Chuyên đề NC 02 so chinh phuong lớp 6

Chuyên đề nâng cao Số chính phương lớp 6 có hệ thống lý thuyết, bài tập và hướng dẫn giải đầy đủ. Là một trong những chuyên đề quan trọng trong Bộ các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 (Gồm 6 chuyên đề). Tài liệu dành cho giáo viên, phụ huynh và học sinh tham khảo, luyện tập để có kết quả dạy và học tốt hơn.

SỐ CHÍNH PHƯƠNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Định nghĩa: Số phương bình phương số tự nhiên A = k2 k ∈ ¥ A Tức là, số phương ( )  Tính chất  Số phương có chữ số tận số 0; 1; 4; 5; 6; khơng có chữ số tận 2; 3; 7;  Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chứng minh A=k k ∈¥ Giả sử với a b c k k = a x b y ×c z … Phân tích thừa số nguyên tố ta có: (trong đó: , , , số nguyên tố đôi khác ( A = a b ×c x y z ) = a ×b ×c 2x 2y x, y, z; ∈ ¥ * ) 2z Khi đó: (đpcm)  Từ tính chất ta có hệ quả: AMp AMp p A a) Nếu số phương, số ngun tố Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 b) Tích số phương số phương a = m ×p b = m ×q a A = ab c) số phương , Đặc biệt, số b phương số phương  Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số ước lẻ số số phương Chứng minh A Gọi số tự nhiên khác A =1 A - Nếu số phương có ước A >1 A - Nếu có dạng phân tích thừa số nguyên tố là: A = a xb y c z a b c ( , , , số nguyên tố đôi khác nhau) S = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) Þ A Số lượng ước x, y, z, x +1 y +1 z +1 A a) Nếu số phương số chẵn, nên , , S , số lẻ, số lẻ ( x + 1)( y + 1)( z + 1) S b) Đảo lại, số lẻ số lẻ Þ x +1 y +1 z +1 thừa số , , , số lẻ Þ x, y, z, số chẵn ′ ′ ∈¥ x = x y = y z = z′ x y z' Đặt , , , ( , , , ) phương (đpcm) ′  Nếu số A ′ ( ′ ′ A = a x b y ×c z ′ ) nên nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp n < A < (n + 1) A A số không A thể số phương Nghĩa là: khơng số phương a + 2ab + b2 = ( a + b)  Hai đẳng thức thường dùng: (1) 2 a − ab + b = ( a − b) (2) Chứng minh Chứng minh đẳng thức (1) Ta có: a + 2ab + b = ( a + ab ) + ( ab + b ) = a (a + b) + b (a + b ) = (a + b )(a + b ) = (a + b ) Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2) a − 2ab + b = ( a − ab ) − ( ab − b ) = a (a − b) − b(a − b) = (a − b)(a − b) = ( a − b) Cần chứng minh: a) Số phương chia cho dư  Ta xét trường hợp sau: - Nếu A = (3k)2 = 9k2 M3 A = ( 3k + 1) = 9k2 + 6k + - Nếu chia cho dư - Nếu A = ( 3k + 2) = 9k2 + 12k + + chia cho dư b) Số phương chia cho dư  Nếu A = ( 2k) = 4k2 M4 - Nếu A = ( 2k + 1) = 4k2 + 4k + chia cho dư Như theo tính chất ta thấy: - Một số phương chẵn chia hết cho - Một số phương lẻ chia cho dư c)  Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn  Giả sử A = n2 số phương có tận Khi n có tận TH1: Hai chữ số tận A Vì chữ số hàng chục a1 100a + 20a ta có a1 = ( 10a + 1) = 100a2 + 20a + số chẵn nên chữ số hàng chục a1 số chẵn TH2: Hai chữ số tận A a9 ta có a9 = ( 10a + 9) = 100a2 + 180a + 81 = 100a2 + 180a + 80 + 100a2 + 180a + 80 Vì chữ số hàng chục số chẵn nên chữ số hàng chục a9 số chẵn KLC: Số phương có tận chữ số hàng chục chữ số chẵn (Chứng minh tương tự với trường hợp chữ số tận 4; 9)  Một số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ  Số phương tận chữ số hàng chục 2  Giả sử A = a5 = ( 10a + 5) = 100a2 + 100a + 25 Vì chữ số hàng chục 100a2 + 100a chữ số nên chữ số hàng chục A Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG Dạng Kiểm tra số có phải số phương hay khơng I A Để chứng minh số khơng số phương ta thường sử dụng cách sau: Cách 1: chứng minh chữ số tận A số 2;3; 7; A Mp AMp p Cách 2: chứng minh (với số nguyên tố) n < A < (n + 1) Cách 3: chứng minh Bài 1: Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? a) b) c) d) A = + 32 + 33 +…+ 320 B = 1010 + C = 100!