TOÁN CAO CẤP HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

Page: Love NeverDies Lời giải: Hồng Bá Mạnh Tốn cho nhà kinh tế Giải tập giáo trình CHƯƠNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN NEU – Winter 2019 Bài f  0,1  13  3.03  2.1.02  f 1, 2   13   2   2.1  2   19 f  a;2a   a3   2a   2.a  a   33a3 2 (tương tự cho giá trị lại) Bài f  0;0;0    2.0  3.0 0 02  02  02  f  a;2a;3a   a   2a    3a  14a a   2a    3a   1  14a 2  Bài  MXĐ: a) Điều kiện: xy   x; y  : x, y  ; xy  0 Biểu diễn hệ Oxy, miền góc phần tư thứ I thứ II, không kể trục tọa độ b) Điều kiện: x  y   x  y  MXĐ:  x, y  : x, y  ; x  y Biểu diễn hệ Oxy, miền phần hình phẳng nằm phía đường thẳng y = x x  y2 c) Điều kiện: 1    x  y2   MXĐ:  x, y   : x  y  4 Biểu diễn hệ Oxy, miền tạo thành hình trịn tâm O, bán kính tính biên  1  x  1  x  d) Điều kiện:    MXĐ:  x, y   : 1  x  1; 2  y  2   y   4  y   Biểu diễn hệ Oxy, miền hình chữ nhật tâm O, chiều dài song song Oy, chiều rộng song song Ox, tính biên Bài a) x  y  z  : Trên hệ Oxyz, tồn phần khơng gian ngồi trừ mặt phẳng x + y + z = b) x  y  z  : Bài Trên hệ Oxyz, toàn phía khối cầu tâm O, bán kính u  A  u  0,1  1  20 => đường mức cần tìm x  y2  2x  6y Bài u  A   đường mức cần tìm x  y  z  Bài w  u2  v   sin x  sin y  sin z    cos x  cos y  cos z  2  sin x  sin y  sin z  2sin x sin y  2sin x sin z  2sin y sin z   cos2 x  cos2 y  cos2 z  cos x cos y  cos x cos z  cos y cos z Bước sử dụng công thức: sin a  cos2 a  ; cos a  cos b  cos ab ab cos 2 cos a  cos b  2sin ab ab sin 2 w  u2  v   cos  x  y   cos  x  y    cos  x  z   cos  x  z    cos  y  z   cos  y  z    cos  x  y   cos  x  y    cos  x  z   cos  x  z    cos  y  z   cos  y  z     cos  x  y   cos  y  z   cos  x  z  Trang: Love NeverDies Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh Bài Đặt u  x  y; v  x  y , rút ngược lại ta có x  uv uv Thay vào f ta được: ;y  2 2 1  uv  uv uv  uv  f  x  y, x  y   f  u; v       2  u2  v  uv   2 2     1 Vậy, f  x; y   x  y2  xy 2 Bài a) Q  200  K L  200 (khơng rút gọn, rút gọn vế trái khơng cịn Q nữa) TC  wK K  wL L  C0  15K  8L  50 b) TR  pQ  4.5 K L  20 K L   TR  TC  20 K L  15K  8L  50 Bài 10 Q  D  p   350  p  p  350  Q 3 350  3503  TR  pQ    QQ  Q  Q2  3  TR  K, L      350 40 K L  40 K L 3 Thay Q  40 K L vào ta được:   14000 1600 K L K L 3 Bài 11 a) TC  Q1  4; Q2    3.42  2.4.2  4.22  48 b) Q1  D  p1   320  p1  p1  64  0,2Q1 Q2  D  p2   150  p2  p2  75  0,5Q2 TR  p1Q1  p2Q2   64  0,2Q1  Q1   75  0,5Q2  Q2  64Q1  75Q2  0,2Q12  0,5Q22   Q1 ; Q2   TR  TC  64Q1  75Q2  3,2Q12  2Q1Q2  4,5Q22 Bài 12 a) U  4;3  4.3  4.3  24  đường bàng