Bài giảng động lực học công trình – ĐHGTVT

Bài giảng Động lực học công trình trình bày dao động của hệ có một bậc tự do, dao động của hệ có nhiều bậc tự do, dao động ngang của thanh phẳng có vô hạn bậc tự do, các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình, động lực học của kết cấu thanh phẳng.

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI KHOA CƠNG TRÌNH BỘ MƠN KẾT CẤU *** ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH Bài giảng dành cho ngành kỹ thuật xây dựng cơng trình giao thơng HÀ NỘI 2014 Mục lục Khái niệm 1.1 Khái niệm động lực học cơng trình 1.2 Tải trọng động 1.2.1 Tải trọng có chu kỳ 1.2.2 Tải trọng khơng có chu kỳ 1.3 Bậc tự hệ dao động 1.4 Phân loại dao động 1.5 Phương pháp lập phương trình vi phân dao động 1.5.1 Phương pháp trực tiếp 1.5.2 Phương pháp công 1.5.3 Phương pháp lượng-Nguyên lý Hamilton 1.6 Mơ hình hóa tốn động lực học 1.6.1 Phương pháp khối lượng tập trung 1.6.2 Phương pháp chuyển vị tổng quát (phương pháp Rayleigh-Ritz) 1.6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn Dao 2.1 2.2 2.3 động hệ bậc tự Mơ hình hệ dao động bậc tự Phương trình vi phân dao động tổng quát Phương pháp giải phương trình vi phân dao động 2.3.1 Phương pháp cổ điển 2.3.2 Tích phân Duhamel 2.3.3 Phương pháp biến đổi Fourier 2.3.4 Phương pháp số 2.4 Dao động tự hệ bậc tự 2.4.1 Dao động tự không lực cản 2.4.2 Dao động tự có lực cản 2.4.3 Độ suy giảm logarithme 2.5 Dao động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng 2.6 Dao động cưỡng hệ bậc tự 2.6.1 Trường hợp khơng có lực cản 2.6.2 Trường hợp có lực cản i xung 1 2 4 5 6 11 11 11 12 12 13 13 13 14 14 17 21 22 24 24 30 ii MỤC LỤC Dao 3.1 3.2 3.3 động hệ hữu hạn bậc tự Mơ hình hệ hữu hạn bậc tự Phương trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự Dao động tự hệ hữu hạn bậc tự 3.3.1 Ý nghĩa vật lý tần số dao động riêng dạng dao riêng 3.3.2 Tần số dao động riêng 3.3.3 Dạng dao động riêng 3.3.4 Tính chất trực giao dạng dao động 3.3.5 Chuẩn hóa dạng dao động 3.3.6 Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động 3.3.7 Phương trình dao động 3.4 Dao động tự hệ hữu hạn bậc tự có xét đến lực cản 3.4.1 Ma trận cản 3.4.2 Phương trình dao động 3.5 Dao động cưỡng hệ hữu hạn bậc tự động 37 37 38 39 Phương pháp tích phân theo thời gian phân tích tốn động lực học 4.1 Hệ tuyến tính bậc tự 4.1.1 Phương pháp sai phân tâm 4.1.2 Phương pháp Newmark 4.2 Hệ phi tuyến bậc tự 4.2.1 Phương trình cân động dạng gia số 4.2.2 Phương pháp Newmark 4.2.3 Giảm sai số thuật toán Newton-Raphson 4.3 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự 4.3.1 Phương pháp sai phân tâm 4.3.2 Phương pháp Newmark 4.3.3 Phương pháp Wilson 4.3.4 Phương pháp HHT 4.4 Hệ phi tuyến nhiều bậc tự 4.4.1 Phương trình cân động dạng gia số 4.4.2 Phương pháp Newmark Tính kết cấu chịu tác dụng động đất 