Đây là tài liệu tôi tự sưu tầm và gõ. Tài liệu rất hay và tôi thật sự tâm đắc. Hi vọng bộ tài liệu của tôi sẽ giúp các thầy cô, các bạn có nguồn kiến thức rộng hơn. Toán 12 rất khó và dài, các em muốn có kết quả thi THPTQG tốt và được điểm cao nên một lần tham khảo tài liệu này, nó sẽ giúp ích cho các em rất nhiều. Cố gắng lên, chủ nhân tương lai là ở các em.
Bài tốn 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị y=f’(x) hình vẽ sau: y -5 -3 -1 x -1 Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(e3f(x)+1 + 2f(x)) nghịch biến khoảng sau đây? A (-;-5) B (-3;) C (-1;+) D (-3;-1) Lời giải: Chọn A g’(x) = 3f’(x).e3f(x)+1 + 2f(x).f’(x).ln2).f’(e3f(x)+1+2f(x)) Ta có: = f’(x).(3.e3f(x)+1 + 2f(x).ln2) f’(e3f(x)+1+2f(x)) YCBT f’(x) < Mà ta thấy rằng: 3.e3f(x)+1 + 2f(x).ln2 > 3.e3f(x)+1 + 2f(x).ln2 > e3f(x)+1+2f(x) > Suy g’(x) < f’(e3f(x)+1+2f(x)) > f’(x) < x < -5 Vậy hàm số nghịch biến (-;-5) Bài toán 2: Cho hai hàm đa thức y=f(x), y=g(x) có đồ thị hai đường cong hình vẽ bên y0 B A y = g(x) y = f(x) x Biết đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị A, đồ thị hàm số y = g(x) có điểm cực trị B AB = 7/4 Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (-5;5) để hàm số y = ||f(x) – g(x)|+ m| có điểm cực trị? A B C D Lời giải: Chọn B y y = f(x) A x1 Bx2 x3 y = g(x) x Ta đặt h(x) = f(x) – g(x) Ta có h’(x)= f’(x) – g’(x) h(x) = có nghiệm x1 < x2 h’(x) =0 x = x0 (x1 < x0 < x2), h(x0)= f(x0)–g(x0)= -7/4 Bảng biến thiên x -∞ x0 h’(x) +∞ - + +∞ +∞ h(x) 7/4 Suy bảng biến thiên hàm số y = |h(x)| là: x -∞ x1 - |h(x)|’ x0 + x2 - + +∞ +∞ 7/4 |h(x)| Do số y cực +∞ = |h(x)|+ m trị, hàm có điểm Vì số điểm cực trị hàm số y = ||h(x)|+ m| tổng số điểm cực trị hàm số y = |h(x)|+ m số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình |h(x)|+m=0, mà hàm số y = |h(x)|+m có điểm cực trị nên hàm số y = ||h(x)|+ m| có điểm cực trị phương trình |h(x)|+ m = có nghiệm đơn ( bội lẻ ) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = |h(x)|, phương trình |h(x)|+ m=0 có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) -m7/4 m ≤ -7/4 Vì m số nguyên m ≤ -7/4 nên m ∈ {-4;-3;-2} m ∈ (-5;5) Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ đồng thời thỏa mãn: f(x+1) – f(x) = 2x(2x+1)(x+1) (*) Biết f(x) = ax4 +bx2+c ; g(x) = mx2 + nx+ p f(x) = g(x2-1) Tìm giá trị nhỏ hàm số g(x) y 11 -1 B A D x C -2 Lời giải: Chọn D Từ (*) t thay x = f(1) = f(0) Ta có x = y = -1 c = -1 a+b=0 c = -1 x = 2, y = 11 f(x) = x4 – x2 – Mặt khác x4 – x2 – 1= g(x2 – 1)= m(x2 – 1)2 + n(x2 – 1) + p= mx4 –2mx2 +m +nx2 –n + p m=1 2m + n = -1 m – n + p = -1 m=1 n=1 p = -1 g(x) = x4 – x2 + g(x)= Vậy giá trị nhỏ hàm số g(x) Bài toán 4: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ cắt trục hồnh điểm hình cho điểm C tâm đối xứng đồ thị y 6.5 2.5 C x 2.5 6.5 Xét cặp (a;b) với a, b a < b cho đồ thị hàm số g(x)= [f(x) – a][ f(x) – b] cắt trục hồnh có ba cặp giao điểm đối xứng với qua điểm C Tổng giá trị a nhận là? A 15 B C 12 Lời giải: Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm g(x) với trục hồnh là: D 18 [f(x) – a][ f(x) – b] = f(x) = a f(x) = b Vì hàm số y = f (x) nhận xứng nên để đồ thị hàm số y = g(x) cắt điểm C tâm đối trục hồnh có ba cặp giao điểm đối xứng với qua điểm C giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) với đường thẳng y = a , y = b đối xứng với qua điểm C Do a+b = a = - b (a > 0) Quan sát đồ thị ta thấy f (x) = a có ba nghiệm phân biệt 2,5 < a < 6,5 mà a Z+ a {3;4;5;6} Vậy tổng giá trị a 18 Bài toán 5: Cho hàm số f (x) liên tục có đồ thị hình vẽ y 2 x 2 Số nghiệm thực phương trình |f(|f(x)|)| - |f(x)| = là? A 12 B 16 Lời giải: Chọn D C 18 D 20 Đối với toán hàm nhiều ẩn ta đặt ẩn để quy ẩn biến đưa toán tương giao hai hàm số Đặt t = |f(x)| (t > 0) Phương trình cho viết lại thành |f(x)| = t Đến ta vẽ đồ thị hàm số y= |f(x)| y = x y 2 x 2 Đồ thị y= |f(x)| vẽ cách giữ nguyên phần phía trục hồnh Lấy đối xứng phần phía trục hồnh lên trục hoành ta thu đồ thị y = |f(x)| Xét phương trình f(t) = t t = a (0 < a < 1) t = b (0 < b < 1) t = c (1 < c < 2) t = d (2 < d < 3) • • • • |f(x)| = a (0 < a < 1) |f(x)| = b (0 < b < 1) |f(x)| = c (1 < c < 2) |f(x)| = d (2 < d < 3) nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có tất + + = 20 nghiệm Bài toán 6: Cho hàm số f(x) liên tục có đồ thị hình vẽ y x O Các giá trị tham số m để phương trình = f2(x) + có nghiệm phân biệt : A m = B m = C m = D m = Lời giải: Chọn C Ta biến đổi = f2(x) + = (f2(x) + 3) = + Xét hàm số f(t) = t3 + t f’(t) = 3t2 + > R f(t) đồng biến R Nên suy 2m = m>0 4m2 – m>0 4m = f(x) = m f(x) = Do phương trình f(x) = g(m) ln có nghiệm nên để phương trình cho có nghiệm phân biệt f(x) = có phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm Để ý f(x) = có hai nghiệm m có nghiệm m • • m f(x) = phương trình có nghiệm m để phương trình có nghiệm f(x) = có hai nghiệm =4 m= Bài toán 7: Cho hàm số y=f(x) liên tục R có đồ thị hình vẽ y 1 -1 x -1 Số giá trị nguyên f() - = có hai nghiệm phân A B thàm số m là: biệt C để phương trình D.7 Lời giải: Chọn B Đặt = t, với x (0;+) Phương trình tương đương f(t) = (1) Với giá trị t > 0, ta có giá trị x > tương ứng Do cần tìm m để (1) có nghiệm dương phân biệt Dựa vào đồ thị, điều xảy khi: -1 < < Mà m Z -7 < m2 < -3 < m < m {-2;-1;0;1;2} Bài toán 8: Cho hàm số f(x) Đồ thị hàm số f’(x) [-3;2] hình vẽ (phần cong phần Parabol y = ax2 + bx + c) y -3 -1 -2 Biết f(-3) = Giá trị f(1) bằng? A x f(B 1) + C D Lời giải: Chọn B Parabol y = ax2 + bx + c có nghiệm -3;-1 nên có dạng y = a(x+3)(x+1) Vì Parabol qua điểm (-2;0) nên a=-1 Để tính f(-1), ta xét f(-1) - f(-3) = = f(-1) = Để tính f(1), ta xét f(1) - f(-1) = = S1+S2, S1 diện tích tam giác có đỉnh tọa độ (-1;0),(0;2),(0;0) nên S1 = 1.2 =1 S2 diện tích hình thang có đỉnh (0;0),(0;2),(1;1),(1;0) nên S2 = (2+1) = f(1) - f(-1) = + = Vậy f(-1) + f(1) = [f(1) - f(-1)] + 2f(-1) = + = Bài toán 9: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ y -1 -3 O -2 -4 -6 x Số giá trị nguyên m để phương trình 2f(3-4 = m - có nghiệm? A B C D 17 Lời giải: Chọn C Điều kiện: 