quan U  24  xy  y  24 b) Nếu chi phí mua hai túi túi hàng mang lại lợi ích cao ưa chuộng U  4;3  24 > U  5;2   5.2  4.2  18   x  4, y  3 ưa chuộng c) Chị ta đổi chị thấy lợi ích khơng bị giảm xuống (bằng cũ) U  x  8; y  3  8.3  4.3  36 Lợi ích với giỏ hàng chọn: Lợi ích đổi m hàng hóa A lấy hàng hóa B là: U   m;4   8  m   4.4  48  4m 48  4m  36  m  Vậy, Bài 20 fx  0;0   lim x 0 f  x,0   f  0,0  x 0  lim x 0 x 0  lim1  x 0 x fy  0,0   lim y 0 f  0, y   f  0,0  y 0 3y  3 y 0 y  lim Bài 21 a) ux  3x y  y3 Trang: Love NeverDies uy  x  3y x Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh b) ux  5x y  y2   5x y  y2   u   5x y  y x y c) ux       5x y  y 2 y   7 2  30 xy  5x y  y      5x  y 5x y  y    y  x  x  y     y xx y x uy   x x x   x   1  d) ux     e y    x x e y   e y y y  yx  y  e) ux    xx y 1   x   u  x y x2 x y 2 y x  y2 uy  x x x  y2 x x  y2  x x  y2 x x y 1   x  x x  y2 x  y  x  , đó: 2 x  y2  x y x 1 x  y2  x  x  y2 1 x  y2  x  x  y2 y x  y2 uy   y 1   x    x  y  x    x x  y  x    x  y2  x  ln  x x  x   x  uy     e y  e y y  yy x  y2  x  x  x  x  x  , tương tự f) Ta thấy u  ln  2 x  y2  x x  y2  x  y2  x    1 2x    x  y  x  y  x x  y  x  y x  y y Bài 22 a) ux  y  z uy  x  z uz  x  y b) ux  3x  3y  uy  z  3x uz  yz  x c) ux  d) u  ex uy  x  y2  z 3 uz  x  y2  z   ux  3x  y  z e x  xy2  xz2 uz  xze x y z x  y2  z2 uy  xye x  xy2  xz2  xy  xz  xy2  xz2 Bài 23 zx  ux zu  vx zv  y cos x.u  3cos y.v  y cos x  y sin x   3cos y  x cos y   y cos x sin x  3x cos3 y 2 zy  uy zu  vy zv   sin x  2u    x sin y  3v  y sin x  3x sin y cos2 y Bài 24 z  y x  y2  f  x  y2  xy f  x  y x x        z  y f  x  y2 x x  z  f x  y2  y x  y2  f  x  y2  f x  y2  y2 f  x  y y y          Vậy,    z  f x  y2  y f  x  y y y y     z z z   f x  y2  (dpcm) x x y y y y  Trang: Love NeverDies  Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh Bài 25 Tính: fy  x  y , xy  f  x, y   xy  f y      xy  x xy x  y2  f y x  y , xy   Tính:  f x  y2 , xy   y  xy y x  y2  x  y2 xy  xy Đặt u  x  y v  xy  f  u, v   uv   f  u, v   y  uy fu  vy fv  y v u  x  uv uv xy x   y xy x  xy  x   y xy x  3xy  x 2   y xy Bài 26 u  x  y2  f  x  y2  xf  x  y x x   y     u  y f  x  y2 y    u u x  xy f  x  y2  xy f  x  y2  (dpcm) x y     Bài 27 u  cos x   sin y  sin x x f   sin y  sin x   cos x  cos x f  sin y  sin x  x u   sin y  sin x y f   sin y  sin x   cos y f   sin y  sin x  y u u cos x  cos y  cos x cos y f   sin y  sin x   cos x cos y  cos x cos y f  sin y  sin x   cos x cos y y x Bài 28 df  x, y   fxdx  fydy  y dx  xydy  df 1,1  dx  2dy f 1,1  f 1  x;1  y   f 1,1  1  x 1  y   a) dx  x  0,1; dy  