Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1. (Hà NộiTS102011THPT Chuyên) Cho hình bình hành ABCD với BAD . Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại O khác C . Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng CB; CD tại E; F . 1). Chứng minh rằng OBE ODC . 2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB.BE.EI ID.DF.FI . Lời giải 1). Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD , suy ra OBD OCD OCB ODB , nên tam giác cân tại O , do đó OB (1). Tứ giác OBCD nội tiếp ODC (cùng bù với góc OBC ) (2). Trong tam giác có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác cân tại C . Do AB CF AEB AFC EAB , suy ra tam giác 2). Từ OBE ODC OE OC . cân tại B , nên BE (3). Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE OF . Từ đó OE OC OF , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Theo trên, ta có BE mà CE CF BC DF . Ta có CI là đường phân giác góc BCD , nên IB CB DF IB.BE ID.DF ID CD BE Mà CO là trung trực EF và I CO , suy ra
Câu (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên) Cho hình bình hành ABCD với BAD 90 Đường phân giác góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BC O khác C Kẻ đường thẳng d qua A vng D góc với CO Đường thẳng d cắt đường thẳng CB; CD E; F 1) Chứng minh OBE ODC 2) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF 3) Gọi giao điểm OC BD I , chứng minh IB.BE.EI ID.DF.FI Lời giải 1) Tứ giác OBCD nội tiếp CO phân giác góc BCD , suy OBD OCD cân O , OB OD (1) OCB ODB , nên tam giác OBD Tứ giác OBCD nội tiếp ODC OBE (cùng bù với góc OBC ) (2) Trong tam giác Do AB CF CEF có CO vừa đường cao vừa đường phân giác nên tam giác AEB AFC EAB , suy tam ABE cân B , nên BE giác 2) Từ OBE ODC OE OC Mà CO đường cao tam giác cân CEF , suy OE OF Từ OE OC BA CD CEF cân C (3) OF , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF 3) Theo trên, ta có BE CD mà CE CF Ta có CI đường phân giác góc BCD , nên BC DF IB CB DF ID CD BE IB.BE ID.DF Mà CO trung trực EF I CO , suy IE IF Từ hai đẳng thức trên, suy IB.BE.EI ID.DF.FI Câu (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M điểm cung nhỏ BC ( M khác B; C AM không qua O ) Giả sử P điểm thuộc đoạn thẳng AM cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC điểm N khác M 1) Gọi D điểm đối xứng với điểm M qua O Chứng minh ba điểm N; P; D thẳng hàng 2) Đường tròn đường kính MP cắt MD điểm Q khác M Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN Lời giải 1) Vì MP đường kính suy PN MN Vì MD đường kính suy DN Từ (1) (2), suy N; P; MN (2) D thẳng hàng 2) Tứ giác APQD nội tiếp ( PQD MAD suy PAQ PDQ NDM (1) 90 ), (3) Xét (O) , ta có NDM NAM (4) Từ (3) (4) PAQ NAP , suy AP phân giác góc NAQ (*) Xét (O) , ta có AND AMD Xét đường tròn đường kính MP có QMP QNP ANP QNP , nên NP phân giác góc ANQ (**) Từ (*) (**), suy P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANQ Câu (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ABC với AB (O) AC Đường phân giác góc BAC cắt (O) điểm D khác A Gọi M trung điểm AD E điểm đối xứng với D qua tâm O Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đoạn thẳng AC điểm F ABM khác A 1) Chứng minh tam giác BDM tam giác BCF đồng dạng 2) Chứng minh EF vuông góc với AC Lời giải E A F M O N C B D BFA suy 1) Ta có góc nội tiếp BDM BCF (1) 180 BMA (2) Từ (1) (2) , suy BDM BCF đồng dạng (g - g) BMA BFA 1800 hay BMD BFC 2) Từ AD phân giác BAC suy DB DC DE vng góc với BC trung điểm N BC Từ 1) ∽ BDM BCF , ta có Vậy ta có biến đổi sau DM BD DA CF 2DM BC 2BD CF CF BC CD DE CN (3) CE Ta lại có góc nội tiếp ADE Từ (3) (4) , suy FCE (4) EAD ∽ suy EFC EFC EAD 90 Vậy EF AC Câu (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên) Cho tam giác ABC nhọn với AB BC D điểm thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC Đường thẳng qua C song song với AD , cắt trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD , cắt trung trực AB F 1) Chứng minh tam giác ABF 2) Chứng minh đường thẳng đồng dạng với tam giác ACE BE; CF; AD đồng quy điểm, gọi điểm G 3) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF Q Đường thẳng QE , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC P khác E Chứng minh điểm A; P; G; Q; F thuộc đường tròn Lời giải 1) Tam giác ABF FBA ECA A tam giác cân F, E ACE ABF ∽ ACE 2) Giả sử G giao điểm BE CF Ta có GF BF AB DB GD FB , FB GC CE AC ta có G AD DC 3) Chứng minh BQG QGA GAF suy tứ giác FQGP nội tiếp Câu AD GAE GAC CAE GAB BAF , nên AGQF nội tiếp, QPG GCE GFQ , (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH , H thuộc BC P thuộc AB cho CP phân giác góc BCA Giao điểm CP AH Q Trung trực PQ cắt AH BC E; F 1) PE giao AC K Chứng minh PK vng góc AC 2) FQ giao CE , CA M; N Chứng minh bốn điểm E; K; N; M thuộc đường tròn 3) Chứng minh bốn điểm P; E; C; F thuộc đường tròn Lời giải A K B E PF H Q M N C 1) Ta có tam giác EPQ cân E CQ phân giác góc BCA , nên EPQ EQP PCK Do EPQ PCK 2) Trong tam giác Từ EMN 90 , nên PK AC EFC có CQ EF (do EF trung trực PQ ); EQ HQC nên FQ FC 90 , nên tứ giác EKNM nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính EN 900 HCQ 900 EC Ta có tứ giác EKCH nội tiếp đường tròn đường kính EC nên PEQ HCK Chú ý: EF phân giác góc PEQ CQ phân giác góc HCK , PEF PECF nội tiếp Câu PEQ HCK PCF Do tứ giác (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác ABC vuông A Gọi CT đường phân giác tam giác ( T thuộc cạnh AB ) 1) Chứng minh đường tròn (K ) qua C; T tiếp xúc với AB có tâm K thuộc BC 2) Gọi giao điểm AC (K ) ABD D khác C , giao điểm DB (K ) E khác D Chứng minh BCE 3) Gọi giao điểm CE AB M Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng BT Lời giải A D T M E B 1) K F K tiếp xúc AB T , nên KT AB , suy KT / / AB Chú ý tam giác KTC KTC TCB TCA C cân nên KCT nên K