+ D = 1010 + e) E = 10100 + 1050 + Hướng dẫn giải ( 32 + 33 +…+ 320 ) M9 3n M9 n≥2 a) Ta có với nên 20 ⇒ A = + + +…+ 3 chia hết cho chia cho dư A A Vì chia hết cho khơng chia hết khơng phải số phương 1010 + 8 B b) Ta có có chữ số tận nên khơng phải số phương 100!+ 7 C c) Ta có có chữ số tận nên khơng phải số phương 10 10 + 5 d) Ta có có chữ số tận chia hết cho không chia hết 25 0.5 D cho (vì có hai chữ số tận ) nên khơng phải số phương 10100 + 1050 + e) Ta có có tổng chữ số chia hết cho không chia hết E số phương F = 31 + 32 + 33 +…+ 3100 2F + Bài 2: Cho Chứng minh khơng số phương Hướng dẫn giải F = 31 + 32 + 33 +…+ 3100 Ta có: 3F = 32 + 33 + 34 +…+ 3101 ⇒ 3F − F = 3101 − Nên ( ) F + = 3101 − + = 3101 = 3100 ×3 = 350 Do khơng phải số phương ×3 khơng số phương, H = 1234…1112 Bài 3: Viết liên tiếp từ đến 12 số Số H có 81 ước khơng? Hướng dẫn giải Giả sử H có 81 ước Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương (1) + + +…+ + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) = 51 mặt khác, tổng chữ số H là: 51M3; 51 M9 Vì ; nên H chia hết cho khơng chia hết cho 9, H khơng số phương: mâu thuẫn với (1) ! Vậy H khơng thể có 81 ước Bài 4: Chứng minh không tồn hai số tự nhiên x y khác cho x2 + y x + y2 số phương Hướng dẫn giải x≥ y Khơng tính tổng qt, ta giả sử 2 2 x < x + y ≤ x + x = x ( x + 1) < ( x + 1) Khi đó, ta có: ⇒ x2 + y khơng thể số phương (dấu hiệu số 5) x + y2 x≤ y (nếu chứng minh tương tự ta có khơng số phương) Vậy khơng tồn hai số tự nhiên x y cho x + y x + y số phương n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Bài 5: Chứng minh số: Khơng số phương Hướng dẫn giải 2 20042; 20032; 20022; 20012 Ta thấy chữ số tận số: 6; 9; 4; n n Do có chữ số tận Nên khơng phải số phương Bài 6: Các tổng sau có phải số phương khơng? a) A = 11 + 112 + 113 b) 10 + 10 c) b, Tổng d) 1010 + 10100 + 1050 + Hướng dẫn giải A có chữ số tận nên khơng số phương 10 + c, Ta có: có chữ số tận nên khơng số phương 10 10 + d, Ta có: chia hết cho khơng chia hết cho 25 nên khơng số phương 10100 + 1050 + e, Ta có: có tổng chữ số nên chia hết cho mà không chia hết khơng số phương 1234567890 Bài 7: Chứng minh số: khơng phải số phương Hướng dẫn giải 10 C1: Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), 1234567890 khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số khơng phải số phương C2: - Có thể luận rằng: 1234567890 chia hết cho không chia hết cho (vì 1234567890 hai chữ số tận 90) Nên khơng phải số phương Bài 8: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương Hướng dẫn giải Ta thấy tổng chữ số 2004 chia hết cho mà lại khơng chia hết cho Do số khơng phải số phương Bài bổ sung: Tổng chữ số số phương 1983 không? Hướng dẫn giải Ta thấy tổng chữ số 1983 chia hết cho mà lại khơng chia hết cho Do số khơng phải số phương 4014025 Bài 9: Chứng minh số khơng phải số phương Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho dư chia cho dư 1, nên áp dụng cách Hướng dẫn giải Ta thấy: 20032 = 401209 Chứng tỏ số 4014025 Bài 10: Cho phương? ; 20042 = 4016016 Nên 20032 < 4014025 < 20042 số phương A = 22 + 23 + 24 + + 220 , chứng minh A +4 khơng số Hướng dẫn giải A = 22 + 23 + 24 + + 220 2A = 2(22 + 23 + 24 + + 220) 21 2A - A = 221 - 22 = 221 - = A Þ A + = khơng số phương có mũ lẻ Bài 11: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 khơng số phương? Hướng dẫn giải + + + + 2004 + 2005 = 2006.2005 : = 1003.2005 = A Ta có: A = 1003.2005 = 17.59.401.5 Phân tích A ta thấy A khơng số phương Bài 12: Chứng minh phương 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khơng phải số Hướng dẫn giải 20042 20032 20022 có chữ số tận 6; có chữ số tận 9; có 2001 chữ số tận 4; có chữ số tận Khi 2 2 2004 + 2003 + 2002 - 2001 có chữ số tận nên khơng số phương A = + + + + 2n - Bài 13: Chứng minh tố phương Hướng dẫn giải A= ( 1+ 2n - 1) n = n Tính tổng A ta được: Vậy tổng số phương Dạng Lập số phương từ chữ số cho Bài 1: Tìm số phương có bốn chữ số ; 6; 8; Hướng dẫn giải Gọi A số phương phải tìm Vì số phương khơng tận 3; nên A phải tận Þ hai chữ số tận A 86 36 - Nếu A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho khơng chia hết A khơng phải số phương (loại) - Nếu A có hai chữ số tận 36 A = 8836 8836 = 942 Thử lại, ta có: số phương Vậy số cần tìm 8836 Bổ sung 1: Cho số 0,2,3,4 Tìm số phương có chữ số từ số Hướng dẫn giải Þ n2 n Gọi số phương phải tìm có tận n2 Nếu n có tận có hai chữ số tận 00 (loại) n n có tận có tận 04, 24, 34 n nM2 ⇒ nM4 Do số phương nên Þ tận 04 24 2304 Xét số: 2304; 3204; 3024 có số phương Bổ sung : Cho số 0,2,3,5 Tìm số phương có chữ số từ số Hướng dẫn giải n2 n2 Gọi số phương phải tìm số phương nên có tận n2 Nếu n có tận có hai chữ số tận 00 ( loại) Þ n Nếu n có tận có tận 25 Ta có số cần tìm 3025 Bổ sung : Cho số 0,2,4,7 Tìm số phương có chữ số gồm số Hướng dẫn giải Gọi n2 n2 số phương cần tìm nên có tận n Nếu n có tận có chữ số tận 00 (loại) n Nếu n có tận có tận 04; 24; 74 Þ n2 Do n số phương nên chia hết cho chia hết cho có tận 04 24 Khi ta có số: 2704; 7204; 7024, số có số 2704 số phương Bài 2: Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương khơng? Hướng dẫn giải Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60 60 M25 52 = 25 Þ A chia hết cho A khơng chia hết cho (vì ) Þ A khơng số phương Þ A - Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 06 66 Þ A chia hết cho không chia hết cho 4, A khơng phải số phương Vậy A khơng phải số phương Bài 3: Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương Hướng dẫn giải 135n = a 33.5n = a a∈¥ Gọi số phải tìm n, ta có ( ) hay Vì số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3.5 ìk Vỡ ( k Ơ ) 10 3.5 ×k ≤ 99 ⇒ k ∈{1; 4} n số có hai chữ số nên k =1 n = 15 - Nếu k2 = n = 60 - Nếu Vậy số cần tìm 15 60 Bài 4: Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Hng dn gii n = aabb (a,b ẻ Ơ £ a £ 9,0 £ b £ 9) Gọi số phương cần tìm n = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) Ta có (1) ⇒ (99a + a + b) :11 ⇒ ( a + b) :11 ⇒ a + b = 11 n = 11(99a + 11) = 112 (9a + 1) a + b = 11 Thay vào (1) ta ⇒ 9a + phải số phương a 9a + 1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 a=7 9a + = 64 = 82 Ta thấy có số