Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein một thành phần trong thống kê chính tắc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THANH NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC Chun ngành: Vật lý lý thuyết KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THANH NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Văn Thụ người định hướng chọn đề tài tận tình giúp đỡ, hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm khóa luận Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh LỜI CAM ĐOAN Dưới giúp đỡ hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Văn Thụ luận văn chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc” hồn thành nghiên cứu tìm hiểu thân, không trùng lặp với luận văn khác Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Những đóng góp đề tài Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.1 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.2 Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.2.1 Ngưng tụ Bose-Einstein nguyên tố Erbium 1.1.2.2 Lần quan sát thấy hiệu ứng Hall BEC 1.2 Lý thuyết trường trung bình 1.2.1 Thế tương tác 1.2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii 10 1.3 Phương pháp gần parabol kép (Double parabola approximationDPA) 12 KẾT LUẬN CHƯƠNG 14 CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC 15 2.1 Các hệ thống kê 15 2.1.1 Hệ hạt đồng 15 2.1.2 Hệ vi tắc 16 2.1.3 Hệ tắc 19 2.2 Trạng thái gần Parabol kép 25 2.3 Khái niệm sức căng mặt 27 2.4 Sức căng mặt ngồi hệ tắc 31 KẾT LUẬN CHƯƠNG 33 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 KÍ HIỆU VIẾT TẮT BEC (Bose-Einstein condensate): Ngưng tụ Bose- Einstein GPE (Gross-Pitaevskii equation): Phương trình Gross-Pitaevskii DPA (Double-parabola approximation): Gần parabol kép CE (Canoical ensemble): Chính tắc MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) trạng thái vật chất tạo thành làm lạnh khí boson, tới gần độ không kenvin (0K) Ở nhiệt độ này, lượng lớn boson nằm trạng thái lượng tử thấp nhất, mức vĩ mơ hiệu ứng lượng tử trở lên rõ gọi tượng lượng tử mức vĩ mô Năm 1924, Albert Einstein Satyendra Nath Bose dự đốn có trạng thái “Ngưng tụ Bose-Einstein”, hay gọi trạng thái thứ năm vật chất Trong trạng thái BEC này, vật chất khơng hoạt động độc lập với mà chúng rơi vào trạng thái mà diễn tả với hàm sóng Ở thể khí, Ngưng tụ Bose-Einstein lý thuyết bị nghi ngờ suốt thời gian dài Năm 1995, đội nghiên cứu đến từ trường đại học Colorado Bouder lần tạo thành công trạng thái thực nghiệm Việc phát trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein mang lại phát minh quan trọng mở đường cho phát triển khoa học công nghệ đại Trong nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein nghiên cứu sức căng mặt ngồi có ý nghĩa quan trọng, đặc biệt việc tìm hiểu chuyển pha ướt hệ Đây vấn đề đưa vào vận dụng nhiều cơng nghệ ngày Vì lí mà tơi lựa chọn đề tài “Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phương trình Gross-Pitaevskii phương pháp gần parabol kép Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc, tức hệ lập với số hạt khơng đổi Những đóng góp đề tài Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc có đóng góp quan trọng lý thuyết lượng tử vật lý thống kê nói riêng, vật lý lý thuyết nói chung Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng gần trường trung bình - Sử dụng gần parabol kép - Sử dụng thống kê tắc - Tính tốn vẽ hình dựa vào phần mềm