Bai tap XSTK

PHẦN XÁC SUẤT Bài tập chương I Định nghĩa xác suất cổ điển 1.1 Ba xạ thủ, người bắn phát Gọi Ai biến cố người thứ i bắn trúng Hãy biểu diển Ai qua biến cố sau: a A : có người thứ bắn trúng b B : người thứ bắn trúng người thứ hai bắn trật c C : có người bắn trúng d D: người bắn trúng e E: có hai người bắn trúng f F: có hai người bắn trúng g G : khơng có bắn trúng h H : khơng có người bắn trúng i I: người thứ bắn trúng, người thứ hai người thứ ba bắn trúng j K : người thứ bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng 1.2.Một túi đựng 12 cầu, có màu xanh, vàng Lấy ngẫu nhiên (không hồn lại) từ túi cầu a) Tính xác suất để có cầu xanh cầu lấy từ túi b) Tính xác suất để cầu lấy có cầu xanh ĐS.a) C72C52 / C124 b) − C54 / C124 1.3.Một người gọi điện thoại quên hai chữ số cuối số điện thoại cần gọi nhớ hai chữ số khác chữ số cuối 1, 4, Tìm xác suất để xãy biến cố A: quay ngẫu nhiên lần trúng số điện thoại ĐS 1/27 1.4.Một hộp có 10 sản phẩm (trong có phế phẩm).Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) từ hộp sản phẩm.Tính xác suất để có khơng q phế phẩm sản phẩm lấy ĐS (C75 + C74C31 ) / C10 1.5.Một kiện hàng có 12 sản phẩm, có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng Tìm xác suất để sản phẩm lấy có phẩm ĐS.P(A) = − P( A )= − C43 / C12 1.6 Gieo đồng thời hai xúc xắc chế tạo cân đối, đồng chất Tìm xác suất để: a Tổng số nốt b Tổng số nốt ĐS.a)1/6 b)5/36 97 Nguyễn Đình Ái 1.7 Trên giá sách có 50 sách, có sách tác giả Tìm xác suất để khơng đứng cạnh 1.8 Một dãy ghế hội trường rạp chiếu phim có 20 chổ ngồi, xếp 20 người vào ngồi cách ngẫu nhiên, có Lan Tuấn Tính xác suất để: a Lan ngồi hai đầu dãy ghế b Lan Tuấn ngồi gần ĐS a) 1/10 b)1/10 1.9 Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có người nộp đơn ( có nữ nam ) Giả sử khả trúng tuyển người Tính xác suất để: a người trúng tuyển nam b người trúng tuyển nữ c có nữ trúng tuyển ĐS a)1/15 b) C42 / C62 c)1−1/15 = … 1.10 Trong lớp có 25 sinh viên, có 10 nam 15 nữ Chọn ngẫu nhiên nhóm gồm sinh viên để chiến dịch sinh viên tình nguyện Tính xác suất để: a Có nam số sinh viên chọn? b Có nhiều sinh viên nam sinh viên chọn? c Không có sinh viên nam sinh viên chọn? d Có sinh viên nam sinh viên chọn? 8 ĐS.a) C104 C154 / C25 b)1− P(A) = … c)P(C)= C15 c)P(D)=1−P(C) / C25 1.11 Trong 30 đề thi, có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm xác suất để: a Một học sinh bốc đề, gặp đề trung bình b Một học sinh bốc đề, gặp đề trung bình ĐS.a)20/30 = … b) − C102 / C30 1.12 Một cơng ty có 60 nhân viên, có 20 nam 40 nữ Tỷ lệ nhân viên nữ nói tiếng Anh lưu loát 15% tỷ lệ nam 20% a Gặp ngẫu nhiên nhân viên cơng ty Tìm xác suất để gặp nhân viên nói tiếng Anh lưu lốt? b Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên cơng ty Tìm xác suất để có người nói tiếng Anh lưu loát số người gặp? HD&ĐS Số nhân viên giỏi tiếng Anh 10 50 2 a)10/60 = 1/6 b) − C50 / C60 Cơng thức cộng cơng thức nhân xác suất Nguyễn Đình Ái 98 1.13.Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh gan 9%, bệnh sốt rét 12% mắc hai bệnh 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc bệnh bệnh Giả sử vùng dân cư khoảng 100.000 người Số người không mắc bệnh bệnh khoảng chừng ? ĐS 0,86; 86000 (người) 1.14.Biết lớp 100 học sinh có 15 em giỏi mơn tốn 20 em giỏi Ngoại ngữ, có em giỏi Tốn lẫn Ngoại ngữ Quy định giỏi mơn thưởng Chọn ngẫu nhiên em lớp Tính xác suất để em thưởng.Suy tỉ lệ học sinh thưởng lớp ĐS.30/100=… ; 30% 1.15 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nổ súng vào mục tiêu Xác suất bắn trúng xạ thủ A, B, C tương ứng 0,4; 0,5 0,6 Tính xác suất để: a Chỉ có xạ thủ bắn trúng b Ít xạ thủ bắn trúng HD Gọi biến cố xạ thủ A, B, C bắn trúng A1, B1, C2 E : biến cố có xạ thủ bắn trúng F : biến cố có xạ thủ bắn trúng a) E = A1 B1 C1 ∪ A1B1 C1 ∪ A1 B1C1 … b) F = A1 B1 C1 ,… 1.16.Một phân xưởng có máy Xác suất máy 1, 2, bị hỏng ngày tương ứng 0,1; 0,2 0,15 Tính xác suất biến cố sau a)A: có máy bị hỏng ngày b)B: có máy bị hỏng ngày HD Gọi biến cố máy 1, máy 2, máy hỏng A1, A2, A3 a)A = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 b) B = A1 A2 A3 1.17.Một đề thi vấn đáp gồm 10 đề, có đề câu hỏi lý thuyết đề tập tính tốn Có sinh viên vào thi, sinh viên lấy đề không hồn lại Tìm xác suất để xãy biến cố A : sinh viên vào lần gặp đề tập sinh viên gặp đề lý thuyết sinh viên thứ tư gặp đề tập ĐS 10 1.18 Có hai túi đựng cầu Túi thứ đựng trắng, đỏ 15 xanh Túi thứ hai đựng 10 trắng, đỏ xanh Từ túi chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để cầu chọn có màu 99 Nguyễn Đình Ái HD.Gọi biến cố lấy túi i cầu trắng, đỏ , xanh Ti , Đi , Xi , i = 1, Khi A = T1T2 ∪Đ1Đ2 ∪X1X2 1.19 Chị Lan có chùm chìa khóa gồm bề ngồi giống có mở cửa tủ Chị Lan thử ngẫu nhiên chìa ( chìa khơng bỏ ra) Tìm xác suất để chị Lan mở cửa lần thử thứ ĐS 1.20 Có sinh viên có vé xem phim