5.1 Khái niệm động đất 5.1.1 Nguồn gốc động đất 5.1.2 Lan truyền sóng 5.1.3 Chuyển động mặt đất 5.1.4 Cường độ 5.2 Tính kết cấu chịu tác dụng động đất 5.2.1 Hệ tuyến tính bậc tự 5.2.2 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự 40 42 44 46 48 49 50 52 53 56 57 61 61 62 66 70 72 73 75 79 79 80 80 83 84 84 84 87 87 87 87 90 90 91 91 105 MỤC LỤC iii Phương pháp phần tử hữu hạn toán động lực học 115 6.1 Xác định tần số riêng dạng dao động tương ứng dầm đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn 117 iv MỤC LỤC Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 Tải trọng điều hòa Tải trọng có chu kỳ Tải trọng tác dụng thời gian ngắn-Tải trọng xung Tải trọng dài hạn Hệ có khối lượng tập trung: (a) hệ bậc tự do, (b) hệ do, (c) hệ bốn bậc tự Mơ hình khối lượng tập trung Mơ hình Rayleigh-Ritz Mơ hình phần tử hữu hạn hai bậc tự Mơ hình hệ dao động bậc tự (a), Các lực tác dụng lên khối lượng (b) Các thành phần dao động điều hòa: (a) thành phần phụ thuộc vào u(0), (b) thành phần phụ thuộc vào u(0), (c) dao động điều hòa: tổng (a) (b) Biểu diễn dao động điều hòa véc tơ quay Ví dụ hệ bậc tự Dao động hệ có lực cản, trường hợp tham số tắt dần ξ < Ảnh hưởng tham số tắt dần ξ đến tần số dao động Sự thay đổi chuyển vị vận tốc hệ theo thời gian trường hợp ξ = ξ > Xác định tham số tắt dần ξ Tải trọng xung (a), dao động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng xung không xét đến lực cản (b) Sự phụ thuộc biên độ dao động điều hòa vào tần số tải trọng tác động ω Sự thay đổi hệ số động Rd góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω Ví dụ hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Ví dụ xác định biểu đồ moment uốn động hệ bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Sự thay đổi hệ số động Rt theo thời gian xẩy tượng cộng hưởng Dao động điều hòa xét đến lực cản v 2 3 11 15 16 17 19 20 21 21 23 25 27 28 29 30 31 vi DANH SÁCH HÌNH VẼ 2.16 Biên độ trạng thái dao động ổn định 32 2.17 Sự thay đổi hệ số động Rd góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω tham số tắt dần ξ 33 2.18 Sự thay đổi hệ số động Rt theo tham số tắt dần ξ β = 35 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.1 5.2 5.3 Mơ hình hệ dao động hữu hạn bậc tự Lực tác dụng lên khối lượng Chuyển động hệ với điều kiện ban đầu Dạng dao động thứ hệ Dạng dao động thứ hai hệ Kết cấu nhà hai tầng, khối lượng tập trung hai sàn Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Hệ dao động hai bậc tự Dạng dao động riêng : (a) dạng dao động thứ nhất, (b) dạng dao động thứ hai Khai triển véc tơ chuyển vị theo dạng dao động Lực cản tỉ lệ với khối lượng (a), lực cản tỉ lệ với độ cứng (b) Liên hệ tỉ số cản ξ tần số ω theo giả thiết Rayleigh Ví dụ xác định ma trận cản theo giả thiết Rayleigh Hệ dao động hai bậc tự chịu tác dụng tải trọng điều hòa Phương