Mathematical NỘI DUNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.1 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ Bose-Einstein Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) trạng thái vật chất tạo thành làm lạnh khí boson, tới gần độ không kenvin (0K) Ở nhiệt độ này, lượng lớn boson nằm trạng thái lượng tử thấp nhất, mức vĩ mơ hiệu ứng lượng tử trở lên rõ gọi tượng lượng tử mức vĩ mô Einstein đưa dự đoán vào năm 1925 với nguyên tử có spin nguyên Tiếp Einstein cải tiến quan điểm Bose cho hệ hạt Sự cố gắng hai nhà khoa học đưa lý thuyết khí bose phạm vi thống kê Bose-Einstein Einstein giải thích nguyên tử boson làm lạnh đến độ không tuyệt đối hệ bị tụ lại trạng thái lượng tử thấp sau vật chất hình thành lên trạng thái Hiện nay, người ta ngưng tụ tổng cộng 13 nguyên tố Trong mười ngun tố tìm mười nhóm nghiên cứu khác giới [4] Năm 1995, khí ngưng tụ thành công hai nhà khoa học Eric Cornell Carl Wieman, nguyên tử Rubidi làm lạnh tới nhiệt độ 170 nanokelvin (nK) Cùng thời điểm, nhà vật lý Wolfgang Ketterle ngưng tụ thành công nguyên tử Natri để tạo ngưng tụ Bose-Einstein Sau Cornell, Wieman, Ketterle trao giải Nobel Vật lý năm 2001 Trong vật lý có hai lớp hạt bản: lớp hạt boson lớp hạt fermion Boson bao gồm hạt với “spin nguyên” (photon, -meson, K-meson, ); fermion bao gồm hạt với “spin bán nguyên” (electron, nucleon, ) Các Dựa vào (2.29) (2.26) viết lại sau N2 1 b  U E H X Q    dQ2 1 2    E   Q2    X1   (2.30) Đưa vào kí hiệu: M 3N bEc M 1, B E, M   E  (2.31) Do (2.30) trở thành:   X1    H X M  1  E   B  E, M    2 Q 2  U 1   Q2   M  dQ2 (2.32) E  H1  X    Dựa vào (2.20), theo (2.31) N lớn, ta đặt E  M Khi (2.32) viết lại sau  U Q M  H X 2  M B  E, M  1   dQ2 (2.33) 1 1    M M   H1  X   Q 2  Theo (2.22), lấy tích phân theo Q2 vế phải biểu thức (2.33)   X1   ta có: M   X1   H  X1  D  , M  1  ,  M   với D  , M  tích tích phân với hệ số (2.34) B  , M  Nếu M   D  , M  tiến đến giá trị giới hạn D đó, phụ thuộc vào  lim 1 y  M y e n Khi (2.34) viết lại sau M  H   X 1  D exp 1    X1   (2.35) M  Tóm lại cuối dạng tổng quát hàm phân bố   X  phụ thuộc vào số thông số  Lưu ý ta cần khảo sát hệ C1 ta bỏ qua số Và ta viết lại (2.24) sau,  X , a exp     , a   H  X ,  (2.36)    Biểu thức (2.36) phân bố tắc Gipxơ tập hợp pha gọi tập hợp tắc Thơng số  gọi mơđun phân bố tắc, đại lượng  xác định từ điều kiện chuẩn hóa dX   suy    X    X X    , a   H  X 1 ,a  , exp   dX     H ,a  exp    dX     X    ln X  ln Z  ,a  (2.37) (2.38)  Đại lượng ln Z  , a    H ,a  exp    dX     X X (2.39)  Biểu thức (2.39) tích phân trạng thái, biểu thức quan trọng vật lý thống kê nhờ mà việc tìm đại lượng vật lý hệ trở nên dễ dàng 2.2 Trạng thái gần Parabol kép Cho đến ngày người ta chưa tìm phương pháp giải xác cho phương trình (1.22), để tìm nghiệm phương trình ta sử dụng phương pháp gần parabol kép Ta có phương trình Euller-Lagrang dc    ( 1)   0, d (2.40) với   Giải phương trình (2.40) thu nghiệm    1 C e1  C2e Vì hàm sóng phải liên tục, đơn trị hữu hạn mà e  (2.41) vơ hạn nên phương trình (2.41) viết lại sau Xét điều kiện biên  1  C2 e (  0)    C2   C2  1   1 e  , (2.42) (2.43) (2.44) (2.44) nghiệm gần phương trình (1.22) gọi hàm sóng trạng thái Phương trình (1.22) khơng giải theo phương pháp tốn học gắn thêm điều kiện biên giải với nghiệm xác    (2.45) 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Hình 2.1: Tham số trật tự theo tọa độ Hình 2.1 thể mối liên hệ tham số trật