Chương 4 Ứng dụng của đạo hàm.doc

Chương 4 Ứng dụng của đạo hàm.doc

Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chuong3a – nick yahoo, mail: chuong2a@gmail.com * Các bdt lồi: .5 * Bdt Jensen: */ BDT số trung bình: * BDT Holder: * BDT Minkowski: * Cách tìm tiệm cận số hàm số: 6/ Điểm kì dị, điểm lùi: 7/ Khảo sát đường cong tọa độ cực: 8/ Đối xứng tọa độ cực: 11 9/ Tiếp tuyến đường cong tọa độ cực: .12 10/ Vi phân cung: 12 11/ Độ cong: 13 * Giải pt f(x)  phương pháp Newton: 15 * Định lí Weiertrass: 17 Ta nói hàm f(x) tăng (a, b) nếu: x1, x2  a, b , x1  x2  f  x1  f  x2  Ta nói hàm f(x) tăng chặt (a, b) nếu: x1, x2  a, b , x1  x2  f  x1   f  x2  Định lí 1: Cho f(x) khả vi khoảng (a, b) Hàm f(x) tăng (a, b)  f '  x 0, x   a,b Ta có : f '  xo   lim f  xo  x  f  xo   x 0 x  Vì f  xo  x  f  xo   0, x  0 x   f  xo  x  f  xo    ham f  x  dong bien  f '  xo   lim f  xo  x  f  xo   x 0 x Nguoc lai, neu f '  x  0 tren  a, b , theo dinh lí Larrange ta có : f  x2   f  x1 f '  c  x2  x1 0 Định lí 2: Cho f(x) khả vi khoảng (a, b) Hàm f(x) tăng chặt (a, b) khi: 1 / f '  x 0, x  a, b / Ko ton tai khoang  a1, b1   a, b cho f '  x 0 tren  a1, b1  Cho f(x) thỏa 1/ 2/, theo định lí hàm f(x) tăng (a, b) Gia su:  x1, x2  a, b x1  x2 : f  x1 f  x2   f  x  f  x1  f  x2   f '  x 0 tren  x1, x2  trái voi 2/ VD1: Cm voi x  ta có :ex 1  x  x2 Dat f  x  ex   x  x2  f '  x  ex   x, f ''  x  ex    f '  x tang tren  0, nhung f '  0 0  f '  x  x   f  x tang tren  0,  f  x  f  0 0 Định lí: Cho f(x) khả vi lân cận xo f '  xo  0 1/ Nếu f ''  xo   f(x) đạt cực đại xo 2/ Nếu f ''  xo   f(x) đạt cực tiểu xo Với f '  xo  0 I use Taylor formula với n  2: f  xo  x f  xo   f 2! x  o ''  xo   x2   f ''  x  o x2    f  xo  x  f  xo  x2  o  2! x2      Because : o x2   x  nen f  xo  x   f  xo  dau voi f ''  xo  x2 Định nghĩa: Hàm f(x) xác định liên tục (a, b) gọi lõm (a, b) nếu:  x1, x2  a, b , c  0,1  f  cx1  1  c x2  cf  x1  1  c f  x2  Xét ý nghĩa hình học hàm lõm: Xét đồ thị cùa hàm số y  f(x) điểm A1  x1,f  x1  , A2  x2,f  x2   đồ thị f  cx1  1  c x2  tung độ điểm Ao  xo ,f  xo   đồ thị với x1  xo  x2  xo cx1  1  c x2 voi c   0,1 x1  cx1  1  c x2  1  c x1  1  c x2  x1  x2 Vì 1  c 0 cx1  1  c x2  x2  cx1  cx2  x1  x2 Vì c 0 Cịn cf  x1  1  c f  x2  tung độ điểm B nằm dây trương cung A1A2 (đoạn thẳng A1A2 ) Vậy hàm lõm (a, b) điểm Ao nằm điểm B hay cung A1A2 nằm dây trương cung A1A2 A1A2  x2  x1,f  x2   f  x1   x2  x1, y2  y1 A1  x1, y1  parametric equation of line segment A  1A2 : x x    x2  x1 t  x  x1  y  y1 y y1   y2  y1 t x2  x1 y2  y1   y2  