SKKN một số phương pháp nâng cao về giới hạn image marked

Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT MỤC LỤC I MỞ ĐẦU Tầm quan trọng chủ đề Giới hạn Toán THPT 2 Nhu cầu cấp thiết việc nghiên cứu đề tài II NỘI DUNG Cơ sở lý luận .4 Thực trạng vấn đề .4 Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học sinh 3.1 Xây dựng phương thức để tiếp cận khái niệm Giới hạn 3.2 Dự đoán khó khăn sai lầm học sinh học chủ đề Giới hạn đưa hướng khắc phục .8 3.3 Thiết kế sử dụng mơ hình động hỗ trợ học sinh nâng cao hiểu biết Giới hạn 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 III KẾT LUẬN .22 X©y dùng mét số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới h¹n cho häc sinh THPT I MỞ ĐẦU Tầm quan trọng chủ đề Giới hạn Toán THPT Một phần quan trọng Toán học Giải tích, Douglas(1986) viết: “Giải tích tảng Tốn học, Giải tích đường trung tâm Toán học, sở cho việc nghiên cứu nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác” Đề cập đến vai trò chủ đề Giới hạn SKG Đại số Giải tích 11 (nâng cao) viết: “Trong đó, Giới hạn vấn đề Giải tích Có thể nói khơng có Giới hạn khơng có Giải tích, hầu hết khái niệm Giải tích liên quan đến Giới hạn” Khi HS tiếp thu tri thức Giới hạn xảy trình biến đổi chất nhận thức HS (vì ta biết Đại số đặc trưng kiểu tư “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” học Giải tích kiểu tư chủ yếu vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”) Khái niệm Giới hạn sở cho phép nghiên cứu vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” Do vậy, nắm vững nội dung khái niệm Giới hạn khâu đầu tiên, tiền đề quan trọng để xây dựng cho HS khả vận dụng vững chắc, có hiệu kiến thức Giải tích tốn học phổ thơng Chủ đề Giới hạn có vai trò quan trọng tốn học phổ thơng lẽ: “Khái niệm Giới hạn sở, hàm số liên tục vật liệu để xây dựng khái niệm đạo hàm tích phân Đây nội dung bao trùm chương trình Giải tích THPT” Để hiểu chứng minh, nắm nội dung khái niệm Giới hạn cần thiết phải có phương pháp sư phạm tốt: cách thức phương tiện thích hợp, lời nói sinh động, hình ảnh trực quan, ví dụ cụ thể, rèn luyện phát triển khả chuyển đổi từ ngôn ngữ thơng thường sang ngơn ngữ tốn học, khả thực thao tác tư bản, sơ đồ bảng biểu, tập thích hợp tình sư phạm hợp lý… Nhu cầu cấp thiết việc nghiên cứu đề tài Đã có nhiều nghiên cứu nhiều HS học Giới hạn có khó khăn nghiêm trọng việc hiểu biết khái niệm Phần lớn HS nghe thầy giáo định nghĩa khái niệm Giới hạn có chung cảm nhận “vào tai tai kia” Khi dạy chủ đề Giới hạn GV có kinh nghiệm gặp nhiều khó khăn việc truyền thụ tri thức cho HS Thông thường, thầy dạy qua định nghĩa thẳng vào luyện tập tính Giới hạn theo công thức định lý (được áp đặt sẵn không chứng minh) Hậu nhiều HS phổ thông sau tốt nghiệp không nắm chất khái niệm Giới hạn X©y dùng mét số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới h¹n cho häc sinh THPT Như vậy, việc dạy vấn đề Giới hạn HS hiểu rõ chất việc làm khó khăn phần lớn GV dạy toán Việt Nam Một câu hỏi thiết thực đặt cho nhà giáo dục làm để nâng cao việc hiểu Giới hạn cho người học Qua thực tiễn dạy học THPT với việc nghiên cứu chủ đề Giới hạn đề tài thân, xin đề xuất số kinh nghiệm qua đề tài: ”Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học sinh THPT ” Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Trong đề tài sử dụng sở lý luận từ số tác phẩm sau: + Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình sách giáo khoa lớp 11 mơn tốn + Phương pháp dạy học mơn tốn + Giới hạn dãy số hàm số + Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn lớp 11 + Đại số Giải tích 11 + Đại số Giải tích 11 – Sách giáo viên + Dạy học có hiệu mơn tốn theo xu hướng + Thiết kế mơ hình dạy học tốn THPT với The Geometer’s Sketchpad Thực trạng vấn đề Qua thực tiễn dự giảng dạy môn Tốn trường THPT, tơi thấy: Chủ đề Giới hạn chủ đề khó Giải tích THPT Ngay học sinh tiếp cận với với ngơn ngữ Giải tích “lớn số dương bất kỳ”, “x dần a”, “dãy số dần vơ cực”, mà khơng có trình độ tư duy, khả nhận thức vấn đề trừu tượng khó lĩnh hội chủ đề này, nên cách dạy chủ yếu cung cấp tri thức, tiến hành tập mẫu vận dụng, mà nguyên nhân bắt nguồn từ vấn đề sau đây: - Một là, phần lớn giáo viên nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy khái niệm, định lý, kiến thức chủ đề Giới hạn chưa nghĩ đến việc dạy nào; - Hai là, tính chất khái niệm Giới hạn trừu