pháp sai phân tâm Trụ cầu chịu tác dụng tải trọng động (a), Tải trọng động (b) So sánh nghiệm xác nghiệm tính theo phương pháp sai phân tâm với bước thời gian khác Phương pháp gia tốc trung bình (a), Phương pháp gia tốc tuyến tính (b) So sánh nghiệm xác với nghiệm tính theo phương pháp gia tốc tuyến tính gia tốc trung bình Hệ bậc tự (a), Tải trọng động (b), Độ cứng phi tuyến (c), Lực cản phi tuyến (d) Quan hệ lực-chuyển vị Thuật toán Newton-Raphson (a), Thuật toán Newton-Raphson cải tiến (b) Phương pháp Wilson 37 38 40 41 41 43 45 45 47 50 54 54 55 58 62 64 65 68 71 71 75 76 81 Các khái niệm động đất 88 Sóng Rayleigh sóng Love 89 Thành phần gia tốc đất theo hướng Bắc-Nam ghi lại El Centro, California trận động đất ngày 18 tháng năm 1940 Vận tốc chuyển vị đất xác định cách tích phân gia tốc đất 92 5.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT Tỉ số cản ξ % 10 20 αA 3.21 2.74 2.12 1.64 1.17 Trung bình (50%) αV αD 2.31 1.82 2.03 1.63 1.65 1.59 1.37 1.20 1.08 1.01 αA 4.38 3.66 2.71 1.99 1.26 1σ (84.1%) αV 3.38 2.92 2.30 1.84 1.37 105 αD 2.73 2.42 2.01 1.69 1.38 Bảng 5.1: Hệ số khuếch đại: phổ thiết kế đàn hồi Hệ số khuếch đại Trung bình (50%) αA 3.21 - 0.68 lnξ 2.31 - 0.41 lnξ αV αD 1.82 - 0.27 lnξ 1σ 4.38 3.38 2.73 (84.1%) - 1.04 lnξ - 0.67 lnξ - 0.45 lnξ Bảng 5.2: Hệ số khuếch đại: phổ thiết kế đàn hồi 5.2.2 Hệ tuyến tính nhiều bậc tự Trong mục này, thiết lập phương trình vi phân dao động hệ nhiều bậc tự chịu tác dụng động đất hay chuyển động đất a Hệ chịu tác dụng chuyển động nền: Hình 5.16: Nhà cao tầng (a), Tháp (b) 106 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Xét trường hợp đơn giản tất bậc tự hệ chuyển vị phương với chuyển động đất Các kết cấu dạng tháp hay nhà nhiều tầng biểu diễn hình 5.16 có tính chất Chuyển vị đất ký hiệu ug , chuyển vị tổng cộng (tuyệt đối) khối lượng mj ký hiệu utj , chuyển vị tương đối khối lượng đất ký hiệu uj Các chuyển vị liên hệ với biểu thức: (5.29) utj (t) = uj (t) + ug (t) Đối với hệ gồm N khối lượng, ta viết dạng vector: ut (t) = u(t) + ug (t)1 (5.30) vector bậc N với thành phần đơn vị Phương trình cân động hệ: fI + fD + fS = (5.31) Tải trọng động p(t) = khơng có lực tác dụng lên hệ Chú ý có chuyển vị tương đối khối lượng đất gây lực đàn hồi lực cản ˙ Tuy nhiên lực quán tính lại liên quan đến gia tc tng u ă t ca (fS = Ku; fD = Cu) lng: ă + uăg (t)1 (5.32) fI = Mă ut = M u Thay cỏc biu thc lực đàn hồi, lực cản lực quán tính vo phng trỡnh (5.31) thu c: Mă u + Cu + Ku = M1ă ug (t) (5.33) hay Mă u + Cu˙ + Ku = pef f (t) (5.34) pef f (t) = M1ă ug (t) (5.35) ú Phng trình (5.34) gồm N phương trình vi phân với ẩn số chuyển vị tương đối uj (t) hệ tuyến tính N bậc tự chịu tác dụng gia tc nn uăg (t) Phng trỡnh trờn cng ch tác dụng động đất hay chuyển động lên hệ tương đương việc đặt lực động đất có hiệu pj,ef f (t) lên khối lượng mj hệ Nói cách khác, chuyển vị tương đối uj (t) khối lượng mj h chu tỏc dng ca gia tc nn uăg (t) chuyển vị hệ cố định, chịu tác dụng lực động có giá trị tích khối lượng mj với gia tc nn uăg (t) v cú chiu ngc vi chiều gia tốc hình 5.17 Tổng quát bậc tự hệ không phương với chuyển động hay ảnh hưởng động đất khơng đồng vị trí gối đỡ hệ Khi chuyển vị tổng khối lượng xem tổng chuyển vị tựa tĩnh usj chuyển động tác dụng tĩnh lên hệ cộng với chuyển vị tương đối uj : utj (t) = usj (t) + uj (t) (5.36) 5.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT 107 Hình 5.17: Lực động đất có hiệu hay viết dạng vector: ut (t) = us (t) + u(t) (5.37) Chuyển vị tựa tĩnh us (t) biểu diễn sau: us (t) = ιug (t), ι vector ảnh hưởng biểu diễn chuyển vị khối lượng gây chuyển vị đơn vị đất Thay vào phương trình (5.37) thu c: ut (t) = ug (t) + u(t) (5.38) Mă u + Cu + Ku = Mă ug (t) (5.39) Phương trình (5.33) trở thành: với "lực động đất có hiu" c xỏc nh bi: pef f (t) = Mă ug (t) (5.40) Trên hình 5.18a biểu diễn hệ mà bậc tự không phương với chuyển động Giả thiết bỏ qua biến dạng dọc trục thanh, hệ có bậc tự hình vẽ Dưới tác dụng chuyển động ug = 1, dễ dàng xác định thành phần vector ảnh hưởng ιj (j = 1, 2, 3) Như ι = [1 0]T Khi ”lực động đất có hiệu” có dạng:   m1 pef f (t) = Mă ug (t) = ă ug (t)  m2 + m3  (5.41) b Kết cấu với kích động khác hệ gối đỡ: Trong phần trước, xét kết cấu với giả định tất gối đỡ hệ chịu 108 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Hình 5.18: Khung chữ L (a), Vector ảnh hưởng ι: chuyển vị tĩnh ug = (b), Lực động đất có hiệu (c) chuyển động Giả thiết khơng kết cấu có kích thước lớn Ví dụ trường hợp cầu treo, cầu dây văng với nhịp lên đến hàng nghìn m, phải xem gối đỡ khơng dao động đồng q trình xẩy động đất Để phân tích kết cấu này, ta cần phải xét đến bậc tự gối đỡ chịu kích động với bậc tự kết cấu (hình 5.19) Vector chuyển vị nút chia thành hai phần: (1) vector chuyển vị ut gồm N bậc tự kết cấu tầng (chú ý số t chuyển vị tuyệt đối) (2) vector ug gồm Ng thành phần chuyển vị gối đỡ Phương trình cân động tất bậc tự viết dạng sau: Hình 5.19: Bậc tự kết cấu tầng bậc tự hệ gối đỡ M Mg MTg Mgg ăt C Cg u + ăg CTg Cgg u K Kg u˙ t + KTg Kgg u˙ g ut ug = pg (t) (5.42) 5.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT 109 vector pg (t) phản lực gối Phân tích chuyển vị tổng thành phần: chuyển vị tựa tĩnh chuyển vị động: ut ug = u us + ug (5.43) Trong phương trình trên, us vector chuyển vị kết cấu tác dụng tĩnh chuyển động ug thời điểm Hai vector liên hệ với biểu thức: K Kg us (5.44) = T psg Kg Kgg ug psg lực gối đỡ chuyển vị ug tác dụng tĩnh lên kết cấu thời điểm (lưu ý ug thay đổi theo thời gian) Như us thay đổi theo thời gian nên gọi vector chuyển vị tựa tĩnh Dễ thấy psg = kết cấu tĩnh định hay hệ gối đỡ chịu tác dụng chuyển vị toàn khối