y1 x  x1  y2  y1 y  x2  x1  y1  x2  x1  x  y2  y1  y  x2  x1  x2y1  x1y2 0 1 B  xo, yB  , B  A1A2 xo cx1  1  c x2 voi c   0,1 The xo vào 1 :  cx1  x2  cx2   y2  y1  x2y1  x1y2 yB  x2  x1  cx1y2  x2y2  cx2y2  cx1y1  x2y1  cx2y1  x2y1  x1y2 yB  x2  x1   x1  cy2  cy1  y2   x2  cy2  cy1  y2  yB  x2  x1  yB cy1  1  c y2 Parametric equation: pt tham số line segment: đoạn thẳng Hàm gọi lồi (a, b) f  cx1  1  c x2  cf  x1  1  c f  x2  Nói cách khác hàm f(x) lồi hàm – f(x) lõm Định lí dấu hiệu lồi, lõm: Cho f(x) khả vi đến cấp (a, b) Khi hàm số lõm (a, b)  f ''  x 0 tren  a, b Ki hieu : x cx1  1  c x2 voi c   0,1 y f  x  y1 f  x1 y2 f  x2  Khi ay f  cx1  1  c x2  cf  x1  1  c f  x2   y cy1  y2 1  c 1  y  y1  y  y2  x  x1 cx1  1  c x2  x1  x2  x1 1  c  x  x1 x  x2    x  x2 cx1  1  c x2  x2 c x1  x2    y  y1  x  y  y2  c  x2   c  1 c x1  x2   y  y1  c  1  y  y2    cy1 y2  y  cy2  y cy1  y2 1  c ta có lai 1 f  x  f  x1 f  x  f  x2  x  x1 x  x2 Cho x  x1  lim f  x  f  x1 f '  x1 f  x1  f  x2  x x1 x  x1 x1  x2 Cho x  x2  lim f  x  f  x2  f '  x2  f  x1  f  x2  x x2 x  x2 x1  x2  f '  x1 f  x1  f  x2  x f '  x2  x2   x1  x2   f '  x  dong bien  f ''  x  0 f  x loi neu f ''  x  0 Ngược lại, cho f ''  x 0 tren  a, b Lay x  x1, x2  theo định lí Larrange ta có: f  x  f  x1 x  x f '  c1 f  x  f  x2  x  x f '  c2  Voi x1  c1  x  c2  x2 Vì f ''  x  0 nen f '  x  dong bien  f '  c1 f '  c2  * Cho f hàm số xác định liên tục [a, b] and f ''   a, b hàm số f lồi [a, b] set  dat : g  t  t.f  a   1  t  f  b  f  t.a  1  t  b muốn cm f lồi đoạn [a, b], ta cm f(x) thỏa bdt lồi, nghĩa cm: g  t  0 voi moi t  0,1 , từ biểu thức định nghĩa, ta có: g'  t f  a   f  b   a  b f '  t.a  1  t b theo cong thuc Larrange,ton tai c to.a  1  to  b, to   0,1 cho a  c  b and f  a   f  b  a  b f '  c the giá tri cua f  a   f  b vào bieu thuc cua g'  t  , ta dc: g'  t  a  b   to.a  1  to  b  f '  t.a  1  t b  theo gia thiet: f ''   f ' tang, a  b  and t.a  1  t  b t. a  b  b  to. a  b  b t to, ta có g'  t  g'  to  0 if t to, g'  t  g'  to  0 if t to  g  t tang  0, to  and giam  to,1 , because g  0 g 1 0  g  t  with t  0,1 Điểm uốn: điểm M  xo ,f  xo   gọi điểm uốn phân cách cung lồi cung lõm đường cong f(x) Định lí: Cho hàm f(x) có đạo hàm f ''  x  lân cận điểm xo , qua xo đạo hàm cấp f ''  x đổi dấu điểm M  xo ,f  xo   điểm uốn * Các bdt lồi: * Bdt Jensen: Cho f hàm so loi D  a, b , with x1, x2, xn  D and a1,a2, an  0,1 n n n cho  ak 1, ta có : f   ak.xk    ak.f  xk  k 1  k1  k1 Cm : with n 2, la dn tính loi cua f , bay gio ta se quy nap theo n : n n gia su