Họ làm thăm, có thăm có đánh dấu Mỗi người rút thăm Nếu rút thăm có đánh dấu vé xem phim Hãy chứng minh công cách làm HD.Goi biến cố sinh viên thứ i lấy thăm có dấu A1, A2, A3 A2 = A1 A2 ∪ A1 A2 ,… , A3 = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 Công thức Bernoulli 1.21.Cho lô hạt giống với tỉ lệ hạt nảy mầm 90 % a)Nếu 10 hạt xác suất để có hạt nảy mầm bao nhiêu? b)Lấy mẫu để kiểm tra Để xác suất mẫu có hạt lép không bé 0,9, cần lấy mẫu cỡ hạt? HD.a)Coi việc kiểm tra 10 hạt 10 phép thử Bernoulli với xác suất nảy 3 mầm phép thử p = 0,9 ⇒ P(A) = C10 p q =… b)Giả sử mẫu kiểm tra có n hạt Coi việc kiểm tra n hạt n phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm phép thử p = 0,9 Gọi B biến cố có hạt nảy mầm ⇒ B biến cố khơng có hạt nảy mầm ⇒ P(B) = … = − 0,9n Yêu cầu: P(B) ≥ 0,9 ⇔ …⇔ 0,9n ≤ 0,1 ⇔ n.lg 0,9 ≤ lg 0,1 ⇔ n≥−1/lg 0,9 = 21,8543.KL Mẫu phải có số hạt n1 ≥ 22 1.22 Có lơ hàng với số lượng sản phẩm lớn Tỷ lệ sản phẩm loại I lô hàng 1, 2, là: 70%, 80% 90% Lấy từ lô 10 sản phẩm để kiểm tra (khơng hồn lại) Nếu 10 sản phẩm lấy kiểm tra có từ sản phẩm loại I trở lên mua lơ hàng a Tìm xác suất để lơ hàng mua? b Tìm xác suất để có lơ hàng mua? c.Nếu có lơ hàng mua Tìm xác suất để lơ hàng 1? Nguyễn Đình Ái 100 HD&ĐS Các lơ hàng có số lượng sản phẩm lớn Do trình lấy sản phẩm trên, tỉ lệ sản phẩm loại I lô hàng coi không đổi ⇒Coi việc kiểm tra 10 sản phẩm 10 phép thử Bernoulli với xác suất sản phẩm loại I phép thử + p=0,7 lô + p=0,8 lô + p=0,9 lô a)Gọi A1, A2, A3 biến cố lô hàng 1, 2, mua P(A1) = C10 0, 78.0,32 + C10 0, 79.0,3 + 0, 710 = 0,3828 0,88.0, 22 + C10 0,89.0, + 0, 710 = 0,6778 b)Tương tự P(A2) = C10 P(A3) = C10 0,98.0,12 + C10 0,99.0,1 + 0,910 = 0.9298 ( ) P(B)=1− P A1 A A3 =… c)Gọi C biến cố có lơ hàng mua C = A1 A A3 ∪ A1A A3 ∪ A1 A A3 … P(A1/C)= P(A1C) P(A1 A A3 ) … = P(C) P(C) 1.23 Một phân xưởng có máy Xác suất để máy sản xuất sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 0,9 ; 0,8 0,7 Trong máy sản suất sản phẩm Tìm xác suất để máy sản xuất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỷ thuật? HD.Coi việc kiểm tra sản phẩm phép thử Bernoulli với xác suất đạt tiêu chuẩn phép thử +p=0,9 máy +p=0,8 máy +p=0,7 máy Gọi biến cố giờ, máy 1, máy 2, máy sản xuất k sp tốt Ak, Bk, Ck Gọi D biến cố cần tìm xác suất Ta có D = A5.B5.C5 ∪ A4B5C5 ∪A5B4C5 ∪A5B5C4… P(D) = 0.161 Công thức xác suất đầy đủ xác suất điều kiện 1.25 Trong hồ có 10 cá cảnh (trong có cá có màu đỏ cá có màu xanh) Bắt ngẫu nhiên từ hồ cá Nếu bắt cá có màu đỏ bỏ vào hồ cá có màu xanh Nếu bắt cá có màu xanh bỏ vào cá có màu đỏ Sau từ hồ bắt tiếp cá a Tính xác suất để cá bắt lần sau có màu đỏ? b Nếu hai cá bắt (lần lần 2) có màu Tính xác suất để hai cá có màu xanh? 101 Nguyễn Đình Ái HD&ĐS.Gọi biến cố cá bắt lần đầu đuôi đỏ A1 Hệ biến cố A1, A1 đầy đủ xung khắc a)P(A)=…0,34 b)B= A1A ∪ A1 A , P( A1 A /B) = …=7/8 1.26 Một nhà máy có phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng sản xuất 25%; phân xưởng sản xuất 25% phân xưởng sản xuất 50% sản phẩm toàn nhà máy Tỷ lệ phế phẩm phân xưởng 1, là: 1%, 5% 10% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng nhà máy sản xuất a Tìm xác suất để lấy phế phẩm? nêu ý nghĩa thực tế xác suất này? b Nếu lấy phế phẩm, khả cao sản phẩm phân xưởng sản xuất? c Nếu lấy phẩm, khả cao sản phẩm phân xưởng sản xuất? HD.a) Gọi Ai biến cố sản phẩm lấy phân xưỡng i sản xuất, i= 1, 2, Gọi B : biến cố sản phẩm phế phẩm a)P(B) = 0,065, …b)do phân xưỡng c)Do phân xưỡng 1.27.Cho tỉ lệ người dân nghiện thuốc vùng 3% Biết tỉ lệ người viêm họng số người nghiện thuốc 60% tỉ lệ người viêm họng số người không nghiện thuốc 20% Chọn ngẫu nhiên người vùng a)Tìm xác suất để người viêm họng Suy tỉ lệ người viêm họng vùng b)Giả sử người viêm họng Tìm xác suất để người nghiện thuốc c)Giả sử người khơng viêm họng Tìm xác suất để người nghiện thuốc HD.Gọi A1 : biến cố người nghiện thuốc Hệ biến cố A1, A1 đầy đủ xung khắc a)P(A) =…=0, b) P(A1/A) =…=0,0849 c)P(A1/ A )=0,0152 1.28 Có hai hộp sản phẩm, biết rằng: Hộp thứ 1: có phẩm phế phẩm Hộp thứ : có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm hộp thứ bỏ vào hộp thứ sau từ hộp thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy từ hộp từ hộp thứ sản phẩm hộp thứ bỏ vào HD.Gọi A1 : biến cố người nghiện thuốc Hệ biến cố A1, A1 đầy đủ xung khắc Nguyeãn Đình Ái 102 Gọi B : biến cố sản phẩm lấy lần phế phẩm P(B) = …= 57/90 C : biến cố sản phẩm lấy từ hộp từ hộp bỏ vào P( C ) = …= 7/57 BÀI TẬP BỔ SUNG 1.Một phân xưởng có máy hoạt động độc lập với xác suất bị hỏng thời gian năm làm việc máy 1, 2, theo thứ tự 0,2; 0, 3; 0,4 Biết cuối năm có hai máy bị hỏng Tìm xác suất để hai máy bị hỏng máy máy HD.Gọi biến cố máy 1, 2, bị hỏng năm A1, A2, A3 2.Một nhân viên bán hàng năm đến bán hàng công ty Xác suất để lần đầu bán hàng 0,8 Nếu lần trước bán hàng xác suất để