Vector u gọi chuyển vị động cần sử dụng phân tích động lực học để đánh giá vector Phương trỡnh th nht ca (5.42) c vit nh sau: ă g + Cu˙ t + Cg u˙ g + Kut + Kg ug = Mă ut + Mg u (5.45) Thay (5.43) vào phương trình chuyển số hạng chứa ug us sang vế phải, dẫn n: Mă u + Cu + Ku = pef f (t) (5.46) với vector lực động đất có hiệu xác nh bi biu thc: ă g ) (Cu s + Cg u˙ g ) − (Kus + Kg ug ) pef f (t) = (Mă us + Mg u (5.47) Dễ thấy số hạng thứ ba biểu thức pef f (t) khơng phương trình thứ (5.44): Kus + Kg ug = (5.48) Biểu thức cho phép biểu diễn chuyển vị tựa tĩnh us theo chuyển vị gối đỡ ug : us = ιug với ι = −K−1 Kg (5.49) ι gọi ma trận ảnh hưởng, biểu diễn ảnh hưởng chuyển vị gối tựa chuyển vị kết cấu Thay (5.49) vào (5.47) thu được: pef f (t) = (M + Mg )ă ug (t) (Cι + Cg )u˙ g (t) (5.50) Như vậy, bit gia tc uăg (t) v tc ug (t) đất (hay gối tựa) xác định lực động đất có hiệu pef f (t) theo biểu thức 110 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT • Đơn giản hóa pef f (t): Trong nhiều trường hợp thực tế, việc đơn giản hóa vector lực có hiệu thực theo hai hướng Thứ nhất, số hạng liên quan đến lực cản không ma trận cản tỉ lệ với ma trận độ cứng (C = a1 K Cg = a1 Kg ) (5.48), nhiên sau thấy ma trận cản dạng không thực tế Khi số hạng liên quan đến lực cản phương trình (5.50) khơng khơng với dạng ma trận cản số hạng thường nhỏ so với số hạng liên quan đến lực qn tính nên bỏ qua Thứ hai, hệ mà khối lượng tập trung bậc tự hệ, ma trận khối lượng ma trận đường chéo (Mg ma trận không, M ma trận đường chéo) Với giả thiết này, phương trình (5.50) đơn giản thành: pef f (t) = Mă ug (t) (5.51) Biu thc (5.51) l tổng quát hóa biểu thức (5.40) hệ có liên kết gối tựa hệ có chuyển động đồng tất gối tựa Khi ma trận ảnh hưởng ι có kích thước N × Ng thay vector N × vector gia tc ă g (t) ca chuyn ng gi ta cú kớch thc Ng ì u Biu thc (5.49) viết lại dạng khác sau: Ng s ιl ugl (t) u = (5.52) l=1 ιl , cột thứ l ma trận ảnh hưởng ι vector ảnh hưởng tương ứng với chuyển vị gối ugl Đó vector chuyển vị tĩnh bậc tự kết cấu ugl = gây Với (5.49) (5.52), lực động đất có hiệu (5.51) viết sau: Ng pef f (t) = Ml uăgl (t) (5.53) l=1 Số hạng thứ l phương trình (5.53) lực động đất có hiệu gia tốc bậc tự thứ l hệ gối tựa Nó có dạng tương tự (5.40) hệ có liên kết gối tựa hệ có chuyển động đồng tất gối tựa Ví dụ 7.3: Xét dầm liên tục hai nhịp có độ cứng chống uốn EI, giả thiết khối lượng dầm tập trung nhịp hình vẽ Thiết lập phương trình vi phân dao động dầm trường hợp dầm chịu tác dụng chuyển động gối theo phương đứng ug1 , ug2 ug3 Giả thiết bỏ qua ảnh hưởng lực cản xét bậc tự chuyển vị tịnh tiến 5.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT Lời giải: Ma trận độ cứng hệ:  78, 86 30, 86  30, 86 78, 86  ˆ = EI  −29, 14 −5, 14 K L3   −75, 43 −75, 43 −5, 14 −29, 14 −29, 14 −5, 14 12, 86 20, 57 0, 86 −75, 43 −75, 43 20, 57 109, 71 20, 57 111  −5, 14 −29, 14   0, 86   20, 57  12, 86 Bậc tự kết cấu: u = [u1 u2 ]T ; bậc tự hệ gối tựa: ug = [u3 ˆ phân tích thành: Ma trận độ cứng K ˆ = KT Kg K Kg Kgg đó: EI L3 EI Kg = L 78, 86 30, 86 K= −29, 14 −5, 14  12, 86 EI  20, 57 L3 0, 86 Kgg = 30, 86 78, 86 −75, 43 −75, 43 20, 57 109, 71 20, 57 −5, 14 −29, 14  0, 86 20, 57  12, 86 Ma trận khối lượng hệ: M=m Xác định ma trận ảnh hưởng ι: 0, 40625 −0, 09375 ι = −K−1 Kg = 0, 68750 0, 68750 Vector ảnh hưởng tương ứng với gối tựa: ι1 = [0, 40625 − 0, 09375]T ι2 = [0, 68750 0, 68750]T ι3 = [−0, 09375 0, 40625]T Phương trình vi phõn dao ng: Mă u + Ku = pef f (t) vector lực động đất có hiệu xác định bởi: pef f (t) = − Ml uăgl (t) l=1 uăgl (t) l cỏc gia tc gối tựa hình vẽ −0, 09375 0, 40625 u4 u ]T 112 7.2.2.1 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Phân tích theo thời gian - Response history analysis RHA Tính chuyển vị nội lực kết cấu hàm thời gian kết cấu chịu tác dụng gia tốc nn uăg (t) a Trng hp h gi ta chu tỏc dng nh ca chuyn ng nn uăg (t) Phng trỡnh vi phõn dao ng ca h: Mă u + Cu˙ + Ku = pef f (t) (5.54) pef f (t) = Mă ug (t) (5.55) ú Cỏc ma trận khối lượng M, ma trận độ cứng K vector ảnh hưởng ι xác định phần Trong biểu thức (5.55), Mι gọi phân bố khơng gian lực động đất có hiệu pef f (t) Sự phân bố lực khai triển tổng phân bố lực quán tính theo dạng dao động: N Mι = Γi Mφi (5.56) i=1 Nhân hai vế phương trình với φTj sử dụng tính chất trực giao dạng dao động riêng, thu được: Γi = φTi Mι φTi Mι = m ˜i φTi Mφi (5.57) Như trình bày chương 3, vector chuyển vị u(t) khai triển theo dạng dao động hệ: N u(t) = Φq(t) = φi qi (t) (5.58) i=1 Viết lại phương trình vi phân dao động hệ tọa độ dạng dao động, ta có: ˙ + Kq(t) = Mă Mă q(t) + Cq(t) ug (t) (5.59) Nhân hai vế phương trình với φTj sử dụng tính chất trực giao dạng dao động riêng, phương trình trở thành N phương trình độc lập (giả thiết ma trận cản C có dạng cổ điển) phương trình thứ i viết nh sau: qăi (t) + 2i i qi (t) + i2 qi (t) = Ti M uăg (t) m i (5.60) hay qăi (t) + 2i i qi (t) + i2 qi (t) = i uăg (t) (5.61) 5.2 TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG CỦA ĐỘNG ĐẤT 113 Tọa độ dạng dao động (đối với hệ có tỉ số cản nhỏ ξ ≤ 0, 2) xác định thơng qua tích phân Duhamel: qi (t) = Γi Di (t) (5.62) Di (t) = − ωi t uăg ( )ei i (t ) sin i (t − τ )dτ (5.63) Cũng sử dụng thuật tốn tích phân số trình bày chương để xác định nghiệm phương trình vi phân Tuy nhiên tốn động đất, cơng thức (5.62) thường sử dụng giá trị tuyệt đối lớn Di (t) Sd (ωi , ξ) cho biết trận động đất Thành phần chuyển vị tương ứng với dạng dao động thứ i: ui (t) = φi qi (t) = φi Γi Di (t) (5.64) Vector chuyển vị tổng tất thành phần tương ứng với dạng dao động: u(t) = Φq(t) = φ Γi Di (t) (5.65) Γi Di (t) vector mà thành phần chuyển vị dạng