bai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

bai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNHbai giang ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI KHOA CƠNG TRÌNH BỘ MƠN KẾT CẤU *** ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH Nguyễn Trung Kiên HÀ NỘI 01-2012 Mục lục Khái niệm 1.1 Khái niệm động lực học cơng trình 1.2 Tải trọng động 1.2.1 Tải trọng có chu kỳ 1.2.2 Tải trọng khơng có chu kỳ 1.3 Bậc tự hệ dao động 1.4 Phân loại dao động 1.5 Phương pháp lập phương trình vi phân dao động 1.5.1 Phương pháp trực tiếp 1.5.2 Phương pháp công 1.5.3 Phương pháp lượng-Nguyên lý Hamilton 1.6 Mơ hình hóa toán động lực học 1.6.1 Phương pháp khối lượng tập trung 1.6.2 Phương pháp chuyển vị tổng quát (phương pháp RayleighRitz) 1.6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn Dao động hệ bậc tự 2.1 Mơ hình hệ dao động bậc tự 2.2 Phương trình vi phân dao động tổng quát 2.3 Phương pháp giải phương trình vi phân dao động 2.3.1 Phương pháp cổ điển 2.3.2 Tích phân Duhamel 2.3.3 Phương pháp biến đổi Fourier 2.3.4 Phương pháp số 2.4 Dao động tự hệ bậc tự 2.4.1 Dao động tự không lực cản i 1 2 3 5 7 9 13 13 14 15 15 15 16 16 16 17 2.5 2.6 2.4.2 Dao động tự có lực cản 2.4.3 Độ suy giảm logarithme Dao động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng Dao động cưỡng hệ bậc tự 2.6.1 Trường hợp khơng có lực cản 2.6.2 Trường hợp có lực cản xung Dao động hệ hữu hạn bậc tự 3.1 Mơ hình hệ hữu hạn bậc tự 3.2 Phương trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự 3.3 Dao động tự hệ hữu hạn bậc tự 3.3.1 Ý nghĩa vật lý tần số dao động riêng dạng dao động riêng 3.3.2 Tần số dao động riêng 3.3.3 Dạng dao động riêng 3.3.4 Tính chất trực giao dạng dao động 3.3.5 Chuẩn hóa dạng dao động 3.3.6 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động 3.3.7 Phương trình dao động 3.4 Dao động cưỡng hệ hữu hạn bậc tự Hệ vô hạn bậc tự - Dao động thẳng 4.1 Phương trình vi phân dao động 4.2 Dao động tự thẳng 4.2.1 Phương trình dao động tự 4.2.2 Tính chất trực giao dạng dao động riêng 4.3 Dao động tự thẳng có khối lượng phân bố tiết diện không đổi 4.4 Dao động cưỡng thẳng có khối lượng phân bố tiết diện không đổi 4.5 Dao động cưỡng thẳng chịu tải trọng Khai triển theo dạng dao động Dao động hệ phức tạp 5.1 Phương pháp chuyển vị tính dao động khung 5.1.1 Dao động cưỡng 5.1.2 Dao động riêng 5.2 Phương pháp gần tính dao động khung 21 25 27 28 29 35 43 43 44 46 46 49 51 54 56 57 58 61 65 65 66 66 68 69 76 78 81 81 81 83 88 5.3 5.4 Phương pháp chuyển vị tính dao động dầm liên tục 89 Dao động dàn 91 Phương pháp tích phân theo thời gian phân toán động lực học 6.1 Hệ tuyến tính bậc tự 6.1.1 Phương pháp sai phân tâm 6.1.2 Phương pháp Newmark 6.2 Hệ phi tuyến bậc tự 6.2.1 Phương trình cân động dạng gia số 6.2.2 Phương pháp Newmark 6.2.3 Giảm sai số thuật toán