Tuyển tập một số nhóm câu hỏi vận dụng cao môn toán ôn thi THPTQG

ÔN THI THPT QUỐC GIA MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI TRONG BÀI VIẾT CHINH PHỤC VẬN DỤNG CAO CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ MŨ VÀ LOGARIT NGUN HÀM TÍCH PHÂN NHỊ THỨC NEWTON ĐẾM - XÁC SUẤT CH INH PH ỤC OLY MP IC T OÁN FAN PAGE T ẠP CH Í VÀ T Ư LIỆU TỐN H ỌC LỜI GIỚI THIỆU Các câu hỏi vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia câu hỏi yêu cầu tư cao, kỹ biến đổi kiến thức đủ sâu để làm Nhằm giúp bạn đọc phần giải số dạng tốn vận dụng cao đề, mạnh dạn viết chuyên đề phần giúp bạn đọc xử lý số nhóm câu hỏi như: Cực trị mũ – logarit, nguyên hàm tích phân, tổ hợp xác suất, nhị thức newton Trong chuyên đề có phương pháp ví dụ minh họa cụ thể để bạn hiểu áp dụng Để viết nên chuyên đề tham khảo từ nguồn tài liệu các group, khóa học, tài liệu thầy cô mà tiêu biểu Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ Website Toanmath: https://toanmath.com/ Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted Thầy Huỳnh Đức Khánh Thầy Nguyễn Hữu Quyết – THPQ Bố Trạch tỉnh Quảng Bình Thầy Lê Hồng Thái – Vĩnh Yên Trong viết có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau: Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ Bản pdf phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN, hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại không cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN I MỞ ĐẦU Như ta biết đề thi mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia 2018 vừa qua có xuất câu cực trị logarit khơng phải tốn khỵ lạ gây lòng tòng cho nhiều học sinh, thực chất mấu chốt toán việc sử dụng bất đẳng thức AM – GM để đánh giá Trong viết bạn tìm hiểu phát triển tốn đỵ cao cđng ïn lại dạng toán cực trị xuất nhiều trước đây! Bài toán mở đầu Cho số thực a  0, b  thỏa mãn log 4a  5b 1  16a  b    log 8ab 1  4a  5b    Giá trị biểu thức a  2b bằng? 20 A B C D 27 Câu 43 mã đề 105 – Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2018 Nhận xét Với chưa cỵ kiến thức nhiều bất đẳng thức khả cao bỏ số khác sử dụng CASIO tìm mối liên hệ x,y cách cho Y  1000 , nhiên chắn phương trënh vô nghiệm Nếu tinh ý ta nhận thấy đề yêu cầu tìm giá trị biểu thức a  2b cỵ nghĩa a,b số xác định rồi, đỵ ta phải nghĩ tới phương pháp đánh giá! Chò ó thêm số lớn giả thiết theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có thêm 16a  b  8ab Đến toán gần coi giải quyết! Lời giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 16a  b  8ab Từ suy ra: VT  log 4a  5b 1  8ab    log 8ab 1  4a  5b    a, b   27  a  2 Dấu “=” xảy 16a  b   a  2b  log b   8ab  4a  5b    Vậy chọn đáp án D Chú ý Ngoài phép đánh giá đầu ta sử dụng thêm đánh giá sau: log a b  log b a  log a b  1  log a b  2 log a b log a b Ta cđng tëm hiểu tốn đề thi THPT Quốc Gia, chuyên đề chủ yếu nhắc tới dạng toán kiểu vậy, nhiên trước tiên ta nhắc lại số dạng toán kiến thức lý thuyết cần phải nắm rõ Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN – CỰC TRỊ MŨ LOGARIT II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để làm tốt tốn chuyên đề cần phải nắm kiến thức lý thuyết bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm biến đổi logarit sau Đây chình nội dung