Chương 2: Quan hệ

Chơng 2. Quan hệ Chơng 2 Quan hệ I. Quan hệ 1. Định nghĩa Cho 2 tập hợp A, B khác rỗng. Tập con R A x B đợc gọi là một quan hệ từ tập A vào tập B. Tr- ờng hợp A = B, ta gọi R là quan hệ trên A. Nh vậy R là tập các cặp (a, b) với a A và b B. Nếu (a, b) R ta nói a có quan hệ với B và kí hiệu aRb. Nếu (a, b) R ta nói a không có quan hệ với B và kí hiệu a R b. Thông thờng ta hay nghiên cứu các quan hệ trên một tập nào đó (tức A = B) Chú ý : aRb không kéo theo bRa. Ví dụ 1 : Cho A = {1, 2, 3, 4} và R = {(1,3), (2,4)}. Khi đó R là một quan hệ trên A và 1R3, 2R4, 3 R 1, 2 R 4, . Cho A = {1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}, R = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} là một quan hệ từ A vào B và có thể đợc mô tả nh : aRb khi và chỉ khi a là số thứ tự của chữ cái b trong bảng chữ cái. Cho A là tập con ngời. Quan hệ R đợc định nghĩa : x,y A, xRy x và y có cùng quốc tịch. Ta cũng có thể dùng các kí hiệu cụ thể để biểu diễn quan hệ R. Ví dụ cho A là tập các số thực và R = {(x, y) R 2 | x = y }. Khi đó thay cho viết x R y ta có thể viết x = y, và nếu x không quan hệ với y, thay cho viết x R y ta có thể viết x y. Một quan hệ đợc định nghĩa với 2 phần tử a, b đợc gọi là quan hệ nhị nguyên. Có thể mở rộng định nghĩa này với n phần tử thành quan hệ n nguyên. Các quan hệ mở rộng này đợc nghiên cứu và áp dụng trong cơ sở dữ liệu quan hệ. 2. Các phơng pháp biểu diễn quan hệ 1. Phơng pháp định nghĩa : Theo 2 cách liệt kê mô tả tính chất 2. Phơng pháp ma trận 0-1 Cho A = {a 1 , a 2 , ., a n }, B = {b 1 , b 2 , ., bm} và R AxB là một quan hệ từ A đến B. Khi đó R có thể đợc biểu diễn bằng ma trận M R cấp n x m với phần tử hàng i cột j : m ij = 1 nếu a i R b j và bằng 0 nếu ngợc lại. M R đợc gọi là ma trận logic hay ma trận 0-1. Trờng hợp A = B nó sẽ là một ma trận vuông. Dễ dàng chứng minh đợc tính duy nhất của biểu diễn (tức là ánh xạ 1-1 giữa R và M R ). Ví dụ 2 : 1 Chơng 2. Quan hệ 3. Phơng pháp đồ thị Cho quan hệ R trên tập A = {a 1 , a 2 , ., a n }. Khi đó có thể biểu diễn R bởi 1 đồ thị G R có hớng : các đỉnh là các phần tử của tập A, và aRb khi và chỉ khi có một cung đi từ a đến b. Cung đi từ a đến a (trong trờng hợp aRa) đợc gọi là một khuyên. Cũng giống nh phép biểu diễn bằng ma trận ta dễ dàng chứng minh đợc tính duy nhất của biểu diễn (tức là ánh xạ 1-1 giữa R và G R ). Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để biểu diễn quan hệ trên một tập nào đó (A = B). Ví dụ tổng hợp : Cho A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Định nghĩa R bởi mô tả tính chất : R = {a, b A | aRb (a+1) mod b = 0} liệt kê : R = {(2,3), (3,2), (3,4), (4,5), (5,2), (5,3), (5,6), (6,7), (7,2), (7,4)} ma trân : 000101 100000 010011 001000 000101 000010 Đồ thị : 3. Các tính chất của quan hệ a. Định nghĩa Gọi R là quan hệ trên tập A, tức R A x A. R có tính chất : Phản xạ : Nếu a A ta có aRa Đối xứng : Nếu a, b A ta có aRb bRa Phản đối xứng : Nếu a,b A ta có (aRb bRa) (b = a) Bắc cầu : Nếu a, b, c