ÔN TẬP HÌNH HỌC HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang vng hình thang có góc vng Tính chất: Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai c ạnh bên b ằng nhau, hai c ạnh đáy Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song b ằng HÌNH THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất: Trong hình thang cân: Hai cạnh bên Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân Hình thang có hai đường chéo hình thang cân ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Đường trung bình tam giác: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song v ới c ạnh th ứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung ểm hai cạnh bên c hình thang Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song v ới hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy HÌNH BÌNH HÀNH Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song Tính chất: Trong hình bình hành: Các cạnh đối Các góc đối Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành HÌNH CHỮ NHẬT Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung ểm c m ỗi đường Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh b ằng n ửa c ạnh tam giác tam giác vng HÌNH THOI Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có bốn cạnh hình thoi Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi HÌNH VNG Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vnG I ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Tỉ số hai đoạn thẳng Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD có tỉ lệ thức: AB A′B′ = CD C′D′ AB CD = A′B′ C′D′ hay Định lí Ta-lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác c hai c ạnh l ại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B′C′ P BC ⇒ AB′ AC′ AB′ AC′ AB AC = ; = ; = AB AC B′B C′C B′B C′C Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai c ạnh nh ững đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác AB′ AC′ = ⇒ B′C′ P BC B′B C′C Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song v ới c ạnh l ại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho B′C′ P BC ⇒ AB′ AC′ B′C′ = = AB AC BC Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song v ới m ột cạnh c phần kéo dài hai cạnh lại A B’ B C’ C Tính chất đường phân giác tam giác Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đ ối di ện thành hai đo ạn th ẳng t ỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn DB AB EB = = AD, AE phân giác ngồi góc BAC DC AC EC Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức ad = bc a b = a c c d = ⇒ a± b c ± d = b d b d a c a+ c a− c = = = b d b+ d b− d TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: µA′ = µA, µB′ = µB, µC′ = µC; A′B′ = B′C′ = C′A′ AB BC CA Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta ph ải vi ết theo th ứ t ự c ặp đ ỉnh tương ứng: ∆ A′B′C′ ∆ ABC b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt ph ần kéo dài hai c ạnh tam giác song song với cạnh lại A M N B C Các trường hợp đồng dạng hai tam giác Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với A′B′ B′C′ C′A′ = = AB BC CA ABC ABC Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với A′B′ A′C′ µ µ = , A′ = A AB AC ABC ABC Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với µA′ = µA, µB′ = µB ABC ABC Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Trường hợp 2: Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm Kẻ AH ⊥ BD H a b c d e Chứng minh ∆ADH ∽ ∆BDA từ suy AD = DH.DB Chứng minh ∆AHB ∽ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH M ∈ BD ) · Vẽ tia phân giác AM BAD ( Tính độ dài đoạn thẳng MB, MD Đường thẳng AH cắt DC I cắt đường thẳng BC K Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABH tam giác BKH Chứng minh: AH = HI.HK Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // DC; AB < DC đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Vẽ đường cao BH, AK f Chứng minh BC = HC.DC b) Chứng minh ∆AKD ∽ ∆BHC c) Cho BC = 15cm, DC = 25cm Tính diện tích hình thang ABCD Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Vẽ đường cao BH, CK, AI c tam giác ABC a Chứng minh KH // BC b Chứng minh HC.AC = IC.BC c Cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a b Bài 4: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH, biết AC = 6cm, AB = 8cm a a b c d Chứng minh AB = BH.BC Trên tia đối tia AC lấy điểm D tùy ý, dựng AK vng góc với DB K Chứng minh ∆BHK ∽ ∆BDC Cho biết AD = 15cm Tính diện tích ∆BHK Kẻ đường phân giác AM ∆HAC , từ M kể đường thẳng song song với AC cắt AH · I Chứng minh BI tia phân giác ABC Bài 5: Cho ∆ABC vuông B, đường cao BH, biết AB = 15cm, BC = 20cm a Chứng minh BH.AC = BA.BC b c d e Từ H kẻ HM ⊥ AB, HN ⊥ BC Chứng minh ∆BMN ∆BCA đồng dạng Tính diện tích tứ giác AMNC Gọi O trung điểm MN Chứng minh diện tích ∆COB diện tích ∆COH Gọi BK đường cao ∆BMN Chứng minh BK qua trung điểm đoạn thẳng AC BM BN + =1 f Chứng minh BA BC Bài 6: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH a b c Chứng minh ∆ABH đồng dạng ∆CAH AH = BH.CH Gọi d đường thẳng qua A không cắt BC Gọi E, F hình chiếu B C đến đường thẳng d Chứng minh AB.AF = AC.BE SBAE SABH = S Chứng minh CAF SACH Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm hai đ ường chéo c t ại O Qua B kẻ đường thẳng a vng góc với BD, a cắt DC E a Chứng minh ∆BCE ∆DBE đồng dạng Kẻ đường cao CH ∆BCE Chứng minh BC = CH.BD Tính tỉ số diện tích ACEH diện tích ADEB Chứng minh ba đường OE, BC, DH đồng quy Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD =16cm, BD = 8cm Ch ứng minh: b c d a b · · BAD = DBC Gọi M giao điểm DA CB, biết BC = 6CM Tính độ dài đoạn MC ( K ∈ DC ) Chứng minh SBKC = 4SADH c Vẽ AH ⊥ BD , BK ⊥ DC Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Qua điểm A ta kẻ đường thẳng c đo ạnt hẳng BD, đoạn thẳng DC điểm E, F, G Chứng minh rằng: ∆DAE đồng dạng với ∆BFE c) AE = EF.EG AB.AG = AF.DG d) Tích BF.DG khơng đổi e) Cho AB = 10cm, AD = 9cm, DM = 6cm Tính đ ộ dài đo ạn th ẳng BG ch ứng minh 9S∆BEA = 25S∆DEM a b Bài 10: Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) có ba đường cao AF, BD CE cắt H a Chứng minh ∆AEC đồng dạng với ∆ABD b Chứng minh ∆ADE đồng dạng với ∆ABC Chứng minh BE.AB + CD.AC = BC d AF cắt DE I Chứng minh HI.AF = AI.HF Bài 11: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH a Chứng minh ∆AHB đồng dạng với ∆CBA b Kẻ đường phân giác AD ∆CHA đường phân giác BK ∆ABC ( D ∈ BC, K ∈ AC ) , BK cắt AH AD E F Chứng minh ∆AEF đồng dạng với ∆BEH c Chứng minh: KD // AH c EH KD = d Chứng minh AB BC Bài 12: Cho ∆ABC có AB = 20cm, AC = 25cm, BC = 30cm Đ ường phân giác c góc A H ∈ AD ) , cắt cạnh BC D Qua B kẻ BH vng góc với AD ( qua C kẻ CK vng góc với AD ( K ∈ AD ) a Chứng tỏ ∆ABH ∆ACK đồng dạng b Chứng minh AH.KD = AK.HD c Tính độ dài đoạn BD DC d Đường phân giác góc B cắt AC E góc C cắt AB F Chứng minh DB EC FA =1 DC EA FB ... vng hình chữ nhật Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác: Trong tam giác vuông,... góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi... có bốn cạnh hình thoi Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi HÌNH VNG Định