LƯỢNG GIÁC vận DỤNG CAO

Nhân dịp năm mới 2019 thay mặt nhóm quản trị viên Tạp chí và tƣ liệu toán học , lời đầu tiên xin gửi tới các bạn đọc , các thầy cô theo dõi fanpage một lời chúc sức khỏe, mong rằng sang năm mới các thầy cô sẽ đạt đƣợc nhiều thành công hơn trong công việc, các bạn học sinh sẽ thực hiện ƣớc mơ nguyện vọng vào các trƣờng Đại học của mình. Chuyên đề “CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ” đƣợc 2 thành viên trong nhóm Chinh Phục Olympic Toán sƣu tầm và biên soạn với mục đích chào xuân năm mới cũng nhƣ là một món quà với các bạn theo dõi page trong suốt 1 năm vừa qua và đồng thời ủng hộ bọn mình phát triển tới nay, xin gửi lời cảm ơn tới tất cả mọi ngƣời. Nhƣ các bạn đã biết, trƣớc kia thì dãy số tuy không phải là một phần quan trọng trong kì thi THPT Quốc Gia, kì thi đại học nhƣng trong 2 năm gần đây vấn đề này đã đƣợc các trƣờng kết nối với các mảng khác nhƣ hàm số, mũ – logarit, tích phân... và cũng gây ra không ít những bỡ ngỡ, những sự lúng túng cho các bạn lần đầu gặp những bài nhƣ thế. Vì vậy trong chủ đề này, chúng mình và các bạn sẽ cùng tìm hiểu các bài toán liên quan tới chúng, hy vọng phần nào sẽ giúp mọi ngƣời có kinh nghiệm và hƣớng giải quyết khi gặp các bài toán nhƣ thế này. Để hoàn thành đƣợc chuyên đề này bọn mình cũng đã sƣu tầm và tham khảo, đồng thời cũng nhận đƣợc sự giúp đỡ của các thầy cô, xin gửi lời cảm ơn tới • NHÓM STRONG TEAM TOÁN VD – VDC. • ANH PHẠM MINH TUẤN – ADMIN NHÓM PI • CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Mặc dù chuyên đề đƣợc biên soạn cẩn thận tuy nhiên sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót, mọi ý kiến thắc mắc vui lòng gửi về 1 trong 2 địa chỉ sau NGUYỄN MINH TUẤN Sinh viên K14 – Đại học FPT Email: tuangenkgmail.com Facebook: https:www.facebook.comtuankhmt.fpt NGUYỄN NHẬT LINH Chuyên Thái Bình Email: linhnhatnhatlinhnguyengmail.com Facebook: https:www.facebook.comprofile.php?id=100009880805520 MỘT LẦN NỮA, XIN GỬI LỜI CẢM ƠN MỌI

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO MỘT SẢN PHẨM CỦA FANGAGE TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC TÀI LIỆU ĐƯỢC PHÁT HÀNH MIỄN PHÍ TẠI BLOG CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Nguyễn Minh Tuấn K14 Đại học FPT LỜI GIỚI THIỆU Lượng giác vấn đề đơn giản chương trình tốn phổ thơng, chun đề giới thiệu cho bạn đọc số dạng tốn hay khó chủ đề này, tập chủ yếu lấy từ đề thi thử THPT Quốc Gia nước để bạn có thêm nhìn tồn diện vấn đề Để viết nên chun đề khơng thể khơng có tham khảo từ nguồn tài liệu các group, khóa học, tài liệu thầy cô mà tiêu biểu Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ Website Toanmath: https://toanmath.com/ Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810 Thầy Huỳnh Đức Khánh Trong viết có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau: Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ Bản pdf phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại khơng cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO Chinh phục Olympic toán – Nguyễn Minh Tuấn GIỚI THIỆU