bdt dung voi so nguyen n  : f   ak.xk    ak.f  xk   k1  k1 ta cm cung dung voi n 1: lay x1, x2, xn, xn1  D and a1,a2, an ,an1  0,1 n 1 cho  ak 1 gia su ai, i 1, n ko dong thoi 0, dat  set  : k 1 c  n ak 1  an1   an1 1  c, and y 1 n ak.xk k 1 c k1 dùng dn hàm loi, ta có:  n1  f   ak.xk  f  c.y  1  c xn1   k1   c.f  y  1  c f  xn1 c.f  y  an1.f  xn1 dùng gia thiet quy nap, ta dc: f  y f      n ak.xk  n ak.f  xk   k1 cc  k1  n1  n1  f   ak.xk    ak.f  xk   k1  k1 */ BDT số trung bình: Cho 0; i 1, n set : A 1 n ak ,  n n B  ak  : B A n k1    k1  Cm : Xét hàm f  x   ln x, x  1,  , f ''  x   1x2   f  x  loi n dó có the dùng bdt Jensen dc, with  bk 1, bi  0,1 , i 1, n k 1 n n n  nb   ln   bk.ak    bk.  ln ak     bk.ak   akk ,  k1  k1  k1  k1 bi 1 , i 1, n so: n ak  n ak  n n k1  k1   * BDT Holder: Cho p  1, q  cho  1 : pq n  nb Cho x  0, y  0, use BDT   bk.ak  akk  k1  k1 with n 2, a1 xp, a2 yq , b1 1 , b2 1 , ta dc: x.y xp  yqpq pq BDT van dung x or y=0 Put: a  n xk p  p , b  n yk q  q     with a.b 0  k1   k1  x  xk , y  yk , x.y xp  yq  xk.yk 1 xk p  yk q , k 1, n a b pq ab p ap q bq  n xk.yk  p n xk p  q n yk q ab k1 p.a k1 q.b k1  p.ap ap  q.bq bq 1p  1q 1  n xk.yk ab  n xk p  p  n yk q  q k 1     k1   k1  p q 2, bdt tren dc goi bdt Cauchy-schwartz:  x1.y1  x2.y2   x12  y12   x22  y22  ta cung có : n xk  yk p n   xk xk  yk p n   yk xk  yk p k 1 k 1 k 1 p 1, q 1  p * BDT Minkowski:  n xk  yk p  p  n xk p  p   n yk p  p  k1   k1   k1  4/ Đường tiệm cận: 1/ Đường thẳng x  a gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f(x) thỏa điều kiện: lim x a f  x  lim x a f  x   2/ Đường thẳng y  b gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f(x) thỏa điều kiện: x  lim f  x b x   lim f  x  b 3/ Đường thẳng y  ax + b gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f(x) lim  f  x  ax  b 0 x  Cách tìm hệ số a, b đường tiệm cận xiên y  ax + b lim  f  x  ax  b 0  lim  f  x  ax   lim   f  x   ax  b  b 0  b x  x  x  lim f  x  lim  f  x  ax  b  b  a  a x  x x  x x * Cách tìm tiệm cận số hàm số: 5/ Pt tham số đường cong: 1/ Elip: x  1 Vì tổng bình phương y2 x , y 1, nên coi chúng cost a2 b2 ab sint: xa cos t yb sin t t  0, 2 Vay ta có pt tham so cua elip : x a cos t, y bsin t 2/ Xicloit quỹ đạo điểm M nằm đường trịn bán kính a vịng trịn lăn ko trượt đường thẳng d Pt tham số xicloit: x a  t  sin t  y a 1  cos t  3/ Epixicloit (ngoại xicloit) hypoxicloit (nội xicloit): Cho vòng tròn (C) lăn ko trượt bề mặt vòng tròn khác Quỹ tích điểm vịng trịn (C) gọi epixicloit (ngoại xicloit) Trong trường hợp vòng tròn (C) lăn theo