0 Đặt t = - , x [0;] Ta có t’ = -4 = x = (0;) Bảng biến thiên cho t = - Vì x [0;] t [-1;] Phương trình trở thành: 2f(t) = m – f(t) = , t [-1;] (*) Phương trình 2f(3-4=m - có nghiệm f(t) = có nghiệm t[-1;] -6 -2 + a Mà m -12 -4 + 2a m {-9;-8;-7;…;-1} -9 -1+2a , với = a+2, a (0; ) Có giá trị nguyên m thảo mãn ycbt Bài toán 10: Cho hàm số y = ax3 + 3bx2 – 2cx + d (a;b;c;d số, a 0) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = x4 + (a+b)x3 + (3b - c)x2 + (d – 2c)x + d - 2019 nghịch biến khoảng sau đây? A (-) B (0;2) C (1;2) D (2;+) y 1 x Lời giải: -3 Chọn C Ta thấy hàm y = ax3 + 3bx2 – 2cx + d nghịch biến nhận giá trị âm khoảng (1;2) Một nguyên hàm hàm khoảng (1;2) hàm y= x + (a+b)x + (3b - c)x + (d – 2c)x + d – 2019 nghịch biến khoảng cho Tổng hàm nghịch biến khoảng hàm nghịch biến khoảng Vậy hàm y = x4 + (a+b)x3 + (3b - c)x2 + (d – 2c)x + d – 2019 nghịch biến khoảng (1;2) Bài toán 11: Cho hàm số f(x) liên tục R có đồ thị f’(x) hình vẽ bên Bất phương trình + f(x) > – m với x(-1;4) khi: A m – f(-1) B m – f(1) C m – f(4) D m < – f(-1) y y = f’(x) -1 x Lời giải: Chọn C Bất phương trình tương đương: + f(x) - + m > Đặt t = bất phương trình trở thành: +t–6>0 Vậy ycbt t>5 >5 m > – f(x) m > g(x) = – f(x), x(-1;4) (*) Ta có g’(x) = -f’(x) = f’(x)=0 x = (-1;4) Bảng biến thiên: x -1 - + g’(x) – f(4) – f(-1) g(x) – f(1) Dựa vào diện tích hình phẳng đồ thị ta có: > -> f(1) – f(4) > f(1) – f(-1) Do – f(-1) < – f(4) Vậy (*) f(-1) > f(4) g(-1) < g(4) m g(4) = – f(4) Bài toán 12: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục R Hàm số y = f’(x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tập hợp S tất giá trị thực tham số m để hàm số g(x) = |2f2(x) + 3f(x) + m| có điểm cực trị, biết f(a) = 1, f(b) = 0, =, = A S = (-5;0) B S = (-8;0) C S = (-8;) D S = (-5;) y x a b Lời giải: Chọn A Chiều biến thiên f’(x) f’(x) f(x) c a hình vẽ b f(x)=k Ta có g’(x) = = f’(x) = f(x) = 2f2(x) + 3f(x) + m = x = a; x = b; x = c 2f2(x) + 3f(x) = -m Để g(x) có cực trị (0;1); k2 (0;1) 2k2 + 3k = -m có nghiệm k1 (1) có nghiệm phân biệt Xét h(k)= 2k2+ 3k; h’(x)= 4k+3 = k (1) k = nên có BBT: K1 k2 h(k) Dựa vào hình vẽ ta thấy < thỏa mãn điều kiện -m < -5 < m < Bài toán 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục R Biết f’(-2)=-8 f’(1)=4 đồ thị hàm số f”(x) hình vẽ Hàm số y=2f(x3)+16x+1 đạt giá trị lớn x0 thuộc khoảng sau đây? y f”(x) -2 x (0;4) B (4;+ ... y 11 -1 B A D x C -2 Lời giải: Chọn D Từ (*) t thay x = f (1) = f(0) Ta có x = y = -1 c = -1 a+b=0 c = -1 x = 2, y = 11 f(x) = x4 – x2 – Mặt khác x4 – x2 – 1= g(x2 – 1) = m(x2 – 1) 2 + n(x2 – 1) ... f( -1) - f(-3) = = f( -1) = Để tính f (1) , ta xét f (1) - f( -1) = = S1+S2, S1 diện tích tam giác có đỉnh tọa độ ( -1; 0),(0;2),(0;0) nên S1 = 1. 2 =1 S2 diện tích hình thang có đỉnh (0;0),(0;2), (1; 1), (1; 0)... (0;0),(0;2), (1; 1), (1; 0) nên S2 = (2 +1) = f (1) - f( -1) = + = Vậy f( -1) + f (1) = [f (1) - f( -1) ] + 2f( -1) = + = Bài toán 9: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ y -1 -3 O -2 -4 -6