phương 7744 = 112.82 = 882 a =7⇒b=4 Vậy số cần tìm là: Bài 5: Tìm số nguyên tố ab để ab - ba số phương Hướng dẫn giải Ta có: A = ab - ba = 9a - 9b = 32 ( a - b) a- b Để số phương số phương £ a - b £ => a - b Î {1;4} Mà ( < b < a < 9) { 21;32;43;54;65;76;87;98} a - b = Þ ab Î  Với Thấy có 43 số nguyên tố a - b = ị ab ẻ { 51;62;73;84;95}  Với Có 73 số nguyên tố Vậy số ab∈ { 47;73} Bài 5: Tìm số tự nhiên a) c) n2 + 2n + 12  13n + n cho số sau số phương: n ( n + 3) b) n2  + n + 1589 d) Hng dn gii ( kẻ Ơ ) n2 + 2n + 12  n2 + 2n + 12 = k2 a Vì số phương nên đặt với ( ) Þ n2 + 2n + + 11 = k2   ⇔  k2 – ( n + 1) = 11 ⇔ ( k + n + 1) ( k - n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + 1> k - n - chúng số nguyên dương, nên ta ìï k + n + = 11 ï Û í ( k + n + 1) ( k - n - 1) = 11.1 ïỵï k - n - = viết n = Þ 42 + 2.4 + 12 = 36 = 62 Vậy n ( n + 3) = a2 ( a ẻ Ơ ) b Đặt Þ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ( ìï k + n = 10 ï Û í ïï k - n = ỵ ìï k = ï í ïï n = ỵ )  Û 4n2 + 12n + – = 4a2  Û ( 2n + 3) - 4a2 = Û  2 ( n + + 2a) ( 2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, ( 2n + + 2a) ( 2n + – 2a) = 9.1   nên ta viết ìï 2n + + 2a = ìï 2n + 2a = ï Û ïí Û í ïï 2n + – 2a = ïï 2n – 2a = - ỵ ỵ ìï n + a = ï Û í ïï n – a = - ỵ ìï n = ï í ïï a = ỵ Vậy n =1 , giá trị 13n + = y2 (y ẻ Ơ ) Þ  13( n – 1) = y – 16  Û 13( n – 1) = ( y + 4) ( y – 4) c) Đặt ( y + 4) ( y – 4) M 13 y + 4M  3 y – 4 13 M mà 13 số nguyên tố nên hoc kẻ Ơ y = 13k vi ⇒ 13( n – 1) = (13k ± 4 ) – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k  ± 8k + n = 13k2  ± 8k + Vậy d) t kẻ Ơ (Vi n + n + 1589 = m2 vi ) thỡ mẻ Ơ 13n + số phương 2 4n  + 4n + + 6355 = 4m    Û ( 2n + 1) + 6355 = 4m 2 ⇔ ( 2m + 2n + 1) ( 2m – 2n - 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + > 2m – 2n - > chúng số lẻ, nên ta có ( 2m + 2n + 1) ( 2m – 2n - 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 thể viết 1588; 316; 43; 28 n Suy có giá trị sau: Bài tập bổ trợ 5: Tìm a để số sau số phương: a2 + a + 43     a2 + 81 a2 + 31a + 1984    a) b) c) 2; 42; 13 0; 12; 40 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Kết quả: a) b) c) n ³ 1! + 2! + 3! + ¼ + n ! Bài 5: Tìm số tự nhiên cho tổng số phương n ! = 1.2.3 n Với Hướng dẫn giải 1! = =   Với n = số phương 1! + 2! = Với n = khơng số phương 1! + 2!+ 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 Với n = số phương 5!; 6!; ¼; n ! n ³ 1!+ 2!+ 3!+ 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 Với ta có tận (lí do: tích có tích hai thừa số 2.5) 1! + 2! + 3! + ¼ + n ! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề Bi 6: Bit xẻ Ơ v 2< x Ê n = 1; n = x ( x - ) x ( x - 1) = ( x - 2) xx ( x - 1) Tìm x cho Hướng dẫn giải é ù êx ( x - 1) ú = ( x - 2) xx ( x - 1) ë û Đẳng thức cho viết lại sau: Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) 2< x £ ⇒ Do x chữ số thỏa mãn kết hợp với (1) x nhận giá trị 5; 6; x = 762 = 5776 Bằng phép thử ta thấy có thỏa mãn đề bài, 2n + 3n + Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết số phương Hướng dẫn giải 10 £ n £ 99 21 £ 2n + £ 199 Ta có nên Tìm số phương lẻ 25; 49; 81; 121; 169 n khoảng ta tương ứng với số 12; 24; 40; 60; 84 3n + nỴ {12; 24; 40; 60; 84} Số tương ứng với 37; 73; 121; 181; 253 n = 40 Chỉ có 121 số phương Vậy Bài tập bổ sung : Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để phương 3n + 4n + số 10 ≤ n ≤ 99 => 23 ≤ 3n + 1≤ 298 Ta có: , Tìm số phương lẻ khoảng ta được: 25; 49; 81; 121; 169, 225 ; 289 n Ỵ { 8 ; 16 ; 40 ; 56 ; 96} ứng với nỴ 4n + { 8 ; 16 ; 40 ; 56 ; 96} Số tương ứng với 33; 65; 161; 225; 985 n = 56 Chỉ có 225 số phương Vậy 28 + 211 + 2n Bài : Tìm tất số tự nhiên n cho số số phương Hướng dẫn giải 2n = a2 – 482 = ( a + 48) ( a - 48) 28 + 211 + 2n = a2    a Ỵ ¥ Giả sử ( ) p q 2  = ( a + 48) ( a - 48) p, qẻ Ơ ; p + q = n   p > q Với ìï a + 48 = 2p ïí Þ 2p - 2q = 96 Û 2q 2p- q - = 25.3 q ïï a - 48 = ïỵ ( ) p- q = Û p = ⇒ n = + = 12 Þ q=5 28 + 211 + 212  = 802 Thử lại ta có: thỏa mãn Bài : Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Hướng dẫn giải Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa abcd = x2 = y3 x, yẻ Ơ lp phương nên đặt Với y3 = x2 y Vì nên số phương Þ  y = 16 1000 £ abcd £ 9999   Þ 10 £ y £ 21 Ta có y phương abcd   = 4096 = 642 = 163 Bài 10: Các số sau số phương khơng? abab abcabc ababab a, b, c, 20012001 A = abc + bca + cab d, e, Hướng dẫn giải abab abM 101 abab = ab.101 101 mà nguyên tố Để số phương a, Ta có: ⇒ ab M 101 abab ab mà số có chữ số vơ lý Vậy khơng phải số phương abcabc = abc.1001 = abc.7.11.13 abcabc Để số phương abcM 1001 ⇒ abcM 1001 abcabc abc mà số có chữ số vơ lý Vậy khơng phải số phương Tương tự với ý c, d, e ababab = ab.10101= ab.3.7.13.37 ⇒ abM 10101 c, Ta có: (vơ lý) b, Ta có: ( ) 20012001 = 20011000 2001 d, Ta có: khơng phải số phương 2001 khơng phải số phương (Tích số phương số phương) A = abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c = 3.37( a + b + c) e) Để A số phương a + b + cM37 a + b + c ≤ 27 mà nên A số phương Dạng Tốn chứng minh Bài 1: Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Hướng dẫn gii a,a + 1,a + 2,a + 3(a ẻ Ơ ) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp T = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + Xét ùé(a + 1)(a + 2)ù+ =é ê ú ëa(a + 3)ú ûê ë û ( )( ) = a2 + 3a a2 + 3a + + x = a + 3a Đặt , ta có: T = x(x + 2) + = x2 + 2x + = (x + 1)2 ( ) T = a + 3a + hay Vậy T số phương (đpcm) Nhận xét: - Trong ví dụ ta khơng biết T số phương mà biết bình phương số Chẳng hạn: 1.2.3.4 + = 25 = 52 2.3.4.5 + = 121 = 112 3.4.5.6 + = 361 = 192 4.5.6.7 + = 841 = 29 b) Biểu thức sau bình phương số tự nhiên nào? 10.11.12.13 + = ?  a = 10 a2 + 3a + = 102 + 3.10 + = 131 Vì nên 10.11.12.13 + = 1312 Do 15.16.17.18 + = ?  a = 15 a2 + 3a + = 152 + 3.15 + = 271 Vì nên 10.11.12.13 + = 2712 Do  Cũng từ ví dụ ta suy hai kết sau: 1) Tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp cộng 16 số phương 2) Tích bốn số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 số phương A = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) Bài bổ trợ: Chứng minh: khơng số phương n ẻ Ơ, n vi mi Hng dn gii Ta có: A + = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) + ( )( ) = n2 + 3n n2 + 3n + + (n = ) ( ( ) = n2 + 3n + Mặt khác (n + 3n ) ) + 3n + n2 + 3n + ( ) ( ) < n2 + 3n + n2 + 3n = A Điều (n ) hiển nhiên ( ) n >1 vì: Chứng tỏ + 3n < A < A + = n2 + 3n + Bài 2: Cho Suy A khơng phải số phương S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +¼ + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh 4S + với kẻ Â l s chớnh phng