Dai so va GT 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC Cho hàm số f(x) =x 2 và ( ) ( ) ( ) ( )      ≥+− <<− −≤+− = 1,2 11,2 1,2 2 2 xx x xx xg a).Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=1 và so sánh với giới hạn (nếu có ) của hàm số khi x → 1 b). Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x=1 (Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x 0 và hàm số y=g(x) không liên tục tại điểm này ) Trả lời a) Ta có : f(1) =1, ( ) 1lim 1 = → xf x g(1) = 1 ( ) 12lim)(lim 2 11 =+−= ++ →→ xxg xx ( ) 22limlim 11 == −− →→ xx xg Vậy không tồn tại ( ) xg x 1 lim → f(1) =? ( ) ?lim 1 = → xf x f(x)=-x^2+2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) 1-1 f(x)=x^2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) 1-1 0 0 b) Đồ thị hàm số y=f(x) là một đường liền nét , đồ thị hàm số y=g(x) là đường không liền nét mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1 Vì ( ) ( ) 1lim 1 fxf x = → Nên ta nói hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x 0 ∈K . Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x 0 nếu )()(lim 0 0 xfxf xx = → Định nghĩa 1 1.Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số y=f(x) không liên tục tại x 0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó . Vậy muốn biết hàm số y=f(x) có liên tục hay không tại điểm x 0 , ta làm những công việc gì ? Muốn biết hàm số y=f(x) có liên tục tại x 0 hay không ta cần • Tính f(x 0 ) ( ) xf xx 0 lim → • • So sánh hai số trên Nếu bằng thì liên tục , khác thì không liên tục Giải Hàm số y=f(x) xác định trên R \ { 2 }, do đó xác định trên khoảng (2;+∞ ) chứa điểm x 0 = 3 ( ) ( ) 33 2 limlim 3 f x x xf xx == − = →→ Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại x 0 =3 Xét tính liên tục của hàm số y= f(x) = x 3 +2x-1 tại điểm x 0 = 3 Hàm số xác định trên tập hợp nào ? Theo định nghĩa ta cần thực hiện những công việc gì ? VD1. Xét tính liên tục của hàm số tại x 0 =3 ( ) 2− = x x xf 2. Hàm số liên tục trên một khoảng Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó . Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và ( ) ( ) ( ) ( ) bfxfafxf bxax == −+ →→ lim,lim Định nghĩa 2. ( ) [ ] a b a b a). Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực . b). Hàm số phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa thức ) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng . 3. Một số định lí cơ bản Định lí 1. Chẳng hạn Định lí 2. Giả sử y=f(x) và y= g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x 0 . Khi đó : a). Các hàm số y= f(x) +g(x) , y = f(x) –g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x 0 ; b).Hàm số )( )( xg xf y = liên tục tại x 0 nếu g(x 0 )≠0 VD2. Cho hàm số ( )      = ≠ − − = )1(,5 )1(, 1 22 x x x xx xh Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó Giải ( )      = ≠ − − = )1(,5 )1(, 1 22 2 x x x xx xh Tập xác định của hàm số là R • Nếu x ≠ 1, thì ( ) 1 22 2 − − = x xx xh Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-∞;1)∪(1;+∞) Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-∞;1) và (1;+∞) • Nếu x=1, ta có h(1) =5 và ( ) 22lim 1 12 lim 1 22 lim)(lim 11 2 11 == − − = − − = →→→→ x x xx x xx xh xxxx Vì nên hàm số đã cho không liên tục tại x=1 Kết luận : hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-∞;1), (1;+∞) và gián đoạn tại x=1 ( ) ( ) 1lim 1 hxh x = → Trong biểu thức xác định h(x) ở VD2 , cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số liên tục trên tập số thực R Hay quá ? Giải . Xét hàm số ( ) ( ) ( )      = ≠ − − = 1, 1, 1 22 2 xa x x xx xh Hàm số liên tục trên R khi tại x =1 hàm số h(x) liên tục tức là ( ) ( ) 1lim 1 hxh x = → => a= 2 Vậy nếu thay 5 bằng 2 thì hàm số liên tục trên R . ( ) ( )      ≥+− <<− −≤+− = 1,2 11, 2 1,2 2 2 xx x xx xg a).Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=1 và so sánh với giới hạn (nếu có ) của hàm số khi. có : f(1) =1, ( ) 1lim 1 = → xf x g(1) = 1 ( ) 12lim)(lim 2 11 =+−= ++ →→ xxg xx ( ) 22limlim 11 == −− →→ xx xg Vậy không tồn tại ( ) xg x 1 lim → f(1) =?