Một số mô hình điều khiển tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ———————o0o——————– DƯƠNG THỊ KIM GIANG MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng HÀ NỘI-2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ———————o0o——————– DƯƠNG THỊ KIM GIANG MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Giảng viên hướng dẫn PGS TS Lê văn Hiện HÀ NỘI-2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực, thơng tin trích dẫn ghi rõ nguồn gốc mục tiêu tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận nào, tơi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Sinh viên thực LỜI CẢM ƠN Khóa luận thực Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Hiện, người định hướng dẫn sát suốt q trình nghiên cứu, triển khai hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo Khoa Tốn mơn Tốn Ứng dụng trang bị cho tơi kiến thức toán học tảng Xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng, Ban chức Nhà trường đặc biệt Ban Chủ nhiệm Khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Xin cảm ơn gia đình người thân ln bên tơi, ủng hộ, động viên, tạo điều kiện để tơi hồn thành tốt chương trình đại học với khóa luận tốt nghiệp Sinh viên thực KÍ HIỆU Rn Khơng gian vectơ Euclide n-chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp m × n Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A LTI Hệ tuyến tính dừng (linear time-invariant) LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities) MỤC LỤC Mở đầu Chương Sơ lịch sử 1.1 Mối đe dọa vơ hình 1.2 Hệ điều khiển cổ điển tảng chúng Chương Một số mơ hình hệ điều khiển tuyến tính 14 2.1 Một số mơ hình điều khiển tuyến tính 14 2.2 Mơ hình tuyến tính hóa 24 2.3 Điều khiển phản hồi 27 Chương Ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 31 3.1 Một số kết liên quan 31 3.2 Phân tích tính ổn định 32 3.3 Ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các mơ hình tốn học đóng vai trò quan trọng việc mơ tả, phân tích thiết kế mơ hình ứng dụng thực tiễn đời sống Chẳng hạn, nhiều mơ hình điều khiển kỹ thuật, cơng nghiệp tự động hóa hoạt động dựa nguyên lí hệ điều khiển lắc ngược (inverted pendulum) mơ tả Hình Hình 1: Mơ hình lắc ngược u đóng vai trò lực tác dụng điều khiển để trì vận hành ổn định hệ thống (góc θ biến thiên nhỏ) Để ứng dụng điều khiển thực tiễn, nhà toán học kỹ sư cần phải đảm bảo mặt lý thuyết dáng điệu quỹ đạo trạng thái thông số quy tắc điều khiển Muốn vậy, rõ ràng ta cần phải sử dụng phương trình tốn học diễn tả chuyển động hệ (mơ hình hóa tốn học), tính chất nghiệm (phân tích định tính) việc thiết kế quy tắc điều khiển Bên cạnh đó, mơ hình thực tiễn thường có cấu trúc phức tạp Các phương trình diễn tả chúng dạng phi tuyến với nhiều tham số ràng buộc Vì vậy, nghiên cứu lý thuyết, thường phải nghiên cứu mơ hình xấp xỉ (tuyến tính hóa) hay nghiên cứu mơ máy tính (rời rạc hóa) Với mong muốn tìm hiểu mơ hình tốn học lý thuyết điều khiển, khóa luận này, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “Một số mơ hình điều khiển tuyến tính” dựa chuyên khảo [1] số tài liệu liên quan khác Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận giới thiệu số mơ hình điều khiển tuyến tính ứng dụng thực tiễn thông qua việc mô tả phương trình trạng thái Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu mơ hình, phân tích việc thiết lập phương trình trạng thái với mơ hình tuyến tính; sử dụng phương pháp tuyến tính hóa việc thiết lập phương trình trạng thái với mơ hình điều khiển phi tuyến Đồng thời, chúng tơi nghiên cứu tốn phân tích tính ổn định thiết kế điều khiển ổn định hóa số mơ hình điều khiển tuyến tính trình bày khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu khóa luận số mơ hình điều khiển kỹ thuật • Phạm vi nghiên cứu bao gồm: Phân tích mơ hình Thiết lập phương trình trạng thái dạng tuyến tính Phương pháp tuyến tính hóa thiết lập phương trình trạng thái với mơ hình điều khiển phi tuyến Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, Khóa luận chia thành 03 chương Chương giới thiệu sơ lịch sử phát triển lĩnh vực điều khiển tự động hệ tuyến tính số vấn đề liên quan đến hệ điều khiển Chương trình bày số mơ hình điều khiển tuyến tính Cụ thể, chương giới thiệu số mơ hình vật lý, kĩ thuật mơ tả thơng qua phương trình trạng thái Đồng thời, chương này, giới thiệu mơ hình tuyến tính hóa số hệ điều khiển phi tuyến Chương trình bày số kết nghiên cứu định tính hệ điều khiển tuyến tính bao gồm tính ổn định, tính điều khiển vấn đề thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính Chương SƠ BỘ VỀ LỊCH SỬ Trong chương giới thiệu sơ lịch sử lý thuyết điều khiển tuyến tính từ nguồn gốc, số phương pháp điều khiển cổ điển lý thuyết điều khiển đại 1.1 Mối đe dọa vơ hình Các tiến khoa học công nghệ xảy nấc thang sáng tạo nhiều thiết bị Trong lịch sử xa xưa, thiết bị đơn giản chứa đựng nhiều tiến đồng hồ nước (năm 270 trước công nguyên), đồng hồ (năm 1283 sau công nguyên), nồi (1681 sau công nguyên) hay máy nước (trước năm 1700) Gần hơn, thiết bị phát minh có phần phức tạp động đốt vào khoảng 1886, chế độ bay tự động (1914) hay khuếch đại điện tử (1912) Điều thường không nhận diện tiến tất chúng phụ thuộc lớn vào việc sử dụng điều khiển phản hồi điều khiển tự động Đồng hồ nước có trước năm 270 trước cơng ngun cải thiện cách đáng kể độ xác nhà phát minh người Hy Lạp, Ktesibios, người phát minh điều chỉnh phao cho đồng hồ vào thời kì Các đồng hồ sử dụng hệ thống điều chỉnh dây cót bánh cho độ xác nhiều so với đồng hồ nước lần nhìn thấy châu Âu vào khoảng 1283 Nồi sử dụng cho nhiều mục đích năm 1600 trở nên thông dụng với việc phát minh van