lần sau bán hàng 0,9; lần trước khơng bán hàng xác suất để lần sau bán hàng 0,4 a)Tìm xác suất để ba lần bán hàng b)Tìm xác suất để có hai lần bán hàng ĐS.a)0,648; b)0,176 3.Tại siêu thị, hệ thống tự động phun nước tự động lắp liên kết với hệ thống báo động hỏa hoạn Khả hệ thống phun nước bị hỏng 0,1 Khả hệ thống báo động bị hỏng 0,2 Khả để hai hệ thống hỏng 0,04 Tìm xác suất để a)Có hệ thống hoạt động bình thường b)cả hai hệ thống hoạt động bình thường ĐS.a)0,96; b)0,74 4.Trong kho rượu số lượng chai rượu loại A loại B nhau.Lấy ngẫu nhiên chai rượu đưa cho người sành rượu nếm thử để xác định loại rượu nào.Khả đoán người 80%.Có người kết luận chai rượu loại A người kết luận chai rượu loại B Tìm khả chai rượu loại A ĐS.0,9412 5.Trong cửa hàng bán giày lớn, tỉ lệ đơi giày có , có có bị hỏng 80%, 8% 2% Lấy ngẫu nhiên đôi giày lấy ngẫu nhiên biết bị hỏng Tìm xác suất để hỏng ĐS.1/3 6.Hai cửa hàng I II cung cấp đĩa mềm cho trung tâm tin học với tỉ lệ / Tỉ lệ đĩa bị hỏng cửa hàng I II lân lượt 1% 2% Một 103 Nguyễn Đình AÙi sinh viên thực tập trung tâm chọn ngẫu nhiên hộp gồm 20 đĩa từ rút ngẫu nhiên đĩa a)Tìm xác suất để đĩa bị lỗi b)Biết đĩa bị lỗi.Tính xác suất để đĩa cửa hàng I 7.Tỉ lệ phế phẩm máy I 1% máy II 2% Một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm máy I 60% sản phẩm máy II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra a)Tìm xác suất để có sản phẩm tốt sản phẩm b)Giả sử sản phẩm kiểm tra tốt Khả lấy tiếp sản phẩm tốt bao nhiêu? 8.Ba anh công nhân sản xuất loại sản phẩm Xác suất để người thứ thứ hai làm phẩm 0,9, người thứ hai 0,8.Một người số làm sản phẩm, có phẩm Cho người làm tiếp sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lại có phẩm ĐS ≈ 0,23 9.Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất loại sản phẩm suất với tỉ lệ phế phẩm 1% 2% Một người mua sản phẩm nhà máy Tìm xác suất để có phế phẩm 10.Tỉ lệ phế phẩm máy 5% Người ta lắp đặt thiết bị kiểm tra tự động Thiết bị vẩn sai sót Tỉ lệ kết luận sai gặp phẩm 4%, gặp phế phẩm 1% a)Tìm tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị kết luận sai b)Tìm tỉ lệ sản phẩm phế phẩm số sản phẩm bị kết luận sai Tìm tỉ lệ sản phẩm phẩm số sản phẩm kết luận sai ĐS.a)3,85% b)1,3%; 98,7% 11.Một công nhân nhà theo hai cách: đường ngầm qua cầu Biết đường ngầm 1/3 trường hợp nhà Nếu lối ngầm 75% trường hợp anh nhà trước Nếu qua cầu có 70% trường hợp anh nhà trước Biết nhà sau Tìm xác suất để có qua cầu lúc Nguyễn Đình Ái 104 PHẦN XÁC SUẤT Bài tập chương II 2.1 Một dây chuyền gồm phận hoạt động độc lập với Xác suất thời gian tuần phận bị hỏng tương ứng 0,4; 0,2 0,3 Gọi X số phận bị hỏng thời gian tuần a Lập bảng phân phối xác suất ĐLNN X b Tìm hàm phân phối xác suất vẽ đồ thị c Tính xác suất tuần có khơng q phận bị hỏng d Tính E(X), D(X), giá trị tin X HD X P 0,336 0,452 0,188 0,024 c) P(X ≤ 2) = 0,976; d)E(X) = 0,9; D(X)= 0,61; Mod(X) = 2.2 Có hai lơ sản phẩm Lơ 1: Có phẩm phế phẩm Lơ 2: Có phẩm phế phẩm Từ lô thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ sang lơ thứ hai, sau từ lơ thứ hai lấy sản phẩm Tìm qui luật phân phối xác suất số phẩm lấy HD X P 190/2970 1303/2970 1477/2970 2.3 Có hai kiện hàng, kiện có sản phẩm Kiện thứ nhất: Có sản phẩm loại A Kiện thứ hai : Có sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện bỏ vào kiện hai, sau từ kiện hai lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ vào kiện Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm loại A kiện một? HD X P 2/75 25/75 39/75 9/75 2.4 Có hai hộp đựng bi: Hộp thứ nhất: có bi xanh bi vàng Hộp thứ hai : có bi xanh Rút ngẫu nhiên bi từ hộp thứ bỏ sang hộp thứ hai, sau từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên bi bỏ vào hộp thứ Gọi X , X số bi xanh có hộp thứ nhất, thứ hai sau thực phép thử Tìm qui luật phân phối xác suất X , X ĐS X1 X2 P 11/90 55/90 24/90 P 24/90 55/90 11/90 105 Nguyễn Đình Ái 2.5 Có kiện hàng Kiện thứ nhất: Có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Kiện thứ hai : Có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Kiện thứ ba : Có sản phẩm loại A sản phẩm loại B a Chọn ngẫu nhiên kiện từ kiện chọn lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại sản phẩm sản phẩm loại A Lấy tiếp từ kiện chọn sản phẩm Tìm qui luật phân phối xác suất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy lần sau? b Chọn ngẫu nhiên kiện từ kiện chọn lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại kiện sản phẩm.Tìm qui luật phân phối xác suất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy ra? ĐS X1 P 149/1092 493/1092 450/1092 X2 P 59/300 162/300 79/300 2.6 Lãi suất thu năm (tính theo %) đầu tư vào công ty A, công ty B tương ứng ĐLNN X Y (X Y độc lập) Cho biết qui luật phân phối xác suất X Y sau: X 10 12 P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15 Y -4 10 12 16 