CHƯƠNG 2 QUAN HỆ SONG SONG

CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG A LÝ THUYẾT I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ in hoa chữ Hy Lạp đặt dấu ngoặc () Ví P , Q ,  ,  dụ mặt phẳng         … Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn Đường thẳng mặt phẳng tập hợp điểm Do đó, - Nếu điểm A thuộc đường thẳng a , ta kí hiệu A �a đơi nói đường thẳng a qua điểm A  A �    - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng   , ta kí hiệu đơi nói mặt phẳng   qua điểm A  a �   - Nếu đường thẳng a mặt phẳng   , ta kí hiệu đơi nói mặt phẳng    qua (hoặc chứa) đường thẳng a Quy tắc để vẽ hình biểu diễn hình khơng gian - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt Hai đoạn thẳng song song phải vẽ song song Trung điểm đoạn thẳng phải lấy điểm đoạn thẳng - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian - Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Như vậy, mặt phẳng không gian xác định cách thức sau: ABC  - Mặt phẳng qua điểm khơng thẳng hàng A, B, C Kí hiệu mp  a A - Mặt phẳng qua đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng a Kí hiệu: ; mp ( A, a) a, b  - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt a b Kí hiệu, mp  - Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song a , b - Tính chất 3: Trong khơng gian có bốn điểm không thuộc mặt phẳng - Tính chất 4: Trong khơng gian, hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng - Tính chất 5: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Tính chất 6: Trong mặt phẳng không gian, kết biết hình học phẳng 3.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng khơng gian a) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng    Có thể xãy khả sau: Cho đường thẳng d mặt phẳng    khơng có điểm chung Trong trường hợp ta nói - Đường thẳng d mặt phẳng    , kí hiệu d / /    đường thẳng d song song với mặt phẳng    có điểm chung Trong trường hợp ta - Đường thẳng d mặt phẳng    A , kí hiệu: d �     A nói ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng    có nhiều điểm chung.Trường hợp - Đường thẳng d mặt phẳng    ta kí hiệu: d �   hay ta nói đường thẳng d nằm mặt phẳng    �d b) Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng phân biệt sau:   Có thể xảy khả       điểm chung Trong trường hợp ta nói       song song với nhau, kí hiệu    / /    mặt phẳng - Hai mặt phẳng       có điểm chung Trong trường hợp ta       có phần chung đường thẳng, giả sử đường nói mặt phẳng    �    d thẳng d , ta kí hiệu - Hai mặt phẳng Đường thẳng d gọi giao tuyến hai mặt phẳng Như vậy, việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt Ngồi ra, biết ba điểm phân biệt thuộc đồng thời hai mặt phẳng ba điểm phải nằm thẳng c) Vị trí tương đối hai đương thẳng: Cho hai đường thẳng phân biệt a b Có thể xảy khả sau: - Các đường thẳng a b thuộc mặt phẳng Khi a b cắt điểm hoạc song song với - Các đương thẳng a b khơng nằm mặt phẳng Trong trường hợp ta nói đường thẳng a b chéo Hình chóp hình tứ diện Hình chóp: Trong mặt phẳng  , cho đa giác lồi lượt nối S với đỉnh A1, A2, , An A1, A2 , , An n tam giác A1A2 An    Lấy điểm S nằrm mặt phẳng để n tam giác SA1A2, SA2 A3, , SAnA1 SA1A2 , SA2 A3, , SAn A1 Lần Hình gồm đa giác gọi hình chóp kí hiệu S.A1A2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1, A2, , An mặt đáy, tam giác bên hình chóp, Các đoạn thẳng SA1, SA2, , SAn SA1A2, SA2 A3, , SAn A1 gọi mặt gọi cạnh bên, cạnh đa giác A1A2 An cạnh đáy hình chóp -Cách gọi tên: Hình chóp + tên đa giác - Ví dụ: hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác… Lưu ý: Hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên nhaulaf hình chóp đa giác b) tứ diện: Tứ diện ABCD hình thành lập từ bốn điểm không đồng phẳng A, B,C, D Các điểm A, B,C, D đỉnh tứ diện, tam giác BCD, ACD, ABD, ABC gọi mặt tứ diện đối diện với đỉnh A, B, C , D đoạn thẳng AB, BC,CD, DA,CA, BD gọi cạnh tứ diện Trong cặp cạnh AB CD , AC DB, AD BC thường gọi cặp cạnh đối tứ diện B CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIŨA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng hai điểm thuộc hai mặt phẳng Lưu ý:     ta tiến hành tìm       thường tìm cách: Chọn Một điểm chung hai mặt phẳng    cho giao tuyến 1 ,        với    dựng mặt phẳng  ,    ) điểm chung cần tìm Giao điểm I ( Ta thường chứng minh ba điểm thẳng hàng cách chứng minh ba điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng + Ta chứng minh bà đường thẳng đồng quy cách: Cách 1: Hai ba đường thẳng cắt nằm hai mặt phẳng nhận đường thứ ba làm giao tuyến Cách 2: Tìm đoạn thẳng AB đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng lại chia đoạn AB theo tỉ số đại số  DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG  VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: + Nếu phát đường thẳng d mặt phẳng  giao điểm  với mặt phẳng  cắt  I I + Nếu chưa phát đường thẳng d ta dựng d cách: Chọn mặt    chứa  cho giao tuyến       dựng ngay, giao phẳng tuyến đường thẳng d cần tìm Hai định lí quan trọng thường dùng: Định lí Ceva: Cho tam giác ABC Các điểm M , N , P khác A, B, C theo thứ tự thuộc đường thẳng BC , CA, AB Khi đường thẳng AM , BN , CP đồng quy đôi song song MB NC PA  1 MC NA PB Định lí Menelaus : Cho tam giác ABC Các điểm M , N , P khác A, B, C theo thứ tự thuộc đường MB NC PA 1 thẳng BC , CA, AB Khi điểm M , N , P thẳng hàng MC NA PB DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG THIẾT DIỆN    Nếu    có điểm chung với T    cắt số mặt Cho trước khối đa diện T mặt phẳng    giới hạn đoạn thường đa giác, gọi T theo đoạn thẳng Phần mặt phẳng  mặt cắt ( gọi thiết diện) T Chú ý:    với cạnh T Cạnh thiết diện đoạn giao + Đỉnh thiết diện giao điểm    với mặt T Do thực chất việc dựng thiết diện toán dựng giao điểm tuyến đường thẳng mặt phẳng dựng giao tuyến hai mặt phẳng    với mặt T Do số cạnh + Do cạnh thiết diện đoạn giao tuyến mặt phẳng nhiều mà thiết diện có số mặt T    tam - Đối với hình chóp tam giác ( tứ diện), thiết diện cắt mặt phẳng giác tứ giác ( đay ta quy ước không xét trường hợp suy biến thiết diện mặt cạnh hình chóp) -Đối với hình chóp tứ giác, thiết diện tam giác, tứ giác ngũ giác Các toán liên quan đến thiết diện gồm dạng: + Dựng thiết diện + Xác định hình dạng thiết diện + tính diện tích thiết diện + Tính tỉ số thể tích hai phần thiết diện phân chia khối thể tích cho ( trình bày Cơng phá tốn tập 3) Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M N trung điểm SA SC Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm M , N , B a) Tìm giao tuyến  P  SAB  ;  P   SBC   P  giao điểm K đường b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng thẳng SD với mặt phẳng ( P ) c) Xác định giao tuyến mặt phẳng ( P) với mặt phẳng ( SAD) mặt phẳng ( SCD ) Từn suy thiết diện hình chóp cắt ( BMN ) d) Xác định giao điểm E , F đường thẳng DA , DC với ( P) Chứng minh E , B, F thẳng hàng Lời giải:: a) Ta có: M �SA, SA � SAB  � M � SAB   1 M � BMN    Lại có Từ (1) (2) M � SAB  � BMN   3 suy B � SAB  � BMN    Ta có : Từ (3) (4) suy BM   SAB  � BMN  Tương tự ta suy BM   SAB  � BMN   SAC  , gọi I giao b) Trong mặt phẳng điểm SO với MN Ta có : I �MN , MN � BMN  � I � BMN  � I  BMN  giao điểm SO với  SBD  , gọi K giao điểm