Newton-Raphson 6.3 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự 6.3.1 Phương pháp sai phân tâm 6.3.2 Phương pháp Newmark 6.3.3 Phương pháp Wilson 6.3.4 Phương pháp HHT 6.4 Hệ phi tuyến nhiều bậc tự 6.4.1 Phương trình cân động dạng gia số 6.4.2 Phương pháp Newmark tích 93 93 94 97 104 104 106 109 113 113 114 115 118 119 119 119 Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Tải trọng điều hòa Tải trọng có chu kỳ Tải trọng tác dụng thời gian ngắn-Tải trọng xung Tải trọng dài hạn Hệ có khối lượng tập trung: (a) hệ bậc tự do, (b) hệ bậc tự do, (c) hệ bốn bậc tự Mơ hình khối lượng tập trung Mơ hình Rayleigh-Ritz Mơ hình phần tử hữu hạn hai 2 3 10 2.1 Mơ hình hệ dao động bậc tự (a), Các lực tác dụng lên khối lượng (b) 2.2 Các thành phần dao động điều hòa: (a) thành phần phụ thuộc vào u(0), (b) thành phần phụ thuộc vào u(0), (c) dao động điều hòa: tổng (a) (b) 2.3 Biểu diễn dao động điều hòa véc tơ quay 2.4 Ví dụ hệ bậc tự 2.5 Dao động hệ có lực cản, trường hợp tham số tắt dần ξ 2.8 Xác định tham số tắt dần ξ 2.9 Tải trọng xung (a), dao động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng xung không xét đến lực cản (b) 2.10 Sự phụ thuộc biên độ dao động điều hòa vào tần số tải trọng tác động ω 2.11 Sự thay đổi hệ số động Rd góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω v 13 18 19 20 23 23 25 26 27 30 32 2.12 Ví dụ hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa 2.13 Ví dụ xác định biểu đồ moment uốn động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa 2.14 Sự thay đổi hệ số động Rt theo thời gian xẩy tượng cộng hưởng 2.15 Dao động điều hòa xét đến lực cản 2.16 Biên độ trạng thái dao động ổn định 2.17 Sự thay đổi hệ số động Rd góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω tham số tắt dần ξ 2.18 Sự thay đổi hệ số động Rt theo tham số tắt dần ξ β = 33 34 35 36 37 39 41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Mơ hình hệ dao động hữu hạn bậc tự Lực tác dụng lên khối lượng Chuyển động hệ với điều kiện ban đầu Dạng dao động thứ hệ Dạng dao động thứ hai hệ Kết cấu nhà hai tầng, khối lượng tập trung hai sàn Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai 3.8 Hệ dao động hai bậc tự 3.9 Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai 3.10 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động 3.11 Hệ dao động hai bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 44 44 47 47 48 50 52 53 54 58 62 Quy luật đạo hàm Akx , Bkx , Ckx Dkx 72 Dầm đầu ngàm đầu tự (a), dạng dao động thứ (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) 74 Dầm hai đầu khớp (a), dạng dao động thứ (b), dạng dao động thứ hai (c), dạng dao động thứ ba (d) 75 Khung chịu tác dụng tải trọng động (a), Hệ (b) Biểu đồ moment uốn động khung Khung có khối lượng phân bố (a), Khung có khối lượng tập trung (b) Dầm liên tục (a), Dạng