ĐỀ SỐ 1 (Năm học 20032004) Câu I (2đ): Cho hàm số y = f(x) = 3 x2 2 1) Hãy tính f(2), f(3), f 3 , f 2 . 3 2) Các điểm A1; 3 , B 2; 3 , C2; 6 , D 1 ; 3 có thuộc đồ thị hàm số không ? 2 2 4 Câu II (2,5đ) Giải các phương trình sau : 1) 1 1 1 x 4 x 4 3 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x2 5x 1 0 . Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Câu IV (3,5đ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đường tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 1) IA vuông góc với CD. 2) Tứ giác IEBF nội tiếp. 3) Đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. Câu V (1đ) Tìm số nguyên dương m để m2 m 23 là số hữu tỉ. ĐỀ SỐ 2 (Năm học 20042005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (). 1) Tìm m để đồ thị hàm số () đi qua điểm: a) A(1 ; 3) ; b) B 2; 1 ; c) C 1 ; 5 2 2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị () với đồ thị của hàm số y = x – 1. Câu II (3đ) Cho hệ phương trình: a 1 x y a có nghiệm duy nhất là (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 17 y 5 . 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5 y x y nhận giá trị nguyên. Câu III (3đ) Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và M•NP P•NQ và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E. 1) Chứng minh P•MI Q•NI .
TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 QUA CÁC NĂM CỦA TỈNH HẢI DƯƠNG (Bao gồm 18 đề thi) (Tái lần – có sửa đổi bổ sung) Phan NhËt HiÕu Tel: 01 Mail: hieu.phannhat3112@gmail.com 4 nhathieu.htagroup@gmail.com Tháng 7-Năm 2015 NhËt HiÕu Tel: 016.99.54.54.52 hieu.phannhat3112@gmail.com MỤC LỤC ĐỀ SỐ (Năm học 2003-2004) ĐỀ SỐ (Năm học 2004-2005) ĐỀ SỐ (Năm học 2005-2006) ĐỀ SỐ (Năm học 2006-2007) ĐỀ SỐ (Năm học 2006-2007) ĐỀ SỐ (Năm học 2007-2008) ĐỀ SỐ (Năm học 2007-2008) ĐỀ SỐ (Năm học 2008-2009) 10 ĐỀ SỐ (Năm học 2008-2009) 11 ĐỀ SỐ 10 (Năm học 2009-2010) 12 ĐỀ SỐ 11 (Năm học 2010-2011) 13 ĐỀ SỐ 12 (Năm học 2011-2012) 14 ĐỀ SỐ 13 (Năm học 2011-2012) 15 ĐỀ SỐ 14 (Năm học 2012-2013) 16 ĐỀ SỐ 15 (Năm học 2013-2014) 17 ĐỀ SỐ 16 (Năm học 2013-2014): 18 ĐỀ SỐ 17 (Năm học 2014 – 2015) 19 ĐỀ SỐ 18 (Năm học 2015 – 2016) 20 GỢI Ý GIẢI ĐỀ 21 ĐỀ SỐ 21 ĐỀ SỐ 21 ĐỀ SỐ 22 ĐỀ SỐ 23 ĐỀ SỐ 24 ĐỀ SỐ 25 ĐỀ SỐ 25 ĐỀ SỐ 26 ĐỀ SỐ 27 ĐỀ SỐ 10 28 ĐỀ SỐ 11 29 Phan Nhật Hiếu-KSTN-ĐKTĐ-K55-Đại Học Bách Khoa Hà Nội NhËt HiÕu Tel: 016.99.54.54.52 hieu.phannhat3112@gmail.com ĐỀ SỐ 12 30 ĐỀ SỐ 13 31 ĐỀ SỐ 14 33 ĐỀ SÔ 15 34 ĐỀ SỐ 16 38 ĐỀ SỐ 17 41 ĐỀ SỐ 18 42 Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa mail: hieu.phannhat3112@gmail.com nhathieu.htagroup@gmail.com Phan Nhật Hiếu-KSTN-ĐKTĐ-K55-Đại Học Bách Khoa Hà Nội ĐỀ SỐ (Năm học 2003-2004) Câu I (2đ): Cho hàm số y = f(x) = x 1) Hãy tính f(2), f(-3), f ( − 2) Các điểm A 1; B ( 3 2 ,f 3 , 2; ) ) , C ( −2; −6 ) , D − ; có thuộc đồ thị hàm số khơng ? 