (C) Kí hiệu  là góc giữa 2 tiếp tuyến dương tại A và B, ∆s là

độ dài cung AB Khi đó tỉ số

s



 được gọi là độ cong trung bình của cung AB VD1: Với (C) là đường thẳng thì độ cong trung bình của mọi đoạn AB đều bằng nhau và

 0

(vì 0)

VD2: Cho (C) – đường tròn bán kính R Góc giữa 2 tiếp tuyến dương tại A và B







Định nghĩa: độ cong của đường cong (C) tại điểm A là giới hạn của độ cong trung bình của cung AB khi B tiến tới A (A, B luôn thuộc (C))

s 0

s

 







Công thức tính độ cong: gọi góc giữa hướng dương của trục Ox với tiếp tuyến dương tại A

là , tại B là   , khi ấy ta có:   (góc ngoài của tam giác)

s 0

d

 

 

a/ Trong tọa độ Descarter: Cho đường (C) có pt y  f(x)

 

 

 

'' '

'

2 '

' x

''

dx

ds

y

ds dx ds







 

b/ Đường cong tham số: Cho (C) có pt tham số:

 

'

t

2

x

y

ds dx ds

   

 

'' ' '' '

3

y x x y





c/ Trong tọa độ cực: Cho (C) có pt trong tọa độ cực r  r(φ) Ta có thể coi như (C) có pt tham số sau: x r  cos , y r   sin Lấy các đạo hàm rồi thay vào (2), ta có:

 

 

2

3

2 2

2 '

C





VD : Tìm do cong cua Xicloit

x a t sin t , y a 1 cos t tai 1 diem bat kì :

x a 1 cos t , x a 1 sin t , y a 1 sin t , y a 1 cos t

y x a 1 cos t , y x a 1 sin t ,

y x x y a sin t cos t a





a 2 sin t cos t 2cos t 2sin t



'' ' '' '

C

2 a 1 cos t







* Giải pt f(x)  0 bằng phương pháp Newton:

* định lí về giá trị trung gian:

Cho f(x) là 1 hàm số xác định, liên tục trong khoảng I:  [a, b], sao cho a  b và f(a).f(b)  0 Khi đó tồn tại 1 điểm c  (a, b) sao cho f(c)  0

 

o o

suppose that f a f b 0 f a trái dau voi f b and gia thiet f a 0

if f a 0 thi thay f boi f set c a and d b, khi do theo gia thiet

2

if f u 0 thi c u , if f u 0 thi dat

c u , d d , if f u 0 thi dat c c and d u



     

1 1 1

n n n

n

Consider c ,d we have f c f d 0,

therefore continuos putting u and continuos this progress

2 with this putting we have f c 0 and f d 0

continuos putting u

2

If f u 0 c u is the solution of equation f x 0

If f u 0 so puttin













If f u 0 so putting c c and d u

Bây giờ ta giả sử quá trình trên ko kết thúc Khi đó ta có 2 dãy số cn and d n 2 dãy đó

hội tụ và có chung giới hạn là c

Vi f c 0 nen theo gia thiet lien tuc cua f x lim f c f lim c f c 0

Thủ tục chọn các điểm u ở trên được gọi là thủ tục phân đôin

Giả sử hàm số f(x) xác định, liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b), f(a).f(b)  0 and f x' 

ko đổi dấu trên (a, b) Ta lấy 1 điểm x tùy ý, xo oa, b với giả thiết trên có thể khai triển Taylor hàm số f(x) tại x và có:o

2

o

2

n

o '

1

2 with d o giua x and x the f x vào pt f x 0, dc:

1

2

ta xây dung thu tuc tim day x hoi tu den ngiem c

bang cách bo qa so hang bình phuong

f x

ta dc: f x x x f x 0 goi x là ngiem, ta có:x x

f



' o x

 

n 1

n 1

n 1

n 1

'

n 1

n 1

f x

f x Cho x hoi tu den c lim x lim x c

f x lim x lim x lim

f x

0 f c 0 vi f c 0 c a, b

