P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1 a Đầu tư vào công ty có lãi suất kỳ vọng cao hơn? b Đầu tư vào cơng ty có mức độ rủi ro hơn? Vì sao? ĐS.a)E(X)=9; E(Y)=7,5 ⇒ … b) D(X)= 4,2; D(Y)=31,15 ⇒… 2.7 Số tiền lời năm tới (tính theo đơn vị: triệu đồng) thu đầu tư 100 triệu đồng vào hai nghành A B tùy thuộc vào tình hình kinh tế nước cho bảng sau: Tình hình Kém phát triển ổn định Phát triển kinh tế Số tiền lời Ngành A 10 40 80 Ngành B -30 70 110 Dự báo xác suất 0,25 0,45 tình hình kinh tế a Số tiền lời kỳ vọng ngành cao hơn? b Mức độ rủi ro ngành hơn? Nguyễn Đình Ái 0,3 106 ĐS.Gọi X(triệu đồng), Y(triệu đồng) tiền lời đầu tư 100 triệu tương ứng vào ngành A, nghành B Lập bảng phân phối xác suất X , Y suy a)E(X) = 44,5; E(Y) = 57 ⇒ … b)D(X)=684,75; D(Y) = 2811 ⇒ … 2.8 X (ngàn sản phẩm) nhu cầu hàng năm loại hàng A ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất k ( 30 − x ) , x ∈ ( 0, 30 ) f ( x) =  , x ∉ ( 0, 30 ) 0 a Tìm k b Tìm nhu cầu trung bình hàng năm loại hàng A c Tìm xác suất để nhu cầu mặt hàng A không vượt 12000 sản phẩm năm? ĐS.a)k= 1/450 b)E(X)=… c)P(X ≤ 12) = … 2.10 ĐLNN X liên tục có hàm mật độ xác suất sau:  sin x , x ∈ ( 0,  )  f ( x) =  0 , x ∉ ( 0,  )   a Tìm hàm phân phối xác suất F ( x ) b.Tìm P  < X <  4  c.Tìm E ( X ) , var ( X ) , x ∈ (−∞, 0]  HD.a)Hàm phân phối X F(x) = (1 − cos x) / 2, x ∈ [0, π] , x ∈ [π, +∞)  b)P(0 < X < π/4) = F(π/4) − F(0) = … c)E(X) = …= π/2; … 2.11 Bắn viên đạn vào mục tiêu Xác suất trúng đích lần bắn 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có viên đạn trúng mục tiêu.Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy HD Gọi X số viên đạn bắn trúng mục tiêu …⇒ X ~ B(5; 0,2) P(X ≥ 3) = … = 0,0579 2.12 Trong thi nâng cao tay nghề công nhân chọn ngẫu nhiên máy Với máy chọn sản xuất sản phẩm Nếu số sản phẩm hỏng nhiều đạt yêu cầu Giả sử với công nhân Đậu, xác suất sản xuất sản phẩm hỏng dùng máy M 0,2 dùng máy M 0,4 Tìm xác suất để anh công nhân Đậu thi đạt yêu cầu HD.Coi việc kiểm tra sản phẩm phép thử Bernoulli với xác suất bị hỏng + p=0,2 dùng máy +p=0,4 dùng máy Gọi X số sản phẩm hỏng sản phẩm +X~B(6; 0,2) dùng máy +X~B(6; 0,4) dùng máy 107 Nguyễn Đình Ái Gọi Ai : bc anh Đậu chọn máy Mi , i=1, Hệ bc A1, A2 đầy đủ&x/ khắc P(X ≤ 2) = …= (1/2).0,9011+(1/2).0.5443 = 0,7227 2.13 Chị A nuôi 160 vịt đẻ loại Xác suất để vịt đẻ trứng ngày 0,8 a Tìm xác suất để chị A có 130 trứng ngày? b Nếu trứng bán 900 đồng, tiền cho vịt ăn ngày 300 đồng Tính số tiền lãi trung bình chị A thu ngày bao nhiêu? HD Gọi X(trứng) số trứng vịt đẻ ngày … X ~ B(160; 0,8) a)Trong tính tốn coi X có phân phối chuẩn với µ=E(X)=np = 128 σ2=D(X)=npq= 25,6 , σ = 5,0596, ta có  130 − 128  P(X ≥ 130) = ϕ(+∞ ) − ϕ   = …= 0,4217  0, 0596  b)Tiền lãi ngày: U = 900X − 160×300 ⇒… E(U) = 67200 (đồng) 2.14 Một lơ hàng có 10000 sản phẩm ( có 4000 sản phẩm loại A) Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại từ lơ hàng 10 sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có sản phẩm loại A 10 sản phẩm lấy kiểm tra ĐS 0,9536 2.17 Một trung tâm bưu điện nhận trung bình gọi phút, biết điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên độc lập với Tìm xác suất để: a Khơng có điện thoại khoảng thời gian 30 giây b Có điện thoại khoảng thời gian 30 giây c)Có nhiều gọi khoảng thời gian 30 giây ĐS a)0,1353 b)0,8647 c)0,8571 2.18 Lãi suất X (%) đầu tư vào dự án xem ĐLNN phân phối theo qui luật chuẩn Theo đánh giá ủy ban đầu tư lãi suất cao 20% có xác suất 0,1587 lãi suất cao 25% có xác suất 0,0228 Vậy khả đầu tư mà khơng bị thua lỗ bao nhiêu? HD.+Tìm µ , σ + Tính P( X ≥ 0) = … 2.19 Một đại lý Điện thoại di động dự định áp dụng phương án kinh doanh: X1, X2 (triệu đồng/ tháng) lợi nhuận thu áp dụng phương án thứ nhất,phương án thứ hai Giả sử X1 ~N(140; 2500) X2 ~N(200; 3600) Nếu biết để đại lý tồn phát triển lợi nhuận thu từ kinh doanh điện thoại phải đạt 80 (triệu/ tháng) Theo bạn công ty nên áp dụng phương án để kinh doanh điện thọai di động? sao? HD P(X1 ≥ 80) = …= 0,8849; P(X2 ≥ 80) = … = 0,9772 ⇒ … Nguyễn Đình Ái 108 BÀI TẬP BỔ SUNG 1.Biết thời gian X (giây) phải chờ trước trụ giao thông gặp đèn đỏ ĐLNN phân phối (0, 20) Thời gian trung bình chờ trước trụ giao thông gặp đèn đỏ khoảng giây? Mỗi ngày, người xe đến chổ làm phải qua ngã tư với xác suất gặp đèn đỏ ngã tư 0,5 ; 0,3 ; 0,6 0,4 Tìm thời gian trung bình dừng xe chờ đèn đỏ người làm ĐS.18 (giây) 2.Theo thơng kê, tỉ lệ để người độ tuổi 40 sống thêm năm 99,5% Một công ty nhân thọ bán bảo hiểm năm cho người độ tuổi với giá 10(ngàn đồng) trường hợp người mua bảo hiểm chết có số tiền bồi thường triệu đồng Tìm lợi nhuận trung bình cơng ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm loại ĐS.5(ngàn) 3.Trong tuyến bay người ta thống kê 0,5% hành khách bị hành lý trung bình số tiền bồi thường cho khách hành lý 600(ngàn đồng) Công ty hàng không muốn tăng giá