y  0,2  dx  x  5; dy  y   b) f 1,1  1,1.1,22   0,584 df 1,1  0,1  2.0,2  0,5 f 1,1  6.32   53 df 1,1   2.2  Bài 29 a) 3x  y  x  x  y    x  y  x  y  x  11y ux   2 2x  y 2x  y du  ux dx  uy dy  b) ux    11ydx 2x  y   x x  y2  x x  y2 x  y2 Trang: Love NeverDies  uy  11x 2x  y 11xdy 2x  y  4 xy x  y2  uy  Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU yx x  y2  Hoàng Bá Mạnh xy du   x  y2  dx  c) du  ux dx  uy dy  x  y2  dy ydx xdy  2  x y  x y2  x  y   d) ux      xy  x uy  4x2 y  xy  1     xy   x2 1  xy    x  y    y2 1  xy   xy  1     xy   du  2   y2 1  xy    x  y   y2 1  xy    x  y  2 dx   x2 1  xy    x  y  2 dy Bài 30 xy3 3x y x y3 dx  dy  dz z4 z4 z5 b) du  ux dx  uy dy  uz dz  yzx yz 1dx  z x yz ln x.dy  y x yz ln x.dz Bài 31 a) du  ux dx  uy dy  uzdz  ux  12 x  y uy  y3  x y a) ux  x  8xy2 uxy  uyx  16 xy  uy2  12 y  x    d u  ux2 dx  2uxy dxdy  uy2 dy2  12 x  8y dx  32 xydxdy  12 y  8x dy b) ux  x  y2 uy  uxy  uyx   2y x  y2 ux2   x  y   x  2y 7 x  2y uxy  uyx   x  2y d) ux   uy2   d u 14 y  x  2y y x2 x  y2  xy x uy  dx   x  2y 14  x  y   x  2y  y2  x  y  2 dx  dx  x  y  ux2   dxdy  28 x  x  2y  2y x  y  14 y  dy uy2   x  2y 28 x  x  2y  y2   dxdy    xy x  y2  dy2 xy x ux   2 y x y x  y2 1 x x  y2  y2 y2  x uxy  uyx    2 x  y2 x  y2  x  y  dxdy  uy  x y2  x x 4y  2 7 x y  2 y x  y2 1 x xy 2  7y d 2u   x  y  uy2  2 x  y2 2y d u  ux2 dx  2uxy dxdy  uy2 dy   c) ux     dy Bài 32 Trang: Love NeverDies Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hồng Bá Mạnh fx  0, y   fx  0,0  fxy  0,0   lim y 0 y 0 f  x, y   f  0, y  y  : fx  0, y   lim x 0 x 0 y  : fx  0,0   lim  lim x 0 f  x,0   f  0,0   lim x 0 x 0  xy x  y x 0 x y x 2  0  lim  y x  y2 x  y2 x 0 y y2  y 00  lim  x 0 x y   lim  1  1 y 0 y 0 y Tương tự, bạn tự xử fyx  0,0    fxy  0,0   lim Bài 33 ux  uy   x  a    y  b    x  a   x  a    y  b    x  a  2  x  a    y  b    x  a    y  b       xa  x  a   y  b ux2  2  x  a   y  b uy2 2  x  a    y  b    y  b   y  b    x  a    y  b   2  x  a    y  b    x  a    y  b       yb 2 2  ux2  uy2  (dpcm) Bài 34 ux  3x y2 z uy  x yz uz  x y2 z3 ux  xy z uz2  12 x y z uxy  uyx  x yz uyz  uzy  x yz uxz  uzx  12 x y2 z3 uy2  x z  xy z x yz 12 x y z    Ma trận Hess: H   x yz x3z4 x yz  12 x y z x yz 12 x y z    d u  xy z dx  x z dy  12 x y z dz  12 x yz dxdy  24 x y z 3dxdz  16 x yz 3dydz Bài 35 1 1  x   x  z  x z fx         z yxy yz  y  1 1 1  x   x  z x  x z fy          z yy y zy  y  1 1 1 x  x z x    x  z fz      ln       ln z  y y zz y y 1 1 1 1  x z x  x z  x z x df  x, y, z     dx    dy    ln dz yz  y  zy  y  z y y 1   x z fx2       y z  z  y  2  df 1,1,1  dx  dy  fx2 1,1,1  1 1 1  f y2 1,1,1  1  x z x  x z x fz2    ln    ln  fz2 1,1,1  z y y z y y Trang: Love NeverDies 1 2x  x z x2    x z fy2          zy  y  zy  z   y  (thôi không làm đâu dài vcl  ) Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh Bài 36 Q L   MPPK 125;100   16 K K Ý nghĩa: điểm (K=125, L =100) giữ nguyên L tăng dùng K thêm đơn vị sản lượng thu tăng xấp xỉ 16 đơn vị a) MPPK  Q K  MPPL 125;100   15  L L Ý nghĩa: điểm (K=125, L =100) giữ nguyên K tăng dùng L thêm đơn vị sản lượng thu tăng xấp xỉ 15 đơn vị b) L khơng đổi tức số MPPK giảm K tăng nghĩa MPPK nghịch biến theo K Tương tự hàm số biến, ta sử dụng đạo hàm để điều này: MPPL  MPPK L   8 L     K, L  K  K K 33 K =>K tăng MPPK giảm dần c) Các bạn xử lý tương tự ý b) Tính (MPPL)′L thấy < Bài 37 a) Lợi ích cận biên hàng hóa A: MUx  U  0,4 x 0,6 y0,7 x MUx  0,24 x 1,6 y0,7   x, y  => x tăng MUx giảm dần, nghĩa hàm lợi ích U phù hợp x với quy luật lợi ích cận biên giảm dần (Các bạn xử lý tương tự cho MUy) U x x  0,4 x 0,6 y0,7 0,4 0,7  0,4 b)  x  x U x y Vậy, x tăng 1% y khơng đổi lợi ích tăng xấp xỉ 0,4% Bài 38 MC1  TCQ  125  12Q1Q22  2,4Q12 MC2  TCQ  84  12Q12Q2  3,6Q22 Bài 39 a)  pD  Q p p 0, p  0,  p Q 35  0, p  0,15m  0,12 ps 35  0, p  0,15m  0,12 ps b)  mD  Q m 0,15m  m Q 35  0, p  0,15m  0,12 ps c)  pDs  0,12 ps Q ps  ps Q 35  0, p  0,15m  0,12 ps Bài 40 1 a)  t  ta có: f  tx; ty    tx    ty   t 3 x  3y  t f  x, y   f  x, y  hàm bậc 1/3 b)  t  ta có: f  tx; ty    tx  ty   ty  tx  t 2x  y  3y x  t f  x , y   f  x, y  hàm bậc 3/2   c) t  ta có: f  tx, ty, tz    tx    tx   ty    ty   tz    tz   t x  x y  y z  z  t f  x, y, z  Trang: Love NeverDies 2 Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh  f  x, y  hàm bậc d) t  ta có: f  tx, ty, tz    tx    ty    tz   tx  ty  tz  3  t 4 x  y3  z3   t f  x, y, z  t xyz  f  x, y  hàm bậc -9/4 Bài 41 Công thức Euler: x fx  y f y  zfz  s f  x, y, z  a) u  x , y  hàm bậc ux  x  3y uy  3x  10 y x.ux  y.uy  x  x  3y   y  3x  10 y   x  xy  10 y  2u (thỏa mãn công thức Euler) b) u  x, y, z  hàm bậc x2 x  y2  z2  x  y2  z2 y2  z2  x  y2  z2 x  y2  z2 x  y2  z2 ux   uy   xy    xy uz    x  y  z  x  y  z x  y  z   xy  xz xu  yu  zu    0.u x  y  z  x  y  z x x y  y2  z2 z 2 2 2 2 2 2 x xz  y2  z  x  y2  z 2 2 (thỏa mãn công thức Euler) Bài 42 Theo có: f  tx; ty   t s f  x, y  Xét điểm  x0 , y0  thuộc miền xác định f x , t  , ta có: fx  tx0 , ty0   lim f  x, ty0   f  tx0 , ty0  x  tx0 x tx0  t s 1 lim x  tu  lim tu  tx0 x tx0 u  x0  u  x0 f  u, y0   f  x0 , y0  u  x0 u  x0 f  tu, ty0   f  tx0 , ty0   t s 1 lim  lim u  x0 f  x, y0   f  