bề mặt trong, quỹ tích gọi hypoxicloit (nội xicloit) Cho vịng trịn cố định có tâm tại gốc tọa độ O bán kính a, vịng trịn (C) lăn ngược chiều kim đồng hồ có bán kính m.a Pt tham so cua epixicloit: x a  1  m cos mt  m.cos  1  m t   y a  1  m sin mt  m.sin  1  m t   Pt tham so cua hypoxicloit: x a  1  m cos mt  m.cos  1  m t   y a  1  m sin mt  m.sin  1  m t   Các pt tham số hypoxicloit nhận từ pt epixicloit cách thay m – m 6/ Điểm kì dị, điểm lùi: Định nghĩa: Điểm M  xo , yo  xo x  to  yo y  t0  đường cong (C) gọi điểm kì dị nếu: x'  to  0, y'  to  0 Xét điểm M  xo , yo  xo x  to  yo y  t0  có tính chất x'  t  liên tục lân cận to x'  to  0  lân cận to hàm x(t) đơn điệu chặt nên tồn hàm ngược t a  x Thay vào biểu thức y ta y hàm số x: y y a  x  Như lân cận to , hàm y biểu diễn tường minh qua x Tương tự trường hợp y'  to  0 ta có hàm tuong minh x x  b  y  Như có trường hợp x'  to  0, y'  to  0 đường cong (C) ko thể có pt tường minh Tính chất tiếp tuyến: Giả sử x'  to  0 tiếp tuyến với C A  xo , yo  có hệ số góc: ' y'  to  ' k y x  A  ' Neu y  to  0 tiếp tuyến song song Ox x  to  ' ' ' x'  to  ' Neu x  to  0 mà y  to  0 ta có : x y  A  ' 0, y x  A  y  to  tiếp tuyến song song Oy Tiếp tuyến điểm kì dị M  xo , yo  xo x  to  yo y  t0  x''  to  0 or y''  to  0 Qua điểm M  xo , yo  N  x  t  , y  t   cùa đường cong (C) ta có cát tuyến với pt: x  xo x  t   x  y  yo x o y  t   yo o x  to  yo y  to  Theo cong thuc Taylor, ta có: x  t xo  x'o  t  to   x 2!  x  t   xo  ''o  t  to  x''o  t  to  2!  Vì x'o 0 y t yo  y'o  t  to   y 2!  y  t   yo  ''o  t  to  y''o  t  to  2!  Vì y'o 0  pt tiep tuyen tai M : x  xo  y  yo x''  to  y''  to  Vì tiếp tuyến M vị trí tới hạn cát tuyến MN N  M  t  to  Điểm lùi: Giả sử x''  to   , hàm số x  x(t) có cực tiểu to  x  t   x  to  xo lân cận to Điều mặt hình học có ý nghĩa: chia đường cong (C) thành nhánh ứng với C1 : t  to C2 : t  to nhánh gặp t to có chung tiếp tuyến Vì x  t  x  to  voi t  to t  to nên cà nhánh nằm bên phải đường thẳng x xo Khi điểm M  xo , yo  gọi điểm lùi đường cong (C) 7/ Khảo sát đường cong tọa độ cực: Trong mặt phẳng chọn điểm O cố định gọi cực tia Ox gọi tia cực Vị trí điểm M mặt phẳng hồn tồn xác định đại lượng: r OM   Ox,OM Trong đó: r bán kính vector, φ góc cực điểm M φ góc định hướng có chiều dương ngược với chiều quay kim đồng hồ Cặp (r, φ) gọi tọa độ cực điểm M Để biểu diễn tất điểm mặt phẳng cần hạn chế: r 0,  2 Công thức đổi từ hệ tọa độ Decaster Oxy sang tọa độ cực: x r cos  y r sin  r  x2  y2 tg  y Ta chọn φ cho sinφ dấu với y x VD: điểm M tọa độ Descarter