BI với SD Ta có : Trong mặt phẳng K �BI , BI � BMN  � K � BMN   BMN  Suy K giao điểm SD với �K � BMN  � � K � BMN  � SAD  � K � SAD  � c) Ta có : M � BMN  � SDC  Ta lại có :  BMN  Như tứ giác BMKN thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  SAD  , gọi  E  MK �AD Ta có: MK � BMN  nên E � BMN  d) Trong mặt phẳng  BMN  Vậy E giao điểm AD với  SDC  gọi  F   NK �CD Trong mặt phẳng NK � BMN  F � BMN  Ta có nên , � � �E � BMN  �B � BMN  � E � BMN  � ABCD  � � B � BMN  � ABCD  � B � ABCD  �E � ABCD  � , Suy ba điểm B, E , F nằm giao tuyến hai mặt phẳng ba điểm B, E , F thẳng hàng  BMN   ABCD  Do Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P, Q thuộc cạnh AB, BC , CD, DA cho MN không song song với AC M , N , P, Q đồng phẳng : AM BN CP DQ 1 A BM CN DP AQ BM CN DP DQ 1 C AM BN CP AQ BM CN CP DQ 1 B AM BN DP AQ AM BN DP AQ 1 D BM CN CP DQ Đáp án A Lời giải:  + Giả sử M , N , P, Q thuộc mặt phẳng    ,  ABC  ,  ADC  nên Nếu MN cắt AC K K điểm chung mặt phẳng PQ qua K Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC , ADC ta : AK CP DQ AM BN CP DQ AM BN CK 1 � 1 1 CK DP AQ BM CN DP AQ BM CN AK ; Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC ví dụ AM BN CP DQ 1 + Liệu trường hợp ngược lại, có BM CN DP AQ M , N , P, Q có đồng phẳng hay khơng ? Câu trả lời trường hợp ngược ví dụ Ta chứng minh :  ACD  , KO cắt AD Q�thì điểm M , N , P, Q�đồng phẳng Trong mặt phẳng AM BN CP AQ� DQ� DQ   � Q Q� � � BM CN DP DQ AQ AQ Theo ví dụ ta có: Ví dụ chứng minh M , N , P , Q + Ví dụ mở rộng điểm đường thẳng AB, BC , CD, DA sau : AM BN CP DQ 1 M , N , P, Q�đồng phẳng BM CN DP AQ ( khẳng định dơi gọi định lí Menelaus mở rộng khơng gian) Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD E điểm thuộc mặt bên ( SCD ) E , F trung điểm AB, AD Thiết diện hình chóp cắt  EFG  : A Tam giác Đáp án C Trong mặt phẳng B Tứ giác  ABCD  C Ngũ giác D Lục giác Lời giải: : , gọi I , H giao điểm FG với BC , CD Dễ thấy thiết diện hình lập phương bị cắt mặt phẳng Vậy đáp án C b) Theo cách dựng ta có E trung điểm BB ' Do Suy : PE  QF  EF=  ngũ giác MNGFE B ' F  BP  a  C 'Q a 3a MB PB 3 � PQ  ,   � CN  CD  a 2 NC PC 4 �  ABB ' A ' / /( DCC ' D ') � �KE     � ABB ' A '  � KE / / NG � NG     �( DCC ' D ') Do � Tương tự ta có : MN / / FG 2 S PME �PE � SQGF �QE �  � � ,  � � S PQN �PQ � SQNP �PQ � Do : Diện tích thiết diện : S PNQ Do hai tam giác vuông NCP NCQ (c.g.c) nên NQ  NP Vậy tam giác NPQ cân N Gọi I trung điểm PQ S MNGFE  S PNQ   S PEM  SQFG   5a 45a 18a 3a a 2 PN  PC  CN  , NI  PN  PI    16 16 Ta có : Diện tích NPQ : S NPQ  9a 7a NI PQ  � S MNGFE  16 16 Vậy đáp án B Câu 23 Đáp án D Trong mặt phẳng ( ABCD ) , dựng đường thẳng qua M , song song với BC cắt A ' B ', C ' D ' theo thứ tự E , F Trong mặt phẳng ( A ' B ' C ' D '), dựng đường thẳng qua N song song với B ' C ' cắt A ' B ', C ' D ' theo BM C ' N BM C ' N  �  BD NA ' thứ tự K , I Ta có : BD C ' A ' Áp dụng định lý Thales ta có : B 'K C ' N MB BE    � KE / / BB ' A 'K A 'N MD EA Từ sauy KE / /( BCC ' B ') (1) Theo cách dựng ta suy : EF / /( BCC ' B ') (2) �  EFIK  / /  BCC ' B ' � �� � MN / /  BCC ' B '  MN / /  EFIK  � Từ (1) (2) Vậy MN song song với mặt phẳng cố định, mặt phẳng (BCC'B') Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N trung điểm SA BC P điểm nằm cạnh AP SQ   MNP  Tính SC AB cho AB Gọi Q giao điểm SC với mặt phẳng 1 A B C D Lời giải: Đáp án A  ABC  , gọi E  NP �AC Trong mặt phẳng Khi Q giao điểm SC với EM Ví dụ AP BN CE CE 1� 2 EA Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có: PB NC EA AM SQ CE SQ SQ 1�  �  MS QC EA QC