TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO 2019 - TẬP 1

TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO 2019 Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Luôn yêu để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u Câu 1: Cho hàm số f  x   mx  nx  px  qx  r , (với m, n, p, q, r  ) Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên dưới: y 1 O x Tập nghiệm phương trình f  x   r có số phần tử A B C D HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có f   x   4mx  3nx  px  q  1 Dựa vào đồ thị y  f   x  ta thấy phương trình f   x   có ba nghiệm đơn 1 , , Do f   x   m  x  1 x   x   m  Hay f   x   4mx  13mx  2mx  15m 2 Từ  1   suy n   13 m , p  m q  15m  13  Khi phương trình f  x   r  mx  nx  px  qx   m  x  x  x  15x      3x4  13x3  3x2  45x   x  3x  5 x  3   x   x    x  ( nghiệm kép)   Vậy tập nghiệm phương trình f  x   r S   ; 0;  có ba phần tử   Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A , 1 C  thỏa mãn SA  SA , SC   SC Mặt phẳng  P  chứa đường thẳng AC cắt cạnh SB , SD B , D đặt k  A 15 B VS ABCD Giá trị nhỏ k VS ABCD 30 C 60 D 15 16 HƯỚNG DẪN GIẢI S D' A' C' B' A D O B +) Do hình chóp có đáy hình bình hành nên  +) Đặt x  SA SC SB SD    (*) SA SC SB SD SD SB ; y  x, y  ; x  y  SB SD +) Ta có có  C VS ABCD VS ABC VS ACD SA SC   SB SD        (1) VS ABCD 2VS ABC 2VS ACD SA SC  SB SD   SB SD   1  4           30  SB SD  30  x y  30  x  y  30.8 60 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu  kmin  SB SD 1  xy4   SB SD 60 Bổ sung: Chứng minh hệ thức (*) Ta có VS ABCD VS ABD VS.BCD SB SD  SA SC         (2) VS ABCD 2VS ABD 2VS.BCD SB SD  SA SC  Từ (1) (2) suy ra: SA.SC   SB.SD  SD.SB   SB.SD SA.SC  SC .SA  SB.SD  SD.SB  SA.SC  SC.SA   SA  SC  SB  SD SB.SD SA.SC Câu Cho phương trình:  sin x  sin x   cos x  m  SA SC SB SD cos x  m   cos x  cos x  m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm  2  x  0; ?   A B C HƯỚNG DẪN GIẢI D Ta có: sin3 x  sin2 x  sin x   cos3 x  m    2 cos x  m  2  3 Xét hàm số f  t   t  t  2t có f '  t   6t  2t   0, t  biến cos x  m  (1) , nên hàm số f  t  đồng Bởi vậy: 1  f  sin x   f   cos3 x  m   sin x  cos3 x  m  (2)  2  Với x  0;    (2)  sin2 x  2cos3 x  m   2cos3 x  cos2 x   m (3) Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u Đặt t  cos x , phương trình (3) trở thành 2t  t   m (4)    2  Ta thấy, với t    ;1 phương trình cos x  t cho ta nghiệm x  0;        Xét hàm số g  t   2t  t  với t    ;1   t  Ta có g '  t   6t  2t , g '  t     t    Ta có bảng biến thiên t  g ' t  g t    0 +  80 27  2  Do đó, để phương trình cho có nghiệm x  0;  điều kiện cần đủ     phương trình (4) có nghiệm t    ;1   m     80   m  3; 2;1; 0 (Do m nguyên) m  0;    27  0  x  y  Câu Biết m giá trị để hệ bất phương trình  có nghiệm thực x  y  xy  m   Mệnh đề sau đúng?    1 1  A m    ;   B m    ;  C m   ;1  D m   2; 1    3 3  HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ phương trình tương đương với: Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u 0  x  y  0  x  y     xy  m    x  y  2 xy  m   x  y   x  y   0  x  y   I   2   x  1   y  1  m   II  Tập nghiệm  I  phần nằm hai đường thẳng d : y  x; d ' : y  x  d' Nếu m  1 hệ phương trình vơ nghiệm Nếu m  1 tập nghiệm  II  hình trịn  C  (kể biên) có tâm A  1;1 bán kính R  m  Do hệ phương trình có nghiệm d ' tiếp tuyến đường tròn  C  Nghĩa là: m1  m 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm m   Câu Cho tập hợp A  1; 2; 3; 4; ;100 Gọi S tập hợp gồm tất tập A, tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất chọn phần tử có số lập thành cấp số nhân bằng? A B C D 645 645 645 645 HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử tập a; b; c  S   a , b , c  100; a , b, c phân biệt a  b  c  91 1 Đây toán chia kẹo Euler nên số a , b , c C91 1 Tuy nhiên chứa có chữ số giống nhau, số có chữ số   giống 3.45  135 (bộ) Vậy n    C90  3.45 : 3!  