ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Năng lực, phát triển năng lực VÀ năng lực giải toán CỦA HỌC SINH THPT

khái niệm này chođến ngày nay vẫn có nhìu cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau- Theo quan điểm của những nhà tâm lí học năng lực là tổng hợp các đặcđiểm, thuộc tính tâm lí của cá nhâ

Chương 1: cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Năng lực , phát triển năng lực, năng lực giải toán

1.1.1 Năng lực là gì? Năng lực giải toán là gì?

Đã có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực và do vậy, cũng có nhiều khái niệm khác nhau Có thể xem xét khái niệm năng lực từ nhiều phương diện khác nhau

- Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học khái niệm này cho

đến ngày nay vẫn có nhìu cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau

- Theo quan điểm của những nhà tâm lí học năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằ đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao

- Theo Nguyên Huy Tú [ 12;11] : “… năng lực tự nhiên là loại năng lực đc nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của giáo dục và đào tạo nó cho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuôc sống”

- X.L.Rubinxtein cho rằng : “ năng lực là toàn bộ các thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”

- Tâm lí chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn.năng lực được chia thành 3 mức độ : năng lực, tài năng, thiên tài

- Theo từ điển tiếng việt : “ năng lực là khả năng làm việc tốt, nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ chuyên môn.”

- song song với năng lực là tri thức, kĩ năng kĩ xảo : tri thức, kĩ năng kĩ xảo là điều kiện cần thiết để hình thành năng lực song không đồng nhất với năng lực; năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng thuận lợi và dễ dàng hơn; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo không có nghĩa

là có năng lực trong lĩnh vực ấy

 năng lực toán học

- Trong tâm lí học khái niệm về năng lực toán học được hiểu theo 2 hướng:

 Thứ nhất: đó là năng lực hoạt động sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách là khoa học Người có năng lực sáng tọa toán học sẽ

cống hiến cho nhân lọai những công trình toán học đầy ý nghĩa đối với hoạt động thực tiễn của con người và đối với sự phát triển của khoa học toán học

 Thứ hai: đó là năng lực trong học tập, trong việc nắm vững các khái niệm, định lí, tính chất, hệ quả toán học với tư cách là môn học ở đây nguời học có năng lực học toán sẽ nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toán học và thực hiện thành thạo các kĩ nang kĩ xảo tương ứng

có thể khẳng định có năng lực toán học là điều kiện cần của năng lực sáng tọa toán học bởi vì năng lực sáng tạo toán học có thể xuất phát từ việc tạo lập ra một định nghĩa mới hay một định lí mới, nó hoàn toàn khác so với năng lực hiểu được những định lí toán học đã được chứng minh và thùa nhận trước đó

- Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học Con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉ được hình thành thông qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của môi trường sống Năng lực toán học được cho là có mối quan hệ mật thiết với hoạt động trực giác và sự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu Do đó, trên cơ sở nghiên cứu quá trình sáng tạo của các nhà toán học, J.Addamaa cho rằng quá trình sáng tạo toán học gồm 4 giai đoạn và tương ứng với mỗi giai đoạn là các đặc điểm riêng bao gồm giai đoạn chuẩn bị, giai đoạn ấp ủ, giai đoạn bừng sáng và giai đoạn kiểm chứng Sự sáng tạo thể hiện ý thức của con người ở trình độ cao, tức biểu thị mức độ phát triển cao trong nhận thức của con người

- Theo A.N.Kô mô gô rôp, trong thành phần của những năng lực toán học gồm:

1 Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm được con đường giải các phương trình không theo các quy tắc chuẩn hoặc như các nhà toán học quen gọi các năng lực tính toán hay năng lực <<an gôritmic>>