SC Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: Cho tứ diện ABCD Gọi A1 , B1 , C1 , D1 tương ứng trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD ABC Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy điểm G ta có: AG BG CG DG     AA1 BB1 CC1 DD1 Lời giải: Lưu ý: Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD MA1 MB1   � A1 B1 / / AB Gọi M trung điểm CD Theo tính chất trọng tâm ta có: MB MA A1 B1  AB  AMB  , gọi G giao điểm BB1 , AA1 Trong mặt phẳng A1G A1 B1 AG   �   1 GA AB AA Theo định lý Thales ta có: AG ' � G '  CC1 �AA1 ,  � AA1 �  2 � AG " � G ''  DD '�AA1 ,  � AA1 � Tương tự ta có:  1   suy G, G’, G” trùng nhau, tức AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy điểm G Từ ta có : AG BG CG DG     AA1 BB1 CC1 DD1 Bài tập tương tự: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J , E , F , K , H tương ứng trung điểm Câu AB, CD, AC , BD, AD, BC Chứng minh IJ , EF , KH đòng quy điểm điểm đồng quy trọng tâm G tứ diện ABCD C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Dùng nét đứt biểu diễn cho đường bị che khuất B Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng C Hình biểu diễn phải giữ nguyên qua hệ thuộc điểm đường thẳng Câu D Hình biểu diễn hai đường cắt hai đường song song Trong hình vẽ sau hình hình biểu diễn hình tứ diện? (Chọn câu nhất) A  I  ,  II   I  II   III   IV   I  ,  II  ,  III  ,  IV  B Câu Câu Câu  I  ,  II  ,  III  C Hình sau vẽ quy tắc? D A B  I C D S ABCD ABCD Cho hình chóp có đáy hình thang, đáy lớn AB gấp đôi đáy nhỏ CD , E trung điểm đoạn AB Hình vẽ sau vẽ quy tắc? A B C D Một hình khơng gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu (nhìn từ xuống) nhìn từ lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) thể sau: Hãy vẽ hình biểu diễn hình đó? A Câu C Mệnh đề sau đúng? B D a) � �S � SAB  � SCD  �  SAB  � SCD   Sx / / AB / /CD � AB / / CD, AB � SAB  , CD � SCD  � Ta có �S � SAB  � SBC  � �  SAD  � SBC   Sy / / AD / / BC � AD / / BC , AD � SAD  , BC � SBC  � Tương tự Do E , F trung điểm SA, SB nên EF đường trung bình tam giác SAB EF / / AB, EF /  AB Do (1) b) � �EF / / AB, EF � MEF  , AB � ABCD  �  MEF  � ABCD   Mt / / AB / /CD � M � MEF � ABCD     Ta có � (2) Ví dụ Gọi N giao điểm Mt với AD Ta có: �N �Mt , Mt � MEF  , AB � ABCD  �  N   AD � MEF  � �M �AD EF / / MN , EF  AB  MN Từ (1) (2) suy Suy MNEF hình thang �  SBC � � EAN  FBM  c.g c  � FM  EN SAD  SBC (c.c.c) � SAD Dễ thấy MNEF hình thang cân Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Được xác dịnh cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến biết: Cách 1: Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Cách 2: Tìm điểm chung phương ( song song với đường thẳng cho trước) giao tuyến Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB AC , Gọi E điểm cạnh CD với ED  3EC Thiết diện tạo mặt phẳng  MNE  tứ diện ABCD là: A Tam giác MNE B Tứ giác MNEF với F điểm cạnh BD C Hình bình hành MNEF với F điểm cạnh BD mà EF / / BC D Hình thang MNEF với F điểm cạnh BD EF / / BC Lời giải: Ví dụ BCD  Trong mặt phẳng  , Gọi F giao điểm đường thẳng qua E , song song BC với BD �  MNE  � ABC   MN ;  MNE  � BCD   EF � �  MNE  � ABD   MF ;  MNE  � ACD   NE Ta có � MNE  Vậy tứ giác MNEF thiết diện hình chóp cắt  �  MNE  � ABC   MN �  MNE  � BCD   EF � � EF / / MN � MCD � ABC  BC     � �BC / / MN Lại có � EF  MN  Suy tứ giác MNEF hình thang  Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Thiết MCD  diện mặt phẳng  với hình chóp S ABCD hình gì? A Tam giác C Hình thang B Hình bình hành D Hình thoi Lời giải: Đáp án C Gọi N trung điểm SB Do MN / / AB , AB / / CD � MN / / CD