tự  tọa độ  , đường nét liền nghiệm gần phương trình (1.22), đường nét đứt nghiệm xác phương trình (1.22) Nhận thấy hai đường biểu diễn gần trùng nhau, phương pháp gần parabol kép chấp nhận 2.3 Khái niệm sức căng mặt Để hiểu khái niệm sức căng mặt hệ BEC, trước hết ta tìm hiểu vấn đề chất lỏng cổ điển Giả sử phân tử A bị tách riêng khối chất lỏng ta khảo sát lực tác dụng mà phân tử nhận từ phân tử khác xung quanh Lấy tâm phân tử A làm tâm hình cầu gọi hình cầu tác dụng phân tử Gọi r bán kính hình cầu hay bán kính tác dụng phân tử Chúng ta quan tâm đến phân tử có tâm nằm hình cầu tác dụng phân tử Do phân tử A bên khối chất lỏng nên chịu tác dụng lực hút từ hướng phân tử hình cầu tác dụng gây chúng cân nhau, Vì lực tổng hợp mà phân tử A nhận từ phân tử chất lỏng khác khơng B A Hình 2.2 Tuy nhiên, xét phân tử có phần nhơ khỏi mặt thống kết khơng Giả sử ta có phân tử B hình 2.2, khoảng cách từ tới mặt thống nhỏ r Coi phần mặt thống khối chất lỏng thể khí Do có số lượng phân tử thể khí tác dụng lên phân tử B ta bỏ qua lực tác dụng chúng lên phân tử B Và quan tâm tới phân tử chất lỏng nằm hình cầu tác dụng phân tử B Nhận thấy có lực  f làm cho phân tử B có xu hướng di chuyển vào phía lòng chất lỏng độ lớn lực tác dụng lên phân tử B phân tử chất lỏng gây  khác khơng Nếu phân tử B sát mặt thống giá trị lực f lớn  Tuy phân tử B chịu tác dụng lực f phân tử B lại khơng di chuyển vào phía lòng chất lỏng mà thực dao động nhiệt  quanh vị trí cân Điều giải thích sau: lực f làm cho phân tử B hướng vào lòng chất lỏng phân tử chất lỏng gần sinh lực chống lại lực f Tương tự phân tử B hình 2.2 ta thấy lớp chất lỏng có bề dày d  r chứa phân tử chất lỏng chịu tác dụng lực f hướng vào lòng chất lỏng Chúng chuyển động hỗn loạn không ngừng xung quanh vị trí cân sau khoảng thời gian định chúng tương tác với phân tử xung quanh nên chúng lại đổi vị trí cân Do lực f hợp với mặt thống góc 90° nên phân tử B khơng chuyển động theo phương vng góc phương nằm ngang so với mặt thoáng Xét thành phần nằm ngang f1 , f chúng hai lực ngược chiều phải có độ   lớn f1  f chúng triệt tiêu Khơng giống với lực f , B gần mặt thống độ lớn lực f1 f giảm Nếu nguyên nhân phân tử B bị phần chất lỏng phía lực f1 f tác dụng làm cho phân tử B chuyển động sang trái sang phải Ta tưởng tượng lớp mặt ngồi có bề dày d chứa phân tử chất lỏng hình thành nên đoạn cong nhỏ gọi đoạn cong nguyên tố kí hiệu l tập hợp tất lực thành phần tác dụng lên phân tử theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng phía xác định đoạn cong nguyên tố l lực căng mặt f Do l nhỏ gần đoạn thẳng coi lực căng mặt f hợp với l góc 90° Khi chịu tác dụng lực căng mặt ngồi f lớp mặt ngồi có xu hướng thu đạt đến diện tích nhỏ Đặc điểm lớp mặt tạo màng căng mặt thống chất lỏng, tượng mà khảo sát người ta gọi tượng căng mặt Trên ta tìm hiểu khái niệm lực căng mặt ngồi dựa vào lực tương tác phân tử Ngoài khái niệm lực căng mặt ngồi xây dựng dựa quan điểm lượng sau Để di chuyển phân tử lòng chất lỏng tiến gần tới lớp mặt ngồi cần sử dụng cơng cho cơng lớn lực cản phân tử chất lỏng lân cận nói gây Trong trường hợp khối chất lỏng bị lập khơng tương tác với vật bên ngồi công xác định độ biến thiên động phân tử động giảm dẫn tới độ tăng phân tử Ngược lại phân tử di chuyển từ lớp mặt ngồi tiến vào phía lòng chất lỏng sinh cơng tính độ giảm phân tử động phân tử tăng lên Vậy phân tử lòng khối chất lỏng phân tử lớp mặt ngồi có phụ Người ta gọi tổng phụ phân