là: x 1 , y  2  2  2   Vay :r       1, tg   1  ,2    2   Ta chon   sin   dau voi y      Vay M 1,   3 Hệ tọa độ cực mở rộng: Cho M(r, φ), với r, φ ko bị hạn chế mà lấy giá trị Khi ta có tọa độ cực mở rộng Như điểm có nhiều tọa độ cực khác  4  4 VD : Cho M   1,  tia Ou (kéo dài) tạo với Ox góc   , lấy điểm M có   3 OM  M phải ngược hướng với Ou Đổi sang tọa độ Descarter: x  1.cos 4 1 y  1.sin 4  32 32  4      5  Điểm M có nhiều cách biểu diễn tọa độ cực mở rộng:   1,  , 1,  , 1,     3   VD1: lập pt đường trịn bán kính a qua cực O có tâm trục cực: Cách 1: Cho tâm điểm I(a, 0) đường kính OA qua I M thuộc đường tròn với  Ox,OM  xét tam giác vuong OMI r OM OA.cos  2a.cos  Cách 2: tọa độ Descarter đường trịn có pt:  x  a   y2 a2 Thế x r cos  y r sin  vào pt ta duoc : r 2a.cos  VD2: Cm đường r a sin   a  0 pt đường trịn bán kính a Voi r 0 ta có : r a sin   r2 ar sin  22 22  a 2  a 2 The r x  y , y r sin  ta duoc :x  y ay  x   y      2 2  a a duong trịn tâm  0,  bán kính  2 VD3: Lập pt đường conic (parabol, elip, hyperbol) tọa độ cực Cho trước đường chuẩn (L), tiêu cự F số e > (được gọi tâm sai) Khi đường conic quỹ tích tất điểm M cho: d  M, F d  M, L  d(M, (L)) khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn (L) d(M, F) khoảng cách từ điểm M đến tiêu cự F Nếu < e < ta có elip, e  1: ta có parabol, e > 1: ta có hyperbol Cho tiêu cự F trùng với cực O, đường chuẩn (L) cách cực O khoảng 2p tạo với trục cực góc α M(r, φ) điểm đường conic, r > 0, MF  MO  r 10 d  M, L  2p  r sin     Tu d  M, F d  M, L   r 2pe  resin      pt duong conic: r  2ep  esin     Ta xét trường hợp thường gặp: đường chuẩn vng góc trục cực:   Khi ay ta có pt : r  2ep  r e  r cos   2p  x2  y2 e  x  2p  e cos  Voi dk x  2p  x2  y2 e2  x2  4px  4p2  1 Neu e 1  parabol , ta duoc : y2 4p  x  p Đó pt parabol, tiêu cự trùng với gốc tọa độ đường chuẩn có pt x  – 2p Cho e   elip , ta dua 1 ve dang :  2e2p 2 y2 4e2p2  x    e2     e2 1  e2  Do elip voi bán truc : a  2ep , b  2ep , 1 e2 1 e2 c  2e2p b2 a2  c2 e c 1 e2 a đường chuẩn có pt x  – 2p 8/ Đối xứng tọa độ cực: 1/ Nếu thay (r, φ)  (r, π – φ) or (– r, – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi đồ thị đối xứng qua đường   x r cos   r cos       r cos     y r sin  r sin      r sin    2/ Nếu thay (r, φ)  (r, – φ) or (– r, π – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi đồ thị đối xứng qua trục cực x r cos  r cos     r cos     y r sin   r sin       r sin      3/ Nếu thay (r, φ)  (– r, φ) or (r, π + φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi đồ thị đối xứng qua cực O x r