thuộ c BC Nhận xét Chứng minh điểm thuộc đoạn thẳng ta quy chứng minh ba điểm thẳng hàng 2) Gọi (K ) giao BC F khác C Ta thấy tứ giác FEDC nội tiếp ý K thuộc BC nên FEC Từ AB D 90 AD B 3) Từ trên, suy MBE 90 EFC 90 BCE BCM MBE ∽ Từ ý MT tiếp xúc (K ) , suy MT2 MCB ME.MC ME.MC MB MB Vậy M trung điểm BT Câu hai (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) M; N điểm thuộc cung nhỏ AC cho MN song song với AC tia BM nằm hai tia BA; BN BM giao AC P Gọi Q điểm thuộc cung nhỏ BC cho PQ vng góc với BC QN giao AC R 1) Chứng minh bốn điểm B; P; R; Q thuộc đường tròn 2) Chứng minh BR vng góc với AQ 3) Gọi F giao AQ BN Chứng minh 1) Tứ giác BMNQ nội tiếp suy BMN AFB BPQ ABR Lời giải BQN 180 Mà BPR BMN (do MN BC ) Từ BPR BQN 1800 , suy tứ giác BPRQ nội tiếp Tức B; P; R; Q thuộc đường tròn 2) Gọi PQ giao BC D, AQ giao BR E ta có biến đổi góc sau EQD DQB EBD AQB PRB ACB RBC 2) Gọi (O ) đường tròn qua bốn điểm B; H; C; K Ta có dây cung BC R , BKC đường tròn (O ) bán kính R đường tròn (O) 600 BAC nên bán kính Gọi M giao điểm AH BC MH vng góc với BC , kẻ KN vng góc với BC ( N thuộc BC ), gọi I giao điểm HK BC Ta có S S BHC BHC S BCK 1 BC.HM BC.KN 12 (do HM BC HI KI BC.KH 2 Ta có KH dây cung đường tròn ( O SBHCK HI ; KN BC HM KN KI ) S R (không đổi), nên BHC lớn KH ; R ) suy KH K HM KN HK R 2R Giá trị lớn R S BHCK 3R 3.2 R Khi HK đường kính đường tròn (O ) M; I; N trùng suy I trung điểm BC nên A Khi A điểm cung lớn 3) Ta có BO C 120 BKC 60 , suy ; ABC cân BC BOC BKC 180 , nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn hay KO phân giác góc BKC OC BKO Do KA phân giác góc BKC nên K; O; A thẳng hàng hay AK qua O cố định CKO Ta có OB Câu 22 OC R , suy OB (Hà Nội-TS10-2016-THPT Chuyên KHTN ) Cho tam giác nhọn nội tiếp điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi IC; IB ABC khơng cân có tâm đường tròn E; F điểm đối xứng D qua 1) Chứng minh EF song song với BC 2) Gọi M; N; J trung điểm đoạn thẳng DE; DF; EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M; N; P; J nằm đường tròn 3) Chứng minh ba điểm A; J; P thẳng hàng Lời giải BD AB BE AB BC FE DC CF AC AC 2) Ta có BC EF EFD EDB Ta có AD phân giác Mà APM 180 AEM BED mà BED; CDF tam giác cân, BED APM DEF Tương tự: DFE APN APN APM DFE FED MPN Mà MJN MDN EDF MJN MPN 180 MPNJ nội tiếp 3) Ta có APM DEF JPM JNM JEM JPM APM , suy A; P; J thẳng hàng điểm nhọn không cân với AB AC Gọi M Câu 23 (Hà Nội-TS10-2016-THPT Chuyên KHTN) Cho tam giác ABC trung điểm đoạn thẳng BC Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn AM Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN 2MH 1) Chứng minh BN AC 2) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chunwgs minh bốn điểm B; D; N; C thuộc đường tròn,gọi đường tròn (O) 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) G D Chứng minh NG song song với BC Lời giải 1) Gọi P điểm đối xứng A qua