MCD  Như suy N thuộc mặt phẳng  �  MCD  � SAD   MD �  MCD  � SAB   MN � �  MCD  � SBC   NC � �MCD � ABCD  CD     Ta có: � MCD  Vậy tứ giác MNCD thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng  Kết hợp với MN / / CD , suy MNCD hình thang DẠNG 3: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , AC  BD  b , AD  BC  c Xét khẳng định sau: b2  c2 a a2 Cosin góc hai đường thẳng AB CD a c b b2 Cosin góc hai đường thẳng AC BD b a c Cosin góc hai đường thẳng AD BC c Trong khẳng định có khẳng định đúng? A B C D Lời giải: Đáp án C Gọi E , F , G trung điểm AC , BC , AD Ta có: EF / / AB , EG / / CD , suy góc hai đường thẳng AB CD AB  AC BC a  b2 c AF     4 Ta có: 2 ABC  DBC  c.c.c  nên AF  DF AFD cân 2 a  b  c2 FG  AD � FG  FA2  AG  EFG Xét tam giác 2 2 �  EF  EG  FG  c  b cos FEG EF EG a2 Vì Do Suy F Vậy có: b2  c o � � � � EF , EG �90 � cos EF , EG  cos FEG  a2 o     b c Vậy cosin góc hai đường thẳng AB CD a2 a  c2 Tương tự ta suy cosin góc AC BD b2 a cos  AB, CD  Nhận xét: Từ ví dụ này, ta suy ba giá trị ; 2 b cos  AC , BD  c cos  AD, BC  ; tổng hai giá trị lại Cũng từ ví dụ ta suy o với tứ diện ABCD góc cặp cạnh đối diện 90 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Cho hai đường thẳng a b chéo Mệnh đề sau đúng? A Tồn hai đường thẳng c , d song song với nhau, đường cắt a b B Không thể tồn hai đường thẳng c , d phân biệt đường cắt a b C Không thể tồn đường thẳng cắt a b D Cả ba câu sai Câu Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến A Đơi cắt B Đồng quy C Hoặc đồng quy đôi song song D Đôi song song Câu Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) sẽ: A Song song với hai đường thẳng B Song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng C Trùng với hai đường thẳng D Cắt hai đường thẳng Câu Cho hai đường thẳng a b chéo Xét hai đường thẳng p , q mà đường thẳng cắt a b , p cắt a M , q cắt a N ( M không trùng với N ) Khi hai đường thẳng p q : A Cắt B Trùng C Song song với D Hoặc chéo cắt Câu Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng đó: A Song song C Chéo B Trùng D Hoặc song song trùng P Q R Câu Giả sử   ,   ,   ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt a , b , c Trong đó: a   P  � R  b   Q  � R  c   P  � Q  , , Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A a b cắt song song với B Ba giao tuyến a , b , c đồng quy đôi cắt C Nếu a b song song với a c khơng thể cắt nhau, vậy, b c cắt D Ba giao tuyến a , b , c đồng quy đôi song song SBC  Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Khi giao tuyến hai mặt phẳng   SAD  đường thẳng d : A Đi qua S B Đi qua điểm S song song với AB C Đi qua điểm S song song với AD D Đi qua điểm S song song với AC Câu Giả sử có ba đường thẳng a , b , c b / / a c/ /a Hãy chọn câu đúng:  a, b  không trùng với mặt phẳng  a, c  b c chéo a, b  a, c  B Nếu mặt phẳng  trùng với mặt phẳng  ba đường thẳng a , b , c A Nếu mặt phẳng song song với đôi a, b  a, c  C Dù cho hai mặt phẳng   có trùng hay khơng, ta có b/ / c D Cả ba câu sai Câu Cho hai đường thẳng a , b Hai đường thẳng nằm trường hợp: (1) Hai đường thẳng phân biệt không gian (2) Hai đường thẳng phân biệt mặt phẳng P R Q R P Q (3) a giao tuyến     , b giao tuyến     ,   ,   ,  R  ba mặt phẳng khác đôi Tương ứng với trường hợp trên, số khả xảy a b là: A 3, 2, B 3, 2, C 2, 3, D 3, 2, Câu 10 Xét hình bên dưới: Các cạnh hình hộp nằm đường thẳng a , b , c hình vẽ: (1) Đường thẳng a đường thẳng b nằm mặt phẳng (2) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng a c (3) Có mặt phẳng qua hai đường thẳng b c Trong ba câu trên: A Chỉ có (1) (2) B Chỉ có (1) (3) C Chỉ có (2) (3) D Cả ba câu Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn CD Gọi M trung điểm SA , N giao điểm cạnh SB mặt phẳng  MCD  Mệnh đề sau đúng? A MN SD cắt B MN CD chéo C MN SC cắt D MN CD song song với Câu 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, AD, CD, BC Mệnh đề sau sai? B MN ∥ PQ MN = PQ A MP, NQ chéo C MNPQ hình bình hành D MN ∥ BD MN  BD Câu 13 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh SA, SB, SC , SD Đường thẳng sau không song song với đường thẳng MN ? B CD A AB C PQ D SC Câu 14 Cho hình chóp A.BCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AC , BD, AB, CD, AD, BC Các điểm sau không đồng phẳng? A M , P, R, Q B M , R, S , N C P, Q, R, S D M , P, Q, N Câu 15 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang với đáy AD BC  AD  a  BC  b  Gọi I , J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng  ADJ  cắt SB, SC M , N Mặt phẳng  BCI  cắt SA, SD P, Q Gọi E giao điểm AM PB , F giao điểm CQ DN Trong mệnh đề đây, có mệnh đề sai? 1) MN PQ song song với 2) MN EF song song với 3) 4) EF   a  b EF   a  b A B C D Câu 16 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AC , BC K điểm đoạn BD  IJK  Giao tuyến hai mặt phẳng  SAD  cho KB  KD , F giao điểm AD  IJK  song song với đường thẳng? A AJ B BI C IJ D CI Câu 17 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm BC , BD Giao tuyến hai mặt  AIJ   ACD  là: phẳng A Đường thẳng d qua A d ∥ BC B Đường thẳng d qua A d ∥ BD C Đường thẳng d qua A d ∥ CD D Đường thẳng AB Câu 18 Cho hình chóp S ABC , M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M  SBC  ,  SAC  ,  SAB  A� , B� , C� song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng MA� MB� MC �   SA SB SC có giá trị khơng đổi M di động tam giác a) ABC ? A B C D MA�MB�MC � SA SB SC nhận giá trị lớn Khi vị trí M tam giác ABC là: b) A Trực tâm ABC B Trọng tâm ABC C Tâm ngoại tiếp ABC D Tâm nội tiếp ABC    di động Câu 19 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình bình hành tâm O Mặt phẳng qua AB cắt SC , SD M , N a) Tứ giác ABMN hình gì? A Hình bình hành B Hình thang C Hình thoi D Tứ giác lồi có cặp cạnh đối cắt b) Giao điểm hai đường thẳng AM BN chạy đường thẳng cố định: A SO B Đường thẳng qua S C Đường thẳng qua S , song song với AB D Đường thẳng qua S , song song với AD c) Giao điểm hai đường thẳng AN BM chạy đường thẳng cố định: A SO B Đường thẳng qua S C Đường thẳng qua S , song song với AB D Đường thẳng qua S , song song với AD d) AB BC  Tính MN SK ? A B C D Câu 20 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD M điểm nằm bên tam giác BCD Đường thẳng qua M song song với GA cắt mặt phẳng  ABC  ,  ACD  ,  ADB  P, Q, R a) MP  MQ  MR GA Khi M di động tam giác BCD , đại lượng không đổi bằng: A b) B C Xác định vị trí M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất? D A M trực tâm tam giác BCD B M tâm ngoại tiếp tam giác BCD C M trọng tâm tam giác BCD D M tâm ngoại tiếp tam giác BCD  SAB  tam Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Mặt bên � giác SAD  90� Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC a)  SAB  chạy đường thẳng: Giao điểm I đường thẳng Dx với mặt phẳng A Qua S song song với AB B Qua S song song với AD C SO D SD b)  AIC  là: Diện tích thiết diện hình chóp S ABCD cắt a2 A a2 B a2 C a2 D 16  SAB  tam Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Mặt bên giác đều, SC  SD  a Gọi H , K trung điểm SA, SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng  HKM  cắt BC N a) HKNM hình gì? A Tứ giác lồi có cặp cạnh đối cắt B Hình thoi C Hình thang cân D Hình bình hành b) Đặt