an toàn áp suất vào năm 1681 Dennis Papin Động nước trở thành động lực cho Cách mạng Công nghiệp với phát minh điều khiển ly tâm vào năm 1788 James Watt Nhà vệ sinh xả nước Thomas Crapper tinh chỉnh cách sử dụng điều chỉnh phao ông nhận tước Một trường hợp đặc biệt quan trọng nảy sinh phần tử ma trận gốc số Trường hợp này, trạng thái ban đầu trạng thái lí tưởng trùng (điểm dừng) Một trạng thái dừng đặc trưng đạo hàm theo thời gian không từ (2.10) suy trạng thái dừng thỏa mãn phương trình đại số phi tuyến (2.43) = f (x0 , u0 , v0 ) Từ (2.43), ta thể định nghĩa x(t) = x0 + ∆x(t), u(t) = u0 + ∆u(t), (2.44) v(t) = v0 + ∆v(t), y(t) = y0 + ∆y(t) Hàm vectơ f khai triển điểm dừng ∂f (x0 , u0 , v0 ) ∼ ˙ x(t) ˙ = x˙ + ∆x(t) ∆x(t) = f (x0 , u0 , v0 ) + ∂x ∂f (x0 , u0 , v0 ) ∂f (x0 , u0 , v0 ) + ∆u(t) + ∆v(t) ∂u ∂v (2.45) Ma trận Jacobi ma trận hằng, chẳng hạn   ∂f1 ∂x1  ∂f2  ∂x  ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 : : ∂fn ∂x1 ∂fn ∂x2 ∂f (x0 , u0 , v0 ) = ∂x  : ∂f1 ∂xn ∂f2   ∂xn   = A (2.46) :  ∂fn ∂xn Với kí hiệu từ phương trình (2.45), phương trình (2.46) trở thành phương trình trạng thái tuyến tính ˙ ∆x(t) = A∆x(t) + B∆u(t) + Bv ∆v,  B= ∂f1 ∂u1  ∂f2  ∂u  ∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2 : : ∂fn ∂u1 ∂fn ∂u2 ∂f (x0 , u0 , v0 ) = ∂u  : 26 (2.47)  ∂f1 ∂un ∂f2   ∂un  :   ∂fn ∂un (2.48)  Bv = ∂f1 ∂v1  ∂f2  ∂v  ∂f1 ∂v2 ∂f2 ∂v2 : : ∂fn ∂v1 ∂fn ∂v2 ∂f (x0 , u0 , v0 ) = ∂v  :  ∂f1 ∂vn ∂f2   ∂vn  (2.49)  :  ∂fn ∂vn Như mục trước, phương trình (2.47) gọi xấp xỉ tuyến tính phương trình (2.10) 2.3 Điều khiển phản hồi Từ mơ hình trình bày mục trước, thấy mơ hình hệ thống điều khiển tổng quát bao gồm xử lí (plant P), tín hiệu điều khiển đầu vào (inputs) hay đơn giản điều khiển tín hiệu hay tính chất mà ta quan tâm (particular interests), gọi tín hiệu trạng thái đầu (outputs) hệ Hệ gọi hệ điều khiển mở (open-loop system) Các điều khiển đầu vào thường thiết kế dựa tín hiệu đầu hệ thống Chẳng hạn, mơ hình điều khiển thiết bị cầm tay (haptic control), việc thay đổi chế độ vận hành phải tín hiệu hình ảnh nhận Phương pháp điều khiển dựa tín hiệu hệ gọi chung điều khiển phản hồi hay điều khiển ngược (feedback control) Mơ hình điều khiển phản hồi mơ tả Hình 2.11 Hệ điều khiển gọi chung hệ đóng (closed-loop system) Desired behavior Inputs Plant Controller Disturbances Gain Measurements Hình 2.11: Hệ điều khiển đóng 27 Outputs Xét hệ điều khiển tuyến tính mơ tả hệ  x˙ = Ax + Bu (2.50) y = Cx 2.3.1 Phản hồi trạng thái Phản hồi theo trạng thái SFCs (state feedback controllers): Giả sử C = I , tức tồn vector trạng thái có sẵn để sử dụng làm tín hiệu điều khiển Một hàm điều khiển SFC dạng tuyến tính thiết kế dạng u = Kx, K ma trận đạt điều khiển (controller gain) Khi đó, hệ đóng (2.50) có dạng x˙ = (A + BK)x (2.51) 2.3.2 Phản hồi