24 Câu II (2,5đ) Giải phương trình sau : 1) x −4 + = x+4 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x − 5x + = Tính x1 x + x x 2 (với x1, x2 hai nghiệm phương trình) Câu IV (3,5đ) Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung hai đường tròn phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) (O2) thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O 1) (O2) thứ tự C D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I Chứng minh: 1) IA vng góc với CD 2) Tứ giác IEBF nội tiếp 3) Đường thẳng AB qua trung điểm EF Câu V (1đ) Tìm số nguyên dương m để m +m+ 23 số hữu tỉ ĐỀ SỐ (Năm học 2004-2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: 1 a) A(-1 ; 3) ; b) B 2; −1 ; c) C ; ( ) 2) Thay m = Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y = x – Câu II (3đ) Cho hệ phương trình: ( a −1) x + y = a có nghiệm (x; y) x + ( a −1) y 1) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x −17 y = 3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức 2x − nhận giá trị nguyên y x+y Câu III (3đ) Cho tam giác MNP vuông M Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía ngồi tam giác MNP cho NQ = NP MNP = gọi I trung điểm PQ, MI cắt NP E PNQ 1) Chứng minh P MI = QNI 2) Chứng minh tam giác MNE cân 3) Chứng minh: MN PQ = NP ME Câu IV (1đ) Tính giá trị biểu thức: A= x − 3x −10x +12 x + 7x +15 x với = x + x +1 ĐỀ SỐ (Năm học 2005-2006) Câu I (2đ) Cho biểu thức:2 ( N= x − y ) x+ +4 xy − x y − yxyx ; ( x, y > 0) 1) Rút gọn biểu thức N y 2) Tìm x, y để Câu II (2đ) N = 2005 Cho phương trình: x2 + 4x +1 = (1) 1) Giải phương trình (1) 2) Gọi x , x hai nghiệm phương trình (1) Tính B = 3 x +x Câu III (2đ) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đổi chỗ hai chữ số cho ta số số ban đầu Câu IV (3đ) Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý nửa đường tròn (P ≠ M, P ≠ N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vng góc với đường thẳng MQ I từ N kẻ NK vng góc với đường thẳng MQ K 1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm đường tròn 2) Chứng minh: MP PK = NK PQ 3) Tìm vị trí P nửa đường tròn cho NK.MQ lớn Câu V (1đ) Gọi x1 x2 x3 , x4 tất nghiệm phương trình ( x + )( x + )( x + )( x + 8) = , , Tính: x x x x ĐỀ SỐ (Năm học 2006-2007) Bài (3đ) 1) Giải phương trình sau: b) 2x - x2 = a) 4x + = 2x − y = 2) Giải hệ phương trình: + y = 4x Bài (2đ) 1) Cho biểu thức:P = a+3 a −2 − a −1 a+ + a −4 (a ≥ 0; a ≠ 4) −a a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = 2) Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m tham số) a) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm lại b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x3 + x3 ≥ Bài (1đ) Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ Bài (3đ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh: a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc B FM c) BE.DN = EN.BD Bài (1đ) Tìm m để giá trị