x0 , y0  x  x0 x  x0 t s f  u, y0   t s f  x0 , y0  t  u  x0   t s 1 fx  x0 , y0  Từ suy ra: fx  tx, ty   t s 1 f x  x, y  => f x  x, y  hàm bậc s - Bài 43 a)  t  (tăng quy mơ) ta có: Q  tK , tL   20  tK  0,4  tL  0,3  t 0,7 20 K 0,4 L0,3  t 0,7Q  K , L   t.Q  K , L  Vậy, hàm sản xuất hiệu giảm theo quy mơ 0,6 0,8 b) t  ta có: Q  tK , tL    tK   tL    t1,4Q  K , L   t.Q  K , L  Vậy, hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ c) Các bạn xử lí tương tự, trường hợp hiệu tăng Bài 44  y  x    a) Đặt F  x, y   x y  y3 x  a  b) Đặt F  x, y   x  y2 Trang: Love NeverDies    a2 x  y Fx 3x y  y3  Fy x  3y x  Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh       2.2 x x  y  2a2 x a2 x  x x  y Fx   Fy 2.2 y x  y  2a2 y y x  y  a2 y  y  x      e  ye  ye xy c) Đặt F  x, y   xe  ye  e xe y  e x  xe xy y arctan y d) x  y2  ae x  ln x  y2  ln a  arctan x y x  y   xy y x x  x  y2 y  y2  x 1    x    x  y 1  y  x    y yx  2 x y  y  x 1    x  Đặt F  x, y   ln x  y2  ln a  arctan y x Bài 45 p 2 p p y p2 y   y   y   p   p   2y y y y y 2x  y 2x  y y    x  2y x  2y a) Đặt F  x, y   y  px b) Đặt F  x, y   x  xy  y y   x  y   x  y    x  y  x  y     y x  y    x  y 1  y  3xy  3y 2  x  2y  x  2y  x  2y x  2x  y  3y x  2y  x  2y  x  xy  y  x  2y c) Đặt F  x, y   y  ln y  x y   4 x 2x3y   y2 2y  y x y  1  y   x y 1  y   x y  x y 1  y   x y y  y    y   1  y  x y 1  y    x  x y  x y  y x y 1  y    x  x y   1  y  1  y  x y 1  y   x y  x  x y  x y   1  y  3 2 2 2 2 2 2 2 2   x y2 2x3y  y2 3 d) Đặt F  x, y   x y  x  y  a 2 2  xy y   2 2 2 2 y   xy  x x y  y3  x  x y  y3  xy  x x y  y      2x y  4y   x y  y    xy  x  xy  x y  12 y y 2x y  4y   xyy  12 x  2 3 2 Trang: Love NeverDies  3 2 Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh 10          12 x 2 x y  y3  xy  x xy   xy x y  y  x y  x x  12 y  y   x y  3y     8 x y  40 x y3  x  x y  40 x y  24 x y3  16 xy3 y  x y  3y  (Thôi, vui đủ rồi, không thay y′ vào đâu =.= ) Trang: Love NeverDies Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hồng Bá Mạnh ...  y  z     cos  x  y   cos  y  z   cos  x  z  Trang: Love NeverDies Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hồng Bá Mạnh Bài Đặt u  x  y; v  x  y , rút ngược lại ta có x  uv uv... 24  đường bàng quan U  24  xy  y  24 b) Nếu chi phí mua hai túi túi hàng mang lại lợi ích cao ưa chuộng U  4;3  24 > U  5;2   5.2  4.2  18   x  4, y  3 ưa chuộng c) Chị ta đổi... 0 3y  3 y 0 y  lim Bài 21 a) ux  3x y  y3 Trang: Love NeverDies uy  x  3y x Nhóm: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Hoàng Bá Mạnh b) ux  5x y  y2   5x y  y2   u   5x y  y x y c)