chun đề mà muốn nhắc tới, dạng tốn lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Trước tiên để làm tốt ta cần có số kiến thức bất đẳng thức nhắc lại kiến thức học sau: Bất đẳng thức AM – GM + Cho số thực dương a,b đỵ a  b  ab Dấu “=” a  b + Cho số thực dương a,b,c đỵ a  b  c  3 abc Dấu “=” a  b  c + Tổng quát với số thực dương + Dạng cộng mẫu số n x i 1  i n2 i 1 n i 1 i 1  xi  n n  xi Dấu “=” x1  x2   xn Dấu “=” x1  x   x n n x n i 1 x  x  x  x  2 Khi cho n  2, n  thë ta bất đẳng thức quen thuộc  1     x x x x  x  x Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: + Cho số  x , x , , x n   y , y , , y n   n  n   n  đỵ ta cỵ   xi   yi     xi yi   i 1  i 1   i 1  Dấu “=” số lập thành số tỉ lệ Chú ý cho n  2, n  ta bất đẳng thức quen thuộc +  x1  x 2  y  y 2    x1 y  x y  +  x1  x 2  x  y  y 2  y    x1 y  x y  x y  2  n   n a i  i 1  x2 y2  x  y   n + Dạng cộng mẫu Engel tổng quát  Trong đỵ dạng   a b ab i 1 bi  bi i 1 dạng ta hay gặp Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Svacxơ a a a Dấu “=” xảy     n Riêng dạng cộng mẫu thë cần thêm điều kiện b1 b bn b1 , b , , b n  Bất đẳng thức Minkowski Tổng quát: Cho số thực r  số dương a , a , , a n , b , b , , b n ta có: | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN 1 n  n r r  n r r r r a  b     i i         bi   i 1   i 1   i 1  Ở xét trường hợp cho số  a , a , , a n   b1 , b , , b n  Khi đỵ ta cỵ: n   i 1 Dấu “=” xảy n  bi  i 1 n  a i 1 i  bi  a1 a a     n b1 b bn Dạng mà ta hay gặp a2  b2  c2  d2  a  c   b  d 2 Bất đẳng thức cín gọi bất đẳng thức Vector Bất đẳng thức Holder   Cho số dương xi , j i  1, m , j  1, n j m  m   n   Khi đỵ với số 1 , 2 , , n  thỏa mãn  i  ta có:    x i , j      x i , jj  j1  i 1 i 1  j1  i 1  n n Ở ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm  a, b, c  ;  m, n, p  ;  x, y, z  Ta có: a  b3  c3  x  y  z  m  n  p3    axm  byn  czp  Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ  Một bất đẳng thức dạng mà ta hay gặp:   a   b   c    abc  Bất đẳng thức trị tuyệt đối Cho số thực a,b đỵ ta cỵ a  b  a  b  a  b Dấu “=” thứ a,b dấu, dấu “=” thứ a,b trái dấu Điều kiện có nghiệm phương trình bậc Cho phương trënh ax  bx  c   a   Khi đỵ nếu: +   thë phương trënh cỵ nghiệm , đồng nghĩa vế trái ln khơng âm khïng dương +   thë phương trënh cỵ nghiệm phân biệt Ứng dụng kiến thức áp dụng cho tëm điều kiện có nghiệm để suy min, max Ngồi phải ý tới số phép biến đổi logarit mà ta học Tính chất hàm đơn điệu Nếu hàm số f  x  đơn điệu liên tục tập xác định nỵ thë phương trënh f  x   a có tối đa nghiệm Nếu hàm số f  x  đơn điệu không lien tục tập xác định nỵ thë phương trënh f  x   a có tối đa n  nghiệm Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN – CỰC TRỊ MŨ LOGARIT III CÁC DƢNG TOÁN CỬC TRỊ MŨ – LOGARIT KỸ THUẬT RÚT THẾ - ĐÁNH GIÁ ĐIỀU KIỆN ĐƯA VỀ HÀM BIẾN SỐ Đây kỹ thuật mà gặp toán cực trị mà ta luïn nghĩ tới, hầu hết chúng giải cách biểu thức từ giả thiết xuống u cầu từ đỵ sử dụng cơng cụ đạo hàm, bất đẳng thức để giải Sau ta cđng vào ví dụ minh họa VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số thực x,y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P   2x  y  2y  x   9xy A 27 B 18 C 27 D 12 THPT Đï Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  