A ta có aRb bRc aRc. Ví dụ 1 : Cho quan hệ S, T trên tập các số nguyên N nh sau : 2 số nguyên bất kỳ có quan hệ S với nhau nếu có tổng lẻ : aSb a+b lẻ. 2 số nguyên bất kỳ có quan hệ T với nhau nếu có tổng chẵn aTb a+b chẵn. Khi đó : S : không phản xạ, đối xứng, không phản đối xứng, không bắc cầu và T : phản xạ, đối xứng, không phản đối xứng, bắc cầu. Ví dụ 2 : Cho quan hệ S là cùng họ và T là tổ tiên con cháu Khi đó : S : phản xạ, đối xứng, không phản đối xứng, bắc cầu và 2 Chơng 2. Quan hệ T : không phản xạ, không đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu Ví dụ 3 : Nếu R đối xứng và bắc cầu thì phản xạ ? a A, lấy b A sao cho aRb, do đối xứng nên bRa, do bắc cầu nên aRa. Vậy a phản xạ (chứng minh sai vì có thể không tồn tại b). 2. Vài dấu hiệu nhận biết qua mat và dot Tính chất Ma trận Đồ thị Phản xạ đờng chéo chính = 1 mọi đỉnh đều có khuyên Đối xứng đối xứng qua đờng chéo chính không có cung 1 chiều Phản đối xứng Mọi cặp 1 đối xứng qua đờng chéo chính đều phải là đờng chéo của một hình vuông 1 (hai đỉnh còn lại nằm trên đờng chéo chính và bằng 1) Mọi cung 2 chiều đều phải có 2 đỉnh mút là 2 khuyên Bắc cầu nếu có đờng đi từ a đến b thì cũng có cung từ a đến b Ví dụ 4 : Lấy ví dụ tổng chẵn II. Quan hệ ngợc và quan hệ hợp thành 4. Quan hệ ngợc Cho R là một quan hệ từ tập A vào tập B. Quan hệ ngợc của R, đợc kí hiệu R -1 là một quan hệ từ tập B vào tập A và đợc định nghĩa : R -1 = {(b,a) | a A, b B và aRb}. Dễ thấy ma trận M R-1 biểu diễn quan hệ ngợc R -1 nhận đợc từ M R bằng cách đổi dòng và cột (ma trận chuyển vị). Đồ thị G R-1 nhận đợc từ G R bằng cách đổi chiều tất cả các cung. Ví dụ : Quan hệ cha con đổi thành con cha. Ví dụ liệt kê các cặp số. 5. Quan hệ hợp thành Cho quan hệ S từ A vào B và quan hệ T từ B vào C. Khi đó quan hệ hợp thành của 2 quan hệ S và T là quan hệ R đợc kí hiệu R = S.T và đợc định nghĩa : R = {(a, c) | a A, c C, b B sao cho aSb và bTc} Ví dụ : S = {(1,2), (2,3), (2,4), (3,4)}, T = {(1,1), (2,1), (4,3), (2,2), (1,4)} Khi đó R = S.T = {(1,1), (1,2), (2,3), (3,3)} Chú ý : S.T T.S = {(1,2), (2,2), (4,4), (2,3), (2,4)} Dễ dàng chứng minh (bài tập) M R = M S x M T 3 Chơng 2. Quan hệ III. Quan hệ tơng đơng 1. Định nghĩa Một quan hệ R là tơng đơng nếu nó thoả 3 tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Ví dụ 5 : Cùng họ aRb nếu (a-b) mod 7 = 0 Ngày tháng năm cùng thứ 2. Phân hoạch lớp tơng đơng Tập tất cả các phần tử tơng đơng của tập A tạo thành lớp tơng đơng. Lớp các phần tử tơng đơng có chứa a đợc kí hiệu [a] R . Định lý 1 : Cho R là một quan hệ tơng đơng. Các điều sau đây là tơng đơng i. a R b ii. [a] = [b] iii. [a] [b] Chứng minh : i. ii. : x [a] x R a, mặt khác a R b nên theo bắc cầu x R b x [b]. Tơng tự x [b] x [a]. Từ đó suy ra [a] = [b]. ii. iii. : do [a] (vì a [a] do tính phản xạ) nên kết quả là hiển nhiên. iii. i. : Do [a] [b] nên x [a] [b] x R a và x R b, do đối xứng và bắc cầu aRb. Phân hoạch tập hợp : Một họ các tập con rời nhau, phủ A đợc gọi là một phân hoạch của A. Ví