VỀ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC Bài viết lấy từ VMF thành viên hoangtrong2305! Benny độc giả IntMath Newsletter Gần đây, ïng viết: “Tôi đến trường cao đẳng cộng đồng học lượng giác học kỳ Vì vậy, tơi muốn có nhìn sơ nét tơi học.” Vâng, Benny, bạn thực bước khởi đầu tốt cách tëm hiểu gë bạn học trước học kỳ bắt đầu Nhiều học sinh khơng tìm hiểu họ học họ phải làm tập đầu tiên, đỵ, họ bắt đầu “rối tung” việc tëm hiểu để bắt kịp với phần cín lại học kỳ Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác" Vì vậy, học lượng giác, bạn vẽ nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt tam giác vuông I SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Chúng ta xem xét số ứng dụng lượng giác sống ngày Hïm nay, cỵ thể bạn lái xe qua cầu Cây cầu xây dựng cách sử dụng kiến thức lực tác dụng góc khác Bạn nhận thấy cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác sử dụng thiết kế độ dài độ vững hënh tam giác đỵ Chúng ta xem xét số ứng dụng lượng giác sống ngày Hïm nay, cỵ thể bạn lái xe qua cầu Cây cầu xây dựng cách sử dụng kiến thức lực tác dụng góc khác Bạn nhận thấy cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác sử dụng thiết kế độ dài độ vững hënh tam giác đỵ Xe bạn (hoặc điện thoại) cỵ thể cỵ cài đặt GPS (Global Positioning System - hệ thống định vị mặt đất), sử dụng lượng giác cho bạn biết xác bạn đâu bề mặt Trái Đất GPS sử dụng liệu từ nhiều vệ tinh kiến thức hình học trái đất, sau đỵ sử dụng lượng giác để xác định vĩ độ kinh độ bạn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hïm nay, cỵ thể bạn nghe nhạc Bài hát bạn nghe ghi âm kỹ thuật số (một trình sử dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác) nén thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm liệu (áp dụng kiến thức khả phân biệt âm tai người), phép nén đíi hỏi kiến thức lượng giác Trên đường đến trường, bạn vượt qua tía nhà cao tầng Trước xây dựng, kỹ sư sử dụng máy trắc địa để đo đạc khu vực Sau đỵ, họ sử dụng phần mềm mô 3D để thiết kế xây dựng, xác định góc ánh sáng mặt trời hướng gió nhằm tính tốn nơi đặt lượng mặt trời hiệu suất lượng cao Tất trình đíi hỏi am hiểu lượng giác Máy trắc địa Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến gë bạn cỵ thể làm vào thời điểm khác ngày Các biểu đồ thủy triều xuất cho ngư dân dự đoán thủy triều năm trước Những dự báo thực cách sử dụng lượng giác Thủy triều ví dụ kiện xảy có chu kỳ, tức xuất lặp lặp lại Chu kỳ thường mag tính tương đối Trong thực tế, lượng giác cỵ vai trí quan trọng hầu hết lĩnh vực khoa học kỹ thuật | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN II NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC? Bạn thường bắt đầu nghiên cứu lượng giác cách tëm hiểu hënh tam giác sử dụng để đo lường điều khỵ đo lường tay Ví dụ, chiều cao núi xác định cách sử dụng hình tam giác tương ứng Tơi dễ dàng đo độ dài ABAB ACAC tam giác ABCABC (viết Δ ABC Δ ABC) Sau đỵ, ta dùng số liệu để tëm chiều cao DEDE Tơi làm trình tương tự để tìm chiều cao núi Điều gë xảy gỵc tam giác khác nhau? “Lượng giác” cho phép sử dụng tỷ lệ có liên quan đến góc