AM  x  �x �a  A Tìm x theo a để diện tích tứ giác HKNM đạt giá trị nhỏ nhất? B a a C a D Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang có cạnh đáy AB CD Gọi I , J trung điểm cạnh AD, BC G trọng tâm tam giác SAB Thiết diện  IJG  tứ giác Tìm điều kiện AB, CD để thiết diện hình chóp S ABCD cắt hình bình hành? A AB  3CD B AB  2CD C CD  AB D CD  AB Câu 24 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm cạnh BC , BD E điểm cạnh AD ( E khác A, D ) Tìm điều kiện tứ diện ABCD điểm E cho thiết diện  IJE  hình thoi? hình chóp cắt uuu r uuur uuu r uuur AB  CD , EA   ED AD  BC , EA   ED A B uuu r uuur uuu r uuur AB  CD , EA   ED AD  BC , EA   ED C D Câu 25 Số đo góc hai đường thẳng 0�thì hai đường thẳng đó: A Song song B Chéo C Trùng D Song song trùng Câu 26 Bạn Tùng Chi xác định góc hai đường thẳng a, b không gian sau: Bước 1: Lấy điểm O Qua O dựng đường thẳng m song song với a Trên đường thẳng m lấy điểm A khác O Bước 2: Dựng đường thẳng n song song với song song với b Trên đường thẳng m lấy điểm B khác O � Bước 3: Góc hai đường thẳng a b góc AOB Hỏi bạn Tùng Chi có làm khơng, sai sai bước nào? A Bước B Bước C Bước D Bạn làm Câu 27 Cho ba đường thẳng a, b, c cho a∥ b, b  c Khi góc hai đường thẳng a c bằng: A 90� B 60� C 45� D 30� Câu 28 Cho hình chóp A.BCD có tam giác ABC , ABD cạnh a , E trung điểm CD � Tính số đo góc hai đường thẳng AD BC biết AEB  90� A 90� B 60� C 45� D 30� � � Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA  a, ASB  SAD  90� Gọi E , F trung điểm đoạn AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SE DF A B C D Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  3a, SA  a Các tam giác SAB, SAC , SAD vuông A Tính cosin góc hai đường thẳng SC BD A 130 B 130 C D Câu 31 Cho tứ diện ABCD có AB  5, AC  7, BD  57, CD  Tính số đo góc hai đường thẳng BC AD ? A 30� B 45� C 60� D 90� � � �  90� , CAD Câu 32 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a, BAC  BAD  60� Gọi E trung điểm đoạn BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB ED A HƯỚNG DẪN GIẢI B 10 C D Câu Đáp án D  Đáp án A sai Giả sử c cắt a, b A, B , d cắt a, b C , D Suy A, B, C , D đồng phẳng, hay a, b đồng phẳng, vơ lí  Đáp án B, C sai, dễ dàng thấy ví dụ tứ diện ABCD có AB CD đếu cắt hai đường thẳng chéo AD BC Câu Đáp án C Câu Đáp án B Câu Đáp án D Câu Đáp án D Câu Đáp án B Câu Đáp án C Câu Đáp án D  a, b   a, c  không trùng a, b, c đơi phân biệt theo tính  Đáp án A sai chất bắc cầu suy b∥ c  Đáp án B, C sai, ta lấy ví dụ b �c Câu Đáp án B  Trường hợp  1 xảy hai đường thẳng a, b chéo nhau, song song, cắt  Trường hợp  2 song song, cắt  Trường hợp  3 song song, cắt trùng Như vậy, tương ứng với mối trường hợp, số khả xảy a, b 3, 2,3 Câu 10 Đáp án C  1 Nhìn vào hình vẽ, ta thấy a, b chéo nhau, nên khơng có mặt phẳng chứa a, b Do sai Vậy đáp án A, B, C sai  2 Đường thẳng a, c cắt nhau, xác định mặt phẳng chứa hai đường Đáp án  3 Đường thẳng b, c cắt nhau, xác định mặt phẳng chứa hai đường Đáp án Câu 11 Đáp án D �AB∥ CD � �AB � SAB  , CD � MCD  � MN ∥ CD � MN   SAB  � MCD  Ta có: � Câu 12 Đáp án A Do M , N trung điểm AB, AD nên Do P, Q trung điểm CD, CB nên MN ∥ BD, MN  PQ∥ BD, PQ  BD BD Suy MN ∥ PQ , M , N , P, Q đồng phẳng Do MP, NQ chéo Câu 13 Đáp án D Do MN đường trung bình tam giác SAB nên MN ∥ AB Tương tự, PQ đường trung bình tam giác SCD nên PQ∥ CD ABCD hình bình hành nên AB∥ CD Do đó: PQ∥ MN MN ∥ CD MN khơng song song với SC giả sử ngược lại SC CD trùng (vơ lí) Câu 14 Đáp án A Do M , N , P, Q, R, S trung điểm AC , BD, AB, CD, AD, BC nên MR∥ CD∥ SN , PS∥ AC∥ RQ , MP∥ BC∥ NQ Do M , R, S , N