dụ 6 : bằng liệt kê và bằng giản đồ Định lý 2 : Mỗi quan hệ tơng đơng trên A sẽ tạo nên một phân hoạch trên A và ngợc lại một phân hoạch của A sẽ xác định một quan hệ tơng đơng trên A. Chứng minh : Lấy tập con là lớp tơng đơng. Ngợc lại lấy quan hệ R là 2 phần tử cùng một tập con thì có quan hệ R với nhau. Ví dụ 7 : Lấy các ví dụ ở trên. Chú ý bản chất các lớp tơng đơng trong ví dụ mod 7 và ngày tháng năm. 4 Chơng 2. Quan hệ IV. Bao đóng bắc cầu 1. Bao đóng của một tập hợp đối với tính chất P Cho A là một tập hợp. B đợc gọi là bao đóng của A đối với tính chất P nếu : iv. B thoả tính chất P v. B chứa A (A B) vi. B là tập nhỏ nhất trong tất cả các tập thoả 2 điều trên (theo nghĩa nếu có C thoả tính chất P và chứa A thì C cũng chứa B). Vì quan hệ R cũng là một tập hợp nên ta cũng có thể xét bao đóng của R đối với tính chất nào đó. Chẳng hạn cho R là quan hệ có hoặc không có các tính chất phản xạ và đối xứng. Khi đó ta có thể xây dựng 2 quan hệ S và T là bao đóng của R và lần lợt có tính chất phản xạ, đối xứng. S và T đợc gọi là bao đóng phản xạ và bao đóng đối xứng của R. Dễ thấy : S = R {(a, a) | a A} (bao đóng phản xạ của R) T = R {(b, a) | (a, b) R} (bao đóng đối xứng của R) Ví dụ : Cho R = {(a,b) | a>b} có bao đóng phản xạ là {(a,b) | a b} và bao đóng đối xứng là {(a,b) | a b} 2. Bao đóng bắc cầu Trong thực tế việc sử dụng bao đóng bắc cầu là có ý nghĩa hơn so với bao đóng phản xạ và bao đóng đối xứng. Ví dụ cho một mạng truyền thông (a,b), (b,c), ta thấy a và c liên lạc đợc với nhau. Tuy nhiên đối với các mạng lớn việc trả lời câu hỏi a và c có liên lạc đợc với nhau hay không là không hiển nhiên. Để trả lời câu hỏi này ta cần xây dựng bao đóng bắc cầu của mạng trên, và việc xây dựng này cũng không đơn giản nh việc tìm bao đóng phản xạ và đối xứng của một quan hệ. Cần có một thuật toán hiệu quả cho việc xây dựng này. Tiết này sẽ xét đến việc xây dựng một thuật toán nh vậy. c. Định nghĩa bao đóng bắc cầu Định nghĩa bao đóng bắc cầu tơng tự trên, tức S là một bao đóng bắc cầu của quan hệ R nếu : i. S có tính chất bắc cầu ii. S chứa R iii. S là quan hệ nhỏ nhất trong số các quan hệ có tính bắc cầu và chứa R. Bao đóng bắc cầu của R đợc kí hiệu là [R]. Nh vậy nếu (a,b), (b,c) R thì (a,b), (b,c) [R] (vì R [R]), mặt khác [R] có tính bắc cầu nên (a,c) [R]. Từ đó, dựa trên các phần tử của [R] ta có thể trả lời đựoc câu hỏi liệu a và c có liên lạc đợc với nhau hay không ? Ví dụ : Cho A = {a, b, c, d} và R = {(a, b), (b, c)}. Xét các quan hệ : R 1 = {(a,b), (a,c), (c,d)} không chứa R R 2 = {(a,b), (b,c), (a,d)} chứa R nhng không bắc cầu R 3 = {(a,b), (b,c), (a,c)} chứa R và bắt cầu và nhỏ nhất R 4 = {(a,b), (b,c), (a,c), (d,a)} chứa R và bắt cầu nhng không nhỏ nhất 5 Chơng 2. Quan hệ Vậy R 3 là bao đóng bắc cầu của R. (Tơng tự có thể thấy {(a, b), (b, c), (a, a), (b, b), (c, c), (d, d)} và {(a, b), (b, c), (b, a), (c, b)} lần l- ợt là các bao đóng phản xạ và bao đóng đối xứng của R). 