cos    r cos     r cos    y r sin     r sin      r sin      4/ Nếu r  f(sinφ) or r hàm lẻ theo φ đồ thị đối xứng qua đường   11 x r cos   r cos       r cos     y r sin  r sin      r sin    x r cos  f  sin  cos     f  sin     cos      f  sin      cos     y r sin  f  sin  sin   f  sin     sin    f  sin      sin     Voi dk f hàm le theo , f  sin      f  sin  5/ Nếu r  f(cosφ) or r hàm chẵn theo φ đồ thị đối xứng qua trục cực x r cos  r cos     r cos     y r sin   r sin       r sin      x r cos  f  cos  cos  f  cos     cos     f  cos     cos     y r sin  f  cos  sin   f  cos     sin       f  cos      sin      9/ Tiếp tuyến đường cong tọa độ cực:  Gọi a góc bán kính vector OM với tiếp tuyến M(r, φ) b góc tiếp tuyến M với Ox, tiếp tuyến M cắt Ox C, OMC góc MCO góc ngồi tam giác  góc MCO góc COM  góc OMC  b a    a b    tg a tg  b    tgb  tg 1  tgb.tg Đường cong r  f(φ) viết dạng tham số sau: x r   cos  y r   sin   he so goc : y' y' x tgb   r' sin   r cos  x' r' cos   r sin  r'  drd Thế vào (1) ta được: tga r'r Tiệm cận: coi φ tham số đưa đường cong dạng tham số: x r   cos   y r   sin  VD : r  a Dua ve tham so : x a.cos  , y a.sin     Khi   x  , y  nên y 1 tiem can ngang 10/ Vi phân cung: Chia cung A B thành n phần điểm: A Mo , M1, M2, Mn B ứng với giá trị: to  t1  t2  tn Gọi p độ dài đường gấp khúc: p MoM1  M1M2  Mn 1Mn Đường gấp khúc gọi đường gấp khúc nội tiếp cung A B Độ dài cung A B cận độ dài đường gấp khúc nội tiếp cung A B S  Sup(p) Giả thiết tồn đạo hàm liên tục x'  t  , y'  t  Khi ta có: 12 p    n x  tk1  x  tk     y  tk1   y  tk   k0 theo dinh lí Larrange, ta có : x  tk1  x  tk  x'  ck   tk1  tk  y  tk1   y  tk  y'  dk   tk1  tk   p  n  x'  ck     y'  dk    tk1  tk  k0   Kí hiệu m1 giá trị nhỏ x'  t  , M1 giá trị lớn x'  t  m2 giá trị nhỏ y'  t  , M2 giá trị lớn y'  t   m2  m22  tn  to  p  M12  M22  tn  to   m2  m22  tn  to  S  M12  M22  tn  to  1 Kí hiệu M(t) điểm cung A B ứng với giá trị t, S(t)  độ dài cung A M  t  Xét cung M t  M  t  t  voi dài S Theo 1 ta có : m12  m22 t S  M12  M22 t m1, m2 , M1, M2 giá trị nhỏ lớn x'  t  , y'  t  doan  t, t  t vay : m12  m22 S t  M12  M22 Cho t  0, x'  t  , y'  t  lien tuc, nên m1  x'  t  , M1  x'  t  , m2  y'  t , M2  y'  t   S'  t   lim S  x'  t   y'  t  t t vay : dS  x'  t   y'  t  hay dS2 dx2  dy2 11/ Độ cong: a/ định nghĩa: đường cong (C) lấy điểm cố định I gọi gốc hoành độ cong chọn hướng tính độ dài cung (1 hướng độ dài cung dương hướng độ dài cung âm) Cho A, B điểm (C) Kí hiệu  góc tiếp tuyến dương A B, ∆s độ dài cung AB Khi tỉ số  s gọi độ cong trung bình cung A B VD1: Với (C) đường thẳng độ cong trung bình đoạn AB  (vì  0) VD2: Cho (C) – đường trịn bán kính R Góc tiếp tuyến dương A B   AOB  s R.  