ΔABC ΔABC, vë chúng tïi cỵ thể tình tốn loạt đỉnh cao mà khïng cần phải tiến hành đo Bạn tëm hiểu ba tỷ lệ quan trọng gỵc độ: sine (có thể rút gọn sin), cosine (có thể rút gọn cos) tangent (có thể rút gọn tan) Tơi khuyến khích bạn nên tìm hiểu tỉ lệ cách rõ ràng phần lớn kiến thức lượng giác sử dụng chúng nhiều Thïng thường đo gỵc độ (°), đơn vị khơng hữu ích cho khoa học kỹ thuật Bạn tìm hiểu radian, đỵ đơn vị đo thay cho đơn vị đo góc hữu ích Sau bạn nắm vững điều bản, bạn tiếp để tëm hiểu đồ thị hàm số lượng giác (suy nghĩ đường gợn sóng bạn nhìn thấy đồ thị động đất hình trái tim) sau đỵ phân tích lượng giác, cho bạn tập phương pháp để giải vấn đề phức tạp cách dễ dàng ECG bệnh nhân 26 tuổi III LỜI KHUYÊN CHO VIỆC HỌC LƯỢNG GIÁC Vẽ thật nhiều Vẽ chắn giúp bạn có hiểu biết lượng giác Khi bạn cần phải giải vấn đề sau này, việc vẽ đồ thị thực có giá trị bạn phác thảo vấn đề cách nhanh chỵng chình xác Đặc biệt: Vẽ hënh tam giác mà bạn theo học  Phác họa tënh vấn đề xung quanh  Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán |  CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Thực hành vẽ đồ thị hàm sin cosin bạn làm điều đỵ mà không cần phải chấm hàng triệu điểm trang giấy Học kiến thức thật Kiến thức “cơ bản” là:  Các định nghĩa sin, cos tan làm để sử dụng chúng tam giác; | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  Dấu tỷ lệ lượng giác gỵc lớn o 90 hay âm)  Các đồ thị hàm y  sin x (tức biết giá trị đỵ dương y  cos (và khái niệm hàm tuần hoàn) x Cẩn thận dùng máy tính Các vấn đề thường gặp sử dụng máy tính cầm tay lượng giác bao gồm:  Thiết lập sai chế độ (ví dụ máy tính chế độ “độ” bạn tình tốn chế độ radian)  Tin tưởng vào máy tình não bạn Các máy tính khơng ln ln cung cấp cho bạn dấu xác (+ -) Thường bạn phải tự tìm hiểu  Lụn ước lượng câu trả lời bạn, đầu tiên, đỵ bạn cỵ thể kiểm tra kết mà máy tình cho bạn  Hãy chắn bạn biết lû máy tình bạn khïng 1 1 sử dụng “ sin ” “ cos ” Điều nhiều học sinh hay lẫn lộn sử dụng kû khïng thật cần thiết Chúng ta nên sử dụng arcsin  để không bị nhầm lẫn với sin  Đây câu trả lời tïi dành cho Benny Tôi hy vọng cung cấp cho bạn ý tưởng cách sử dụng kiến thức lượng giác, Đáng buồn thay, nhiều học sinh khơng thích lượng giác Bạn khơng cảm thấy sợ hãi bạn hiểu lượng giác dùng vào việc thực lời khuyên Nguồn: http://www.intmath.c -all-about-6163 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | Câu TẬP Đường cong hënh bên mï tả đồ BÀI TỔNG HỢP thị hàm số y  A sin  x     B (với A, B,    số   0;  ) Tính S  A  B  12  A S   B S  D S  C S  Lời giải   2      B  3 A sin      Dựa vào đồ thị hàm số ta có hệ phương trënh  A sin   B     1 A sin     B  3     Ta thấy A  không thỏa mãn hệ Do đỵ  sin        4  1B    A      2 4    B  3  A sin    B  3  B  1 Từ  1  A sin       3     A sin     Thay B  1 vào     , ta có hệ  sin    sin       A sin    3          0;        sin   cos sin   sin   cos   sin   tan   cos    Với A  2; B  1 12    A  Vậy   S AB      Chọn C Nhận xét Cách trắc nghiệm: nhën đồ thị đoán A  2; B  1 (dựa vào – max)  dùng kiện đồ thị qua gốc tọa độ suy  Câu Gọi n số nguyên thỏa mãn 1  tan 10    tan 20   2n Khẳng định sau đúng? A n  1;  B n  8; 19 C n  20; 26 Lời giải Ta có biến đổi:   tan 1    tan 2 1  tan 45 1  tan 45  D n   27; 33 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos 1  sin 1 cos 2  sin 2    cos 45  sin 45  t  1  sin x   1  2 1  sin x   cos x  cos x   2 42 423  1  sin2      y 2x 2 Dấu ''  '' xảy sin 2x  sin co Lại có x1  s2  12  12    2  x    sin  y 1  x2 11. 