Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghóa H ÌNH H ỌC 11 Ch ương QUAN HỆ SONG SONG www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song MỤC LỤC §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A.Tóm tắt giáo khoa B.Giải toán Dạng : Xác đònh mặt phẳng :dùng điều kiện xác đònh mặt phẳng Dạng : Xác đònh giao tuyến hai mặt phẳng Dạng : Xác đònh giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Dạng : Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng Dạng : Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Dạng : Tập hợp giao điểm M đường thẳng a b di động Dạng 7: Thiết diện ( mặt cắt) hình (H) cắt mp(P) 5 8 10 C.Bài tập rèn luyện 10 D.Hướng dẫn giải 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 A Tóm tắt giáo khoa 14 B.Giải toán 14 C.Bài tập rèn luyện 15 D Hướng dẫn giải 15 §3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 16 A.Tóm tắt giáo khoa 16 B Giải toán 17 C Bài tập rèn luyện 18 D Hướng dẫn giải 19 §4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 19 A Tóm tắt giáo khoa 19 B.Giải toán 22 C Bài tập rèn luyện 24 D Hướng dẫn giải 25 www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song §5 PHÉP CHIẾU SONG SONG 26 A Tóm tắt giáo khoa 26 B Giải toán 27 C Bài tập rèn luyện 28 D.Hướng dẫn giải 28 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CUỐI CHƯƠNG 29 Bảng trả lời 31 Hướng dẫn giải 31 www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG §1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng A.Tóm tắt giáo khoa Mở đầu hình học không gian Hình học không gian môn học nghiên cứu tính chất hình không nằm mặt phẳng Đối tượng hình học không gian :điểm ,đường thẳng ,mặt phẳng a A P Điểm A thuộc mp(P) : A ∈ mp(P) Điểm A không thuộc mp(P) : A ∉ mp(P) Các tính chất thừa nhận hình học không gian Tính chất thừa nhận : Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất thừa nhận : Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tính chất thừa nhận : Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Tính chất thừa nhận : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng đó,đđường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất thừa nhận : Trên mặt phẳng ,các kết biết hình học phẳng Đònh lí : Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng Điều kiện xác đònh mặt phẳng a) Một mặt phẳng xác đònh biết qua ba điểm không thẳng hàng b) Một mặt phẳng xác đònh biết qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng c) Một mặt phẳng xác đònh biết qua hai đường thẳng cắt b A A P O a C B P a P Hình chóp hình tứ diện Hình chóp : Cho đa giác phẳng A1A2 An điểm S không thuộc mặt phẳng đa giác Hình gồm n tam giác SA1A2 , , SAnA1 đa giác phẳng A1A2 An gọi hình chóp kí hiệu S.A1A2 .An • S đỉnh Đa giác A1A2 An mặt đáy Các cạnh mặt đáy cạnh đáy www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song • • Các đoạn thẳng SA1, SA2 , ,SAn cạnh bên Các tam giác SA1A2 , , SAnA1 mặt bên S S S A5 A A D B A1 C C Hình chóp tam giác A4 A2 B Hình chóp tứ giác A3 Hình chóp ngũ giác Hình tứ diện : Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD BCD gọi hình tứ diện hay tứ diện kí hiệu ABCD • Tứ diện coi hình chóp tam giác bốn cách,mặt mặt đáy • Tứ diện có bốn mặt tam giác gọi tứ diện B.Giải toán Dạng : Xác đònh mặt phẳng :dùng điều kiện xác đònh mặt phẳng Ví dụ 1: Cho điểm A,B,C,D không đồng phẳng Chứng minh điềm không thẳng hàng Giải Nếu điểm chẳng hạn A,B,C thẳng hàng điểm D đường thẳngABC xác đònh mặt phẳng ,điều trái với giả thiết điểm A,B,C D không đồng phẳng Ví dụ : Cho ba đøng thẳng a,b,c không đồng phẳng cắt đôi Chứng minh chúng đồng qui Giải Gọi O giao điểm hai đường thẳng a b Đường thẳng c phải qua O c không qua O c cắt a tai A khác O cắt b B khác O c nằm mp(a,b)vì c có hai điểm A B thuộc mp(a,b).