2 trí tưởng tượng hình học hay là <<trực giác hình học>>

Tóm lại năng lực toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình trong học tập môn toán

 năng lực giải toán chính là khả năng giải quyết các bài toán hay nói một

cách chính xác là khả năng giải quyết tình huống trong toán bao gồm các

dạng bài đã có motip giải, các dạng chưa có hoặc phải biến đổi, vận dụng các kiến thức khác Đây là yếu tố bộc lộ sự nhanh nhẹn, linh hoạt, mềm dẻo,sáng tạo,biết khai thác, tích cực của bản thân, đây chính là kĩ năng mềm

để giúp giải toán- là chìa khóa cho mọi bài toán kể cả hóc búa.tuy nhiên không phải ai cũng có năng lực và bộc lộ được năng lực này.đây là 1 quá trình không ngừng trau dồi, luyện tập, học hỏi từ năm này sang năm khác, từ nhỏ đến lớn, từ cái dễ đến cái khó.năng lực của học sinh là do chính bản thân học sinh xây dựng tuy nhiên còn chịu sự tác động không nhỏ của thầy

cô giảng dạy người giáo viên muốn nâng cao năng lực giải toán cho học sinh thì phải tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác nhau,rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau, bên cạnh đó còn phải biết cho học sinh kết hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng, và cuối cùng là cần phải làm nổi bật mạch tri thức xuyên suốt chương trình Như thế học sinh mới có thể được rèn luyện kĩ năng giải toán tốt nhât từ đó tạo đà phát triển năng lực giải toán của học sinh

Vậy làm thế nào để học sinh có năng lực giải toán và phát triển năng lực giải toán ấy ra sao?

- Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học: ta biết môn toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực( chương trình giáo dục học năm 2002,tr.2 và tr.6)

Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các phương diện khác Để đạt được mục tiêu quan trọng này môn toán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức,

kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp; đồng thời bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật

- Thứ hai, cần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh: môn toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực tri tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống ( chương trình giáo dục học năm 2002, tr.2 và tr.6)

Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có

kế hoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau

rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

.rèn luyện những trí tuệ cơ bản

.những phẩm chất trí tuệ ( tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo…)

- Thứ ba, cần giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học: môn toán cần góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen

tự học thường xuyên( chương trình 2002,tr.2 và tr.26)

Để thực hiên mục tiêu này, môn toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vậy biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm chất và phong cách lao động khoa học trong học tập như làm viêc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận,

kỉ luật, chính xác, có óc thẩm mĩ…

- Thứ tư, tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động

1.2.1 Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay.

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp của 129 học sinh lớp 11 – Ban cơ bản trường THPT Đồng Hỷ với hình thức ra phiếu điều tra trắc nghiệm

Đề của phiếu điều tra học sinh

1 Theo các em trong chuyên đề đại số tổ hợp phần nào là khó nhất?

 A: Chỉnh hợp

 B: Tổ hợp

 C: Nhị thức Niu- tơn

 D: Chỉnh hợp + Tổ hợp

 E: Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn

 F: Chỉnh hợp + Nhị thức Niu- tơn

G: Không có phần nào khó

 H: Chỉnh hợp + Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn

2 Các em có hứng thú( yêu thích) học chuyên đề đại số tổ hợp không?

 A: Có  B: Không

3 Theo các em việc phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinh THPT

có cần thiết không?

 A: Rất cần thiết

 B: Cần thiết

 C: Ít cần thiết

 D: Không cần thiết

4.Theo các em thầy (hoặc cô) đã chú ý phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho các em trong quá trình dạy học chưa?

 A: Có  B: Chưa

 Trong quá trình đi kiến tập tại trường THPT chúng tôi đã được dự giờ một

số tiết tại lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp Bên cạnh những em học tốt, hiểu

về chủ đề đại số tổ hợp thì vẫn còn những em học sinh hiểu sai đề bài, vận dụng sai công thức, Sau đây tôi xin trình bày một số cách giải toán sai của học sinh mà tôi đã tổng hợp được sau khi đi kiến tập