dao động đối xứng dầm liên tục (b) Dàn có khối lượng tập trung nút dàn (a), Chuyển khối lượng đường biên có xe chạy (b) 84 88 88 90 92 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 Phương pháp sai phân tâm Trụ cầu chịu tác dụng tải trọng động (a), Tải trọng động (b) So sánh nghiệm xác nghiệm tính theo phương pháp sai phân tâm với bước thời gian khác Phương pháp gia tốc trung bình (a), Phương pháp gia tốc tuyến tính (b) So sánh nghiệm xác với nghiệm tính theo phương pháp gia tốc tuyến tính gia tốc trung bình Hệ bậc tự (a), Tải trọng động (b), Độ cứng phi tuyến (c), Lực cản phi tuyến (d) Quan hệ lực-chuyển vị Thuật toán Newton-Raphson (a), Thuật toán Newton-Raphson cải tiến (b) Phương pháp Wilson 94 97 98 101 104 105 109 110 116 Ký hiệu dùng giảng • Các ký hiệu chung u u˙ uă m k c T f chuyn vị hệ, vận tốc hệ, gia tốc hệ, khối lượng hệ, độ cứng hệ, hệ số cản nhớt, tần số lực cưỡng bức, tần số dao động riêng, chu kỳ dao động, tần số riêng, góc pha, • Ký hiệu chương u Pi (u) Pe (u) A(u) T V Wnc chuyển vị khả dĩ, công nội lực, công ngoại lực, cơng lực qn tính, động hệ, hệ, công lực khơng bảo tồn, ix Hình 3.6: Kết cấu nhà hai tầng, khối lượng tập trung hai sàn n bậc tự hệ Phương trình có n nghiệm thực, dương ωj2 ma trận khối lượng M ma trận độ cứng K ma trận xác định dương n nghiệm phương trình xác định n tần số dao động riêng ωj (j = 1, 2, n) hệ Khi biết tần số dao động riêng ωj , ta giải phương trình (3.19) để tìm dạng dao động riêng tương ứng φj Trong lý thuyết đại số tuyến tính, cặp véc tơ (ωj2 , φj ) gọi giá trị riêng véc tơ riêng toán giá trị riêng ma trận Như vậy, hệ dao động n bậc tự có n tần số riêng ωj (j = 1, 2, n) xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn (ω1 < ω2 < < ωn ) tương ứng với chu kỳ dao động riêng Ti dạng dao động riêng φj Thuật ngữ "riêng" dùng nhằm nhấn mạnh tính chất riêng hệ dao động, phụ thuộc vào khối lượng độ cứng hệ Ví dụ 3.1: Xác định tần số dao động riêng kết cấu hình 3.6 biết khối lượng tầng m = 20000kg, độ cứng ngang tổng cộng tầng k = 18 × 106 N/m Lời giải: Hệ có bậc tự do, ma trận khối lượng có dạng sau: M = 20 × 103 10 kg 01 Ma trận độ cứng: K=k −1 −1 = 18 × 106 N/m −1 −1 Các tần số dao động riêng xác định từ phương trình đặc trưng: det K − ω M = 36 × 106 − (20 × 103 )ω −1 =0 −1 18 × 106 − (20 × 103 )ω Đặt x = ω /900, ta có phương trình bậc hai x: x2 − 3x + = Hai nghiệm phương trình là: x1 = 0, 38197 x2 = 2, 61803 Ta tính tần số riêng: ω1 = 18, 54rad/s 3.3.3 ω2 = 48, 54rad/s Dạng dao động riêng Thay giá trị ωj vào phương trình (3.19) ta có: K − ωj2 M φj = (3.21) φj dạng dao động riêng ứng với tần số riêng ωj Do det K − ωj2 M = 0, ta xác định phần tử véc tơ φj Tuy nhiên, dạng tổng quát ứng với tần số xác định cách biểu thị chuyển vị theo chuyển vị chọn làm chuẩn Ta giả định phần tử φ1j hay phần tử cuối φnj véc tơ φj có giá trị Như ta xác định tất phần tử khác φij , (i = 2, 3, , n) (j = 1, 2, , n) Các phần tử véc tơ φj dạng dao động thứ j gọi φij , tương ứng với chuyển vị thứ i n bậc tự dạng dao động thứ j Việc sử dụng hai số cho phép xác định dạng dao động chuyển vị bậc tự Cách ký hiệu rõ ràng xếp véc tơ φj vào ma trận Φ chứa véc tơ riêng   φ11 φ12 φ1n  φ21 φ22 φ2n    Φ =     φn1 φn2 φnn cột thứ j biểu diễn dạng dao động φj Ma trận Φ gọi ma trận dạng dao động Hình 3.7: Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Ví dụ 3.2: Xác định dạng dao động riêng kết cấu ví dụ 3.1 (hình 3.6) Lời giải: Thay tần số riêng thứ ω1 = 18, 54 vào (3.19) cho φ21 = 1, ta có: − 0, 38197 −1 φ11 =0 −1 − 0, 38197 Giải phương trình trên, ta tìm φ11 = 0, 61803 Tương tự, thay tần số riêng thứ hai ω2 = 48, 54 vào (3.19) cho φ22 = 1, ta có: − 2, 61803 −1 φ12 =0 −1 − 2, 61803 Giải phương trình ta có φ12 = −1, 61803 Dạng dao động kết cấu (hình 3.7): Φ = φ1 φ2 = 0, 61803 −1, 61803 1, 00000 1, 00000 Ví dụ 3.3: Xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng hệ hình 3.8 Biết độ cứng chống uốn hai EI, giả thiết bỏ qua biến dạng dọc trục Khối lượng hệ tập trung hai nút Hình 3.8: Hệ dao động hai bậc tự Lời giải: Hệ có hai bậc tự Ma trận khối lượng ma trận độ cứng1 M= 3m K= m 6EI 7L3 −3 −3 Ta đặt: x= 7mL3 ω 6EI phương trình đặc trưng có dạng: det K − ω M = mω − 3x −3 =0 −3 − x x hay viết dạng phương trình bậc hai x: 3x2 − 14x + = Hai nghiệm phương trình: x1 = 0, 5695 x2 = 4, 0972 Ta tính tần số riêng: ω1 = 0, 6987 EI mL3 ω2 = 1, 874 EI mL3 Để xác định hệ số ảnh hưởng độ cứng kij , ví dụ k11 k21 ta lập biểu thức tính chuyển vị theo phương bậc tự thứ bậc tự thứ hai "lực" chưa biết k11 k21 gây cho chuyển vị 0, ta thu phương trình để giải k11 k21 Hình 3.9: Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Thay tần số riêng thứ ω1 vào (3.19) cho φ11 = 1, ta có: − × 0, 5695 −3 −3 − 0, 5695 φ21 =0 Giải phương trình ta tìm φ21 = 2, 097 Tương tự, thay tần số riêng thứ hai ω2 vào (3.19) cho φ12 = 1, ta có: − × 4, 0972 −3 −3 − 4, 0972 φ22 =0 Giải phương trình ta có φ22 = −1, 431 Dạng dao động hệ (hình 3.9): Φ = φ1 φ2 = 3.3.4 1, 000 1, 000 2, 097 −1, 431 Tính chất trực giao dạng dao động Tính chất dạng dao động tính chất trực giao Xét hai tần số riêng phân biệt ωi , ωj dạng dao động tương ứng φi , φj Viết lại phương trình (3.18) với tần số ωi , ωj : Kφi = ωi2 Mφi (3.22) Kφj = ωj2 Mφj (3.23) Nhân trái phương trình (3.22) với φTj phương trình (3.23) với φTi , ta thu được: φTj Kφi = ωi2 φTj Mφi (3.24) φTi Kφj = ωj2 φTi Mφj (3.25) Chuyển trí véc tơ ma trận phương trình (3.25), ta có: φTj KT φi = ωj2 φTj MT φi (3.26) Do ma trận M K đối xứng nên M = MT , K = KT Điều dẫn đến: φTj Kφi = ωj2 φTj Mφi (3.27) Từ phương trình (3.24) (3.27), ta có đẳng thức sau: ωi2 φTj Mφi = ωj2 φTj Mφi (3.28) (ωj2 − ωi2 )φTj Mφi = (3.29) hay