Hng dn gii k(k + 1)(k + 2) = Ta có: = 1 ù k(k + 1)(k + 2).4 = k(k + 1)(k + 2) é ê ë(k + 3) - (k - 1)ú û 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 Þ 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k ( k + 1) ( k + 2) ( k + 3) - k ( k + 1) ( k + 2) ( k - 1) 4S = k ( k + 1) ( k + 2) ( k + 3) 4S + = k ( k + 1) ( k + 2) ( k + 3) + Theo kt qu bi ta cú: kẻ Â hay 4S + k ( k + 1) ( k + 2) ( k + 3) + số phương với số phương Bài 3: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương Hướng dẫn giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp Ta xét : Vì 4aM2 a; a + 1; a + 2; a + (với a∈¥ ) S = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6M2 nên S M2 Mặt khác 4aM4 M4 nên S M4  → S chia hết cho S không chia hết cho , S khơng số phương Bài 4: Chứng minh số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Hướng dẫn giải Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 A = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4 ( )( ) A = x2 + 5xy + 4y2 x2 + 5xy + 6y2 + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t (t ẻ Â) thỡ A = (t - y2)(t + y2) + y4 = t - y4 + y4 = t = (x2 + 5xy + 5y2)2 A=( Vỡ x, y,z ẻ Â x2 ẻ Â, 5xy ẻ Â, 5y2 ẻ Â ị x2 + 5xy + 5y2 ẻ Â nờn Vy A l số phương Bài 5: : Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Hướng dẫn giải Gọi số tự nhiên liên tiếp n - 2, n - 1, n, n + 1, n + n ẻ Ơ ;n > ( ) ( ) (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = n2 + Ta có Vì n2 khơng thể tận n2 + khơng thể chia hết cho ( ) Þ n2 + khơng số phương hay A khơng số phương Bài 6: Chứng minh số có dạng n >1 n6 - n4 + 2n + 2n2 ú n ẻ Ơ v khơng phải số phương Hướng dẫn giải ( ) n6 - n4 + 2n3 + 2n2 = n2 n4 - n2 + 2n + = n2 é n2 n - 1) ( n + 1) + 2( n + 1) ù ê ú ë ( û ( ) ( ) ( ) = n2 é ( n + 1) n3 - n2 + ùúû= n2 ( n + 1) éêën3 + - n2 - ùúû ê ë ( ) = n2 ( n + 1) n2 - 2n + n Ỵ ¢,n > Với Và n2 - 2n + = (n - 1)2 + > (n - 1)2 n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 Þ n2 - 2n + n6 - n4 + 2n + 2n2 khơng phải số phương khơng phải số phương Bài 7: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Hướng dẫn giải Giả sử 2010 + n2 Từ suy 2010 + n2 = m2 (m Ỵ ¥ ) số phương , m2 - n2 = 2010 Û (m + n)(m - n) = 2010 Như số Mặt khác m n phải có số chẵn (1) m + n + m – n = 2m ⇒ Từ (1) (2) ⇒ m+n m– n số m+n số chẵn m– n tính chẵn lẻ (2)  Þ ( m + n) ( m – n) M  4 ⇒ 2010 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 8: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Hướng dẫn giải Nếu số phương a M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận Þ a : Þ a2 M4 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Vậy chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương  ... khoảng ta được: 25; 49; 81; 121; 169 , 225 ; 289 n Ỵ { 8 ; 16 ; 40 ; 56 ; 96} ứng với nỴ 4n + { 8 ; 16 ; 40 ; 56 ; 96} Số tương ứng với 33; 65 ; 161 ; 225; 985 n = 56 Chỉ có 225 số phương Vậy 28 +... chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) 2< x £ ⇒ Do x chữ số thỏa mãn kết hợp với (1) x nhận giá trị 5; 6; x = 762 = 57 76 Bằng phép thử ta thấy có thỏa mãn đề bài, 2n + 3n +... 112 3.4.5 .6 + = 361 = 192 4.5 .6. 7 + = 841 = 29 b) Biểu thức sau bình phương số tự nhiên nào? 10.11.12.13 + = ?  a = 10 a2 + 3a + = 102 + 3.10 + = 131 Vì nên 10.11.12.13 + = 1312 Do 15. 16. 17.18