M HP HN HM MB 2HM AH H trung điểm NP Mà BH NP , suy tam giác PNB cân B BN BP Mặc khác lại có M trung điểm BC; AP Do tứ giác ACPB hình bình hành, suy AC 2) Do tứ giác ACPB hình bình hành, suy PAC Mà tam giác CAN BNQ Ta có AC BNQ APB PAC PBN cân B NB; NQ AN CAN NBD NCD ANB Mà BNC GQA BC GBQ ∽ BDC GAQ AGQ NCB 3) Ta có CAG NCB BQG GCA ANB N; B; C; D thuộc đường tròn C; G giao điểm DQG với DBC , GA AC GQ QB GA NB NBC ∽ GDC AC APB suy CAG BQG Mà GBQ GCA BP BN GC NB NG GQ NC Mà GBQ GCA BNC BDC GQA BC Câu 24 GBQ ∽ AGQ NCB NCB GA GCA GQ QB AC GA NB GQ ; NC NBC ∽ GAQ ; GDC GC NB NG (Nam Định-TS10-2011-THPT Chuyên LHP) Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ), đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính AH cắt cạnh AB; AC M; N Gọi O trung điểm đoạn BC; D gia điểm MN OA 1) Chứng minh rằng: a) AM.AB AN.AC b) Tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: a) ADI ∽ AHO b) AD HB HC 3) Gọi P giao điểm BC MN; K giao điểm thứ hai AP đường tròn đường kính AH Chứng ming BKC 90 Lời giải 1) a) Xét đường tròn (I ) có cao tam giác vng AMH ANH ABH; ACH 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên HM; HN tương ứng đương +) ABH vuông H , có đường cao HM nên AM.AB AH +) ACH vng H , có đường cao HN nên AN.AB AN.AC b) Theo câu a) ta có Xét AMN ACB Do AMN AM.AB ACB AM AC AN.AC AM có A chung, AC BCN BMN AN AB AN , nên AB ACB BMN AMN ∽ ACB AMN (c – g - c) BMN 180 Mà góc BCN; BMN vị trí đối diện nên tứ giác BMNC nội tiếp 2) a) Ta có tam giác O OAC OCA Mà AMN ACB BCN Vì BCN OAC nên AMN OAC OB OAC OC ADI 90 DAN AMN AMN vuông A nên AMN ANM 90 DAN Mà MAN Xét 900 MN AID b) Vì ADI ∽ Mà AO đường kính đường tròn (I) AOH có ADI AH O AO AH AO AD AH.AI BC; AI AH 2 AD HB ABC ANM 90 ADN 90 I trung điểm MN nên A chung AI HB HC HB.HC AHO 900 AD Mặt khác, tam giác AD cân ABC vuông A O trung điểm cạnh BC nên OA AID ∽ AOH (g - g) BC AH2 vuông A AH đường cao nên HC 3) Vì tứ giác BMNC nơi tiếp PBM MNC PBM ANM MNC ANM 180 PKM (2) ANM PKM 1800 , tức giác PKMB nội tiếp Vì tứ giác ANMK nơi tiếp Từ (1) (2), suy PBM PKB 1800 Do tứ giác BKAC nội tiếp PMB AMN ACB AKB ACB AKB (1) PKB AH HB.H , suy C BKC BAC 90 Câu 25 (Bình Định-TS10-2016-THPT Chuyên LQĐ ) Trong phòng có 80 người họp, ngồi dãy ghế có chỗ ngồi Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm người ngồi vừa đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp chỗ ngồi Câu IV (3,0 điểm) Cho điểm M nằm đường tròn (O) Vẽ tiếp tuyến MA; MB ( A; B tiếp điểm) cát tuyến MCD không qua O ( C nằm M D ) với đường tròn (O) Đoạn thẳng MO cắt AB (O) theo thứ tự H I Chứng minh 1) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn 2) MC.MD MA 3) OH.OM MC.MD MO Lời giải 1) Ta có A B 90 , cộng lại 2V 2) Ta có MCA ∽ MAD 3) Ta có OH.OM ; Câu 26 qua (g - g), suy tỉ số đồng dạng, suy điều phải chứng minh OA MC.MD MA MA OA 2 MO ; (Hải Dương-TS10-2016-THPT Chuyên