Với điều kiện ωj = ωi , ta có tính chất trực giao thứ nhất: φTj Mφi = 0, i=j (3.30) Thay phương trình (3.30) vào (3.27), ta có tính chất trực giao thứ hai: φTj Kφi = 0, i=j (3.31) Ý nghĩa tính chất trực giao: Cơng lực qn tính lực đàn hồi dạng dao động thứ j chuyển vị theo dạng dao động thứ i không Để chứng minh kết này, xét hệ dạng dao động thứ j với chuyển vị uj (t) = φj sin(ωj t − θj ) (3.32) Lực quán tính dng dao ng (fI )j = Mă uj (t) = −ω Mφj sin(ωj t − θj ) Giải thích trường hợp ωj = ωi (3.33) Xét chuyển vị hệ dạng dao động thứ i ui (t) = φi sin(ωi t − θi ) (3.34) Công lực quán tính dạng dao động thứ j chuyển vị dạng dao động thứ i: (fI )Tj ui = −ω φTj Mφi sin(ωi t − θi ) sin(ωj t − θj ) (3.35) Công khơng tính chất trực giao (3.30) Một cách tương tự, lực đàn hồi dạng dao động thứ j (fS )j = Kuj (t) = Kφj sin(ωj t − θj ) (3.36) Công lực đàn hồi dạng dao động thứ j chuyển vị dạng dao động thứ i: (fS )Tj ui = φTj Kφi sin(ωi t − θi ) sin(ωj t − θj ) (3.37) Dễ dàng thấy công không tính chất trực giao (3.31) Nếu M ma trận khối lượng bất kỳ, đối xứng, xác định dương ma trận xác định biểu thức: ˜ = ΦT MΦ M (3.38) ma trận đường chéo Các phần tử đường chéo tính theo cơng thức: m ˜ i = φTi Mφi (3.39) Tương tự ta có: ˜ = ΦT KΦ K (3.40) ˜ ma trận đường chéo có phần tử đường chéo: với K k˜i = φTi Kφi 3.3.5 (3.41) Chuẩn hóa dạng dao động Nếu véc tơ φ dạng dao động riêng hệ véc tơ tỉ lệ với φ dạng dao động riêng thỏa mãn phương trình (3.19) Người ta dùng hệ số tỉ lệ dạng dao động riêng để chuẩn hóa biên độ bậc tự Q trình gọi chuẩn hóa dạng dao động Trong tính tốn, thuận tiện chuẩn hóa dạng dao động cho khối lượng tổng quát đơn vị m ˜ i = với i = 1, 2, n Điều kiện trực giao biểu diễn sau: φTi Mφj = δij φTi Kφj = ωi2 δij (3.42) (3.43) với δij ký hiệu Kronecker Điều kiện trực giao viết dạng ma trận sau: ΦT MΦ = I ΦT KΦ = Ω (3.44) (3.45) I ma trận đơn vị bậc n Ω gọi ma trận phổ gồm n bình phương tần số riêng ωi2 3.3.6 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động Người ta dùng tập hợp n véc tơ độc lập làm sở để biểu diễn véc tơ bậc n Tương tự, dạng dao động riêng dùng để biểu diễn véc tơ chuyển vị Khai triển theo dạng dao động véc tơ chuyển vị u có dạng: n u= φi qi = Φq (3.46) i=1 đó: qi gọi tọa độ dạng dao động Đối với véc tơ chuyển vị u cho trước, biết φi , người ta đánh giá qi cách nhân hai vế (3.46) với φTj M n φTj Mu = (φTj Mφi )qi (3.47) i=1 Do tính chất trực giao, số hạng vế phải không ngoại trừ số hạng i = j Từ suy ra: (3.48) φTj Mu = φTj Mφj qj Cả hai vế phương trình đại lượng vơ hướng nên ta tìm qj theo biểu thức: φTj Mu φTj Mu qj = T (3.49) = m ˜j φj Mφj Hình 3.10: Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động Ví dụ 3.4: Xác định khai triển theo dạng dao động véc tơ chuyển vị u = [1 1]T hệ ví dụ 3.1 (hình 3.6) Lời giải: Thay véc tơ chuyển vị u vào biểu thức (3.49) với φ1 = [0, 618 1]T φ2 = [−1, 618 1]T ta có: m [0, 618 1] q1 = [0, 618 1] m m m 1 0, 618 = 1, 618m = 1, 17 1, 382m m q2 = m −1, 618 [−1, 618 1] m [−1, 618 1] m = −0, 618m = −0, 17 3, 618m Kết khai triển biểu diễn hình 3.10 3.3.7 Phương trình dao động Trong phần trình bầy cách tìm nghim ca (3.11) vi iu kin ban ă (t): u Từ (3.46) ta tính véc tơ gia tốc u ă (t) = ă u q(t) (3.50) ă (t) vo (3.11) ta cú: Thay u(t) v u Mă q(t) + KΦq(t) = (3.51) Nhân trái hai vế vi T thu c: q(t) + Kq(t) Mă =0 (3.52) Theo tính chất trực giao, phương trình cú th vit nh sau: m i qăi (t) + k˜i qi (t) = với i = 1, 2, n (3.53) Đây phương trình vi phân dao động mơ hình bậc tự dạng dao động thứ i Từ phương trình (3.22) ta biết Kφi = ωi2 Mφi , nhân trái hai vế với φTi ta có: φTi Kφi = ωi2 φTi Mφi (3.54) Từ ta tìm quan hệ k˜i m ˜ i: k˜i = ωi2 m ˜i (3.55) Thay (3.55) vào (3.53) chia hai vế cho m ˜ i , ta phương trỡnh: qăi (t) + i2 qi (t) = (3.56) Nghiệm (3.56) có dạng tương tự (2.19): qi (t) = qi (0) cos(ωi t) + q˙i (0) sin(ωi t) ωi (3.57) đó: qi (0) q˙i (0) xác định bởi: qi (0) = φTi Mu(0) m ˜i q˙i (0) = φTi Mu(0) ˙ m ˜i (3.58) ˙ với u(0) u(0) điều kiện ban đầu Thay (3.57) vào (3.46) ta phương trình dao động hệ: n u(t) = φi qi (0) cos(ωi t) + i=1 q˙i (0) sin(ωi t) ωi (3.59) Ví dụ 3.5: Viết phương trình dao động hệ ví dụ 3.3 biết thời điểm ban đầu t = hệ có điều kiện: u(0) = 0 ˙ u(0) = v Lời giải: Trong ví dụ 3, ta xác định tần số riêng: EI mL3 ω1 = 0, 6978 ω2 = 1, 874 EI mL3 dạng dao động riêng: φ1 = 1, 000 2, 097 φ2 = 1, 000 −1, 431 Ta xác định qi (0) q˙i (0) theo biểu thức (3.58) Do u(0) = [0 0]T nên qi (0) = q˙1 (0) = ˙ φT1 Mu(0) φT1 Mφ1 [1 2, 097] = [1 2, 097] q˙2 (0) = 3m m 3m m v 7, 194mv0 = 0, 973v0 = 7, 397m 2, 097 ˙ φT2 Mu(0) T φ2 Mφ2 v m = 3m [1 − 1, 431] m −1, 431 [1 − 1, 431] 3m = 0, 138mv0 = 0, 027v0 5, 048m Thay q˙1 (0) q˙2 (0) vào (3.59) ta có: u(t) = 0, 973v0 2, 097 0, 6978 mL3 0, 027v0 sin ω1 t + −1, 431 1, 874 EI hay viết gọn lại: u(t) = 1, 394 sin ω1 t + 0, 014 sin ω2 t 2, 924 sin ω1 t − 0, 021 sin ω2 t mL3 v0 EI mL3 sin ω2 t EI 3.4 Dao động cưỡng hệ hữu hạn bậc tự Phương trình vi phân dao ng ca h: Mă u(t) + Ku(t) = p(t) (3.60) ˙ Điều kiện ban đầu: u = u(0) u˙ = u(0) t = Nghiệm tổng quát phương trình (3.60) gồm nghiệm phương trình nghiệm riêng phương trình khơng Nghiệm ta biết cách xác định phần Trong mục ta nghiên cứu cách tìm nghiệm phương trình khơng Ta thực tương tự phương trình nhất, biến đổi phương trình vi phân dao động hệ tọa độ hình học thành phương trình vi phân dao động hệ tọa độ dạng dao động Bằng cách thay (3.46) vào phương trình (3.60), ta cú: Mă q(t) + Kq(t) = p(t) (3.61) Nhõn trỏi c hai v vi T thu c: T Mă q(t) + ΦT KΦq(t) = ΦT p(t) (3.62) Theo tính chất trực giao dạng dao động riêng, phương trình cú th n gin nh sau: Ti Mi qăi (t) + φTi Kφi qi (t) = φTi p(t) với i = 1, 2, n (3.63) hay m i qăi (t) + ki qi (t) = pi (t) với i = 1, 2, n (3.64) đó: m ˜ i = φTi Mφi k˜i = φTi Kφi p˜i = φTi p(t) (3.65) gọi khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát lực tổng quát dạng dao động riêng thứ i Chia vế phương trình cho m ˜ i sử dụng đẳng thức (3.55) ta có: qăi (t) + i2 qi (t) = pi (t) m ˜i với i = 1, 2, n (3.66) Như vậy, hệ phương trình (3.60) trở thành n phương trình độc lập Mỗi phương trình (3.64) (3.66) phương trình dao động hệ bậc tự qi , i = 1, 2, n Khi biết q ta xác định phương trình dao động u(t) hệ hệ tọa độ hình học từ phương trình (3.46) Hình 3.11: Hệ dao động hai bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Ví dụ 3.6: Xét hệ hình 3.11 chịu tác dụng tải trọng điều hòa p(t) = p0 sin ωt đặt vào khối lượng m1 Bằng cách khai triển theo dạng dao động, xác định phương trình dao động hệ trên, biết rằng: m1 = 2m, m2 = m, k1 = 2k, k2 = k Lời giải: Ma trận khối lượng ma trận độ cứng hệ: M= 2m K= m 3k −k −k k Phương trình đặc trưng có dạng: det K − ω M = 3k − 2mω −k =0 −k k − mω hay : 2m2 ω − 5kmω + 2k = Hai nghiệm phương trình: ω12 = k/2m ω22 = 2k/m Ta tính tần số riêng: k 2k ω1 = ω2 = 2m m Thay tần số riêng thứ ω1 vào (3.19) cho φ21 = 1, ta có: 2k −k −k k/2 φ11 =0 Giải phương trình ta tìm φ11 = 1/2 Tương tự, thay tần số riêng thứ hai ω2 vào (3.19) cho φ22 = 1, ta có: −k −k −k −k φ12 =0 Giải phương trình ta có φ12 = −1 Ma trận dạng dao động hệ: Φ = φ1 φ2 = −1 Từ (3.65) ta xác định khối lượng tổng quát, độ cứng tổng quát lực tổng quát: m ˜ = φT1 Mφ1 = 1 k˜2 = p˜1 = p˜2 = m = 3m −1 = 3m m 1 3k 3k −k = φT1 Kφ1 = −k k 3k −k −1 φT2 Kφ2 = [−1 1] = 6k −k k 1 p0 p0 φT1 p(t) = sin ωt = sin ωt 2 p φT2 p(t) = [−1 1] sin ωt = −p0 sin ωt m ˜ = φT2 Mφ2 = [−1 1] k˜1 = 2m 2m Thay đại lượng vào phương trình (3.64) ta thu phương trình q1 v q2 p0 sin t m qă1 + k1 q1 = m qă2 + k2 q2 = −p0 sin ωt Nghiệm phương trình có dạng: 2p0 2p0 sin ωt = Rd1 sin ωt 3k[1 − (ω/ω1 ) ] 3k p0 p0 sin ωt = − Rd2 sin ωt q2 (t) = − 6k[1 − (ω/ω2 ) ] 6k q1 (t) = Phương trình dao động hệ: u(t) = φ1 q1 (t) + φ2 q2 (t) Thay biểu thức q1 , q2 dạng dao động riêng ta có: u1 (t) u2 (t) = = 2p0 −1 p0 Rd1 sin ωt − R sin ωt 3k 6k d2 2Rd1 + Rd2 p0 sin ωt 4Rd1 − Rd2 6k ... ku(t) fD (t) = cu(t) ˙ (2.2) đó: k hệ số đàn hồi có thứ nguyên lực /chi u dài c hệ số tắt dần có thứ ngun (lực × thời gian) /chi u dài Thay (2.2) vào (2.1) ta có phương trình chuyển động khối lng... thuyết xác suất Trong phạm vi giảng trình bầy vấn đề liên quan đến tải trọng xác định Tải trọng động chia làm hai loại: tải trọng có chu kỳ tải trọng khơng có chu kỳ 1.2.1 Tải trọng có chu kỳ Tải trọng... tải trọng mà biến thiên theo thời gian lặp lại sau khoảng thời gian T Tải trọng có chu kỳ lại chia thành hai loại: tải trọng điều hòa tải trọng chu kỳ Hình 1.1 biểu diễn tải trọng điều hòa gây