vé để bù cho số tiền bồi thường khách hành lý Giá vé phải tăng thêm bao nhiêu? ĐS.3(ngàn) 4.Xác suất để máy hỏng ngày làm việc 1% Mỗi lần máy hỏng, chi phí sữa chữa hết 1(triệu đồng) Vậy có nên ký hợp đồng bảo dưỡng 100(ngàn đồng/ tháng ) để giảm xác suất hỏng máy không ký hiệu TB mang lại năm bao nhiêu? ĐS.825(ngàn) 5.Thời gian bảo hành sản phẩm qui định năm Nếu bán sản phẩm cửa hàng lãi 150(ngàn ) Còn sản phẩm bị hỏng thời gian bảo hành cửa hàng 500(ngàn) cho bảo hành Biết tuổi thọ X(năm) sản phẩm ĐLNN phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình 4,2 năm độ lệch chuẩn 1,8 năm a)Tìm tiền lãi trung bình cửa hàng thu sau bán sản phẩm b)Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho sản phẩm bán 50(ngàn đồng) phải qui định thời gian bảo hành bao nhiêu? c)Nếu qui định thời gian bảo hành năm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành bao nhiêu? d)Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành 10% phải qui định thời gian bảo hành bao nhiêu? ĐS.a)24,3(ngàn) b)2,688 năm 109 Nguyễn Đình Ái 6.Độ dài chi tiết X (cm) máy sản suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch (cm).Biết 84,13% chi tiết máy sản xuất có độ dài khơng vượt q 84 (cm) Lấy ngẫu nhiên chi tiết Tìm xác suất có chi tiết có độ dài khơng 80(cm) ĐS.0,6409 7.Một người cân nhắc việc mua nhà hay gửi tiết kiệm lãi suất 12% năm để chờ năm sau mua Biết mức tăng giá nhà sau năm X(%) ĐLNN phân phối chuẩn với E(X) = 8(%) σ(X) = 10(%) Giả sử người định gửi tiền vào tiết kiệm.Tìm khả để định sai lầm ĐS.0,3446 8.Thời gian hoạt động tốt ( sữa chữa) X (giờ) loại TV ĐLNN phân phối chuẩn N(µ , σ2) với µ = 4300 (giờ) σ=250 (giờ) Giả thiết ngày trung bình người ta dùng TV 10 (giờ) thời hạn bảo hành miễn phí 360 ngày a)Tìm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành b)Phải nâng thời gian hoạt động tốt lên để tỉ lệ bảo hành vẩn cũ thời gian bảo hành lên đến 720 ngày ĐS.a)0,26%b)7900 (giờ) 9.Tuổi thọ X (giờ) trò chơi điện tử biến ngẫu nhiên có hàm mật độ  − x/100 , x ≥ f(x) = k.e , với k số , x5 n(1−p)>5) Biết tỉ lệ mẫu F biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N(p, p(1−p)/n) Chứng minh F−p ĐLNN K = có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc p (1 − p ) / n 3.3 Trọng lượng loại gia cầm đàn gia cầm biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình 2,5 kg Biết với xác suất 0,9973 trọng lượng loại gia cầm nằm khoảng sai lệch so với trọng lượng trung bình 0,3 kg Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên từ đàn 25 trọng lượng trung bình chúng nằm khoảng 2,4 kg đến 2,6 kg 3.4 Trọng lượng gạo đóng bao xuất ĐLNN phân phối chuẩn với trung bình (trọng lượng qui định) 50kg độ lệch chuẩn cho phép 0,5kg Nếu từ lô gạo xuất đem cân ngẫu nhiên 16 bao với xác suất 0,95 trọng lượng trung bình chúng phép sai lệch so với trọng lượng qui định tối đa bao nhiêu? 3.5 Kích thước chi tiết lô chi tiết gia công ĐLNN phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn cho phép 0,1 cm Đem kiểm tra ngẫu nhiên 10 chi tiết từ lô chi tiết gia công Với xác suất 0,99, độ sai lệch tối đa kích thước trung bình chúng so với kích thước qui định để chấp nhận lơ hàng 3.6 Biết tỉ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ nướclà 25% Lấy mẫu điều tra gồm 200 người thành phố lớn a)Tìm xác suất để có 28% người mua bảo hiểm nhân thọ trong.mẫu b)Với mẫu nói trên, với xác suất 0,1 tỉ lệ mẫu lớn tỉ lệ tổng thể lượng tối thiểu bao nhiêu? Nguyễn Đình Ái 112 c)Với xác suất 0,9, tìm tỉ lệ mẫu tối thiểu để kết luận thành phố có lượng người mua bảo hiểm nhân thọ ≥ 25% Lý thuyết mẫu ước lượng 1.Đo chiều cao đường kính Chiều cao Đường kính loại có độ tuổi Ta kết (cm) (cm) cho bảng 104 11 99 13 105 15 103 14 102 12 Tính trung bình phương sai mẫu 106 12 chiều cao đường kính HD Gọi X (cm) Y (cm) chiều cao đường kính độ tuổi lồi ĐS x = 103,1667 (cm); s X2 =6,1584; y =12,8333(cm); sY2 =2,1677 2.Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất chi tiết máy, ta thu số liệu cho bảng Khoảng thời gian Khoảng thời Số quan sát Số quan sát (phút) gian (phút) 20-25 40-45 14 25-30 14 45-50 30-35 26 50-55 35-40 32 Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất chi tiết máy với độ tin cậy 95% ĐS x =36.6, s = 6.7187 , ( x −ε , x +ε) = (35.2831 ; 37.9167) Điều tra suất 100 hecta lúa vùng, người ta thu kết cho bảng Năng suất Năng suất Diện tích (ha) Diện tích (ha) (tạ/ha) (tạ/ha) 30-35 50-55 20 35-40 12 55-60 40-45 18 60-65 45-50 27 65-70 Tính trung bình mẫu phương sai mẫu, độ lệch mẫu cụ thể? Ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95% ĐS x =47.5, s = 8.3182 , ( x −ε , x +ε) = (45.8696; 49.1304) 113 Nguyễn Đình Ái Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng hóa khu vực, người ta tiến hành khảo sát 800 gia đình Kết cho bảng Nhu cầu Nhu cầu Số gia đình Số gia đình (ni) (kg/tháng) (kg/tháng) (ni) 30-35 25 55-60 142 35-40 48 60-65 94 40-45 83 65-70 50 45-50 159 70-75 10 50-55 189 Tính giá trị trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu? Ước lượng nhu cầu trung bình gia đình với độ tin cậy 95% Ước lượng tỉ lệ gia đình có nhu cầu 60 (kg/tháng) với độ tin cậy 90% ĐS x =52.1938; s = 8.7516 ; ( x −ε , x +ε) = (51.5873; 52.8003); f = 0,1925 ; ε = 0,0229; ( f−ε, f +ε) = ( 0,1696; 0,2154) Thống kê số hàng hóa bán ngày số ngày bán lượng hàng tương ứng, ta có bảng số liệu sau: Lượng hàng bán ngày (kg) 100-200 200-250 250-300 300-350 350-400 số ngày (ni) 12 56 107 75 Lượng hàng bán ngày (kg) 400-450 450-500 500-550 550-600 số ngày (ni) 70 35 30 10 Tính trung bình mẫu cho biết ý nghĩa thực tế nó? Ước lượng lượng hàng bán trung bình ngày với độ tin cậy 95% Ước lượng tỉ lệ ngày bán nhiều 500 (kg) với độ tin cậy 90% ĐS x =374,0625; s =85,9894; ( x −ε, x +ε) = (365,6355; 382,4895) f = 0,1; ε = 0,0247; (f−ε, f+ε) = (0,0753; 0,1247) 6.Điều tra suất lúa 81 lúa chọn ngẫu nhiên vùng lớn, người ta tính trung bình mẫu cụ thể x = 40 tạ/ha độ lệch mẫu cụ thể s = 2,1 tạ Hãy ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95% ĐS ε = 0,4573; ( x −ε, x +ε) = (39.5427; 40.4573) Nguyễn Đình AÙi 114 7.Lấy ngẫu nhiên 25 sản phẩm cơng ty sản xuất Ta tính trung bình mẫu cụ thể 995,8 g phương sai mẫu cụ thể 0,144 Giả thiết trọng lượng sản phẩm ĐLNN X (g) có phân phối chuẩn Hãy ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm công ty sản xuất với độ tin cậy 95% ĐS ε = 0,0594; ( x −ε, x +ε)=(995,7406; 995,8594) 8.Để định mức thời gian gia công chi tiết máy người ta theo dõi ngẫu nhiên thời gian gia công 25 chi tiết thu bảng số liệu sau đây: Thời gian (phút) 14 16 18 20 24 Số chi tiết 11 Với mức tin cậy 0.95, ước lượng thời gian gia công trung bình tối đa với loại chi tiết Cho biết thời gian X (phút) để gia cơng chi tiết tuân theo quy luật chuẩn ĐS x = 18; s = 2,4495; ε =1,0111 ; 19,0111 (ph) Năng suất ngô vùng A báo cáo lên qua 25 điểm thu hoạch là: Năng suất (tạ/ha) 11 13 17 Số điểm thu hoạch 12 Với mức tin cậy 0.95, tính suất trung bình ngơ tối thiểu vùng Cho biết suất ngô tuân theo quy luật chuẩn ĐS x =10,6 ; s = 2,0817; ε = 0,8593; 9,7407 (tạ/ha) 10 Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân xí nghiệp thấy lương tháng trung bình 380.000 đồng.Giả sử lương công nhân X ( ngàn đồng) tuân theo quy luật chuẩn, với độ lệch chuẩn σ =14(ngàn đồng) Với độ tin cậy 95%, ước lượng mức lương trung bình cơng nhân tồn xí nghiệp ĐS ε = 4,7355; (375,4267; 384,5733) 11 Giả sử điểm trung bình X (điểm) mơn tốn 100 thí sinh thi vào ĐHNT 5, với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 2.5 a)Ước lượng điểm trung bình mơn tốn tồn thể sinh viên với độ tin cậy 95% b)Với độ xác 0.25 điểm, xác định độ tin cậy ĐS a) ε = 0,49 ; (4,51; 5,49) b)1−α = 68,27% 12 Tuổi thọ X (giờ) loại bóng đèn biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn σ=100 (giờ) 115 Nguyễn Đình Ái a)Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy trung bình tuổi thọ bóng 1000 Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95% b)Với độ xác 15 giờ, xác định độ tin cậy c)Với độ xác 25 độ tin cậy 95% cần thử nghiệm bóng ĐS a)(980,4 ; 1019,6) b)1−α = 86,64% c)62 (bóng) 13 Trọng lượng loại chi tiết biến số ngẫu nhiên quy theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 1.2 kg Phải chọn chi tiết để điều tra, muốn độ xác ước lượng khơng vượt q 0.3 mức tin cậy ước lượng 0.95 ĐS 62 (chi tiết) 14 Chiều dài loại sản phẩm A máy tự động sản xuất biến số ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 3cm Phải chọn chi tiết để đo, muốn độ dài khoảng tin cậy không vượt 0,6 mức tin cậy ước lượng 0,99 ĐS n1 = 664 (chi tiết) 15.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng mặt hàng thành phố, người ta điều tra 1000 người chọn ngẫu nhiên thành phố thấy có 400 người có nhu cầu.Hãy ước lượng tỉ lệ người có nhu cầu mặt hàng toàn thành phố với độ tin cậy 95% ĐS ε = 0,0304 ; 36,96% → 43,04% 16 Để điều tra số cá hồ, người ta đánh bắt 1000 cá, đánh dấu thả xuống hồ Lần sau bắt lại 200 40 đánh dấu Với độ tin cậy 95% hãy: a) Ước lượng tỷ lệ cá đánh dấu hồ b) Ước lượng số cá hồ ĐS a)ε = 0,0554 ; 14,46% → 25,54% b)3916 → 6916 17 Gieo 400 hạt giống có 20 hạt giống khơng nảy mầm Tỷ lệ hạt giống không nảy mầm tối đa bao nhiêu? Yêu cầu kết luận với mức tin cậy 0.95 ĐS ε = 0,0214; 7,14% 18 Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh 500 xe tải đường quốc lộ Họ phát 40 có phanh chưa đảm bảo an tồn Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an tồn ĐS ε = 0,0282; 5,18% → 10,82% 19 Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri biết 960 người số bỏ phiếu cho ứng Nguyễn Đình Ái 116 cử viên A Với mức tin cậy 0.99, ứng cử viên A chiếm tối thiểu phần trăm số phiếu ĐS ε = 0,0315; 56,85% 20 Tỷ lệ nảy mầm loại hạt giống mẫu 400 hạt 90% Cần ước lượng tỷ lệ nảy mầm loại hạt giống với mức tin cậy 0.95 Với độ dài khoảng tin cậy khơng vượt q 0.02, phải gieo hạt? ĐS a)ε = 0,0294; 87,06% → 92,94% b) n1 = 3458 (hạt) 21 Để xác định tỷ lệ người mắc chứng bướu cổ thiếu hụt iode khu vực dân cư đó, cần khám người muốn cho khoảng ước lượng có độ xác khơng vượt q 0.04 với mức tin cậy 0.95 ĐS n ≥ 600,25 ⇒ n ≥ 601(người) 22.Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu a)Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp với độ tin cậy 94% b)Với sai số cho phép (độ xác) 3%, xác định độ tin cậy ĐS.a) ε = 0,0589; 5,11% → 16,89% b) Zα/2=0,9588; 1−α=66,23% 23.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng mặt hàng thành phố, người ta điều tra 2400 người thành phố biết tỉ lệ người thành phố có nhu cầu mặt hàng 48% đến 52% với độ tin cậy 95% a)Với khoảng tin cậy trên, muốn tăng độ tin cậy lên 96% số người phải điều tra thêm bao nhiêu? b)Với khoảng tin cậy số người điều tra 3000 người, độ tin cậy bao nhiêu? ĐS a) Điều tra thêm 236 b) 1−α = 97,15% 24.Để ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm nhà máy, người ta điều tra 100 sản phẩm , phương sai mẫu cụ thể s2 = trung bình mẫu cụ thể 98 kg Ước lượng với độ xác 1kg độ tin cậy bao nhiêu? ĐS Zα/2 = 3,3333; 1−α = 0,9991 Kiểm định 25.Trọng lượng X(kg) bao hàng máy đóng bao sản xuất ĐLNN phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình qui định 50 kg a)Cân thử 25 bao hàng tính x = 49,8 kg s = 0,25 kg b)Cân thử 100 bao hàng tính x = 49,8 kg s = 0,4 kg c)Cân thử 200 bao hàng tính x = 50,1 kg s = 0,25 kg Với mức ý nghĩa 5%, trọng lượng trung bình bao hàng so với qui định theo ý bạn? HD.a)k = −4 với α = 0,05; k = 6,0374 38.Điều tra suất lúa 100 hécta trồng lúa chọn ngẫu nhiên vùng, ta thu bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) (xi) 41 44 45 46 48 52 54 Số có suất tương 10 20 30 15 10 10 ứng (ni) 1)Tính trung bình mẫu x phương sai mẫu s ứng với số liệu 2)Ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95%? 3)Ước lượng suất lúa trung bình tối đa tối thiểu vùng với độ tin cậy 90%? 4)Những ruộng có suất từ 48 tạ/ha trở lên có suất cao a)Hãy ước lượng suất lúa trung bình có suất cao vùng với độ tin cậy 99% b)Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có suất cao vùng với độ tin cậy 95% Với khoảng tin cậy đó, muốn độ tin cậy lên đến 99% phải điều tra thêm lúa nữa? HD.1)n=100; x =46; s=3,3029 2)ε=0,6474 (45,3526; 46,6474) 3)45,4567 tạ → 46,5433 (24) 4.a)n = 25; x* =50,8; s*2 =6; Kα/2 = t0,005 = 2,7969; (49,4289 ; 52,1702) 4.b)f = 0,25; n =100; ε = 0,0849; (16,51% → 33,49% ) Kiểm định Khi bình phương 38 Nghiên cứu tình trạng nhân trước ngày cưới 542 cặp vợ chồng chọn ngẫu nhiên, ta có số liệu: TTHN vợ TTHN chồng Chưa kết hôn lần Ly hôn Gố Chưa kết lần 180 34 36 Ly 58 76 54 Gố 43 34 27 Với mức ý nghĩa α = 0.05 , ta coi tình trạng nhân trước ngày cưới vợ chồng có ảnh hưởng nhau? HD χ2 = 80,0019; χα2 = 9,4877 121 Nguyễn Đình Ái 39 Nghiên cứu màu tóc giới tính 422 người chọn ngẫu nhiên, ta có số liệu sau Giới tính Màu tóc Đen Hung Nâu Vàng Nam Nữ 56 37 84 19 32 66 90 38 Với mức ý nghĩa α = 0.01 , coi màu tóc giới tính có mối quan hệ với nhau? (Với mức ý nghĩa α = 0.01, nói tỉ lệ tóc đen, hung, nâu, vàng nam nữ khác không?) HD.χ2 = 19,2151; χα2 = 11,3449 40 Phỏng vấn ngẫu nhiên 200 người thuộc vùng địa lý khác tiêu dùng loại sản phẩm ta thu kết sau: Vùng địa lý Tiêu dùng Thành thị Nơng thơn Miền núi Có tiêu dùng 26 48 24 Không tiêu dùng 51 43 Với mức ý nghĩa α = 0.05 , coi yếu tố địa lý việc tiêu dùng loại sản phẩm nói có ảnh hưởng nhau? (Với mức ý nghĩa α = 0.05, nói tỉ lệ tiêu dùng sản phẩm thành thị, nơng thơn miền núi khác không?) HD.χ2 = 16,3181; χα2 = 5,9915 41.Một cơng ty xuất gạo nói gạo họ kho 1, 2, chất lượng hạt Lấy mẫu cụ thể hạt gạo kho, ta có số liệu Kho Chất lượng hạt Kho Kho Còn nguyên hạt 800 760 Còn 2/3 hạt 170 200 Còn 2/3 hạt 30 40 Với mức ý nghĩa α = 0.05, bạn cho ý kiến? HD χ2 = 11.3027 ; χα2 = 9.4877 ( bậc 4), … Nguyễn Đình Ái Kho 850 100 50 122 41 Để kiểm tra súc sắc có cơng hay khơng, người ta tung 125 lần có bảng Số chấm Số lần xuất 18 23 16 21 18 29 Với mức ý nghĩa α=0,01 xem súc sắc cơng khơng? HD.