Ctb   s R Vậy độ cong trung bình cung phụ thuộc bán kính 13 Định nghĩa: độ cong đường cong (C) điểm A giới hạn độ cong trung bình cung A B B tiến tới A (A, B thuộc (C)) C  lim  s s Công thức tính độ cong: gọi góc hướng dương trục Ox với tiếp tuyến dương A  , B    , ta có:   (góc ngồi tam giác)  C  lim   d s s d a/ Trong tọa độ Descarter: Cho đường (C) có pt y  f(x) ay : tg y'x   arctgy'x   d '.dx  d dx '  arctgy'x '  y'' '2 1y  ds  1  y'x  dx  dxds  '2 1 y x   d d dx  y''  y'' y''  C ds dx ds   y' 2 1  y'   ' 2  23 1 y    ' 22 1y       b/ Đường cong tham số: Cho (C) có pt tham số: x x  t , y y  t   y'x  y't ,     ''x'  x''y'  x't y''x  y   x't   d d dx  y''t   ''x'  x''y'  ds dx ds   y't     y 1  y'x 2   x't  1    y'x  2      x't  3 1   y'x  2    x't    y't  2   x't.y'x y't      C y''x'  x''y' 2   x't    y't  2  2 c/ Trong tọa độ cực: Cho (C) có pt tọa độ cực r  r(φ) Ta coi (C) có pt tham số sau: x r   cos , y r   sin  Lấy đạo hàm thay vào (2), ta có: 14 r2  2 r'   r.r'' C  r2   r'  2  2 VD : Tìm cong cua Xicloit x a  t  sin t , y a 1  cos t  tai diem bat kì : x't a 1 cos t  , x''t a 1  sin t  , y't a 1  sin t  , y''t a 1  cos t  y''t.x't a2 1  cos2 t , y't.x''t a2 1  sin2 t ,  y''x'  x''y' a2  sin2 t  cos2 t a2  x't    y't  a2  1 cos t2  1 sin t 2  a2   sin2 t  cos2 t  2cos t  2sin t y''x'  x''y'  C   32 12  ' '  2 a 1  cos t xt yt    * Giải pt f(x)  phương pháp Newton: * định lí giá trị trung gian: Cho f(x) hàm số xác định, liên tục khoảng I:  [a, b], cho a  b f(a).f(b)  Khi tồn điểm c  (a, b) cho f(c)  suppose that f  a  f  b   f  a  trái dau voi f  b and gia thiet f  a    if f  a   thi thay f boi  f  set co a and b, theo gia thiet f  co   and f    0, set uo co  , if f  uo  0 thi c uo, if f  uo   thi dat c1 uo, d1 do, if f  uo   thi dat c1 co and d1 uo 15 Consider  c1,d1 we have f  c1 f  d1  0, therefore continuos putting u1 c1  d1 and continuos this progress with this putting we have f  cn   and f  dn   continuos putting un cn  dn If f  un  0  c un is the solution of equation f  x  0 If f  un   so putting cn1 un and dn1 dn If f  un   so putting cn1 cn and dn1 un Bây ta giả sử q trình ko kết thúc Khi ta có dãy số  cn and  dn dãy hội tụ có chung giới hạn c Vi f  cn   nen theo gia thiet lien tuc cua f  x  lim f  cn  f  lim cn  f  c 0 lim f  dn  f  lim dn  f  c 0  f  c 0 Thủ tục chọn điểm un gọi thủ tục phân đôi Giả sử hàm số f(x) xác định, liên tục [a, b], khả vi (a, b), f(a).f(b)  and f '  x  ko đổi dấu (a, b) Ta lấy điểm xo tùy ý, xo   a, b với giả thiết khai triển Taylor hàm số f(x) xo có: f  x f  xo    x  xo  f '  xo   12  x  xo  f ''  d with d o giua xo and x the f  x  vào pt f  x  0, dc: f  xo    x  xo  f '  xo   12  x  xo  f ''  d 0 ta xây dung thu tuc tim day  xn hoi tu den ngiem c bang cách bo qa so hang bình phuong ta dc: f  xo    x  xo  f '  xo  0 goi x1 ngiem, ta có:x1 xo  f 'f  xo   xo   xn xn  f 'f  xn 1  xn 1 with xo chon truoc xo   a, b c a,b Cho xn hoi tu den c  lim xn lim xn c  lim xn lim xn  lim f 'f  xn 1  xn 1   f 'f  lim xn 1  lim x  n 1 f 'f  c c 0  f  c 0 vi f '  c 0 16 * Hệ quả: Cho f(x) hàm số xác định liên tục đoạn [a, b] Khi f(x) lấy lần giá trị nằm f(a) f(b) Cm: giả sử f(a)  t  f(b) tồn điểm c: a  c  b cho f(c)  t Đặt g(x)  f(x) – t, g(a)  f(a) – t  and g(b)  f(b) – t  0, theo định lí trên, tồn g(c) cho g(c)   f(c) – t  * Định lí Weiertrass: Cho f(x) hàm số xác định, liên tục đoạn [a, b], tập J  {f(x) / f(x) / x  [a, b]} giới nội and tồn điểm c, d  [a, b] cho f(d)  sup f(x) and f(c)  inf f(x), x  [a, b] hàm số liên tục f(x) khoảng đóng giới nội đạt cận cận Khi thay viết sup f(x) and inf f(x), ta viết max f(x) and f(x) Ta cm J  {f(x) / f(x) / x  [a, b]} giới nội Giả sử J ko giới nội có cận +∞ (khi có cận –∞ thay f –f) tìm xN  [a, b] cho f(xN)  N, xét dãy {f(x) / xN}, xN  [a, b]  dãy {f(x) / xN} bị chặn, theo định lí Bolzano – Weiertrass, tìm dãy xNk hội tụ tới điểm c  [a, b], theo giả thiết f(x) liên tục [a, b]  f  lim xNk  lim f  xNk  , becausef  xNk  Nk and day  Nk dan toi   Điều mâu thuẫn với giả thiết f(x) xác định [a, b] So biểu diễn J  (m, M) with m  inf f(x), M  sup f(x) Tiếp theo, ta cm tồn c, d  [a, b] cho f(c)  m and f(d)  M (chỉ cần cm tồn giá trị đó) Vì M  sup f(x), x  [a, b], nên theo định nghĩa với ε  bé tùy ý, ln tìm u  [a, b] cho  M – f(u)  ε with n nguyen duong, luon ton tai un  a, b cho  M  f  un   1n day  un , un  a, b day gioi noi  có the trích day unk hoi tu   M  f  unk   1n  M lim f k  unk  nk    d lim unk Do tồn d  [a, b] cho f(d)  M       17 18 ...  4px  4p2  1 Neu e 1  parabol , ta duoc : y2 4p  x  p Đó pt parabol, tiêu cự trùng với gốc tọa độ đường chuẩn có pt x  – 2p Cho e   elip , ta dua 1 ve dang :  2e2p 2 y2 4e2p2...  4? ??  4? ?? VD : Cho M   1,  tia Ou (kéo dài) tạo với Ox góc   , lấy điểm M có   3 OM  M phải ngược hướng với Ou Đổi sang tọa độ Descarter: x  1.cos 4? ??... thị đối xứng qua cực O x r cos    r cos     r cos    y r sin     r sin      r sin      4/ Nếu r  f(sinφ) or r hàm lẻ theo φ đồ thị đối xứng qua đường