tử lớp mặt lượng tự Năng lương tự phần nội khối lỏng Năng lượng tự tăng phân tử di chuyển từ lòng chất lỏng lớp nhiều Sự tăng lượng chất lỏng nhận công động phân tử giảm hai ngun nhân Ngược lại diện tích mặt ngồi chất lỏng co lại, làm giảm lượng tự chất lỏng sinh cơng cho ngoại vật nóng lên xảy hai tượng Từ ta có khái niệm: “Sức căng mặt ngồi có giá trị đo độ tăng lượng tự mặt đơn vị diện tích ” [1]   W , D 30 (2.46) với W lương tự mặt ngồi, D diện tích mặt thống 2.4 Sức căng mặt ngồi hệ tắc Các cơng trình nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein có đóng góp quan trọng cho việc nghiên cứu tính chất lượng tử Nhất việc nghiên cứu chuyển pha ướt hệ có đóng góp quan trọng Dựa việc xây dựng lý thuyết Gross-Pitaevskii nhà nghiên cứu tính tốn sức căng mặt ngồi ngưng tụ Bose-Einstein thành phần Chúng ta nghiên cứu sức căng mặt ngồi hệ tắc Đầu tiên ta có khái niệm lượng dư thừa bề mặt đưa Ao Chui [6], điều có nghĩa là, lượng dư thừa tổng lượng trừ phần lượng khối E  E CE  N  E  N CE ECE (2.47) N Kết hợp (1.22), (1.23) (2.47) chia cho diện tích mặt thống D, ta có sức căng bề mặt [5]  n  DPA cE D   0   2  dz    ,   2m  Đưa dạng không thứ nguyên (1.20) ta có  1   n   d  gn  0 0 2  DPA   DPA  P  d 2  ,  (2.48) với P0  gn02 / áp suất hệ Tính tích phân (2.48) với hàm sóng (2.44)  DP  A ta P0 (2.49) Theo (2.49) sức căng mặt ngồi thống kê tắc tỉ lệ thuận với độ dài đặc trưng hệ Bây sử dụng nghiệm xác (2.45) kết thu   P0 (2.50) So sánh (2.49) (2.50) ta thấy  DPA   (2.51) Theo (2.51) nhận thấy kết thu từ phương pháp DPA lớn 3/2 lần so với kết tương ứng sử dụng nghiệm xác KẾT LUẬN CHƯƠNG Ở chương trình bày khái niệm sức căng mặt ngồi, tìm hiểu hệ tắc trạng thái parabol kép, phương pháp gần parabol kép chấp nhận từ ta đưa biểu thức giải tích sức căng mặt ngồi ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc KẾT LUẬN Đề tài “Sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc” sau hồn thiện thu kết sau: - Tổng quan nghiên cứu lý thuyết thực nghiêm ngưng tụ Bose- Einstein - Trình bày tương tác, Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian không phụ thuộc thời gian - Phương pháp gần parabol kép trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein thành phần gần parabol kép - Tính giá trị sức căng mặt ngưng tụ Bose-Einstein thành phần thống kê tắc TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Văn (1978), Vật lý phân tử nhiệt học, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Trần Thái Hoa (2014), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội II [3] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] www.wikipedia.org Tiếng Anh [5] J O Indekeu, C Y Lin, N V Thu, B V Chaeybroeck, T H Phat (2015), Phys Rev A 91, 033615 [6] P Ao and S T Chui, Phys Rev A 58, 4836(1998) ... tài Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose- Einstein thành phần thống kê tắc làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose- Einstein thành phần thống kê tắc Nhiệm... CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE- EINSTEIN 1.1 Tổng quan ngưng tụ Bose- Einstein 1.1.1 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ Bose- Einstein 1.1.2 Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ Bose- Einstein. .. đề tài Nghiên cứu sức căng mặt ngưng tụ Bose- Einstein thành phần thống kê tắc hồn thành nghiên cứu tìm hiểu thân, khơng trùng lặp với luận văn khác Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành tựu