Điều trái với giả thiết a,b,c không đồng phẳng Dạng : Xác đònh giao tuyến hai mặt phẳng Ta tìm hai điểm chung A, B Giao tuyến đường thẳng AB Để tìm điểm chung A α β , ta chọn đường thẳng a α đường thẳng b β cho a b cắt A (Điều kiện cần a b nằm mặt phẳng thứ ba) www.saosangsong.com.vn b a Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song Tìm giao tuyến : a) Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) b) Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) c) Hai mặt phẳng (MBC ) (SAN) với M trung điểm SA N trung điểm BC Giải a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD mặt đáy ABCD : O thuộc AC nên O thuộc mp(SAC) O thuộc BD nên O thuộc mp(SAD) Do hai mặt phẳng (SAC) (SBD) có hai điểm chung S O Vậy SO = (SAC) ∩ (SBD) b) Theo giả thiết hai cạnh đối AB CD cắt E Do hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có hai điểm chung S E Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD) c) M trung điểm SA nên M ∈ mp(SAN) M ∈ mp(MBC) N trung điểm BC nên N ∈ mp(MBC) N ∈ mp(SAN) Vậy MN = (MBC) ∩ (SAN) S A M M B A N N O D C E B D O C E Ví dụ : Cho thứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh cạnh AC cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tai E.Gọi O điểm tam giác BCD a) Tìm giao tuyến hai mp(OMN) mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(OMN) mp(ACD) Giải a) E ∈ BC nên E ∈ mp(BCD) E ∈ MN nên E ∈ mp(OMN) O điểm chung thứ hai hai mặt phẳng Vậy OE = mp(OMN) ∩ mp(BCD) b) Hai mặt phẳng (OMN) mp(ACD) có N chung N ∈ AC Đường thẳng OE cắt BD F Đường thẳng MF cắt AD I nằm mp(ABD) giả sử không song song I ∈ MF nên I ∈ mp(OMN) I ∈ AD nên I ∈ mp(ACD) Vậy NI = mp(OMN) ∩ mp(ACD) www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Hoặc : OE cắt CD K NK = mp(OMN) ∩ mp(ACD) Dạng : Xác đònh giao điểm đường thẳng với mặt phẳng • • a Muốn tìm giao điểm đường thẳng a với mặt phẳng (P) ta tìm giao điểm đường thẳng a với đường thẳng b nằm mp(P) Đường thẳng b phải tìm thường giao tuyến (P) mặt phẳng (Q) chứa a (P) Q b Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AC BC O điểm tam giác BCD.Tìm giao điểm : a) CD mp(OMN) b) AD mp(OMN) Giải a) NO CD nằm mp(BCD) giả sử cắt tai E Vậy CD ∩ mp(OMN) = { E} b) Ta có mp(OMN) ∩ mp(ACD) = ME Trong mp(ACD) , AD ME cắt tai F Vậy AD ∩ mp(OMN) = { F } A S M M F E D I C D B O O N A N B C Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành.Gọi M trung điểm SC , a) Tìm giao điểm I AM với mp(SBD) tính IA IM b) Gọi N trung điểm AB Tìm giao điểm E MN với mp(SBD) Chứng minh EM = EN c) Tìm giao điểm SD với mp(ABM) Giải a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD.Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM SO giao I Mà I ∈ SO SO nằm mặt phẳng SBD nên I ∈ mp(SBD) Vậy AM ∩ mp(SBD) = { I } I trọng tâm tam giác SBD nên IA =2 IM b) Ta thấy BI = mp(SBD) ∩ mp(ABM) Do BI cắt MN F Vậy MN ∩ mp(SBD) = { E} www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Xét tam giác AMN ta có IA = IM (chứng minh trên) Do gọi F trung điểm AI NF song song với BI (đường trung tam giác ABI.Trong tam giác MNI ta có EI song song với NF I trung điểm MF nên E trung điểm MN c) Trong tam giác SBD đường thẳng BI cắt SD H H ∈ mp(ABM) Vậy SD ∩ mp(ABM) H Dạng : Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng Ta chứng minh chúng ba điểm chung hai mặt phẳng phân biệt cắt Ví dụ : Cho tứ diện ABCD.Lần lượt lấy cạnh AB,AC,AD điểm M,N,P cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC A’, đường thẳng NP cắt đường thẳng CD B’ đường thẳng MP cắt đường thẳng BD C’ Chứng minh ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng Giải Ta có A’ ∈ MN nên A’ ∈ mp(MNP) A’ ∈ BC nên A’ ∈ mp(BCD) Tương tự B’ C’ điểm chung hai mp(MNP) mp(BCD) Vậy ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng giao tuyến hai mặt phẳng MNP BCD A A M P D B C' Gb G D N B C Ga A' M B' C Dạng : Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Có cách : • • chứng minh đường thẳng không đồng phẳng cắt đôi chứng minh đường thẳng cắt giao điểm chúng đừơng