giai sach bai tap XSTK DH KTQD chuong 3 full v3

2016 Chương SBT ĐH KTQD Version1 TS Nguyễn Văn Minh - ĐH Ngoại Thương Hà nội FTU 9/15/2016 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD   06/2016  Bài  tập  có  sự  giúp  đỡ  của  SV  K53,  K54.  Có  nhiều  chỗ  sai  sót  mong  được  góp  ý:  facebook.com/nnvminh  §1 Quy luật nhị thức B(n,p) Bài 3.1 Bắn  5  viên  đạn  vào  mục  tiêu.  Xác  suất  trúng  đích  của  mỗi  lần  bắn  như  nhau  và  bằng  0,2.  Muốn phá  hủy  mục  tiêu  phải có  ít nhất  3  viên  trúng mục  tiêu,  tìm xác suất mục tiêu bị phá  hủy.  Giải:  Coi mỗi lần bắn là một phép thử ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có hai khả  năng đối lập là trúng hoặc trượt mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn đều bằng  0,2 do đó thỏa mãn lược đồ Bernoulli.  Gọi X là số viên đạn bắn trúng thì X là biến ngẫu nhiên tn theo quy luật nhị thức với tham  số n= 5 p=0,2.   Vậy xác suất mục tiêu bị phá hủy chính là xác suất để  X    Theo công thức Bernoulli:  P( X  ) =  P3  +  P4 +  P5    =  C35  0, 23.0,82  C54  0, 24.0,81  C55  0, 25.0,80 = 0,0579.  Bài 3.2 Một gia đình có 5 con. Tìm xác suất sao cho trong số đó có:  a 2 con trai  b Khơng q 2 con trai  Giả thiết xác suất sinh con trai là 0,51  Giải:   Coi mỗi lần sinh con là 1 phép thử, ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có 2 khả  năng đối lập xảy ra là sinh con trai hoặc khơng sinh con trai, xác suất sinh con trai là 0,51.  Đây là phân phối nhị thức Bernoulli.  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Gọi X là số con trai trong gia đình có 5 người con thì X là biến ngẫu nhiên tn theo quy luật  nhị thức Bernoulli với các tham số n = 5 và p = 0,51:  X ~ B ( 5, 0.51 )  a) Xác suất để có 2 con trai là xác suất để  X = 2: P (X = 2)  P (X = 2) =  C52 (0,51) (0, 49)3  = 0,306  b) Xác suất để có khơng q 2 con trai là xác suất để  X ≤  2: P (X ≤ 2)  P (X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)       =  C50 (0, 49)5  +  C51 (0, 51)1 (0, 49)  + 0,306                     = 0,481  Kết luận: a) Xác suất để có 2 con trai là 0,306           b)  Xác suất để có khơng q 2 con trai là 0,481  Bài 3.3 Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần thì có 1 lần bán được hàng. Nếu chào hàng 12  lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tn theo quy luật gì ? Tại sao?  Giải:   Gọi A là biến cố bán được hàng, theo giả thiết ta có   p  P( A)  , q  P( A)    3 Ta có 12 lần bán hàng, mỗi lần chỉ xảy ra hoặc bán được hàng hoặc khơng bán được hàng nên  X tn theo quy luật B(12,1/3).  Bài 3.4  Một nữ cơng nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suất để mỗi máy trong khoảng thời gian t  cần đến sự chăm sóc của nữ cơng nhân là 1/3. Tính xác suất:    a) Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ cơng nhân.    b) Trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ cơng nhân.  Giải: Gọi X là số máy cần đến sự chăm sóc của nữ cơng nhân trong khoảng thời gian t nên ta có X  ~ B(n = 12; p = 1/3).  a) Xác suất để trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ cơng nhân là:   Pa  = P(X=4) = ( )8 ( ) C124  = 0.2384  3 b) Xác suất để trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ cơng nhân  là:   TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Pb  = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)  2 2 =  ( )9 ( )3 C123  + ( )8 ( ) C124  +  ( )7 ( )5 C125  +  ( )6 ( )6 C126   3 3 3 3 = 0.212 + 0.238 + 0.190 + 0.111  = 0.751  Bài 3.5 Việc sản xuất ra các sản phẩm được tiến hành độc lập. Hỏi phải sản xuất mỗi đợt bao  nhiêu sản phẩm để trung bình có được 10 sản phẩm đạt tiêu chuẩn biết rằng xác suất có được  sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8 Giải: Gọi k là số sản phẩm cần sản xuất trong 1 đợt.  Ta coi mỗi lần sản xuất là 1 phép thử nên có k phép thử độc lập.  Mỗi  phép  thử  chỉ  quan  tâm  có  sản  xuất  được  sản  phẩm  đạt  tiêu  chuẩn  hay  không,  mà  mỗi  phép thử xác suất sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8.  Bài tốn thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n=k và p=0,8.  Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số k sản phẩm: X ~ B(n=k; p=0,8)  Ta có: E(X) = np = k.0,8 ≥ 10  hay k ≥ 10/0,8 = 12,5 suy ra k = 13.  Vậy cần sản xuất 13 sản phẩm 1 đợt.  Bài 3.6 Trong một lơ hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra  5 sản phẩm theo phương thức có hồn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.  a) X tn theo quy luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng qt của quy luật  b) Tìm E(X) và V(X)  c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó  Giải a) X tn theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5 và p = 0,8  Biểu thức xác suất tổng qt của quy luật là     P ( X  k )  C5k 0,8k 0, 25 k   b) Ta có: E(X) = n.p = 5.0,8 = 4  V(X) = n.p.q = 5.0,8.0,2 = 0,8  c) E(X) = 4  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội P( X  4)  C54 0,84 0, 25  0, 4096   Bài 3.7 Xác suất để sản phẩm sản xuất ra bị hỏng bằng 0,1.  a) Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm sản xuất ra có khơng q 2 sản phẩm hỏng.  b) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình trong 5 sản phẩm đó.  c) Tìm số sản phẩm hỏng có khả năng xảy ra nhiều nhất.  Giải: a) Gọi A là biến cố trong 5 sản phẩm lấy ra có khơng q 2 sản phẩm hỏng  Ta có A có 3 trường hợp: 0; 1; 2 sản phẩm bị hỏng    P  A   C50  0,10.0,95   C51. 0,11.0,94   C52  0,12.0,93              =  0,99144  b) X = số sản phẩm bị hỏng trong 5 sản phẩm = 0; 1; 2; 3; 4; 5    X   P0   C50 0,10.0,95   0,59049     X   P1   C51.0,11.0,94   0, 32805     X   P2   C52 0,12.0, 93   0, 0729     X   P3   C53 0,13.0,92   0, 0081     X   P4   C54 0,14.0, 91   0, 00045     X   P5   C55 0,15.0,90   0, 00001      E  X     X i Pi  0,   i 0 c)  Mod  X   do tại  X  0, P0  0, 59049  là giá trị lớn nhất  Bài 3.8 Gieo 10.000 hạt giống với xác suất để mỗi hạt nảy mầm là 0,85. Gọi X là số hạt nảy  mầm.  a) X tuân theo quy luật gì?  b) Tìm E(X) và V(X)  Giải:  a) Gọi A là biến cố hạt nảy mầm   P (A) = 0,85   P( A)  0,15   X là số hạt nảy mầm hay X là “số lần xuất hiện biến cố A trong 10.000 phép thử độc lập”.  Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể nhận là X = 0,1,2,…,10000.  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Theo công thức Bernoulli:  k Pk  C10000 0,85k 0,1510000 k   với  k = 0,1,2,3…,10000  Đây là quy luật nhị thức được kí hiệu là B(10000;0,85).  b) Vậy E(X) = 10000. 0,85 = 8500     V(X) = 10000. 0,85. 0,15 = 1275  Bài 3.9 Xác xuất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm có khả năng xảy ra  nhiều nhất trong 855 hành khách.  