Chuyên đề GTMT570MS-Dạng toán Cấp số cộng -Cấp số nhân

Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Chuyên đề 11 : DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 1. Dạng toán về dãy số : Phương pháp : Để thực hiện những đòi hỏi của bài toán về dãy số chúng ta có thể chọn lựa hai cách sau : Cách 1 : Dựa theo công thức của dãy số . Cách 2 : Dựa theo phương pháp lặp, cụ thể chúng ta biết rằng : S n = S n-1 + u n và P n = P n-1 . u n Từ đó dẫn tới việc sử dụng 4 biến ( tối thiểu ) A, B, C, D của máy tính để gán cho : D = 0 - khởi tạo biến đếm ( để biết chúng ta đang xét tới u A ) A = 0 - khởi tạo giá trò của u A B = 0 - khởi tạo giá trò của tổng A số hạng đầu tiên . C = 1 - khởi tạo giá trò của tích A số hạng đầu tiên . Nhận xét : Cách 2 luôn tỏ ra hiệu quả với những yêu cầu tính tổng , tích của n số hạng đầu tiên của dãy số . BÀI TẬP ÁP DỤNG 1). Cho dãy số xác đònh bởi công thức 3 1x x 3 n 1n + = + a). Biết x 1 = 0,5 . Lập quy trình bấm phím liên tục để tính x n . b). Tính x 12 , x 51 . 2). Cho dãy số ( u n ) với 1n2 1n2 u n − + = . a). Viết 6 số hạng đầu của dãy . b). Tìm xem 17 2 1 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 3). Cho dãy số ( u n ) với n n n 2 12 u − = . a). Tính giá trò của u 2 , u 4 , u 8 . b). Tìm xem 2048 2047 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 4). Cho dãy số ( u n ) với u n = 3 n . n . Viết 4 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S 4 và tích P 4 của 4 số hạng đó . 5). Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn :    ≥= = + 1nvới,u2u 3u n1n 1 Viết 4 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S 4 và tích P 4 của 4 số hạng đó . 6). Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn : Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 1 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà    ≥−= == −− 3n,u2u3u 2u,3u 1n2nn 21 Viết 7 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S 7 và tích P 7 của 7 số hạng đó . 7). Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số 2 n n 2003 nu += 8). Cho dãy số ( u n ) với 1n2 2n u n − − = . a). Viết 4 số hạng đầu của dãy . b). Tìm xem 5 2 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 9). Cho dãy số ( u n ) với 36n 1n u 2 n + − = . a). Viết 5 số hạng đầu của dãy . b). Tìm xem 10 7 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 10). Cho dãy số ( u n ) với u n = 3. 2 2n-1 . a). Viết 6 số hạng đầu của dãy . b). Tìm xem 393216 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 11). Cho dãy số ( u n ) với n 3 u n n = . Viết 8 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S 8 và tích P 8 của 8 số hạng đó . 12). Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn :    ≥+= = + 1n,1u2u 3u n1n 1 Viết 9 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S 9 và tích P 9 của 9 số hạng đó . 13). Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn :    ≥+−= == −− 3n,1u2u3u 3u,2u 2n1nn 21 Viết 8 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S 8 và tích P 8 của 8 số hạng đó . 14). Cho dãy số n n 1n x 2 2 x x += + , n ≥ 1 a). Hãy lập quy trình bấm phím để tính x n+1 với x 1 = 1 sau đó tính x 50 . b). Hãy lập quy trình bấm phím để tính x n+1 với x 1 =-1 sau đó tính x 50 . 