dao động xét q trình tính Lực đàn hồi tương ứng với chuyển vị tương đối xác định theo biểu thức: fs (t) = Ku(t) = KΦq(t) (5.66) Chú ý KΦ = MΦΩ theo toán giá trị riêng (Ω ma trận đường chéo mà thành phần chứa số hạng ωi2 ), nên ta có: fs (t) = MΦΩq(t) (5.67) fs (t) = MΦ Γi ωi2 Di (t) = −MΦ Γi Ai (t) (5.68) hay viết dạng: với Ai (t) = −ωi2 Di (t); Γi Ai (t) vector mà thành phần giả gia tốc dạng dao động xét q trình tính b Trường hợp hệ gối tựa chịu tác dụng khác chuyển động uăg (t) Trong mc ny, phng phỏp phõn tớch theo dạng dao động mục a mở rộng cho hệ chịu tác dụng chuyển động gối khác Phương trình vi phân dao động tương tự lực động đất có hiệu xác nh bi: Ng pef f (t) = Ml uăgl (t) l=1 (5.69) 114 CHƯƠNG TÍNH KẾT CẤU CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT Phương trình vi phân dạng dao ng (5.61) tr thnh: Ng qăi (t) + 2i i qi (t) + i2 qi (t) = il uăgi (t) (5.70) l=1 đó: Γil = φTi Mιl φTi Mφi (5.71) Nghiệm phương trình (5.70) viết trường hợp tổng quát (5.62): Ng qi (t) = Γil Dil (t) (5.72) l=1 với Dil (t) chuyển vị dạng dao động thứ ”i” chịu tác dụng ca gia tc uăgl (t) Chuyn v ng ca h: Ng N N Γil φi Dil (t) φi qi (t) = u(t) = (5.73) l=1 i=1 i=1 Chuyển vị tổng hệ theo phương trình (5.43) gồm hai phần: (1) chuyển vị động u(t) xác định (5.73); (2) chuyển vị tựa tĩnh us (t) xác định (5.52) Kết hợp hai phần thu chuyển vị tổng bậc tự hệ: Ng Ng t N Γil φi Dil (t) ιl ugl (t) + u (t) = (5.74) l=1 i=1 l=1 Lực tĩnh tương đương bậc tự hệ phụ thuộc vào chuyển vị động: Ng N Γil Kφi Dil (t) fs (t) = Ku(t) = (5.75) l=1 i=1 hay biểu diễn thơng qua ma trận khối lượng sau: Ng N fs (t) = Γil Mφi Ail (t) (5.76) l=1 i=1 Ail (t) = ω Dil (t) giả gia tốc dạng dao động thứ ”i” chịu tác dụng gia tốc uăgl (t) 7.2.2.2 Phõn tớch ph nghim - Response spectrum analysis RSA Xác định giá trị chuyển vị lớn nội lực lớn kết cấu trực tiếp từ phổ nghiệm phổ thiết kế mà không cần phân tích theo thời gian Chương Phương pháp phần tử hữu hạn toán động lực học Sự phát triển phương pháp phần tử hữu hạn giai đoạn quan trọng học ứng dụng Có nhiều cơng trình nghiên cứu dạng tổng quát hay ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn toán động lực học Trong chương giới thiệu số nét phương pháp Phương trình tốn động lực hc: Mă u(t) + Cu(t) + Ku(t) = p(t) (6.1) M, C K ma trận khối lượng, ma trận ảnh hưởng lực cản ma trận độ cứng kết cấu Me M= e Ce C= e Ke K= e pe p= e Ma trận khối lượng phần tử xác định biểu thức: Me = ρNT NdV (6.2) cNT NdV (6.3) V Ma trận ảnh hưởng lực cản phần tử: Ce = V 115 116CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC Ma trận độ cứng phần tử: Ke = BT EBdV (6.4) NT pdV (6.5) V Vector tải trọng: pe = V với B ma trận biến dạng-chuyển vị: ε = Bu; E ma trận độ cứng vật liệu: σ = Eε; N hàm dạng Trường hợp thẳng, N có dạng sau: N1 0 N4 0 N2 N3 N5 N6 [N] = = Nk Nu