Giải: Nếu coi mỗi hành khách là một phép thử thì ta có 855 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử  chỉ có hai trường hợp là chậm hoặc khơng chậm. Xác xuất chậm của mỗi hành khách là 0,02.  Như vậy ta có 1 lược đồ bernoulli  và gọi X là số khách chậm thì X tn theo quy luật nhị  thức với n=855 và p=0,02. Vậy số hành khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855  người chính là giá trị mốt. Theo cơng thức mốt ta có:      np-q ≤ m0 ≤ np + p     16,12 ≤ m0 ≤ 17,12  Vậy m0=17. Tức số khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất là 17 người  Bài 3.10 Xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là    Có 5 người mắc bệnh B dùng  thuốc A. Tìm xác suất:  a) Có 3 người khỏi bệnh  b) Có ít nhất 1 người khỏi bệnh  c) Có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh  Giải:  Coi việc người mắc bệnh B dùng thuốc A là một phép thử thì có 5 phép thử độc lập.  Trong mỗi phép thử thì xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là     Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 5; p =    Gọi X là số người khỏi bệnh B khi dùng thuốc A: X    B(n = 5; p =  ).  a) Xác suất để có 3 người khỏi bệnh là:  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 3 1 P  X  3  C      0, 263   4 4   b) Xác suất để có ít nhất 1 người khỏi bệnh là:    1 P  X  1   P  X     C50    0,99902   4 c) Xác suất để có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh là:  i   3 1 P  X    C     4 4 i 0 i 5 i  0,1035   Bài 3.11 Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép  thử độc lập và P(A) = p trong mỗi phép thử, biết rằng E(X) = 1,2  Giải: Do X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép thử độc lập Bernoulli và   P(A) = p nên ta có:  E(X) = np lại có E(X) = 1,2    np = 1,2    p = 0,6   Mà q = 1 - p   q = 0,4  V(X) = npq = 2.0,6.0,4 = 0,48  Bài 3.12 Tiến hành các phép thử độc lập với xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử  đều bằng p. Tìm p nếu phương sai của số lần xuất hiện biến cố trong 3 phép thử độc lập là  0,63.  Giải:   Bài tốn thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 3 ; p  Gọi X là số lần xuất hiện biến cố đang xét => X ~ B (n = 3 ;p)  => V(X) = npq = 3p(1 – p) = 0,63   p2 – p + 0,21 = 0    p = 0,3 hoặc p = 0,7  Bài 3.13 Một kho hàng chun cung cấp hàng cho 12 cửa hàng. Xác suất để mỗi cửa hàng đặt  hàng cho kho đó trong ngày là 0,3. Tìm số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất cho mọt ngày  và xác suất tương ứng với nó.  Giải:  n=12;p=0,3  Gọi X là số đơn đặt hàng trong 1 ngày: X ~ B(12;0,3)  Số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất trong 1 ngày là  m0  thỏa mãn       np + p – 1    m0     np + p  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội   12.0,3 + 0,3 – 1     m0     12.0,3 + 0,3     m0  = 3         P(X=3) = C123 0, 33.0,  = 0,2397   Bài 3.14 Bia bắn được chia làm 2 vịng, xác suất bắn trúng vịng trong là 0.7 cịn trúng vịng  ngồi là 0.3. Tìm xác suất sao cho bắn 3 viên đạn thì được ít ra là 29 điểm biết rằng bắn trúng  vịng trong thì được 10 điểm, trúng vịng ngồi thì được 9 điểm.  Giải:  Gọi X là số viên đạn bắn trúng vịng trong nên ta có X ~ B(n = 3; p = 0.7).  Xạ thủ đạt được ít nhất 29 điểm khi có ít nhất hai lần bắn trúng vịng trong, vậy có thể xảy ra  hai trường hợp:  -  Trường  hợp  1:  Có  hai  lần  bắn  trúng  vịng  trong  và  chỉ  một  lần  duy  nhất  bắn  trúng  vịng  ngồi → X = 2.  - Trường hợp 2: Cả ba lần bắn đều trúng vịng trong → X = 3.  