4. Quan hệ liên thông của quan hệ R Cho quan hệ R trên tập A. Dãy phần tử a 0 , a 1 , , a k đợc gọi là đờng đi trong R và có độ dài là k nếu (a i , a i+1 ) R, i = 0 k-1. Nếu a 0 a k thì đờng đi đợc gọi là chu trình. Nh vậy mỗi phần tử của A có thể xuất hiện nhiều lần trong một đờng đi. Liên hệ với đồ thị của quan hệ R, đờng đi a 0 , a 1 , , a k tơng ứng với dãy các cung liên tiếp xuất phát từ a 0 và kết thúc tại a k , trong đó các đỉnh và thậm chí các cung có thể lặp lại một số lần. Độ dài của đờng đi chính là số cung của đờng. Định lý 3 : Cho R là một quan hệ trên A. Có một đờng đi độ dài k từ a đến b (a, b A) nếu và chỉ nếu (a, b) R k , trong đó kí hiệu R k để chỉ quan hệ hợp thành R.RR (k lần). Từ đó : R k = {(a,b) | a, b A và tồn tại đờng đi độ dài k từ a đến b}. Chứng minh : bằng qui nạp. Quan hệ liên thông của quan hệ R (và đợc kí hiệu là R*) là quan hệ chứa các cặp (a, b) sao cho có ít nhất một đờng đi nối a và b trong R. Có nghĩa (a,b) R* nếu có tồn tại số nguyên dơng k sao cho (a,b) R k (tức có đờng đi độ dài k từ a đến b). Ví dụ : Quan hệ bắt tay, quan hệ chung biên giới. Từ định nghĩa trên ta thấy : R* = = 1k k R 3. Thuật toán tìm bao đóng bắc cầu Định lý 4 : R là quan hệ bắc cầu nếu và chỉ nếu R k R, k. Chứng minh : Giả thiết R là bắc cầu. Ta chứng minh bằng qui nạp. Bớc cơ sở : Với k = 1, định lý đúng. Bớc qui nạp : Giả thiết định lý đúng với k > 1. Lấy (a,b) R k+1 khi đó theo định nghĩa của quan hệ hợp thành ta có c a sao cho (a,c) R k và (c,b) R. Theo giả thiết qui nạp (a,c) R cùng với (c,b) R và R bắc cầu nên (a,b) R. Vậy R k R. Ngợc lại, giả thiết R k R (k), tức R 2 R. Lấy (a,b), (b,c) R (a,c) R 2 R. Từ đó R là bắc cầu. Định lý 5 : Cho R là quan hệ trên A. Khi đó [R] = R*. 6 Chơng 2. Quan hệ Chứng minh : Để chứng minh định lý ta cần chứng minh i) R* bắc cầu ii) R* R iii) R* S với mọi S bắc cầu và chứa R i. Lấy (a,b), (b,c) R*. Khi đó hiển nhiên có đờng đi (nối của 2 đờng) từ a đến c, do vậy (a, c) R* tức R* có tính bắt cầu. ii. Hiển nhiên iii. Do S bắc cầu nên theo định lý 4 ta có S k S với mọi k. Do đó S* S. Mặt khác R S nên R* S* S. Định lý 6 : Cho R là quan hệ trên A có |A| = n, khi đó R* = = 1ki k R = n 1ki k R = Chứng minh : Hiển nhiên R* n 1ki k R = . Ngợc lại lấy (a,b) R*. Theo định nghĩa tồn tại k và đờng đi có độ dài k từ a đến b. Nếu k n định lý hiển nhiên thoả. Nếu k > n theo nguyên lý Dirichlet sẽ có điểm trùng nhau. Cắt bỏ chu trình chứa điểm lồng nhau này và tiếp tục ta có thể nhận đợc đờng với độ dài không vợt quá n -1 (nếu a b) hoặc không vợt quá n (nếu a = b). Do đó (a,b) n 1ki k R = . Từ đó R* n 1ki k R = . Định lý đợc chứng minh. Tóm lại theo định nghĩa của quan hệ liên thông ta có bao đóng bắc cầu của quan hệ R là R R 2 . R n . Dễ thấy ma trận của bao đóng bắc cầu chính là hợp của các ma trận trên. Từ đó ta có thể xây dựng thuật toán tìm bao đóng bắc cầu của một quan hệ R nh sau. Procedure Bao_đóng_bắc_cầu(M R : ma trận 0-1 n x n) Begin A := M R ; B := A For i = 2 to n do Begin A = A.M R ; B = B A; End; End {B là ma trận kết quả}. Ví dụ : Cho quan