đồng phẳng; P, Q, R, S đồng phẳng; M , P, Q, N đồng phẳng M , P, R, Q không đồng phẳng giả sử ngược lại P thuộc mặt phẳng  ACD  , suy B  ACD  (vơ lí) thuộc mặt phẳng Câu 15 Đáp án B Ta có Do , suy I � SAD  � BCI  �  SAD  � BCI   PQ � �AD � SAD  , BC � BCI  � PQ∥ AD∥ BC �AD∥ BC � Ta có: Do I � SAD  J � SBC  , suy J � SBC  � ADJ  �  SBC  � ADJ   MN � �BC � SBC  , AD � ADJ  � MN ∥ AD∥ BC �AD∥ BC � Từ suy MN PQ song song với Ta có: �EF   ADNM  � BCQP  � �AD   ADNM  � ABCD  � EF ∥ AD � BC  ABCD � BCQP     � �AD∥ BC � Suy EF ∥ MN Gọi K giao điểm CP với EF EF  EK  KF SP SM   � PM ∥ AB Do SA SB PE PE  �  PB Do EK song song với BC nên theo định lý Theo định lý Thalet ta có: EB PE EK 2   � EK  b Thalet ta có : PB BC QF QC PQ 3 2  �  �  � FK  PQ  AD  a FC FK 5 Tương tự ta có: FC Từ suy EF   a  b Câu 16 Đáp án C Ta có: �  SAD  � IJK   FK � �AD � SAD  , IJ � IJK  � FK ∥ IJ �AD∥ IJ � Dễ dàng chứng minh đường thẳng lại không song song với FK Câu 17 Đáp án C Do I , J trung điểm BC , BD nên IJ đường trung bình tam giác BCD Suy IJ ∥ CD �IJ ∥ CD, IJ � AIJ  , CD � ACD  � �  AIJ  � ACD   At∥ CD � A � AIJ  � ACD  � Ta có: Câu 18 Đáp án C, B ∥ SA nên bốn điểm nằm mặt phẳng Giả sử E giao điểm mặt a) Do MA� MA� ME S MBC   SA EA S ABC A , M , E BC phẳng với Khi thẳng hàng ta có: MB� S MAC MC � S MAB MA� MB� MC �  ,    1 SB S SC S SB SC ABC ABC Vậy SA Tương tự ta có: Vậy đáp án b) Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA� MB� MC � MA�MB�MC � MA�MB�MC �  � SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27 MA� MB� MC �   � S MAC  S MAB  SMBC SB SC Dầu xảy khi: SA Điều xảy M trọng tâm tam giác ABC Vậy đáp án B Câu 19 Đáp án B, A, D, A �MN   ABM  � SCD  � �AB   ABM  � ABCD  � MN ∥ AB � CD   ABCD  � SCD  � � CD∥ AB a) Ta có : � Do ABMN hình thang Do MN  AB nên ABMN hình bình hành, hinh thoi Vậy đáp án B � �I � SAC  I  AM �BN � � � I �SO   SAC  � SBD  I � SBD  � b) Gọi Vậy đáp án A � �I � SAD  K  AN �BM � � � I � SAD  � SBC  I � SBC  � c) Gọi Giao tuyến hai mặt phẳng  SAD   SBC  đường thẳng qua S song song với AD Vậy đáp án D AB BM  d) Do MN ∥ AB nên MN MK CB MB  Do SK ∥ BC nên SK MK  1 Từ  2  2  1 AB BC  0 suy MN SK Vậy đáp án A Câu 20 Đáp án C, C a) Trong mặt phẳng  BCD  , gọi I  MG �BC , J  MG �CD, K  MG �BD  AIJ  : Mx �AI  P (đây giao điểm Mx với  ABC  ) Qua M kẻ Mx∥ GA Trong Tương tự Mx �AK  R, Mx �AJ  Q IM S MIC S MIB SMIC  SMIB S MBC 3S MBC      S BCD Ta có : IG SGIC SGIB SGIC  SGIB SGBC MP 3S MBC IM MP   GA S BCD IG GA Theo định lý Thalet ta có : Do : MQ 3S MCD MR 3S MBD MP  MQ  MR  ,  � 3 GA S GA S GA BCD BCD Chứng minh tương tự ta có : Vậy đáp án C �MP  MQ  MR � MP.MQ.MR �� � GA � � b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : Vậy giá trị lớn MP.MQ.MR GA Dấu xảy MP  MQ  MR Điều xảy M trọng tâm tam giác BCD Vậy đáp án C Câu 21 Đáp án A, A  SCD  a) Do Dx∥ SC nên hai đường thẳng nằm mặt phẳng  SAB   SCD  có D điểm chung, AB∥ CD nên giao tuyến Lại có, hai mặt phẳng đường thẳng qua S song song với AB Vậy I thuộc giao tuyến Vậy đáp án A b) Gọi E giao điểm SD IC Suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  AIC  tam giác ACE Ta có SIDC hình thang nên SI  CD SI ∥ CD Suy SI  AB SI ∥ AB Điều suy SIDC hình bình hành Khi AI  SB  a Mặt khác, AC  SD  a � AE  a 2 CI   AC  AI   AE  4a � CI  2a Xét tam giác IAC có : a2  2a  a AE  AC  CE � �  cos CAE    � sin CAE 2 AC AE 2a 4 Ta có : 2 1 a a2 � S  AC AE.sin CAE  a  2 Diện tích thiết diện : Vậy đáp án A Câu 22 Đáp án C, A a) Ta có : � �KH ∥ AB, KH � HKM  , AB � ABCD  �  HKM  � ABCD   MN ∥ AB∥ HK  1 � �M � HKM  � ABCD  Ta lại có: �  SBC � SAD  SBC  c.c.c  � SAD