lớn biểu thức 2x + mx +1 ĐỀ SỐ (Năm học 2006-2007) Bài (3đ) 1) Giải phương trình sau: a) 5(x - 1) - = b) x2 - = 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ Bài (2đ) 1) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1) 2) Gọi x , x hai nghiệm phương trình x2 - 2(m - 1)x - = (m tham số) Tìm m để x1 + x2 = 3) Rút gọn biểu thức:P = x+1 x −2 − x −1 − x+2 x −1 (x ≥ 0; x ≠ 1) Bài (1đ) Một hình chữ nhật có diện tích 300m Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Bài (3đ) Cho điểm A ngồi đường tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C) Gọi D, E, F tương ứng hình chiếu vng góc M đường thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF 1) Chứng minh: a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vng góc với HK 2) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3;0) Parabol (P) có phương trình Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ y = x2 ĐỀ SỐ (Năm học 2007-2008) Câu I (2đ) Giải phương trình sau: 1) 2x – = ; 2) x2 – 4x – = Câu II (2đ) 1) Cho phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm thức S= x2 + x1 , x2 Tính giá trị biểu x1 x1 x2 2) Rút gọn biểu thức : A = 1 a − + a + − a với a > a ≠ Câu III (2đ) 1) Xác định hệ số m n, biết hệ phương trình ( −1; ) mx − y = n có nghiệm nx + my = 2) Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm OD 1) Chứng minh OM // DC 2) Chứng minh tam giác ICM cân 3) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) C(m ; 0) Tìm m cho chu vi tam giác ABC nhỏ ĐỀ SỐ (Năm học 2007-2008) Câu I (2đ) 1) Giải hệ phương trình 2x + = 4x + 2y = −3 2) Giải phương trình x2 + ( x + ) = Câu II (2đ) 1) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 – x + Tính f(0) ; f( − ) ; f( x x + x −1 2) Rút gọn biểu thức sau : A = − x −1 (x x+1 − x ) ) với x ≥ 0, x ≠ Câu III (2đ) 1) Cho phương trình (ẩn x): x2 – (m + 2)x + m2 – = Với giá trị m phương trình có nghiệm kép? 2) Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên cơng nhân lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân? Biết suất lao động công nhân Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O ; R) dây AC cố định khơng qua tâm B điểm đường tròn (O ; R) (B khơng trùng với A C) Kẻ đường kính BB’ Gọi H trực tâm tam giác ABC 1) Chứng minh AH // B'C 2) Chứng minh HB' qua trung điểm AC 3) Khi điểm B chạy đường tròn (O ; R) (B khơng trùng với A C) Chứng minh điểm H nằm cung tròn cố định Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – điểm Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn A( −2;3) Suy điểm A, E, F, H thuộc đường tròn , đường kính AM Chứng minh BE.CF = ME.MF Từ giả thiết suy ME // AC ⇒ M = C 1 ⇒ hai tam giác vuông BEM MFC đồng dạng ⇒ BE = ME MF ⇒ BE.CF = ME.MF CF Giả sử MAC = 450 Chứng minh CF BE = HB HC Từ giả thiết ta có tứ giác AEMF hình chữ nhật Mà MAC = 45 nên tứ giác AEMF hình vng ⇒ ME = MF Ta có AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC ⇒ AB AC = HB HC Có hai tam giác vng BEM BAC đồng dạng nên Có hai tam giác vuông BAC MFC đồng dạng nên (1) AB AC AB AC Từ (2), (3) có AB22 BE.MF BE (vì ME = MF) AC = ME.CF = CF BE HB Từ (1), (4) có = CF HC = = BE ME MF (2) (3) CF (4) Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = + + x y 2x + y Cách 1: M = 2x + y 2x + y 2x + y 2x + y xy +2x + y = 2x +2x + y = ⋅ + + y + ⋅ 2x + y 3 2x + y 3 + ≥ ⋅ ⋅ = 2x + y 2x + y 2x + y Dấu “=” xảy ⋅ = 2x + y 2x + y 5 Ta có: ⋅ ≥ 2xy = Dấu “=” xảy 2x = y xy = 8 11 Do M ≥ + = Dấu “=” xảy x = y = 2 4 Ta có: ⋅ Vậy giá trị nhỏ M 11 x = y = Tham khảo thêm: Cách 2: Vì x, y dương nên từ xy = ⇒ y = x Khi ta có: M = x + + x 2( x + ) x 2t + Đặt t = x + ( t ≥ ) ⇒ M = t + = M < 2t x 2t 2t ⇔ 2t + = 2tM ⇔ 2t − 2Mt + = 2 2 M M ⇔ t − t + − + = ⇔ t − = − 4 2 M M M 2 M M M 11 M Vì t ≥ ⇒ t − ≥ − ⇒ − ≥ − ⇔ − ≥ − 2M ⇔ M ≥ 11 Dấu = xảy t = x + = → x = Vậy Mmin = x =1 y = x Cách 3: ĐỀ SỐ 16 Câu Nội dung 1) Giả i phương trıǹ h : (x – 2)2 = x − = x= + = (x – )2 = ⇔ x − = −3⇔ x = −3 + = −1 Vậy pt cho có nghiệm x = x = -1 (2,0 điểm) x + 2y - = 2) Giải hệ phương trình: x y = +1 x + 2y - = x + 2y = 4x = x = ⇔ ⇔ ⇔ x y + 1nghiệm y =(x;6y) =x(2;+ 0) 2y = 3x −nhất y = 2 = Vậy hpt có 1 x 1) Rú t goṇ biểu thức: A = x −3 + x + − (2,0 điểm) 4x với x > và x ≠ ( x + 3) + ( x − 3) x x x − − = = Với x > và x ≠ 9, ta có: A = ( x + 3)( x − 3) 2 x x − 9 x 2) Tım̀ m để đồ thi hà m số y = (3m - 2)x + m – song song vớ i đồ thi hà m số y = x + Để đồ thi ̣ham ̀ số y = (3m - 2)x + m – song song vơí đồ thi ̣ham ̀ số y = x + − = m = (TM) 3m m −1 ≠ ⇔ m≠ Vậy m = (2,0 điểm) 1) Tın ́ h vâṇ tốc củ a ca nô nướ c yên lăng 25 *Đổi giờ 15 phú t = (h) Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x (km/h), x > Vân tốc ca nô xuôi doǹ g từ A đến B là: x + (km/h) Vân tốc ca nô ngươc̣ dòng từ B A là: x – (km/h) 45 Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là: (h) x+3 45 Thời gian ca nô ngươc̣ doǹ g từ B A là: (h) x −3 45 45 25 Theo đề ta có phương trình: + = x + x −3 Giải phương trình ta x1= - 0,6 ( loại); x2 = 15 (TM) Vậy vận tốc ca nơ nước n lặng 15 (km/h) 2) Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiêṃ phân biêṭ x1, x2 thỏa mãn điều kiêṇ x1 − x2 = x1 + x2 Để pt x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiệm phân biệt ∆’ > x + x = ( 2m + 1) ⇔ (2m+1)2 - (4m2 + 4m) = > với m Theo đ/l Vi- ét ta có: x1x2 = 4m + 4m = x + x ⇒ x + x > ⇔ 2(2m + 1) > ⇔ m > - Do pt có nghiệm p/b x − x Như vậy: x1 − x = x1 + x ⇔ ( x1 − x 2 ⇔ ( x1 + x ) −4x x = ( x + x -1(loại) 2 ) C N D F K I (3,0 điểm) ( x1 + x ) 2 2 1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp Cách 1: Ta có: AEB = ) M ( sđAB − sđCDB (góc có đỉnh bên (O)) = sđAC (1) ADC = sđAC (góc nội tiếp chắn AC ) (2) O = E A 2 ⇔ 4x x = ⇔ 4(4m + 4m) = ⇔ m = 0(TM); m = d ) B Từ (1) (2) suy AEB = ADC hay CEF = ADC Mà A DC + C DF = 180 nên C FE + C DF = 180 ⇒ Tứ giác CDFE nội tiếp Cách 2: Ta có ∆ABE vng B (do d ⊥ AB) ⇒ AEB + BAE = 900 (1) Lại có ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ⇒ ABC + BAE = 900 (2) Từ (1) (2) ⇒ AEB = ABC (*) Ta có tứ giác ACDB nội tiếp (O) nên suy ABC = ADC (cùng chắn AC ) (**) Từ (*) (**) ⇒ AEB = ADC Mà ADC + CDF = 1800 ⇒ AEB + CDF = 1800 hay ADC + CDF = 1800 ⇒ CEF + CDF = 1800 ⇒ Tứ giác CDFE nội tiếp 2) Chứng minh ID tiếp tuyến (O) Ta có: ∆ ODB cân O (vì OD = OB = AB ) ⇒ D = B Lại có ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ⇒ BDF = 900 (do A, D, F thẳng hàng) BF Xét ∆ BDF vng có DI trung tuyến ứng với cạnh huyền BF ⇒ DI = IB = ⇒ ∆BID cân I ⇒ D = B Ta có: D + D = B + B = 900 (do d ⊥ AB ) hay IDO = 900 ⇒ ID ⊥ OD , OD bán kính (O) ⇒ ID tiếp tuyến (O) 3) Chứng minh ∆AMN cân Ta có: ANM góc ngồi tam giác DMK đỉnh K ⇒ ANM = K + KDN (Tính chất góc tam giác) = K + ADC (vì KDN = ADC đối đỉnh) = K + E ( ADC = E bù với CDF - tứ giác CDFE nội tiếp) (3) Lại có: AMN góc ngồi tam giác KME đỉnh M ⇒ AMN = K + E (4) Mà K = K (5) (do giả thiết KNM phân giác 2 CKE ) Từ (3), (4) (5) ⇒ AMN = ANM ⇒ ∆AMN cân (1,0 điểm) Cho a, b số dương thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b 1 Q = 2(a2 + b2 ) − 6( + ) + 9( + ) b a a b2 a b 1 Ta có Q = 2a2 + 2b2 − − + + b a a2 b2 3 3 2 = (a − )2 + (b − )2 + a2 + b2 ≥ 2(a − )(b − ) + a2 + b2 (theo bđt: a + b ≥ 2ab ) b a b a 2(a2 b2 + − 6ab) 18 = + − 2ab = 2ab + −12 + 4− 2ab ab ab (a + b) 18 18 2 + ≤ = = 1) (vì a b = 2ab, ab = −8 + ≥ −8 + = 10 ab 4 Vậy minQ = 10 ⇔ a = b = ĐỀ SỐ 17 Câu a x1 = 1; x2 = −3 D C y = b x = a P = −1 Câu 2 A H b Dài = 36m Rộng = 20m Câu a b m= O B m= E Câu a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Ta có CD ⊥ OD, CE ⊥ OE ⇒CD CE hai tiếp tuyến đường tròn(O) ⇒ COD = COE ⇒ AD = AE ⇒ D = D ⇒ DA phân giác CDE AC ⇒ (t/c đường phân giác tam giác) (1) = DC AH DH Lại có ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BD ⊥ DA ⇒ DB phân giác góc ngồi D ∆ CDH ⇒ BC = DC BH DH (t/c đường phân giác tam giác) (2) Từ (1), (2) ⇒ AC = AH BC ⇒ AC.BH = AH BC BH Câu 5: Cách 1: Do a, b, c > nên từ + a+2 c+1 ≤ b+ c+3 ⇒ (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 6(a + 2) + 2(b + 4) + 3(c + 3) − - Đặt a + = x, b + = y, c + = z Ta có: Q ≥ 6x + y + 3z − -Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy (Cơ-si), ta có: 6x + y + 3z ≥ 33 6x.2 y.3z = 33 36xyz = 33 36.3 (1) xyz z −2 Lại từ giả thiết, ta có: + ≤ ⇒ yz + 3xz + 2xy ≤ xyz x y z - Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 2 yz + 3xz + 2xy ≥ 3 6(xyz) ⇒ xyz ≥ 3 6(xyz) ⇒ Từ (1), (2) ⇒ 6x + 2y + 3z ≥ 33 36.33 = 54 Do Q ≥ 54 − = 48 ≥ 33 (2) x y z b + = 3(a + 2) z − ⇔ c + = 2(a + 6x = y = 3z Dấu “=” xảy 1+ = x y 2) z Vậy Qmin = 48 a = 1,b = 5,c = Cách ⇒ a = 1,b = 5, c = c +1 + = c+3 a + b + ≤ + a+2 b + 1− c + Suy :1− ≥ a+2 b + + c + ≥ (b + 4)(c + 3) a +1 (1) ⇔ ≥ Ta có: a+2 (b + 4)(c + 3) Tương tự: 1− ≥ b + a+2 c+1 ≥ c+3 + ≥ c+3 (a + 2)(b + 4) (a + 2)(c + 3) ⇔ (3) Từ (1),(2) (3), ta có: a + b + c+1 48 ≥(a + 2)(b + 4)(c + 3) a + b + c+3 ⇒ Q ≥ 48 Vậy Qmin = 48 a = 1,b = 5,c = b +1 (2) ≥ b+4 (a + 2)(c + 3) ĐỀ SỐ 18 Câu I HS tự làm Lưu ý phần c Khi đặt ẩn phụ cần kèm theo điều kiện ẩn phụ để loại nghiệm không thỏa mãn Câu II HS tự làm Gọi vận tốc ban đầu hai người x km/h (x > 0) Sau 1h hai người x km 60 Thời gian người thứ hai x 60 − Thời gian người thứ 1+ + x x+4 Do hai người đến lúc nên ta có: 60 − x 60 1+ + x + = x Câu III Giải phương trình kiểm tra điều kiện x Kết quả: x = 20 km/h Sử dụng điều kiện nghiệm phương trình Nghiệm kép ⇔ ∆ = ( ∆ ' = 0) Kq: m = – 2, x1 = x2 = −1 m ≠ −1 ⇔ 3m + ≠ −1 nên hai đồ thị cắt y = ( 3m + ) x + Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình y = −x −1 Giải hệ theo tham số m thay vào biểu thức điều kiện để tìm m −2 x 2m 6; m + ⇒P = −6 ≥ ∀m ≠ −1 Kq: = m +1 y 1− m = m+ Câu IV Có nhiều cách để chứng minh Có thể chứng minh “tứ giác có góc vng hình chữ nhật” (cách đơn giản nhất) Có thể chứng minh “Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật” Hay “Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật” Bài có nhiều cách để chứng minh Tuy nhiên, không quên bước khẳng định H thuộc đoạn thẳng AB Vì “Trung Điểm” = “Nằm Trên” + “Cách Đều” - Tam giác PBQ có BA ⊥ QP tâm nên H ∈ BA mà H trực Cách 1: sau khẳng định H thuộc vào BA Ta chứng minh PH song song EO cách: Xét tam giác EOB tam giác BQF có: EBO = BFQ (cùng phụ ABF ) BO BA = = FQ FA AD (dễ dàng chứng minh cặp từ trái qua EB = FD BF BO EB phải (HS tự chứng minh) Và điều cần = ) FQ BF Do ∆EOB ∽ ∆BQF (c.g.c) Suy BEO = FBQ ⇒ BEK + EBK = 900 ⇒ EKB = 900 ⇒ EO / / PH Mà P trung điểm EA nên H trung điểm OA Cách (cách đơn giản cách 1): sau khẳng định H thuộc vào BA Ta chứng minh PH song song EO cách: - Có O trung điểm AB, Q trung điểm AF ⇒ QO / / BF Mà BF ⊥ BE ⇒ QO ⊥ BE Suy O trực tâm tam giác BQE EO ⊥ BQ Vì H trực tâm tam giác PBQ nên S PH ⊥ BA Lại có P trung điểm EA nên H trung điểm OA = BPQ BA.PQ = 1 BA.EF = BA.( EA + AF ) 4 ⇒ PH / / EO 2 Ta có EA.AF = AB = 4R = const Áp dụng định lý Cauchy ta có = (EA AF lớn E 4R A nên áp dụng định lý Cauchy) A F Vậy ( S EA=AF tam giác EBF trở thành tam BP ) = = 2R.2R.4R Q giác vuông cân ⇒ CD ⊥ AB EA + AF ≤ ⇒ AFB = 450 ⇒ FBA = 450 ⇒ ACBD hình vng KL: để diện tích tam giác BEF nhỏ CD vng góc với AB Câu V Giả sử không tồn hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < a3 < < a2015 Vì a1, a2 , a3 , , a2015 số nguyên dương nên a ≥ 1; a ≥ 2; a ≥ i; a ≥ 2015 i 2015 1 1 1 + + + + + Suy + + a2015 ≤ 1+ 2015 a1 a2 a3 Lại có: 2 = 2+ 2 = + < = 2+ < 3 = ( 2−1 ) −1 = ( 3− = ) −2 3+ 2 < i+ i i = ( + + i + i −1 i − ( i −1) a1 a + + a3 2−1 ) ( 3− ) = )= i − i −1 Do vậy, ta có: ( ( i − i −1 ) a2015