hệ R trên tập {a,b,c} gồm {(a,a), (a,c), (b,b), (c,a), (c,b)} không bắc cầu. áp dụng thuật toán trên ta đợc [R] = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (c,a), (c,b), (c,c)}. Số các phép toán bit cần có để tính A = A.M R là n 3 , để tính B = B A là n 2 . Số vòng lặp là n - 1. Do vậy số phép tính là : (n-1)(n 3 + n 2 ). Ghi chú : Để mô tả độ lớn của hàm T(n) (n nguyên không âm) ta sử dụng kí hiệu T(n) = O(f(n)) (T(n) là ô lớn của f(n)) nếu và chỉ nếu : c > 0 : T(n) cf(n) từ một n 0 nào đó. Điều này cũng có nghĩa f(n) là cận trên của T(n). Ví dụ O(1): hằng số, O(n): tuyến tính, O(n 2 ): bình phơng, O(logn): lôga, O(2 n ): hàm mũ . 7 Chơng 2. Quan hệ Quay lại thuật toán trên có thể thấy số phép toán bit cần có để tìm bao đóng bắc cầu của quan hệ R trên tập có n phần tử là T(n) = (n-1)(n 3 + n 2 ) = O(n 4 ), tức số phép tính tăng theo hàm luỹ thừa 4. Sau đây ta sẽ đa ra một thuật toán khác hiệu quả hơn để tìm bao đóng bắc cầu. 4. Thuật toán Warshall (Stephen Warshall, 1960) Cho R là quan hệ trên A = {a 1 , a 2 , ., a n }. Cho đờng đi từ a đến b : a, v 1 , v 2 , ., v m , b. Khi đó v 1 , v 2 , ., v m là các đỉnh trong của đờng đi trên và đợc kí hiệu : a b <v 1 , v 2 , ., v m > (a và b cũng có thể là đỉnh trong nếu nó xuất hiện bên trong trừ 2 mút). Xây dựng dãy ma trận W 0 , W 1 , ., W n thoả : W 0 = M R W k = [w ij (k) ] trong đó w ij (k) = 1 nếu a i a j <a 1 , a 2 , ., a k > Dễ thấy W n = M R * (bài tập), do vậy W n là bao đóng bắc cầu của R. Nh vậy để tìm bao đóng bắc cầu của R ta xây dựng dãy các ma trận W ở trên bắt đầu từ M R và kết thúc ở W n . Trớc khi xây dựng W k+1 từ W k ta có nhận xét sau : điều kiện cần và đủ để a i a j <a 1 , a 2 , ., a k > là : hoặc a i a j <a 1 , a 2 , ., a k-1 > (tức có sẵn đờng đi từ a i đến a j mà không dùng a k ) hoặc a i a k <a 1 , a 2 , ., a k-1 > và a k a j <a 1 , a 2 , ., a k-1 > (chia thành 2 đờng qua a k ) Từ đó phần tử w ij (k) của ma trận W k đợc xây dựng thông qua các phần tử w ij (k-1) của W k-1 nh sau : w ij (k) = w ij (k-1) (w ik (k-1) w kj (k-1) ). Ta có thuật toán : Procedure BĐBC(MR : ma trận 0-1 (nxn) của quan hệ R) Begin W = M R ; For k = 1 to n do Begin For i = 1 to n do For j = 1 to n do w ij = w ij (w ik w kj ) End; End {quan hệ đợc biểu diễn bởi W là bao đóng bắc cầu của R}; Ví dụ : cho quan hệ R trên tập {1,2,3,4} gồm {(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,3)}. Theo thuật toán Warshall ta tìm đợc : [R] = W4 = {(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,3),(3,4),(4,1),(4,3),(4,4)} Dễ thấy số phép toán bit là 2n 3 = O(n 3 ). 8 Chơng 2. Quan hệ Bài tập I. tính chất của Quan hệ 1. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị : a. aRb a + b = 2k b. aRb a b = 3k (k N ) c. aRb a mod 3 > b mod 3 2. Biểu diễn quan hệ sau (trên tập A = {, {{, {{}}, {, {}}, {, {}, {{}}}) bằng các phơng pháp : liệt kê, ma trận, đồ thị : a. {(a, b) : a,b A và a = b} b. {(a, b) : a,b A và a b} c. {(a, b) : a,b và a b} d. {(a, b) : a,b A và b = P(a)} 3. Các quan hệ R sau đây (trên tập con ngời) thoả những tính chất nào trong các tính chất : phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu nếu (a,b) R, khi và chỉ khi a. a cao hơn b ? b. a và b sinh cùng ngày ? c. a và b cùng tên ? d. a và b có cùng ông ? 