2. Dạng toán về cấp số cộng : ÷ a 1 , a 2 , a 3 , . , a n Công sai : a n+1 - a n = d Số hạng thứ n : a n = a 1 + d ( n - 1 ) Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 2 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Tổng n số hạng đầu : ( ) n. 2 aa S n1 n + = ( d > 0 : cấp số tiến ; d < 0 : cấp số lùi ) BÀI TẬP ÁP DỤNG 1). Cho cấp số cộng ( u n ) thỏa mãn u 2 - u 3 + u 5 = 10 và u 1 +u 6 = 17 a). Tìm số hạng đầu tiên và công sai . b). Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u 5 + u 6 + + u 24 . 2). Tính tổng sau : S = 105 + 110 + 115 + . + 995 3). Tính tổng sau : S = 100 2 - 99 2 + 98 2 - 97 2 + . . . + 2 2 - 1 2 . 4). Cho cấp số cộng : 2 + 1 , 2 , 3 - 2 , . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy tính fx - 570 để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S 6 và tích P 6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . 5). Cho cấp số cộng ( u n ) thỏa mãn u 2 - u 3 + u 5 = 10 và u 4 +u 6 = 26 a). Tìm số hạng đầu tiên và công sai . b). Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u 4 + u 6 + + u 44 . 6). Tính tổng sau : S = 55 + 60 + 65 + . + 855 7). Tính tổng sau : S = 999 + 996 + 993 + . + 3 8). Tính tổng sau : S = 200 2 - 199 2 + 198 2 - 197 2 + . . . + 2 2 - 1 2 . 9). Cho cấp số cộng : 3 + 3 , 2 , 7 - 3 , . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy tính fx - 570 để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S 6 và tích P 6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . 3. Dạng toán về cấp số nhân : ÷÷ a 1 , a 2 , a 3 , . , a n Công bội : a n+1 : a n = q Số hạng thứ n : a n = a 1 . q n-1 Tổng n số hạng đầu : 1q 1q .aS n 1n − − = ( q > 1 ) hay q1 q1 .aS n 1n − − = ( q <1 ) Cấp số nhân lùi vô hạn : Tổng tất cả số hạng : q1 a S 1 n − = ( q < 1 ) Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 3 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà BÀI TẬP ÁP DỤNG 1). Cho cấp số nhân ( u n ) thỏa mãn u 4 - u 2 = 72 và u 5 - u 3 = 144 a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội . b). Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u 3 + u 6 + + u 12 . 2). Tính tổng sau : S = 2 + 6 + 18 + . + 13122 3). Tính tổng sau : S = . 4 1 2 1 1 +++ 4). Cho cấp số nhân : 5 + 1 , 2 , 5 - 1 , . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy tính fx - 570 MS để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S 6 và tích P 6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . 5). Cho cấp số nhân ( u n ) thỏa mãn u 4 - u 2 = 12 và u 5 - u 3 = 24 a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội . b). Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u 3 + u 6 + + u 12 . 6). Cho cấp số nhân ( u n ) thỏa mãn u 1 + u 6 = 244 và u 5 + u 4 = 36 a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội . b). Tính tổng số của 11 số hạng đầu tiên . 7). Tính tổng sau : S = 1 + 11 + 111 + . + 11 . 1 ( 99 chữ số 1) 8). Tính tổng sau : 2 18 18 2 2 2 2 3 1 3 . 3 1 3 3 1 3S       +++       ++       += 9). Cho cấp số nhân : 5 + 2 , 1 , 5 - 2 , . . . Không dùng công thức,hãy sử dụng máy tính fx-570MS để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S 6 và tích P 6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . BÀI TẬP ÁP DỤNG TỔNG QUÁT Với máy Casio fx 570, các bài toán về tính số hạng thứ n , tổng hay tích của n số hạng đầu tiên của một dãy số được tính một cách dễ dàng . Ví dụ 1 : Viết 10 số hạng đầu tiên rồi tính tổng 10 S và tích 10 K của 10 số hạng ấy của dãy số có số hạng tổng quát 3 3 n u n n = . Giải : Gán A = 0 (biến đếm) ấn SHIFT STO A B = 0 (giá trò số hạng) ấn SHIFT STO B C = 0 (tổng) ấn SHIFT STO C D = 1 (tích) ấn SHIFT STO D Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 4 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Ghi A = A+1 : B=3^A f A 3 : C = B + C : D = D B Ấn = máy hiện A = 1 (đếm n = 1) = máy hiện B = 3 ( 1 u = 3) = máy hiện C = 3 ( 1 S = 3) = máy hiện D = 3 ( 1 K = 3) Lại ấn tiếp = máy hiện A = 2 (đếm n = 2) = máy hiện B = 9/8 ( 2 u = 9/8) = máy hiện C = 33 /8 ( 2 S = 33/8) = máy hiện D = 27 /8 ( 2 K = 27/8) . . . . . . . tiếp tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = máy hiện A = 10 (đếm n = 10) = máy hiện B = 59049/1000 ( 10 u = 59049/1000) = máy hiện C = 116.9492 ( 10 S = 116.9492) = máy hiện D = 3650731.65 ( 10 K = 3650731.65) Ví dụ 2. Cho cấp số cộng 3 , 10/3, 11/3 , 4 . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng Casio fx- 570 MS để tính : a) Số hạng thứ 12. b). Tổng 12 số hạng và tích 12 số hạng đầu tiên. Giải : Gán D = 0 (biến đếm) A = 8/3 (số hạng trước 1 u ) B = 0 (tổng) C = 1 (tích) Ghi vào màn hình : D=D+1:A=A+1f 3:B=B+A:C=CA Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện D=12 thì A, B, C là kết quả phải tìm. Kết quả 12 u = 20/3 12 S = 58 12 P = 113540038.4 Ví dụ 3. Cho cấp số nhân 60 , 40, 80/3 . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy CASIO fx- 570 MS để tính gần đúng : a) Số hạng thứ 20. b) Tổng 20 số hạng và tích 20 số hạng đầu tiên. Giải : Gán D = 0 (biến đếm) A = 90 (số hạng trước 1 u ) B = 0 (tổng) Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 5 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà C = 1 (tích) Ghi vào màn hình D=D+1:A=2f 3:B=B+A:C=CA Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện D = 20 thì A, B, C là kết quả phải tìm. Kết quả 20 u = 0.0271 20 S = 179.9459 = 20 P = 127.5516 Ghi chú : Nếu đầu đề chỉ cho dãy số 60, 40 , 80/3 . . . mà không nói rõ đó là cấp số nhân thì người giải có thể nghó đến dãy số với số hạng tổng quát là 3 40280 + − = n n u n và sẽ đi đến bài toán khác. Ví dụ 4 . Tìm số hạng thứ 29 và tính tổng 29 số hạng đầu tiên của dãy số Fibonaci. Giải : Cách 1 . Dùng số hạng tổng quát của dãy       − − + = nn n u ) 2 51 () 2 51 ( 5 1 Gán A = 0 (biến đếm) B = 0 (số hạng trước 1 u ) C = 0 (tổng) Ghi vào màn hình A=A+1:B=(((1+ 5 )÷2)^A-((1- 5 )÷2)^A)÷ 5 : C=C+B Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện A = 29 thì B, C là kết quả phải tìm. Kết quả 29 u = 514229 29 S = 1346268 Cách 2 : Dùng đònh nghóa 1 , 1 , 2 . 3 , 5 , 8 , . . . Gán D = 2 (biến đếm) A = 1 (số hạng 1 u ) B = 1 (số hạng 2 u ) C = 2 ( Tổng 2 số hạng đầu) Ghi vào màn hình D=D+1:A=A+B:C=C+A:D=D+1:B=B+A:C=C+B Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện D=29 thìz A (hoặc B) và C hiện tiếp theo là kết quả phải tìm (giống cách 1). Ví dụ 5 : Tìm giá trò x nguyên để: a) 1+ x x ++++ .432 43 ≈ 142.717 KQ x= 130 b) 1 x x ××××× 432 43 ≈ 357,2708 Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 6 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà KQ x = 31 c) 1 + x 1 . 3 1 2 1 +++ ≈ 5 KQ x = 83 d) ! 1 . !3 1 !2 1 1 x ++++ = 1.71805(5) KQ x= 6 ( khi x→∞ thì tổng này → e = 2.718281828459 . . . ) Ví dụ 6. Cho dãy số 223, ;5,3 1121 −−=== −+ nnn uuuuu với mọi n≥2 a) Tính 339 ,uu b) Tính tổng 33 số hạng đầu tiên và tích 9 số hạng đầu tiên. Giải : Gán A = 3 ( Số hạng) B = 5 ( Số hạng) C = 8 ( Tổng 2 số số hạng đầu ) D = 2 (Biến đếm ) E = 15 ( Tích 2 số hạng đầu) Ghi vào màn hình D=D+1 : A=3B−2A-2 : C=C+A : E=EA : D=D+1 :B=3A−2B−2 :C=C+B : E=EB Sau đó ấn = nhiều lần , khi thấy hiện D = 9 thì đọc 9 u = 19 , 9 S = 99, 9 P = 654729075 Ấn tiếp = nhiều lần , khi thấy hiện D = 33 thì đọc 33 u = 67 , 33 S = 1155 Ta có thể giải bài này bằng cách dùng biểu thức lặp 3 biến như sau: Gán A = 3 , B = 5 rồi ghi vào màn hình C = 3B – 2A – 2 : A = 3C 2B – 2 : B = 3A – 2C – 2 Và ấn = . . . , ta được n uuu , ,, 21 Muốn khỏi đếm miệng (dễ lầm) và tính tổng , ta cài thêm biến đếm D=D+1 (gán trước D=2) trước mỗi số hạng và biến tổng E=E+C (gán trước E=8) sau C ; E=E+A sau A và E=E+B sau B (nhưng biểu thức sẽ dài) Thực ra đây chỉ là cấp số cộng với hai số hạng đầu là 3 , 5 , . . . có thể chứng minh bằng quy nạp như sau: + Kiểm tra 25,3 121 +=⇒== − nn uuuu đúng với n = 1 + Giả sử công thức đúng với n = k ⇔ 2 1 += − kk uu 22)2(23223 11 +=−−−=−−=⇒ −+ kkkkkk uuuuuu nghóa là công thức cũng đúng với n = k+1 Kết luận công thức đúng với mọi n ≥ 1 Ghi chú . Một tính chất nào đó đúng với nhiều giá trò liên tiếp của n mà chưa được chứng minh bằng quy nạp ta vẫn chưa dùng được Ví dụ 7 : Một đa thức P(x) = x ++ 1011 ax . . . . . . +x+m có Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 7 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà P(1) = 1 , P(2) = 2 , P(3) = 3 , P(4) = 4 , P(5) = 5 , P(6) = 6 , P(7) = 7 , P(8) = 8, P(9) = 9, P(10) = 10 , P(11) = 11 . Thì P(x) =(x-1)(x-2)(x-3). . . . . . . .(x-10)(x-11)+x Do đó P(12)=11!+12 = 39916812 . BÀI TẬP 1). Tính giá trò của biểu thức : B = 3 4 9 9 .432 ++++ 2). Cho n 1n n 2 n )1( . 16 4 8 3 4 2 2 1 S + −++−+−= a). Lập quy trình để tính Sn . b). Tính S 20 , S 21 , S 22 , S 23 , S 2003 . 3). Cho dãy số U n = 2 .22 +++ , n dấu căn . Tìm U 11 với 9 chữ số thập phân . 4). Cho tổng n2 n 5 n . 5 2 5 1 S +++= . n ≥ 1 . Tìm S 15 với 9 chữ số thập phân . 5). Cho dãy số x 1 = 1 ; x n+1 = 1 + n x 1 , n = 1, 2, 3, . a). Lập một qui trình tính x n . b). Tính chính xác x n với n = 5, 6, . , 10 . c). Tìm một số M lớn hơn tất cả các số hạng có chỉ số lẻ và nhỏ hơn tất cả các số hạng có chỉ số chẵn của dãy trên . 6). Cho dãy số a n được xác đònh như sau : a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n+2 = n1n a 2 1 a 3 1 + + , với mọi n ∈ N* Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số đó . 7). Cho dãy số a n được xác đònh như sau : a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 2 , a n+3 = n1n2n aa 2 1 a 3 1 ++ ++ , với mọi n ∈ N* Tính giá trò số hạng thứ 15 của dãy số đó . 8). Kí hiệu n 2 n 1n xxS += trong đó x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - 8x + 1 = 0 . a). Lập công thức truy hồi tính S n+1 theo S n và S n-1 . b). Lập một quy trình tính S n trên máy tính Casio fx 570MS . c). Tính S n theo quy trình trên và tính S' theo công thức : ( ) ( ) nn n 2 n 1n 154154xx'S ++−=+= với n = 1,2, ., 11. 9). Cho dãy số a 1 = 3, . , 3 n n 3 n 1n a1 aa a + + = + a). Lập quy trình bấm phím tính a n+1 b). Tính a n với n = 2, 3 , 4 , . . . 10 Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 8 . trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đề Chuyên đề 11 : DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 1. Dạng toán về dãy số : Phương. trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đề Tổng n số hạng đầu : ( ) n. 2 aa S n1 n + = ( d > 0 : cấp số tiến ; d < 0 : cấp số lùi )