2 si c  cos x  2 n 2 o Dấu ''  '' xảy sin x  cos x s c x s m  i o Vậy  M  m   x2 n1 3, s  2 56 M  2  x x Chọn B Câu 104 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f x  sin2018 x  cos2018 x 1 C A B D 100 100 100 2 Lời giải t 2 Đặt a  sin x, b  cos x Ta có 2018  sin x  cos x 2018  x  sin x  cos x  Dấu "  " xảy k 1009 ab  a1009  b1009  sin x  cos x  2.  2  1008       Dấu "  " xảy    k x 2018 2018 Vậy giá trị nhỏ ; giá trị lớn 1008 Chọn D cos x  asin Câu 105 Cỵ giá trị tham số thực a để hàm số y  cos x  x 1 cỵ giá trị lớn ? A D B C Lời giải Ta có y cos x  asin x   ycos x    cos x  asin x  cos x   asin x  1  ycos x  2y  Phương trënh cỵ nghiệm  a    y    2y  1  3y  2y  a   1 1 3a y  1  3a Yêu cầu toán  1 1 3a 2 a     3a    a   1  Chọn C Câu 106 Cỵ giá trị nguyên của3 tham số m thuộc 0; 10 để hàm số a  m sin x y cỵ giá trị nhỏ nhỏ cos x  2 ? B C D 11 12 A Lời giải Ta  m sin x  ycos x     m sin x  m sin x  y cos y có x   2y cos x  Phương trënh cỵ nghiệm   y  m   2y    3y  4y   m  2 2 2 3m   3m  y  3 Yêu cầu toán  2 3m    2   m  5; 6; 7; 8; 9; 10 m ; m  Chọn B m  3  m  21   m  m    1   2 x Câu 107 Cho hàm số y  2 sin x  sin x  a2 (với tham số)    2 6   cos Gọi     2  m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đoạn  ;  6 Có bao  nhiêu giá trị nguyên a để m2  M  321 A.? B D C 2 x Ta có cos   2    3sin x  cos x Lời giải  sin x sin x    1       sin    a2  x 6 x 6        2   t 0; 1 Đặt t  sin x  , x ;    63      Do đỵ y2 sin      Hàm số trở thành 2  1 y  2t  2t     t   a  a  2 1  1 Vì  t     t      t    2 2   2 1   Suy a  2ta   a  2    2 321  321  ma   2    a    a     3  a  m M  4    M  a2   Suy có giá trị nguyên thỏa Chọn D Câu 108 Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số y  sin4 x  cos 2x  m Hỏi tập S cỵ phần tử? A B C Lời giải D Ta có sin x  cos 2x  sin x  sin x     sin x   cos x  y  cos x  m 4 4 2 4 Vì  cos x   m  cos x  m   m Suy y  min m , m    m  m   m12  m  Vậy S  3; 2 3    Yêu cầu toán  m   m    m    m  Chọn B Câu 109 Cho x, y số thực thỏa mãn cos 2x  cos 2y  Giá trị nhỏ biểu thức P  tan2 x  tan2 y C A B D 3 .giải Lời     1 1   1  Ta có P    2       2 cos x cos y  cos 2x  cos 2y           2 Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta P   2 2 21   cos 2x  cos 2y   Chọn B TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN , thỏa mãn f tan x  sin 2x  cos Câu 110 Cho hàm số y  f x xác định 2x với    x   ; Với a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a  b  1, giá trị nhỏ 2  S  f a.f b biểu thức A B  53 C Lời giải D 53 2  t  1giả thiết, ta có f tan x  tan x   tan x  tan x  tan x   f t  t Theo    2 2  tan x  tan x  tan x t 1 