x  y  x  y  x  y   y   x    P   2x  x     x   x  9x   x   f  x   f    18 Chọn ý B Ví dụ 2: Cho số thực a, b  thỏa mãn log a  log b  Giá trị lớn biểu thức P  log a  log b bằng? A B log  log log  log C  log  log  D log  log Chuyên KHTN Hà Nội – Lần – 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi yêu cầu toán ta được: P  log a  log b  Xét hàm số f  t   log a log b log a  log a    log log log log log t  log  t  f '  t     t  log a  log t log  t Ta có f '  t     t  log t   t  t.log 22  t  1  log 22    f t  f    log  log  P  log  log 2   log  Chọn ý A Ví dụ 3: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log a  log Giá trị nhỏ biểu b thức P  4a  b  log  4a  b  viết dạng x  y log z với x,y,z số | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN thực dương lớn Khi đỵ tổng x  y  z có giá trị bao nhiêu? A B C D Cris Tuấn Lời giải Từ giả thiết ta có 4 log a  log  log a  log 2  a  b b b Đặt t  4a  b , theo bất đẳng thức AM – GM ta có t  4a  b3  256 256 b3 b3 256 b3 b3 3  b      12 b6 b6 2 b6 2 Khi đỵ P  4a  b  log  4a  b   f  t   t  log t Ta có f '  t    4  1  0t  12 Vậy hàm f  t  đồng biến  12;   t ln 12 ln  P  f  t   f  12    log  x  y  4, z   x  y  z  Chọn ý C Ví dụ 4: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log  12  a  b   đỵ giá trị nhỏ biểu thức P  số nguyên dương A 62 log  a   b    Khi m a3 b3 45 viết dạng với m,n   n b2 a2 ab m tối giản Hỏi giá trị m  n bao nhiêu? n B 63 C 64 D 65 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log  12  a  b   log  a   b     log  12  a  b   log 2  ab2  a   b    a   b    12 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có  12  a  b    a   b     a  b    a  b  Biến đổi tiếp biểu thức P  a  a    b3  a    a   b   a4  b4   a3  b3  45 45    ab ab  a   b    4 a  b   a  b  Chú ý tới bất đẳng thức quen thuộc  a  b   a  b   1  a  b    a  b  45  a  b 4   a  b 3 45 t  4t 45      Từ đỵ suy P  2 ab a  b  12  t  t  a   b    12  a  b  Xét hàm số Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN – CỰC TRỊ MŨ LOGARIT f t  t  4t  12  t    t   t   t   t  45     43      45  45  f ' t   3 2 t  12  t   12  t  t  12    12    P  f t   f  4  61 61  P   m  n  65 4 Chọn ý D Ví dụ 5: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log  x  2y   log x  log y , đỵ giá trị nhỏ biểu thức P  e dương x2 1 y e y2 x1 viết dạng m với m,n số nguyên n m tối giản Hỏi giá trị m  n bao nhiêu? n A 62 B 78 C 89 D 91 Sở giáo dục đào tạo tỉnh Hải Phòng Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log  x  2y   log x  log y  log  x  2y   log xy  x  2y  xy  x x  y  y 2 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x   y  x x x x  x     y  y     y  4  y    y  2 2  2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số Engel ta có: P e x2 1 y e y2 x1 x x  2     y y y x 2   ln P           2y  x  2y  1  x x    y  1 2  x t2 Đặt t   y  t    ln P   f  t   f  4   P  e 2  t  1 Chọn ý C x y Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn  x, y  đồng thời  2x2  2xy  y 2xy m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x, y   e x y x y  5.2 Gọi M,  xy  x  y2 Khi đỵ giá trị biểu thức T  M  m có giá trị bao nhiêu? A e  B e  1 C e  D Không tồn Lời giải x y Từ giả thiết ta có  | Chinh phục olympic toán 2x  