đó: N1 = − N4 = Lx x L N2 = − 3x + L2 3x2 2x3 N5 = L2 − L3 2x3 L3 N3 = x − 2xL + N6 = − xL + Lx x3 L2 Nếu bỏ qua biến dạng dọc trục: [N] = [Nu ] = − 3x2 L2 + 2x3 L3 x− 2x2 L + x3 L2 3x2 L2 − 2x3 L3 d2 − L4 + L6x2 − 12x [N] = − L62 + 12x L3 L2 L3 dx2 Ma trận độ cứng phần tử có chiều dài L  12 6L L  EI 6L 4L2 BT EIBdx =  BT EBdV = Ke = L  −12 −6L V 6L 2L2 [B] = − xL + − L2 + x3 L2 6x L2  −12 6L −6L 2L2   12 −6L  −6L 4L2 (6.6) Ma trận khối lượng phần tử có chiều dài L   156 22L 54 −13L L mL  13L −3L2   22L 4L  Me = ρNT NdV = ρANT Ndx =   54 13L 156 −22L 420 V 2 −13L −3L −22L 4L (6.7) Trường hợp giả thiết khối lượng tập trung hai đầu nút phần tử ma trận khối lượng Me ma trận đường chéo:   0 mL  L12 0  e   M = 0 0 0 L12 (6.8) 6.1 XÁC ĐỊNH TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG TƯƠNG ỨNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI BẰNG P 6.1 Xác định tần số riêng dạng dao động tương ứng dầm đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn Xét dầm đàn hồi hai đầu khớp có chiều dài L, độ cứng chống uốn EI không đổi, khối lượng phân bố chiều dài dầm m 118CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC Tài liệu tham khảo [1] Bathe, K J Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1982 [2] Chopra, Anil K Dynamics of structures : theory and applications to earthquake engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995 [3] Clough, R W., and Penzien, J Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New York, 1993 [4] Géradin, M., Rixen, D Mechanical vibrations : Theory and Application to Structural Dynamics, Wiley, 1997 [5] Humar, J L Dynamics of Structures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1990 [6] Newmark, N M A Method of Computation for Structural Dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 85, 1959, pp 67-94 [7] Newmark, N M., Rosenblueth, E Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971, pp 308-312 [8] Paultre, P Dynamiques des structures : application aux ouvrages de génie civil, Hermes Science, 2005 [9] Pecker, A Dynamiques des Ouvrages, Cours ENPC [10] Dookie Kim Dynamics of Structures, 2009 [11] Phạm Đình Ba, Nguyễn Tài Trung Động lực học cơng trình, Nhà xuất xây dựng, Hà Nội, 2005 119 ... hệ số lực cản, Chương Khái niệm 1.1 Khái niệm động lực học cơng trình Động lực học cơng trình nghiên cứu dao động kết cấu gây tải trọng động tải trọng biến đổi theo thời gian Tải trọng động gây... phân đại lượng 1.6 Mơ hình hóa toán động lực học Trong toán động lực học, lực quán tính yếu tố đặc trưng hệ, lực qn tính cần xác định mơ hình hóa động lực học Đối với hệ liên tục dầm, khối lượng... tĩnh học phân tích động lực học gì? Trình bày dạng tải trọng động? Bậc tự hệ dao động gì? Cách xác định bậc tự hệ dao động? Để thiết lập phương trình vi phân dao động, sử dụng phương pháp nào? Trình