NT ) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A ( A khác B ) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) ( M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A; O; M; N; I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Lời giải M E H P O I A C K B N 1) Theo giả thiết AMO ANO AIN AMN; AIM ANM Ta có AM AIN 2) Ta có (do AB AIO (góc nội tiếp chắn cung) AN , nên AMN cân A AK AB AC AC 2AI ) ABN ∽ ANC AN2 + AHK ∽ AIO AH.AO AN AB.AC 3) Ta có AN vng M NO; MP AN AN NO NE EM NO OE 2x R t( t ) AB.AC AK.AI có đường cao MH , suy NO; M AN ANO ∽ NEM + TH1: Ta có NE AC AH.AO AK.AI Do AMPN hình bình hành R2 x2 AK AB AK.AI AMO AM 2AB.AC AB.AC Tam giác Đặt AMN ANM AIM , suy điều phải chứng minh + Tam giác 900 điểm A; O; M; N; I thuộc đường tròn đường kính AO , suy R x2 R2 t AN MP MP NE R 2x 2x2 R x 2x R R R22 x AM , nên AK.AI AM Do Phương trình trở thành R2 t2 Do t t R NE NO OE R R22 x + TH 2: Ta có 2x R R x R 2 2t Rt A 2x x Rt R 2 2t R t R B (loại) R R R22 x R Đặt R2 x2 t( t x2 ) R2 Phương trình trở thành R2 t2 Do t 2t R R x 2 t R R Rt R2 Rt 2t2 x R3 AO 2R 2t R t R Vậy A thuộc BC , cách O đoạn 2R AMPN hình bình hành Câu 27 (Nghệ An-TS10-2016-THPT Chuyên PBC) Cho đường tròn ( O; R ) có BC dây cố định ( BC < 2R ); E điểm cung nhỏ BC Gọi A điểm di động cung lớn BC AB < AC ( A khác B ) Trên đoạn AC lấy điểm D khác C cho ED EC Tia BD cắt đường tròn ( O; R) điểm thứ hai F 1) Chứng minh D trực tâm tam giác AEF 2) Gọi H trực tâm tam giác DEC ; DH cắt BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN tròn ( O; R) điểm thứ hai M Chứng minh đường thẳng DM qua điểm cố định Lời giải cắt đường 1) Tứ giác ABEC nội tiếp, suy ABEACE Mà EDC ACE ADE Kết hợp với BAE Mặt khác EB Suy AE DAE 180 EDC , nên ABE 180 ABE ADE ADE nên AE trung trực đoạn BD EC BFED (1) AB Kết hợp với ABD AD ABD ADB FDC DCF (cùng chắn cung AF ) ADB Suy FDC FCD , nên tam giác FDC cân F Kết hợp ED EC , suy EF trung trực DC , nên DC FD Từ (1) (2), suy D trực tâm tam giác AEF 2) Kẻ đường kính EK O; R Khi điểm K cố định BND Tứ giác BDNM nội tiếp nên BMD Suy BMD 90 BAC BCE 90 Tứ giác ABMK nội tiếp nên BMK Mà BMK 90 BAC (4) Từ (3) (4), suy BMD BMK 18 (3) BAK (đối đỉnh) FC EF (2) Suy ba điểm M; D; K thẳng hàng Do MD ln qua điểm K cố định Câu 28 (Thái Bình-TS10-2016-THPT Chuyên ) Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH Đường tròn đường kính AH , tâm O , cắt cạnh AB AC E F Gọi M trung điểm cạnh HC 1) Chứng minh AE.AB AF.AC 2) Chứng minh MF tiếp tuyến đường tròn đường kính AH 3) Chứng minh HAM HBO 4) Xác định điểm trực tâm tam giác ABM Lời giải A F O K E H B 1) Xét hai tam giác AEF Ta có AEF ACB , suy AEF AHF ; AHF C M ACB có góc A chung ACB (hoặc AFF AHE ; AHE ABC , suy AFE ABC ) nên AEF ∽ ACB Từ tỷ số đồng dạng AE AF AC AB 2) Xét hai tam giác Có MF Suy Từ OHM MH (vì tam giác AE.AB AC.AF OFM HFC có OM chung, OF OH vng F , trung tuyến FM ) OFM (c – c - c) OHM MFO , ta có 90 , MF tiếp tuyến đường tròn đường kính AH đường tròn ta chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính điểm nằm đường tròn bán kính 3) Xét hai tam giác BHO có AHM AHM Trong tam giác vng HBO ∽ HAM 90 ABC , đường cao AH có AH suy BHO HAM HB.HC HBO AH.2OH HB.2HM AH HB HM , HO 4) Gọi K giao điểm AM với đường tròn Ta có HBO MHK , suy BO HK HAM Mà HK AM , suy BO Câu 29 (Thái Bình-TS10-2016-THPT Chuyên ) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) M ( M A ) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường tròn (O) N ( N AM , suy O trực tâm tam giác ABM C ) Gọi K giao điểm MN với BC 1) Chứng minh tam giác KCN cân 2) Chứng minh OK vng góc với BM 3) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) M N cắt P Chứng minh ba điểm P; B; O thẳng hàng Lời giải A N O B P 1) Ta có MNC MBC MBC C K M (1) (cùng MC ) BCN (do phụ với góc ABC ) (2) BCN suy tam giác Từ (1) (2), ta có MNC 2) Ta có ON OC (3) Từ suy KN KC (4) Từ (3) (4), ta có OK NC Do NC BM (cùng vng góc với AB ) 3) Ta có + BNM BAM ( MB ) (5) + BMN BCN ( NB ) (6) + BAM NCB (do phụ với góc ABC ) (7) KNC cân K Từ (5), (6) (7), suy BNM Từ giả thiết ta có ON thẳng hàng Câu 30 OM BMN nên BM PM PN BN nên điểm P; B; O nằm đường trung trực đoạn MN P; B; O (Thái Nguyên-TS10-2016-THPT Chuyên ) Cho tứ giác ABCD Các đường phân giác hai góc BAD ABC cắt M Các đường phân giác hai góc BCD ADC cắt N Giả sử đường thẳng BM cắt đường thẳng CN P , đường thẳng AM cắt đường thẳng DN Q 1) Chứng minh bốn điểm M; N; P; Q nằm đường tròn 2) Ký hiệu I; K; J; H tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB ; NCD ; PBC ; QAD Các đường thẳng MI; NK; PJ; QH cắt đường tròn qua bốn điểm M; N; P; Q điểm I1 ; K1 ; J1 ; H1 Chứng minh I1K1 J 1H1 Lời giải 1) Rõ ràng hai điểm M; N khác phía đường thẳng PQ Ta có PMQ ; PNQ , suy PMQ 1 18 18 D PNQ A B P; Q 2cùng nằm một0đườngCtròn, điều phải chứng minh 360 bốn điểm M; N; 2) MI đường phân giác góc PMQ , nên I 1P NK đường phân giác góc PNQ , nên K1P 11 J1H1 (điều phải chứng minh) B C 180 D , nên K1Q Tương tự: J H đường kính đường tròn qua bốn điểm M; N; P; Q 1 A IQ Nên I K trục đối xứng đường tròn qua bốn điểm M; N; P; Q , suy 1 qua bốn điểm M; N; P; Q Vậy I K I1K đường kính đường tròn ... (3) ICN Theo câu 1) IBM Từ (1), (2) (3), suy IKM Vậy MN qua K cố định IKN KM KN IBM (1) (Hà Nội-TS10-2012 -THPT Chuyên dự bị) Cho hình bình hành ABCD có BAD 90 Giả sử O điểm Câu 10 nằm hai điểm... P,Q Từ tứ giác MKLN nội tiếp, suy KLM KNM QPM , nên KL PQ OC Vậy KL OC Câu 11 (Hà Nội-TS10-2013 -THPT Chuyên dự bị) Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB song song CD AB CD M... Vì EA tiếp xúc (O) từ kết câu 1) ta có EA2 ER.EQ EP2 Từ có EA EP , suy DAP EAP EAD APE ACD PAC Do AP phân giác DAC , suy QC QD Câu 12 QM CD (Hà Nội-TS10-2014 -THPT Chuyên dự bị) Cho tam giác