2xy  y 2xy x y x y  5.2   4.2 2x y  y x  5.2 y x Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN x y y x 4a Đặt a  , b   a, b   ta được: a   5b   a  b  4a  5b    a  b  x  y b Khi đỵ f  x, y   e x y 2 x y y2 x2 x x  e   x   g x 2 Ta có g '  x   e x  x  1,g ''  x   e x   đỵ g  x   g    , không tồn giá trị nhỏ Chọn ý D Ví dụ : Gọi S tập hợp cặp số thực  x; y  thỏa mãn x   1; 1 đồng thời ln  x  y   2017x  ln  x  y   2017y  e 2018 Biết giá trị lớn biểu thức x y P  e 2018x  y    2018x với x, y  S đạt  x ; y  Mệnh đề đòng? A x0   1;  B x  1 D x0   0;  C x  THPT Chuyên Quốc Học – Huế năm 2017-2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có ln  x  y   2017x  ln  x  y   2017y  e 2018 x y   x  y  ln  x  y   2017  x  y   e 2018  ln  x  y   2017  Xét f  t   ln t  2017  e 2018  * xy e 2018 e 2018  f '  t     0, t   f  t  đồng biến  0;   t t t Khi đỵ phương trënh  *   x  y  e 2018  y  x  e 2018  P  e 2018x   x  e 2018   2018x  g  x   g '  x   e 2018x  2019  2018x  2018e 2018   4036x  g ''  x   e 2018x  2018.2020  2018 x  2018 e 2018   4036  e 2018x  2018.2020  2018  2018 e 2018   4036  0, x   1;  Nên g '  x  nghịch biến  1; 1 Mà g '    e 2018  2018  0,g '    2019  2018e 2018 nên tồn x0   1;  cho g '  x0    max g  x   g  x  1;1 Chọn ý A Ví dụ 8: Cho số thực x,y thỏa mãn 3x  y2  log  x  y   biểu thức P   x  y   3xy bao nhiêu? A 13 B 17 C   log   xy   Giá trị lớn D Lời giải Điều kiện x  y;  xy Biến đổi giả thiết ta có Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | GIẢI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN – CỰC TRỊ MŨ LOGARIT 3x  y2   3x log  x  y   log   2xy   y2 2 log  x  y    2xy   log   2xy   Nếu x  y   VT  log   2xy   VP  Nếu x  y   VT  log   2xy   VP Vậy x  y    x  y    2xy  xy  2 2  x  y Khi đỵ ta cỵ: P   x  y   6xy  x  y   3xy  2a  3a  a    3 2 Do xy    x  y    2;   a2    f a  a  x  y   f 1   13 Chọn ý A Ví dụ 9: Cho số thực dương a, x, y, z thỏa mãn 4z  y , a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  log a2  xy   log a  x y  x z   4z  y B  A 4 25 16 D  C 2 21 16 Lời giải Từ giả thiết ta có z  y2 x2 y2 x2 y2  x3 y3  x2 z  x3 y   x3 y3   xy  4 Khi đỵ S  log  xy   log  xy  a 2  25 25    log a xy      16 16  Chọn ý B BÀI TẬP TỬ LUYỆN Câu 1: Cho số thực x,y thỏa mãn log x2  y2 1  2x  4y   Tính P  x biểu thức y S  4x  3y  đạt giá trị lớn A P  B P  C P   13 D P  17 44 Câu 2: Cho số thực dương x,y thỏa mãn xy  4y  Tìm giá trị lớn biểu thức S  x  2y  6y  ln   x  y  A 24  ln C B 12  ln Câu 3: Cho số thực x,y thỏa mãn x biểu thức S  x  y  x  y  y2 1  ln D  ln  log  x  y    Biết giá trị lớn a a với a,b số nguyên dương phân số tối b b giản Tính T  a  2b | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học ...LỜI GIỚI THI U Các câu hỏi vận dụng cao đề thi THPT Quốc Gia câu hỏi yêu cầu tư cao, kỹ biến đổi kiến thức đủ sâu để làm Nhằm giúp bạn đọc phần giải số dạng tốn vận dụng cao đề, mạnh dạn... hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại không cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN I MỞ ĐẦU Như ta biết đề thi mơn tốn kì thi THPT Quốc... 1  B 10 | Chinh phục olympic toán  1   C   D 1  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN Câu 18: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn y  4x