tĩnh theo đầu (SOFCs) Giả sử (2.50), ma trận C đủ hạng dòng (full-row rank) Điều khiển phản hồi tĩnh theo đầu (Static output-feedback controllers) dạng tuyến tính thường thiết kế dạng u = Ky , K ma trận đạt Khi đó, hệ đóng (2.50) có dạng x˙ = (A + BKC)x (2.52) Thơng thường, ma trận C có dạng chữ nhật, chẳng hạn C = · · · (chỉ thành phần x1 đo được), việc thiết kế SOFCs để hệ đóng (2.52) có tính chất định tính đó, chẳng hạn tính ổn định, thường khó khăn nhiều so với việc thiết kế SFCs 2.3.3 Phản hồi động theo đầu (DOFCs) Tín hiệu y = Cx khuếch đại qua hệ thiết kế Điều khiển phản hồi động theo đầu (dynamic output-feedback controllers DOFCs) điều khiển sử dụng thơng tin đầu tín hiệu qua khuếch đại Chẳng 28 hạn, hệ (2.50), điều khiển DOFC thiết kế dạng  ζ˙ = Ac ζ + Bc y (2.53) u = C ζ + D y, c c bốn ma trận Ac Bc ma trận cần thiết kế Rõ ràng SOFCs Cc Dc dạng đặc biệt DOFCs ứng với Ac = Bc = Cc = Khi đó, hệ đóng (2.50) với điều khiển (2.53) cho hệ vi phân tăng cường (augmented system) sau x˙ = ζ˙ A + BDc C BCc Bc C Ac x (2.54) ζ 2.3.4 Điều khiển dựa quan sát trạng thái Tín hiệu y = Cx, qua quan sát (được thiết kế) ta thu tín hiệu xˆ Tín hiệu tích hợp với khuếch đại cho ta hàm điều khiển dạng u = K xˆ Điều khiển gọi điều khiển dựa hàm (tín hiệu) quan sát (observer-based controllers) Chẳng hạn, hệ điều khiển (2.50), quan sát đủ chiều (full-order state observer) với cấu trúc dạng Luenberger thiết kế hệ xˆ˙ = Aˆ x + Bu + L˜ y, (2.55) xˆ vector trạng thái quan sát, L ma trận đạt hàm quan sát (observer gain matrix) y˜ = y − C xˆ sai khác đầu đo quan sát Khi đó, hàm điều khiển theo quan sát thiết kế dạng u = K xˆ Bài toán thiết kế điều khiển theo hàm quan sát tìm điều kiện để thiết kế ma trận đạt K, L cho hệ đóng bao gồm trạng thái hàm quan sát có tính chất mong muốn Hình 2.3.4 mô tả điều khiển theo hàm quan sát Hệ đóng (2.50) cho hệ vi phân tăng cường sau 29 System Observer C Hình 2.12: Phản hồi tín hiệu quan sát       x˙ A BK x    =       xˆ˙ LC A + BK − LC xˆ     x     y =  C   xˆ (2.56) Đối với hệ điều khiển theo hàm quan sát, sai số trạng thái thực trạng thái quan sát yếu tố quan trọng cần phân tích Sai số (2.50) (2.55) cho e = x − xˆ Khi đó, hệ diễn tả sai số cho e˙ = (A − LC)e 30 (2.57) Chương ỔN ĐỊNH HÓA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH Trong chương chúng tơi nghiên cứu toán thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính mơ tả phương trình trạng thái x˙ = Ax + Bu, (3.1) y = Cx x ∈ Rn vectơ trạng thái, u ∈ Rm hàm điều khiển, y ∈ Rr vectơ đo đầu hệ A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rr×n ma trận số cho trước 3.1 Một số kết liên quan Kí hiệu λmax (A) = max{Reλj : λj ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλj : λj ∈ λ(A)} Ma trận A ∈ Rn×n đối xứng A = A Sn = {A ∈ Rn×n : A = A } Với A ∈ Sn , λ(A) ⊂ R Ma trận A ∈ Sn xác định không âm, A ≥ 0, x Ax ≥ với x ∈ Rn , A xác định dương, A > 0, x Ax > 0, ∀x = S+ n = {A ∈ Sn : A > 0} Rõ ràng A > A khơng suy biến Mệnh đề 3.1.1 (Bất đẳng thức Rayleigh) Cho ma trận A ∈ Sn Khi λmin (A) x ≤ x Ax ≤ λmax (A) x , ∀x ∈ Rn    A Mệnh đề 3.1.2 (Bổ đề Schur) Cho ma trận M =   B C ∈ Sm B ∈ Rn×m Các khẳng định sau tương đương: M > 31 B  C , A ∈ Sn ,  A > C − B A−1 B > C > A − BC −1 B > Mệnh đề 3.1.3 (Tính điều khiển được, xem [2, 3]) Hệ (3.1) điều khiển toàn cục T etA BB etA dt > với T > Cho A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m Ma trận Kalman định nghĩa [A|B] = B AB A2 B · · · An−1 B ∈ Rn×mn Định lí 3.1.4 (Tiêu chuẩn hạng Kalman [2, 3]) Hệ (3.1) điều khiển toàn cục rank[A|B] = n 3.2 Phân tích tính ổn định Hệ mở hệ (3.1) (tức u = 0) gọi là: • ổn định (stable) với t0 ≥ 0, > 0, tồn δ = δ(t0 , ) > cho với x0 ∈ Rn , x0 < δ , ta có x(t, t0 , x0 ) < , ∀t ≥ t0 ; • hút (attractive) với t0 ≥ 0, tồn ∆(t0 ) > cho x0 < ∆(t0 ) limt→∞ x(t, t0 , x0 ) = 0; • ổn định tiệm cận ổn định hút Hơn nữa, hệ (3.1) ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) ổn định hút tồn cục, tức ∆(t0 ) chọn tùy ý; • ổn định mũ toàn cục (GES) tồn số dương α, β cho nghiệm (3.1) thỏa mãn đánh giá mũ x(t, t0 , x0 ) ≤ β x0 e−α(t−t0 ) , t ≥ t0 Ma trận A gọi Hurwitz giá trị riêng A có phần thực âm, λ(A) ⊂ C− Tính ổn định hệ mở (3.1) trình bày định lí Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ t0 , 32 x(t0 ) = x0 ∈ Rn (3.2) Định lí 3.2.1 Các khẳng định sau tương đương (i) Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục (ii) Hệ (3.2) ổn định mũ toàn cục + (iii) Với Q ∈ S+ n , tồn P ∈ Sn thỏa mãn A P + P A + Q = (iv) Tồn P ∈ S+ n thỏa mãn A P + P A < (v) Ma trận A Hurwitz Chứng minh (i) ⇒ (v): Giả sử có λj = αj + iβj ∈ λ(A) mà αj ≥ Khi đó, tồn vectors x10 , x20 ∈ Rn mà x10 + x20 > cho x(t) = eαj t x10 sin(βj t) − x20 cos(βj t) xˆ(t) = eαj t x10 cos(βj t) + x20 sin(βj t) nghiệm (3.2) Do đó, x(t) 2 + xˆ(t) = e2αj t x10 + x20 > 0, ∀t ≥ Điều mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận hệ (3.2) Chứng tỏ λ(A) ⊂ C− hay A ma trận Hurwitz (v) ⇒ (iv): Viết lại A dạng chuẩn tắc Jordan A = SJS −1 , J = r k=1 nk diag(J1 , J2 , , Jr ) Jk khối Jordan cấp nk , = n Khi đó, etA = SetJ S −1 = S diag etJ1 , etJ2 , , etJr S −1 ,  etJk 1   0  =     t ··· t2 2! t  tnk −1 (nk −1)!  ··· ··· 0          nk ×nk 33 eλk t ∞ tJk e dt Vì Reλk < nên ∞ tA e dt hội tụ tuyệt đối, hay hội tụ tuyệt đối Kí hiệu ∞ etA etA dt ∈ Rn×n P = Rõ ràng P ma trận đối xứng, P ∈ Sn , với x ∈ Rn , ta có ∞ ∞ etA etA x, x dt = P x, x = T etA x dt ≥ 0 Nếu x = etA x ≥ x etA x dt, ∀T > 0 với t > đủ bé Do P x, x ≥ 12 T x 2 > Chứng tỏ P ∈ S+ n Tiếp theo, ta đặt t tA Z(t) = e tA e , P (t) = Z(s)ds Từ đẳng thức ˙ Z(t) = A Z(t) + Z(t)A ta suy Z(t) − I = A P (t) + P (t)A Cho t → ∞ với ý Z(t) → P (t) → P t → ∞, ta A P + P A = −I < (iv) ⇒ (iii) hiển nhiên (iii) ⇒ (ii): Xét hàm Lyapunov toàn phương V (x) = x P x Khi đó, λmin (P ) x ≤ V (x) ≤ λmax (P ) x đạo hàm dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) hệ (3.2) cho d V (x(t)) = x˙ (t)P x(t) + x (t)P x(t) ˙ dt = x (t) A P + P A x(t) = −x (t)Qx(t) ≤ −λmin (Q) x(t) 34 Suy V (x(t)) ≤ V (x(0))e−λ(t−t0 ) , t ≥ t0 , λ = λmin (Q) λmax (P ) > Từ ta nhận đánh giá mũ x(t, t0 , x0 ) ≤ β x0 e−α(t−t0 ) , t ≥ t0 , với β = λmax (P ) λmin (P ) α = λ/2 Cuối cùng, (ii) ⇒ (i) hiển nhiên 3.3 Ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính 3.3.1 Ổn định hóa điều khiển phản hồi trạng thái Xét hệ điều khiển tuyến tính (3.1) Hệ (3.1) gọi ổn định hóa theo điều khiển phản hồi trạng thái u(t) = Kx(t) tồn ma trận K ∈ Rm×n cho hệ đóng tương ứng x(t) ˙ = (A + BK) x(t), x(0) = x0 , (3.3) ổn định tiệm cận tiệm tồn cục Định lí sau cho điều kiện ổn định hóa hệ (3.1) Định lí 3.3.1 Hệ (3.1) ổn định hóa điều khiển phản hồi trạng thái tồn ma trận đối xứng xác định dương X ∈ S+ n ma trận W ∈ Rm×n thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) sau AX + XA + BW + W B < (3.4) Hàm điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ (3.1) cho u = W X −1 x Chứng minh Theo Định lí 3.2.1, hệ đóng (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục tồn ma trận P ∈ S+ n thỏa mãn bất đẳng thức Lyapunov Ac P + P Ac < 0, 35 (3.5) Ac = A+BK Nhân trái phải (3.5) với X = P −1 ta XAc +Ac X < hay (XA + AX) + (BKX + XK B ) < Đổi biến KX = W ∈ Rm×n ta điều kiện ổn định hóa hệ (3.1): m×n : AX + XA + BW + W B < ∃X ∈ S+ n,W ∈ R Hơn nữa, hàm điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ (3.1) cho u = W X −1 x Định lí chứng minh Kết cho mối liên hệ tính điều khiển với tính ổn định hóa Định lí 3.3.2 Giả sử hệ (3.1) điều khiển tồn cục Khi đó, hệ (3.1) ổn định hóa điều khiển phản hồi theo trạng thái Bổ đề 3.3.3 (xem [3]) Hệ (3.1) điều khiển toàn cục ma trận QT = T e−sA BB e−sA ds không suy biến với T > Chứng minh (Định lí 3.3.2) Hệ (3.1) điều khiển toàn cục nên QT ma + trận đối xứng xác định dương Kí hiệu P = Q−1 T ∈ Sn xét hàm Lyapunov V (x) = x P x Ta chứng minh hệ (3.1) ổn định hóa với điều khiển u(t) = − B P x(t) Thật vậy, đạo hàm V (x) theo hệ đóng tương ứng cho V˙ (x(t)) = x (t)[(A + BK) P + P (A + BK)]x(t) = x (t) A P + P A − P BB P x(t), = x¯ (t) QT A + AQT − BB 36 x¯(t), K = −1/2B P x¯(t) = P x(t) Mặt khác, ta lại có T T Ae−sA BB e−sA ds + AQT + QT A = e−sA BB e−sA A ds T =− d e−sA BB e−sA ds ds = BB − e−T A BB e−T A Vì rank[A|B] = n nên R = e−T A BB e−T A ∈ S+ n với T > Do V˙ (x(t)) ≤ −λmin (R) x¯(t) Kết hợp với đánh giá λmin (P ) x ≤ −λmin (R)λ2max (P ) x(t) ≤ V (x) ≤ λmax (P ) x suy hệ đóng (3.1) GES Định lí