Bài 1: Một đoàn tàu có 3 toa 1, 2, 3 Trên ga có 4 khách mỗi khách có 4 chỗ

trống hỏi

a,có bao nhiêu cách xếp khách lên tàu

b,có bao nhiêu cách xếp khách sao cho 1 toa có đúng 3 khách

- Học sinh lên bảng trả lời

a, số cách xếp khách lên tàu là C4

12 = 495 cách

b, Chọn 1 trong 3 toa có C1

3 cách

Chọn 3 người trong 4 người xếp vào toa đã chọn có A3

4 cách Xếp 1 người còn lại vào 2 toa còn lại có 2 cách

Vậy có C1

3 x A3

4 x 2 =144 cách

Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã sử

dụng sai công thức

- Lời giải:

a, gọi 4 người khách là a, b, c, d

a có 3 cách chọn

b có 3 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 3 cách chọn

vậy có 3 x 3 x 3 x 3 = 81 cách

b, chọn 3 khách trong số 4 khách có C3

4 cách

có 3 cách xếp 3 khách vừa chọn lên tàu

có 2 cách xếp 1 khách còn lại lên tàu

vậy có C3

4 x 3 x 2 = 24 cách

Bài 2: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh

trung bình Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá?

- Học sinh lên bảng trả lời

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cách chọn

tổ A trong trường hợp này là:

3+A2

5+A5

8= 6743 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

A1

3 + A3

5 + A4

8 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

6743 + 1743 = 8486 cách

Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc.

- Lời giải:

Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có

2 học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính

là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

C1

3.C2

5.C5

8 = 1680 cách Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình

Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

C1

3.C3

5.C4

8 = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

1680 + 2100 = 3780 cách

 Sau đây là kết quả phiếu điều tra mà tôi đã thu được sau khi khảo sát học sinh lớp 11 – ban cơ bản trường THPT Đồng Hỷ

Phần trăm đáp án (%) A : 2,3 A : 38 A : 31 A : 71,3

B : 8,5

C : 44,2

D :10,1

E :2,4

F :5,4

G :3,1

H : 24

B : 62 B : 41

C : 18,6

D : 9,4

B : 28,7

* Nhận xét chung :

Qua thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề

”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng

Qua đó cho thấy năng giải toán của học sinh còn yếu Câu hỏi đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung

1.2.2 : Những khó khăn, sai lầm của học sinh trong khi giải toán đại số tổ hợp

Bên cạnh phiếu điều tra học sinh chúng tôi còn xin ý kiến của các em học sinh và các thầy cô giáo về câu hỏi sau: Theo các em ( các thầy , cô giáo) có những khó khăn gì khi các em học sinh giải toán đại số tổ hợp ?

Sau khi tổng kết những ý kiến và tham khảo một số tài liệu sau đây tôi xin trình bày những khó khăn, sai lầm của học sinh trong khi giải toán đại số tổ hợp mà tôi

đã thu được

a, Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó” Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa

Ví dụ 1 :

Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là C k

n ’’ mà phát biểu đúng là: ‘Số tổ hợp chập k của n là C k

n ’’ hoặc ‘Chỉnh hợp chập k của n là A k

n ’’

mà phát biểu đúng là: ‘Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là A k

n ”

Cũng có những học sinh áp dụng công thức rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức

Ví dụ 2 :

Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?

Học sinh giải như sau:

Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh)

Vận dụng quy tắc cộng ta có :

20 + 20 = 40 cách

Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là

ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ)

Lời giải đúng là:

Số học sinh nữ trong lớp là:

40 – 20 = 20 (học sinh) Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam

và 1 bạn nữ là:

20.20 = 400 (cách chọn)

Ví dụ 3:

Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra cặp để tham gia trò chơi?

Học sinh giải như sau:

Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A3

7 = 210 cách Tương tự số cách chọn 3

nữ có thứ tự là: A3

9 = 504 cách Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là:

A1

3.A3

5 = 210.504 = 105840 (cách)

Sai lầm học sinh mắc phải:

Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại Giả sử 3 bạn nam xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c Ta có 3 cặp (A,a), (B,b), (C,c) Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3 cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống trước Như vậy trong bài toán này ta phải dùng công thức tính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp