3.6 Biểu diễn logic hình thức phương pháp chứng minh VD1 Bài toán khỉ - nải chuối • Tại(O,x): đối tượng O vị trí x Chương Kỹ thuật giải vấn đề (tiếp) Ban đầ B đầu: tại(A,4) , tại(B,3) , tại(C,1), tại(D,2) • Trên(O1,O2): đối tượng O1 nằm O2 Muốn: tại(B,2) , trên(C,B) , trên(A,C), trên(D,A) Lê Thanh Hương Khoa CNTT – ĐHBKHN A D C 1 B Logic mệnh đề (Propositional Logic) Hành động khỉ: • tại(A,x) ⇒ (A,y) • tại(A,x) ∧ tại(O,x) ⇒ tại(A,y) ∧ tại(O,y) • tại(A,x) ∧ tại(O,x) ⇒ trên(A,O) • tại(A,x) ∧ tại(O1,x) ∧ tại(O2,x) ⇒ trên(O1,O2) Các toán tử Các phép tốn logic • mệnh đề p phát biểu có nhận giá trị (true, T, 1) sai (false, F, 0) • Hội (∧ (∧, and, and và) • Tuyển (∨, or, hoặc) • Phủ định (¬,∼,not, khơng) • liên kết với tạo thành câu • Câu (well formed formulas – cơng thức ngữ pháp) • Kéo Ké th theo (()) Tng ng () Th t u tiờn: ∧ ∨ → ↔ – T F câu – Các biến mệnh đề câu: P, Q, R, S – Nếu φ ψ câu biểu thức sau câu: (φ), ¬φ, φ∨ψ, φ∧ψ, φ→ψ, φ↔ψ • Các biểu thức logic mệnh đề xây dựng tên mệnh đề phép toán logic theo quy tắc cú pháp định A∨B∧C A∨(B∧C) A∧B→C∨D (A∧B)→(C∨D) A→B∨C↔D (A→(B∨C))↔D Ngữ nghĩa Bảng chân lý • Ý nghĩa câu giá trị chân lý {T,F} Ví dụ P2,2 P3,1 P1,2 , , , false true false Một số luật đánh giá giá trị chân lý: ¬S S sai S1 ∧ S2 S1 S2 S1 ∨ S2 ế S1 S2 • Giá trị chân lý biểu thức tính dựa bảng g chân lý ý D thy ab ơab ơbơa ∀biểu thức logic mệnh đề đưa dạng biểu thức tương đương chứa phép ∧,¬,∨ ¬P1,2 ∧ (P2,2 ∨ P3,1) = true ∧ (true ∨ false) = true ∧ true = true Các phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi tương đương Hai câu có ý nghĩa tương đương giá trị đúng: Luật hấp thu: • (A ∨ (A ∧ B) ≡ A giao hốn • (A ∧ (A ∨ B)) ≡ A Các luật 0, 1: kết hợp • A∧0⇔0 • A∨1⇔1 • ¬1 ⇔ phủ định kộp tng phn A0A A1A ơ0 Lut bi trung: ơA A de Morgan Lut mõu thun: phõn phi ơA A ⇔ Hợp giải Hợp giải Dạng kết nối chuẩn (Conjunctive Normal Form - CNF) E.g., (A ơB) (B ơC ơD) Luật hợp giải (Các câu cần chuyển sang dạng kết nối chuẩn trước hợp giải) α∨β ¬β ∨ γ • Luật hợp giải cho CNF: m1 ∨ … ∨ m n l1 ∨… ∨ lk, l1 ∨ … ∨ li-1 ∨ li+1 ∨ … ∨ lk ∨ m1 ∨ … ∨ mj-1 ∨ mj+1 ∨ ∨ mn Chng minh KL: thờm ơKL vo CSTT xem có xung đột khơng • Áp dụng hợp giải đến xuất mâu thuẫn li mj bù E.g., P1,3 ∨ P2,2, ¬P2,2 P1,3 10 Chuyển đổi sang CNF Ví dụ B1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1) (A∨B)→(C→D) Loại bỏ phép ⇔, thay α ⇔ β ằ (α ⇒ β)∧(β ⇒ α) (B1,1 ⇒ (P1,2 ∨ P2,1)) ∧ ((P1,2 ∨ P2,1) ⇒ B1,1) Loại bỏ phép suy ¬(A∨B)∨(¬C∨D) Loại bỏ phép ⇒, thay α ⇒ β ¬α∨ β (¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬(P1,2 ∨ P2,1) ∨ B1,1) Đưa ¬ vào sử dụng luật de Morgan phủ định kép: (¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ ((¬P1,2 ∧ ¬P2,1) ∨ B1,1) Áp dụng luật phân phối phép ∧ : (¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬P1,2 ∨ B1,1) ∧ (¬P2,1 ∨ B1,1) 11 Chuyển phủ định vào ngoặc ( A B) ( C D) (¬A∧¬B)∨(¬C∨D) Phân phối (¬A∨¬C∨D)∧(¬B∨¬C∨D) 12 Thuật tốn hợp giải Robinson Ví dụ Chuyển đổi công thức sau dạng kết nối chuẩn: Chứng minh phản chứng: CSTT ∧¬KL khơng thoả mãn P ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) (¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q) ¬(P ⇒ Q) ∨ (P ∨ Q) (P ⇒ Q) ⇒ R (P ⇒(Q ⇒ R)) ⇒ ((P ∧ S) ⇒ R) (P ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ S P ∧ Q ⇒ R ∧ S 13 Thuật toán hợp giải Robinson Chứng minh phản chứng: CSTT ∧¬KL khơng thoả mãn Giả sử có GT1, GT2,…,GTn Cần CM KL → phản chứng GT1 … >< GTn ¬KL Viết GTi, ¬KL dòng Đưa GTi, ¬KL dạng chuẩn CNF ( 1∨…∨pn) ∧ (q (p ( 1∨…∨qn) (*) Tách dòng (*) thành dòng con: p1∨…∨pn q1∨…∨qn 15 14 Thuật toán hợp giải Robinson Xét cặp dòng u) ¬p∨q v) p∨r Hợp giải: w) q∨r Vơ lý xuất i) ¬t ii) t ⇒ đpcm 16 Ví dụ Ví dụ VD1: a a→b b→(c→d) c Chứng minh d VD3: p p→q q∧r∧s→t p→u v→w u→v v→t VD2: a∧b→c b∧c →d a b Chứng minh d VD4: ((a∨b)∧c)→(c∧d) ) ) ( ) (( a∧m∧d→f m→b∧c a→c (a∧f)→(¬e∨g) (m∧f)→g Cho a,m CM g Cho r,s CM t 17 Logic vị từ cấp (First Order Logic – FOL) Ví dụ 5 18 a1 ∨ a2 ⇒ a3 ∨ a4 a1 ⇒ a5 a2 ∧ a3 ⇒ a5 a2 ∧ a4 ⇒ a6 ∧ a7 a5 ⇒ a7 a1 ∧ a3 ⇒ a6 ∨ a7 • Cho mệnh đề ề a1, a2 • Đưa biểu thức logic dạng chuẩn • áp dụng phương pháp hợp giải Robinson, chứng minh a7 19 • Logic mệnh đề xử lý thông tin kiểu kiện sai “trời trời mưa” mưa • Với logic vị từ cấp 1, biến dùng thay cho đối tượng cụ thể • FOL cho phép biểu diễn đối tượng, thuộc tính đối tượng, quan hệ đối tượng • Vị từ p(x,…y) phát biểu chứa biến x,…y cho x,…y nhận giá trị cụ thể p(x,…y) nhận giá trị sai sai • VD Nếu p(x,y,z) nghĩa x.y = z tính chất giao hốn phép nhân x.y = y.x biểu diễn dạng ∀x,y p(x,y,z) ⇒ p(y,x,z) • Logic vị từ cấp sử dụng thêm toán tử ∃, ∀ 20 Chuyển đổi câu sang dạng logic vị từ Các phép biến đổi tương đương Loại bỏ dấu suy α↔β⇒(α→β)∧(β→α) β ( β) (β ) α→β⇒¬α∨β Chuyển phủ định vào ngoặc ¬(α∨β)⇒¬α∧¬β ¬(α∧β)⇒¬α∨¬β ¬¬α⇒α ¬∀x,α⇒∃x,¬α ∀x α⇒∃x α ¬∃x,α⇒∀x,¬α Đặt tên biến khác ∀x, ∃y,(¬P(x)∨∃x,Q(x,y))⇒∀x1,∃x2,(¬P(x1)∨∃x3,Q(x3,y2) 21 Hợp giải Robinson cho logic vị từ Phép gán trị VD: Định lý đường trung bình: r1: trđ(U,XY) trđ(U XY) ∧ trđ(V,XZ) trđ(V XZ) ⇒ ss(UV,YZ) ss(UV YZ) X U Y A V L Z D 22 I Viết GTi, ¬KL dòng Đưa GTi, ¬KL dạng chuẩn CNF ∀x1∀x2…∀xn [p1(…)∨…∨pn(…)] ∧ [q1(…)∨…∨qm(…)] (*) Tách dòng (*) ( ) thành dòng con: ∀x1∀x2…∀xn [p1(…)∨…∨pn(…)] ∀x1∀x2…∀xn [q1(…)∨…∨qm(…)] tất với ∀ Hợp giải: u) ¬p(x1,x2,…,xn) ∨ q(…) ⇒ w)) q( q(…)) ∨ r(…) ( ) với p phép pg gán trịị v) p(y1,y2,…,yn) ∨ r(…) z1 z1 = x1 , y1 , , xznn , yznn Vô lý xảy i) ¬p(x1,x2,…,xn) ii) p(y1,y2,…,yn) với phép gán trị 24 = z1 , z1 , , zn , zn { θ B Phép gán trị θ ={A/X,B/Z,D/Y,L/U,I/V}: • r1θ: trđ(L,AD) ∧ trđ(I,AB) ⇒ ss(LI,DB) 23 θ { x1 y1 xn yn } } Ví dụ bước Ví dụ bước (tiếp) • Sử dụng phép gỏn tr no hp gii P(a,x,b), v ơP(y,z,z) Sử dụng phép gán trị để hợp giải P(a,x,x,b), ¬P(y,y,z,b) ⎧ ⎫ Phép gán trị θ = ⎨ a , b , b ⎬ ⎩ y z x⎭ • P(a,b,b) • ¬P(a,b,b) 25 26 Ví dụ hợp giải Ví dụ bước (tiếp) • Cho ự kiện ệ p(a,b), p( , ), p( p(c,d), , ), q(d,c,c) q( , , ) g • Cho luật p(x,y) ∧ q(y,x,x) ⇒ r(x,y) • Sử dụng phép gán trị với luật trên, đưa kiện ∀x P ( x) → Q( x) ∀x ¬P( x) → R( x) ∀x Q( x) → S ( x) ∀x R ( x) → S ( x) Chuyển dạng chuẩn • Gợi ý: – Thử với ới p(x,y) ( ) ≡ p(a,b) ( b) h ặ p(x,y) ( ) ≡ p(c,d) ( d) Hợp giải 5.¬P( x) ∨ S ( x) Hợp giải 6.R( x) ∨ S ( x) ¬P( x) ∨ Q( x) P ( x ) ∨ R ( x ) ¬Q( x) ∨ S ( x) Hợp giải 7.S ( x) ¬ R ( x ) ∨ S ( x ) 27 28 Bài toán khỉ - nải chuối • tại(C,1) • tại(B,3) D • tại(A,4) C • tại(D,2) • tại(A,x) ⇒ (A,y) • tại(A,x) ∧ tại(O,x) ⇒ tại(A,y) ∧ tại(O,y) • tại(A,x) tại(A x) ∧ tại(O,x) tại(O x) ⇒ trên(A,O) trên(A O) • tại(A,x) ∧ tại(O1,x) ∧ tại(O2,x) ⇒ trên(O1,O2) KL: tại(B,2) ∧ trên(C,B) ∧ trên(A,C) ∧ trên(D,A) Bài tập • Cho tập phát biểu: A B – John owns a dog – Anyone who owns a dog is a lover of animals – Lovers of animals not kill animals • Chứng minh: – John does not kill animals ¬KL: ¬ tại(B,2) ∨ ¬ trên(C,B) ∨ ¬ trên(A,C) ∨ ¬ trên(D,A) 29 30 Nhận xét Bài tập • Nếu ếu xem e ột a lừa ừa dố dối người gườ khác ác kẻ ẻ bịp bợ bợm đồng tình với kẻ bịp bợm kẻ bịp bợm Trong tập thể có người nhút nhát đồng tình với kẻ lừa dối chắn có tên bịp bợm tính tình nhút nhát • Thuật giải Robinson vấp phải bùng nổ tổ hợp Có thể áp p dụng g heuristics: – – – – – Chiến lược ưu tiên biểu thức đơn Chiến lược đơn giản hóa biểu thức Chiến lược giảm số lần hợp giải Chiến lược thứ tự hợp giải Chiến lược tập tựa • Thuật giải Robinson áp dụng CM định lý tự động nhược điểm: – người không tư theo cách – bị ngữ nghĩa nội dung thông tin chuyển dạng câu CNF 31 32 3.7.1 Phương pháp thử sai (test & set) 3.7 Một số phương pháp GQVĐ khác • Phương pháp thử sai (test & set) • Phương pháp giải toán tổng quát (General Problem Solving - GPS) • Phương pháp thỏa mãn ràng buộc (Constraint S ti fi ti Method) Satisfication M th d) • • • Xuất phát từ n0 : Mở = {n0}; Đóng = ∅ Lan dần ầ xuống ố Bí quyết: thời điểm, chọn n ∈ Mở để xét: • • • • • Mở = queue: d(n) Mở = stack: d(n) ? TKCT: g(n) = c(n0,n) TKCT*: f(n) = g(n) + h(n) Thử sai: n ← get random(Mở) n0 Đóng (đã) n Γ(n) Đích 33 Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN 3.7.2 Phương pháp GPS 3.7.3 Phương pháp thỏa mãn ràng buộc Về lý thuyết tốt nhất, thực tế không tốt TKCT*: Lấy n ∈ Mở: f(n) = g(n) + h(n) GPS: • Với ∀n ∈ Mở, xác định khác biệt n Đích: • • • Mục đích: Tìm trạng thái tốn cho thỏa mãn tập ràng buộc Q trình tìm lời giải gồm phần: • – – Δ = {δ1, …, δm} Chọn khác biệt quan trọng δi Chọn biện pháp Oj phù hợp để giảm khác biệt δj cách: – Xác định tập phép biến đổi (tốn tử) khơng gian O={O1, …, On} – Xâyy dựng ự g ma trân M với cột ộ toán tử,, hàng g khác biệt: M = (mij), i=1÷m, j = 1÷n mij = Oj làm giảm δi ngược lại Tìm kiếm KGBT ràng buộc Tìm kiếm KGBT ban đầu Nội dung: Thực → tìm lời giải đầy đủ tất đường duyệt không cho kết 3 Cho đỉnh n ∈ MO Áp dụng luật suy dẫn với ràng buộc vào đỉnh chọn để sinh tất ràng buộc có Nế tập ràng b Nếu buộc ộc có mâ mâu th thuẫn ẫn → thông báo đường đ ờng vào ngõ cụt Nếu tập ràng buộc mô tả lời giải đầy đủ tốn → dừng, thơng báo “thành công” Ngược lại sang bước AD luật KGTT, tạo lời giải phận phù hợp với tập ràng buộc thời Thêm lời giải phận vào đồ thị tìm kiếm 35 Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN 34 Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN 36 Lê Thanh Hương – Khoa CNTT - ĐHBKHN