chứng minh 3.3.2 Thiết kế quan sát ổn định hóa hệ tuyến tính Xét hệ điều khiển (3.1), y(t) = Cx(t) tín hiệu đo đầu hệ Một quan sát kiểu Luenberger dựa y(t) thiết kế dạng xˆ˙ (t) = Aˆ x(t) + Bu(t) + L (y(t) − C xˆ(t)) (3.6) xˆ(t) ∈ Rn vector trạng thái hệ quan sát, tức trạng thái xây dựng lại x(t), L ∈ Rn×p ma trận cần thiết kế Sai số vector quan sát vector trạng thái định nghĩa e(t) x(t) − xˆ(t) Khi đó, e(t) ˙ = (A − LC)e(t) (3.7) Hàm điều khiển dựa tín hiệu quan sát xˆ(t) thiết kế dạng u(t) = K xˆ(t) Hệ đóng tương ứng cho x(t) ˙ e(t) ˙ = A + BK −BK x(t) A − LC e(t) 37 (3.8) Ta cần tìm điều kiện để thiết kế ma trận đạt điều khiển, K , quan sát, L, cho hệ đóng (3.8) GAS n×p W ∈ Rm×n Định lí 3.3.4 Giả sử tồn ma trận P, Q ∈ S+ n, V ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức P A + AP + BW + W B < (3.9a) A Q + QA + V C + C V (3.9b) < Khi đó, hệ (3.1) ổn định hóa điều khiển phản hồi theo quan sát (3.6) Các ma trận đạt điều khiển quan sát cho K = W P −1 , L = −Q−1 V Định lí 3.3.4 chứng minh tương tự Định lí 3.3.2 cách sử dụng hàm Lyapunov V (x, e) = x P −1 x + e Qe 38 Kết luận Nội dụng trình bày Khóa luận bao gồm Sơ lược lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển nói chung, mơ hình điều khiển tuyến tính nói riêng, dựa nội dung chuyên khảo [1] (Chương 1) Một số mơ hình điều khiển tuyến tính vật lí, kĩ thuật Dựa định luật vật lý việc chọn biến trạng thái phù hợp, nhiều mơ hình điều khiển kĩ thuật mơ tả phương trình trạng thái dạng tuyến tính (Chương 2) Phương pháp tuyến tính hóa hệ điều khiển phi tuyến chúng tơi trình bày chương Bài toán thiết kế điều khiển phản hồi theo trạng thái theo hàm quan sát trình bày Chương Dựa điều kiện ổn định hệ đóng (bất đẳng thức Lyapunov), điều kiện thiết kế đưa dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Hendricks, O Janerup, P.H Sorensen, Linear Systems Control: Deterministic and stochatic Methods, Springer-Verlag, Berlin, 2008 [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn Lý thuyết Điều khiển Tốn học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [3] J Jabczyk, Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhăaser, Boston, 2008 40 ... thiệu mơ hình tuyến tính hóa số hệ điều khiển phi tuyến Chương trình bày số kết nghiên cứu định tính hệ điều khiển tuyến tính bao gồm tính ổn định, tính điều khiển vấn đề thiết kế điều khiển phản... điều khiển đại 13 Chương MỘT SỐ MÔ HÌNH HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH Trong chương chúng tơi trình bày số mơ hình trạng thái hệ điều khiển vật lý, kĩ thuật Phương pháp tuyến tính hóa mơ hình phi tuyến. .. điều khiển tự động hệ tuyến tính số vấn đề liên quan đến hệ điều khiển Chương trình bày số mơ hình điều khiển tuyến tính Cụ thể, chương giới thiệu số mơ hình vật lý, kĩ thuật mô tả thông qua phương