4. Với câu hỏi trên, ở đây quan hệ R (trên tập số nguyên) đợc xác định : a. Là quan hệ khác nhau () b. Là quan hệ đồng d modulo 7 ((mod 7)) c. xy 1 d. x = y + 1 hay x = y 1 e. x là bội số của y f. x và y cùng âm hoặc cùng không âm g. x = y 2 h. x y 2 5. Có bao nhiêu quan hệ từ tập m phần tử vào tập n phần tử ? 6. Có bao nhiêu quan hệ trên tập n phần tử là : a. Phản xạ b. Đối xứng c. Phản đối xứng d. Phản xạ và đối xứng Lời giải : Tổng số quan hệ trên tập n phần tử là 2 n . 9 Chơng 2. Quan hệ a. Là số ma trận cấp n (n 2 phần tử), trong đó n phần tử trên đờng chéo là 1 và n(n-1) phần tử còn lại là 0 hoặc 1. Do đó, số ma trận nh vậy là 2 n(n-1) . b. Là số ma trận cấp n đối xứng qua đờng chéo chính, do đó có n(n+1)/2 phần tử (là số phần tử nửa dới đờng chéo chính + số phần tử của đờng chéo chính) có thể chọn 0 hoặc 1. Số ma trận nh vậy là 2 n(n+1)/2 c. Ma trận của quan hệ phản đối xứng thoả : Mỗi một trong n phần tử trên đờng chéo chính nhận 1 trong 2 khả năng 0 hoặc 1. Số khả năng là 2 n Mỗi một trong (n 2 n)/2 cặp điểm đối xứng còn lại sẽ nhận 1 trong 3 khả năng (0,0), (0,1), (1,0), số khả năng là 3 n(n-1)/2 . Do vậy, theo qui tắc nhân ta có số quan hệ phản đối xứng là 2 n .3 n(n-1)/2 . d. Là số ma trận có đờng chéo chính là vectơ đơn vị, (n 2 n)/2 cặp các các phần tử đối xứng còn lại nhận 1 trong 2 khả năng (0,0) hoặc (1,1), do vậy số quan hệ này là 2 n(n- 1)/2 . 7. Có bao nhiêu quan hệ bắc cầu trên tập n phần tử với n = 1, 2, 3 ? Lời giải : Với n = 1 có 2 quan hệ bắc cầu : và { (a,a) } Với n = 2 có 16 quan hệ. Trong đó, có 3 quan hệ không thoả mãn tính bắc cầu đó là các ma trận có cặp phần tử đối xứng (1,2) và (2,1) nhận giá trị 1 và (1,1) hoặc (2,2) không nhận giá trị 1. Vậy số quan hệ bắc cầu là 13. Với n = 3, có 512 quan hệ. Ta cần tính số quan hệ không bắc cầu. Chia làm 2 trờng hợp : a. Có 2 phần tử quan hệ với nhau, ví dụ (1,2) và (2,1) nhng không xảy ra (1,1) và (2,2) : Gọi A, B, C lần lợt là tập ma trận có : A : (1, 2), (2, 1) R và (1, 1), (2, 2) R B : (2, 3), (3, 2) R và (2, 2), (3, 3) R C : (3, 1), (1, 3) R và (3, 3), (1, 1) R Theo nguyên lý bù trừ ta có : |A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |B C| - |C A| + |A B C|. trong đó : |A| = |B| = |C| = 3*2 5 = 96. |A B| = |B C| = |C A| = 5*2 2 = 20. |A B C| = 3 (hình 1) Vậy tổng ma trận trong trờng hợp này là 3*96 3*20 + 3 = 221 ? 1 * ? 1 * ? 1 1 1 ? * 1 ? 1 1 ? 1 * * * * 1 ? 1 1 ? A A B A B C 10 . chẵn II. Quan hệ ngợc và quan hệ hợp thành 4. Quan hệ ngợc Cho R là một quan hệ từ tập A vào tập B. Quan hệ ngợc của R, đợc kí hiệu R -1 là một quan hệ từ. dụ : Quan hệ cha con đổi thành con cha. Ví dụ liệt kê các cặp số. 5. Quan hệ hợp thành Cho quan hệ S từ A vào B và quan hệ T từ B vào C. Khi đó quan hệ hợp