645 Gọi A biến cố: “a, b, c lập thành cấp số nhân” Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u Gọi q cơng bội cấp số nhân theo ta có q    a  aq  aq2  91  a  q  q2  1.91  13.7  a  a  Trường hợp 1:     1  q  q  91 q   a  91 a  91 Trường hợp 2:  (loại)   1  q  q  q   a  13 a  13 Trường hợp 3:  (thỏa mãn)   q  1  q  q   a  a  Trường hợp 4:  (thỏa mãn)   q   q  q  13    Vậy n  A   P  A  645 Câu Cho hai đường thẳng cố định a b chéo Gọi AB đoạn vng góc chung a b (A thuộc a, B thuộc b) Trên a lấy điểm M (khác A), b lấy điểm N (khác B) cho AM  x , BN  y , x  y  Biết AB  , góc hai đường thẳng a b 60° Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp MN  ) A 21 B 12 C 39 D 13 HƯỚNG DẪN GIẢI Dựng hình chữ nhật ABNC  AM, BN    AM, AC   60  AB  AM  AB  AM   AB   ACM  Ta có  AB  BN AB  AC   VABNM  VMABC  1 3 AB.SACM  AB.AC.AM sin CAM  6.x.y  xy 6 2 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Ln u để sống, ln sống để học Tốn, ln học Toán để yêu 3 x  y  xy   Dấu xảy x  y  2 VABNM Khi AM  BN  AC  Lại có AB / /CN  CN   AMC   CN  CM  MN  CM  CN Mặt khác MAC  60 MAC  120 Trường hợp 1: MAC  60  AMC  CM   MN    13 Trường hợp 2: MAC  120  CM  AM  AC  AM.AC cos120  48  MN  48   41 Câu Cho hàm số y  x  ax  a Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x1 hàm số cho đoạn 1;  Có giá trị nguyên a để M  2m A 15 B 14 C 17 D 16 HƯỚNG DẪN GIẢI 3x  x x4  ax  a  0, x  1;  Xét hàm số f  x   Ta có f '  x   x 1  x  1 Do f  1  f  x   f   , x  1;  hay a  16  f  x   a  , x  1;  Ta xét trường hợp sau: TH1: Nếu a  16 1   a   M  a  ; m  a  2 Theo đề a  16  1 13  2a    a  2  Do a nguyên nên a  0;1; 2; 3; 4 TH2: Nếu a   16   1 16 16 0a m    a   ; M    a    2 3   Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, sống để học Tốn, ln học Tốn để u  1  16  61 Theo đề   a    2  a    a   2    Do a nguyên nên a  10; 9; ; 6 TH3: Nếu a  16 16   a    a   M  0; m  (Luôn thỏa mãn) 3 Do a nguyên nên a  5; 4; ; 1 Vậy có 15 giá trị a thỏa mãn yêu cầu toán Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  Hàm số y  f   x  liên tục tập số thực có đồ thị hình vẽ Biết f  1  13 , f    Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g  x   f  x   f  x    1;  bằng: A 1573 64 B 198 C 37 D y -1 O x 14245 64 HƯỚNG DẪN GIẢI Bảng biến thiên Ta có g '  x   f  x  f '  x   f '  x  Xét đoạn [1; 2] Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 Luôn yêu để sống, ln sống để học Tốn, ln học Tốn để u  x  1 g '  x    f '  x   f  x   1   f '  x     x  Bảng biến thiên  1;2 g  x   g  1  f  1  f  1    1573 64 Câu Cho hàm số y  f ( x) liên tục R có đồ thị hình vẽ:     Có giá trị n để phương trình f 16cos2 x  6sin 2x   f n  n  1 có nghiệm x  R ? A 10 B C HƯỚNG DẪN GIẢI D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y  f ( x) đồng biến R     Do đó: f 16cos2 x  6sin 2x   f n  n  1  16cos2 x  6sin 2x   n  n  1  16  cos x  sin x   n  n  1  cos x  sin x  n  n  1 Facebook: https://www.facebook.com/phamminhtuan.317 ... n  1? ??  n2  n  1? ??  10 0 2 n  n  1? ??  ? ?10 n2  n  10  ? ?1  41 ? ?1  41   n2  n  10   n   2 n n   10 n  n  10       Vì n  Z nên n  3; 2; ? ?1; 0 ;1; 2 Câu 10 ... m 3e x  2 019 (*)   Đặt e x  t  t   , Với x   0 ;1? ??  t  e ; e1  t  ? ?1; e  Ta bất phương trình f  t   m  3t  2 019   m  t   1; e  f t  3t  2 019 (1) (vì 3t  2 019  với...  [1; e ] f t  3t  2 019 có nghiệm t   1; e  10 11 x y y  2   x  y Câu 21 Cho hệ phương trình  x (1) , m tham số Gọi S tập   m 2 y  y   giá trị nguyên để hệ (1) có nghiệm Tập