χ2 = 5,32 ; χα2 = 15,0863 42.Kiểm tra ngẫu nhiên 200 thùng đồ hộp, người ta thu số liệu Số hộp bị hỏng/thùng Số thùng 116 56 22 4 Với mức ý nghĩa α = 0,02, kiểm tra số hộp bị hỏng thùng có biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối Poisson không? HD Coi λ ≈ x = 0,6, số tham số phải xấp xỉ r = 1… Biến cố Ai (X=0) (X=1) (X=2) (X=3) (X4) Xác suất Pi 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0033 T/số lthuyết nPi T/số thực tế Ni 109.7600 65.8600 19.7600 3.9600 0.6600 116 56 22 χ2 = 4,8058; χα2 = 9,8374 (bậc tự k−r−1 = 3) 43.Xét ĐLNN X tổng thể Cho bảng số liệu sau đây: Khoảng 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 Tần số 45 195 308 212 198 22 20 Biết X có phân phối chuẩn N(34.69, (12.9501) ) ta có: X ∈ (-∞;15) [15;25) [25;35) [35;45) [45;55) [55;65) [65; +∞ ) P 0.0642 0.163 0.2824 0.2775 0.1546 0.0488 0.0096 Với mức ý nghĩa α=0.02, coi X có phân phối chuẩn khơng? HD.Coi µ ≈ x = 34.69; coi σ ≈ phương sai mẫu hiệu chỉnh = 12.9501 số tham số phải xấp xỉ r = Lập bảng tần số … χ2 = 67,8734; χα2 (4) =9,4877 123 Nguyễn Đình Ái PHẦN THỐNG KÊ Bài tập chương IV 4.1 Trên sàn giao dịch chứng khốn có hai loại cổ phiếu KHP ACB bán lãi suất tương ứng chúng hai ĐLNN X Y.Giả sử ( X , Y ) có bảng phân phối xác suất sau Y -2 10 X 0,05 0,05 0,1 0,05 0,1 0,25 0,15 0,1 0,05 0,1 a Để đạt lãi suất kỳ vọng cao nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu theo tỷ lệ nào? b Để hạn chế rủi ro lãi suất đến mức thấp đầu tư hai loại cổ phiếu theo tỷ lệ nào? HD.E(X)=3,7; D(X)=4,11; E(Y)=4,2; D(Y)=17,96 4.2 Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị triệu đồng) cặp vợ chồng làm việc nhà máy thu kết sau: (X- thu nhập chồng; Y- thu nhập vợ) Y 10 20 30 40 X 0,2 0,04 0,01 10 0,1 0,36 0,09 20 0,05 0,10 30 0 0,05 40 a Tìm phân phối xác suất thu nhập chồng thu nhập vợ b Tìm phân phối thu nhập người vợ có chồng thu nhập 20 triệu/ năm d Tính thu nhập trung bình bà vợ có chồng thu nhập mức 20triệu/ năm e Thu nhập chồng vợ có phụ thuộc không? HD.d)E(Y / (X=20) ) = 19,8182 e)Cov(X, Y) = 49 ≠ ⇒ Thu nhập chồng vợ phụ thuộc 4.3 Một kiện hàng có 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Một máy sản xuất sản xuất sản phẩm với xác suất sản suất sản phẩm loại A 0,2 Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) từ kiện sản phẩm cho máy sản xuất sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại A sản phẩm đó.Lập bảng phân phối xác suất X tính E[X] D[X] Nguyễn Đình AÙi 124 4.4 Điều tra thu nhập 10 cặp vợ chồng (đơn vị triệu/năm) thu kết sau: Thu nhập chồng (X) 20 30 30 20 20 30 40 30 40 40 Thu nhập vợ (Y) 15 35 25 25 25 15 25 25 35 25 a Lập bảng phân phối xác suất đồng thời (X,Y) b Lập bảng phân phối xác suất biên X, tính E[X] D[X] c Lập bảng phân phối xác suất biên Y, tính E[Y] D[Y] d Tính cov(X,Y), X Y có độc lập với khơng? e Giả sử thu nhập sau thuế W cặp vợ chồng xác định biểu thức: W = 0,6 X + 0,8 Y Tính E[W] D[W] HD.E(X) = 30; D(X)=60; E(Y)=25; D(Y)=40; cov(X, Y) = 20 4.5 Tiến hành quan sát hai tiêu X Y tổng thể, ta thu mẫu số liệu X 0.25 0.37 0.44 0.55 0.60 0.62 0.68 0.70 Y 2.57 2.31 2.12 1.92 1.75 1.71 1.60 1.51 X 0.73 0.75 0.92 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 Y 1.50 1.41 1.33 1.31 1.25 1.20 1.19 1.15 a)Tính: x ; y ; xy ; s X2 ; sY2 r b)Viết phương trình đường hòi qui tuyến tính Y theo X HD x =0.6025; y =1.3415; xy =0.8762; s X2 =0.1065; sY2 =0.4958; r=0.3113 Y=0.6717(X−0.6025)+1.3415 = 0.6717X+0.9368 4.6 Nghiên cứu thu nhập tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục hộ gia đình vùng Điều tra 400 hộ, ta thu số liệu X 10 20 30 40 50 Y 150-250 40 20 10 250-350 60 40 10 350-450 20 70 60 450-550 10 20 40 Trong đó: X ( %) tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục , Y (USD /tháng) thu nhập bình quân người gia đình Tìm hệ số tương quan mẫu X Y Lập phương trình đường hồi quy tuyến tính Y theo X HD xy =11425; r = 0.786; Y= 6.7778(X−29.75)+355 4.7 Nghiên cứu X (ngàn đồng) thu nhập bình quân tháng người hộ gia đình Y (%)là tỷ lệ thu nhập chi cho ăn uống hộ gia đình vùng Điều tra 400 hộ gia đình vùng đó, ta có bảng số liệu thực nghiệm sau đây: 125 Nguyễn Đình Ái Y 10 20 30 40 50 X 50-150 10 10 150-250 110 70 250-350 90 80 10 350-450 10 10 a)Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ thu nhập trung bình chi cho ăn uống gia đình với mức tin cậy 0.95 b)Những hộ có thu nhập bình qn người/tháng 350.000đ gọi có thu nhập cao Nếu nói tỷ lệ hộ gia đình có thu nhập cao tồn vùng 10 % với mức ý nghĩa 0.05 bạn có chấp nhận khơng? c)Tìm hệ số tương quan mẫu X Y Lập phương trình đường hồi quy tuyến tính Y theo X HD.a) y = 29.75; sy = 8.2223; ε = 0.8058; (28.9442; 30.5558 ) b)n = 400; f = 20/400 = 0.05; k = −3.3333 …⇒ bác bỏ Ho c) xy =7025; r = −0,7488; Y=−0,0917(X−250)+29,75 4.8 Một loại sản phẩm đánh giá chất lượng qua tiêu X, Y Kiểm tra số sản phẩm tiêu ta có kết sau đây: Y X 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 0−4 4−8 8−12 12−16 15 21 16−22 10 12 a)Yêu cầu đạt tiêu chuẩn tiêu X 145 Có người cho tiêu X trung bình nhỏ yêu cầu, với mức ý nghĩa 5%; bạn cho biết ý kiến b)Sản phẩm có tiêu Y lớn 12 sản phẩm loại I Hãy ước lượng trung bình tiêu Y sản phẩm loại I với mức tin cậy 90% Cho biết tiêu Y sản phẩm loại I tuân theo quy luật chuẩn c)Tìm hệ số tương quan mẫu X Y Lập phương trình đường hồi quy tuyến tính Y theo X HD 141.75; sx = 11.3377; k = −2.5639 … ⇒ bác bỏ Ho b)n1 = 14; y* = 16.5; s* =2.5944; Kα/2 = t (13) 0.05 = 1.7709; ε =1.2279; (15.2721; 17.7279) c) xy =1340 ; r = 0.8941;Y=0.3526(X−141,75)+9,1375 Nguyễn Đình Ái 126