Vậy xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 29 điểm là:   P = P(X = 2) + P(X = 3)   =  (0.3)1 (0.7) C32  +  (0.3)0 (0.7)3 C33   = 0.441 + 0.343  = 0.784  Bài 3.15 Một nghiên cứu cho thấy 70% cơng chức cho rằng việc nghỉ làm hai ngày một tuần  sẽ nâng cao được hiệu suất cơng tác. Nếu chọn ngẫu nhiên 15 cơng chức ở một bộ để phỏng  vấn thì xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là bao nhiêu?  Giải:  Xác suất cơng nhân đồng ý với ý kiến trên là p = 70% = 0,7   Xác suất cơng nhân khơng đồng ý với ý kiến là q = 1 – 0,7 = 0,3  Gọi X là số người đồng ý kiến với ý kiến đó, X  B (n=15, p=0,7)  Do đó xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là P[X ≥ 10]  Ta có P[X ≥ 10] = P10 + P11 + P12 + P13+ P14 + P15   10 11 12 =  C15 (0,7)10.(0,3)5  +  C15 (0,7)11.(0,3)4  +  C15 (0,7)12.(0,3)3  +  C1513 (0,7)13.(0,3)2  +  C1514 15 (0,7)14.(0,3) +  C15 (0,7)15  TS Nguyễn Văn Minh =  ĐH Ngoại Thương Hà nội 0,7216  Đáp số: 0,7216  §2 Quy luật siêu bội - M(N,n) Bài 3.16 Trong kho có 10 cái lốp xe, trong đó có 3 cái hỏng. Lấy ngẫu nhiên 4 cái lốp để lắp  cho 1 xe. Nếu gọi X là số lốp xe bị hỏng có thể được lấy ra thì X tn theo quy luật nào? Hãy  giải thích?  Giải:  Gọi biến cố X là số lốp xe bị hỏng trong 4 lốp xe.  Với X = 0 thì  P ( X  0)  C30C74   C104 Với X = 1 thì  P ( X  1)  C31C73   C104 Với X = 2 thì  P ( X  2)  C32C72   C104 Với X = 3 thì  P( X  3)  C33C71   C104 Với X = 4 thì  P( X  4)    Suy ra X tuân theo quy luật siêu bội: X ~ M (N, n)  Bài 3.17 Trong số 20 cơng nhân của một cơng ty có 12 người có tay nghề khá. Tìm xác suất  để khi kiểm tra ngẫu nhiên tay nghề của 5 cơng nhân thì có ít nhất 4 người có tay nghề khá.  Giải:  Gọi X là số người có tay nghề khá trong 5 người thì X ~ M(N=20; M=12; n=5)  P  P  X  4  P  X  5  C124 C81 C125 C80    C20 C20 Bài 3.18 Để thanh tốn 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp 5 tờ 50 ngàn  tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi kiểm tra và giao  hẹn nếu phát hiện có bạc giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền  phạt mà khách có thể phải trả.  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải:  Gọi X là số tờ bạc giả mà chủ cửa hàng có thể kiểm tra thấy.  X = 0,1,2,3.  X phân phối theo quy luật siêu bội với N=20, M=5, n=3.  Ta có bảng phân phối xác suất  X  0  1  2  3  P  C153 C50   C20 C152 C51   C20 C151 C52   C20 C150 C53   C20 Số tiền giả trung bình trong 3 tờ là:  E(X)=  n M   0, 75  (ngàn)  N 20 Gọi Y là số tiền khách hàng phải trả nếu phát hiện tiền giả   thì Y= 2.50.X=100X  Do đó E(Y)=E(100X)=100E(X)=100.0,75= 75 (ngàn)  Vậy số tiền phạt mà khách có thể phải trả là 75 ngàn đồng.    Bài 3.19 Trong 20 giấy thơng báo thuế thu nhập có 3 giấy mắc sai sót. Nhân viên kiểm tra lấy  ngẫu nhiên 5 giấy thơng báo để kiểm tra.  a) Thiết lập phân phối xác suất của số giấy thơng báo có lỗi.  b) Tìm trung bình và phương sai của số giấy thơng báo có lỗi được kiểm tra.  Giải:  a) Gọi X là số giấy thông báo lỗi của phép thử.  C k  C 5k P  X  k     17   C20     X  ~ B   N  20; M  3; n  5    Bảng phân bố xác suất:  X  0  1  2  p  0.3991  0.4605  0.1316  0.0088     10 3  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội f  là tần suất xuất hiện của biến cố A  Do f =   X   nên f có thể coi là phân phối chuẩn với  n E (f) = p = 0.75;   V (f) =  p (1 –  p )   =0.0001875  n P(  f  p