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Do đỵ S  f  a  f  b   f  a  f 1 a2  a 2   a     a    a   a  1  a  1 5 Chọn C   Câu 111 Cho hai số thực x, y thuộc thỏa mãn cos 2x  cos 2y  sin  20;   x  y    cos4 x cos4 y   P Giá trị nhỏ y x A B C D     Lời giải Ta có cos 2x  cos 2y  sin x  y   sin x  sin y  sin x  y Suy x  y   Áp dụng BĐT cộng mẫu  2 cos x  cos y  cos2 x cos   P  xy  Dấu ''  xảy  x  y  ''  a  , ta a2 b2   b 2 m n mn    x 2  cos2 x  sin2 x   2 xy    Chọn C Nhận xét Việc suy x  chứng minh sau:  y       Với x, y  0; suy  x,  y thuộc 0;     2 Trên     đoạn 0; , hàm y  sin đồng biến x     xy           y  sin x  sin   y   cos y Nếu x  y          y   x  sin y  sin   x   cos x    2  sin x  sin y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x cos y  sin y cos x  sin x    x y Mâu thuẫn Tương tự cho x  y  Trường hợp x  y    : thỏa mãn Câu Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2  b2  c2  Tìm giá trị lớn tất A cả112 aM các b   0; M  hàm  2số yB   cos x với x sin2 xM  ctrong   C M    D M     Lời giải  Ta có a  b s c cos x i n   a 2 b c    sin x  cos x      sin  x 4  x       1  Suy a  b s c c 2 b i  o c   n a  sin s x cos x a ;bc 2  x  2x Dấu ''  xảy  a  b  c    ''        x 2 sin  x    1, x   0;     4    Chọn C  2ab  sin a  b  2ab  a Câu 113 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin 2  b   Giá trị2nhỏ thức 10  biểu 10  7S  a  2b 10  A B C 2 Lời giải Ta có sin 2  2ab  sin a  b  2ab  a  b   sin   2ab    2ab  sin a  b   a  b   D 10  Xét hàm f  t   sin t  t với t  biến Ta có f '  t   cos t    Hàm số f  t  đồng Mà f   2ab  f a  b  nên  2ab  a  b  (vì b   a  ) 2a b 2a   2a 10 Khi đỵ S  a  2b  a  Khảo sát hàm số 0; 2 ta S  3 2a  Chọn A Câu 114 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos x  y  1   cos  3xy   9xy  3x  3y Giá trị11 nhỏ   4nhất biểu thức S  xy  228 87 A B C Lời giải1 D 72 Ta có cos  x  y  1   cos  3xy   9xy  3x  3y  cos  x  y  1   x  y  1  cos  3xy    3xy  Xét hàm f  t   cos t  3t với t  biến Ta có f '  t   sin t    Hàm số f  t  đồng Mà f x  y  1  f 3xy nên x  y   3xy  x  3y  y1 Khi đỵ Khảo sát ta tëm S  y  y    y  3y  3y  3y  Chọn A 11   97 S LỜI KẾT Vậy đến trang cuối tuyển tập này, viết chưa thực hay hy vọng kiến thức mà đưa vào viết giúp ích bạn q trình học tập Ngồi vài thiếu xót tuyển tập này, mong người bỏ qua Một lần gửi lời cảm ơn đến người có đóng góp cho viết chúc bạn mùa ôn thi thành công nhé! ... lại học kỳ Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác" Vì vậy, học lượng giác, bạn vẽ nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt tam giác vuông I SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Chúng ta... HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN II NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC? Bạn thường bắt đầu nghiên cứu lượng giác cách tëm hiểu hënh tam giác sử dụng để đo lường điều khỵ đo lường tay Ví dụ, chiều cao. .. số ứng dụng lượng giác sống ngày Hïm nay, cỵ thể bạn lái xe qua cầu Cây cầu xây dựng cách sử dụng kiến thức lực tác dụng góc khác Bạn nhận thấy cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác sử dụng