thẳng thứ ba Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD Gọi Ga , Gb , Gc trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABC Chứng minh AGa BGb cắt Suy ba đường thẳng AGa , BGb CGc đồng qui Giải Gọi M trung điểm CD BM trung tuyến tam giác BCD nên trọng tâm Ga ∈ BM AM trung tuyến tam giác ACD nên trọng tâm Gb ∈ AM Trong tam giác ABM hai đoạn AGa BGb cắt G Chứng minh tương tự ba đường thẳng AGa , BGb CGc không đồng phẳng cắt đôi ,vậy chúng đồng qui G www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A’, B’ ,C’, D’ Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng A’C’, B’D’ SO đồng qui Giải Trong mặt phẳng (P) hai đường chéo A’C’ B’D’ cắt O’ Ta có : (SAC) ∩ (SBD) = SO Mà O’ ∈ A’C’ A’C’ nằm mp(SAC) nên O’ ∈ mp(SAC) O’ ∈ B’D’ B’D’ nằm mp(SBD) nên O’ ∈ mp(SBD) Vậy O’ ∈ SO giao tuyến hai mặt phẳng Suy A’C’ , B’D’ So đồng qui M a b Dạng : Tập hợp giao điểm M đường thẳng a b di động • Tìm mặt phẳng (P) cố đònh chứa a mặt phẳng (Q) cố đònh chứa b M di động giao tuyến d (P) v (Q) Xét giới hạn có • • Ví dụ 10: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d1 d2 cắt O.Điểm M di động đường thẳng d không nằm mặt phẳng (P) không quaO Tập hợp đường thẳng OM làmặt phẳng cố đònh nào? Giải Điểm O cố đònh đường thẳng d cố đònh không qua O xác đònh mặt phẳng (O,d) Điểm M ∈ d nên OM nằm mặt phẳng cố đònh (O,d) A MM d E D O P N O D B I F M C Ví dụ 11 : Cho tứ diện ABCD Gọi E F hai điểm cố đònh cạnh AB AC cho EF không song song với BC.Điểm M di động cạnh CD a) Xác đònh giao điểm N mp(MEF) với BD b) Tìm tập hợp giao điểm I EM FN Giải a) EF không song song với BC nên cắt BC K.Trong tam giác BCD đường thẳng KM cắt BD N.Vậy N giao điểm mp(MEF) với BD b) Ta có I ∈ EM EM nằm mp(ECD) cố đònh nên I ∈ mp(ECD) I ∈ FN FN nằm mp(FBD) cố đònh nên I ∈ mp(FBD) Vậy I ∈ giao tuyến hai mp(ECD) (FBD) Gọi G giao điểm BF CE I ∈ DK giao tuyến hai mp(ECD) vàmp(FBD) Giới hạn : M di động đoạn CD I di động đoạn DG Phần đảo : Gọi I điểm tùy ý đoạn DG EI cắt CD M FI cắt BD N Vậy I giao www.saosangsong.com.vn Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song 10 điểm EM FN P Dạng 7: Thiết diện ( mặt cắt) hình (H) cắt mp(P) • Thiết diện phần chung mp(P) hình (H) • Xác đònh thiết diện xác đònh giao tuyến mp(P) với mặt hình (H) Thường ta xác đònh giao tuyến (P) mặt ( tìm điểm chung) Sau kéo dài giao tuyến ta tìm điểm chung khác với mặt khác Từ tìm giao tuyến Đa giác giới hạn đoạn giao tuyến khép kìm thành thiết diện cần tìm L M N Trong hình bên, tam giác MNL thiết diện mặt phẳng (P) hình chóp Ví dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểm A’ cạnh SA Xác đònh thiết diện mp(A’CD) với hình chóp Giải Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD mặt đáy Trong tam giác SAC, SO cắt A’C O’.Trong tam giác SBD , DO’ cắt SB B’ Vậy thiết diện hình chóp với mp(A’CD) tứ giác A’B’CD S A' B' C.Bài tập rèn luyện D I A 2.1 Hình chóp có đáy lục giác có mặt bên cạnh 2.2 Cho tứ diện ABCD.Lần lượt lấy cạnh AB,AC BD điểm M.N,P cho MN cắt BC E AD cắt MP F a) Xác đònh giao tuyến hai mp(MNP) mp(BCD) Xác đònh giao tuyến hai mp(MNP) mp(ACD) b) Chứng minh CD, EP NF đồng qui O B C 2.3 Cho hình chóp S.ABCD ,giả sử AD BC cắt E Gọi I J trung điểm SA SB , điểm M lưu động cạnh SD a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) mp(SBC) Tìm giao tuyến hai mp(SAC) (SBD) b) Tìm giao điểm N SC với mp(MIJ) c) Tìm tập hợp giao điểm H IN JM 2.4 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB N cạnh AD cho MN BD không song song Gọi O điểm tam giác BCD.Tìm giao tuyến mp(OMN) với mp(BCD), mp(ABC) mp(ACD) 2.5 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm P đường thẳng BD không thuộc đoạn BD Trong mp(ABD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh AB AD E F Trong mp(BCD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh BC CD M N a) Bốn điểm E,F,M,N có thuộc mặt phẳng không? www.saosangsong.com.vn