tượng khơng tạo mối liên hệ hình học với đại số, từ dễ có cảm tưởng khơng thực Tốn học Học sinh khó nắm khái niệm vơ lớn, vô bé, vô cực, Giới hạn tính trực tiếp cách dùng phương pháp đại số số học quen thuộc Mặt khác, khó khăn nhận thức khái niệm Giới hạn khó khăn liên quan đến ngơn ngữ: "Giới hạn", "dần về", "lớn số dương bất kỳ" có ý nghĩa thông thường không tương hợp với khái niệm Giới hạn dạng hình thức khiến cho đa số học sinh học vấn đề vừa gặp khó khăn mặt nhận thức nên dễ rơi vào bị động hàng loạt định lý thừa nhận không chứng minh, vừa làm cho việc áp dụng trở nên máy móc dẫn đến việc lĩnh hội kiến thức cỏch cha th trn Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới hạn cho häc sinh THPT - Ba là, hoạt động đạo, nghiên cứu, bồi dưỡng giảng dạy nặng tìm hiểu, làm quen khai thác nội dung chương trình Sách giáo khoa Thiếu chuẩn bị đồng mắt xích mối quan hệ chặt chẽ mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện giảng dạy … Việc cụ thể hóa, quy trình hóa phương pháp dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn để giúp giáo viên sử dụng giảng dạy chưa làm Ngoài thiếu thông tin cần thiết đổi phương pháp dạy học nói riêng đổi giáo dục nói chung giới; - Bốn là, kiểu đánh giá thi cử ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy; đánh giá thi cử có lối dạy tương ứng đối phó Tóm lại, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng theo cách thụ động trò ngồi nghe, thầy giảng thường khơng có tranh luận thầy trò, điều thầy nói coi tuyệt đối … Một phương pháp giảng dạy dựa vào kinh nghiệm, không xuất phát từ mục tiêu đào tạo, khơng có sở kiến thức quy luật nguyên tắc lý luận dạy học làm cho trình học tập trở nên nghèo nàn, làm giảm ý nghĩa giáo dục hiệu giảng Qua thực trạng việc dạy học chủ đề Giới hạn trường THPT thân xin đề xuất số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học sinh THPT sau: Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học sinh 3.1 Xây dựng phương thức để tiếp cận khái niệm Giới hạn Phương thức 1: Xác định rõ cách xây dựng khái niệm Giới hạn Trước hết hiểu rõ, xác định cách xây dựng khái niệm Giới hạn SGK là: Định nghĩa theo dạng mô tả Giới hạn dãy định nghĩa Giới hạn hàm số theo dãy Chẳng hạn việc định nghĩa Giới hạn dãy số là: ''Ta nói dãy số ( un ) có Giới hạn n dần tới dương vô cực, u n nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi'' Phương thức 2: Tìm hiểu định nghĩa khác khái niệm Giới hạn Từ cách tìm hiểu định nghĩa khác khái niệm thấy tính sư phạm cách định nghĩa, có biện pháp thích hợp với loại đối tượng, cho học sinh hiểu tính chất đặc trưng, nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể xác, biết vận dụng khái niệm tình cụ thể vào giải tốn ứng dụng thực tiễn X©y dùng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giíi h¹n cho häc sinh THPT Với nội dung chủ đề Giới hạn học khái niệm có nhiều định nghĩa phát biểu dạng khác khái niệm Chẳng hạn định nghĩa Giới hạn dãy số trình bày theo cách “mô tả’’ dùng ngôn ngữ “  , N ( ) ’’ hay định nghĩa Giới hạn hàm số trình bày theo cách “Sử dụng dãy số” dùng ngôn ngữ “  ,  ( ) ” Phương thức 3: Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn học sinh Để làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn học sinh ta cần liên hệ với thực tiễn, ví dụ: chiều cao người có Giới hạn dù tuổi có nhiều Hoặc dạy học xây dựng phương tiện trực quan tượng trưng (mơ hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng,…) làm chỗ dựa trực giác Xây dựng hệ thống phản ví dụ ví dụ gắn liền với ứng dụng thực tiễn, kết hợp với phương tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung nội dung khái niệm, phát dấu hiệu chất khái niệm từ khái qt hình thành khái niệm, chẳng hạn ta xét toán thực tiễn đặt ra, sau: Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ người nước phát triển, sau x năm kể từ là: T(x) = 138 x  236 năm Hỏi tuổi thọ người đạt 2x  tới mức Giới hạn bao nhiêu? Bài toán 2: Nhu cầu tháng sản phẩm 195 Nhà quản lí xí nghiệp đưa dự đốn sau x năm kể từ nhu cầu 259 x  95 hàng tháng cho sản phẩm là: S(x) = Hỏi nhu cầu sản x2  phẩm hàng tháng đạt tới mức Giới hạn sau khoảng thời gian thật dài? Từ tạo điều kiện tốt nhất, hiệu để học sinh tự khám phá kiến thức, tự giải vấn đề thực tiễn đặt Phương thức 4: Tìm hiểu phân chia khái niệm, sơ đồ hóa khái niệm Giới hạn có liên hệ với nhau, giúp học sinh tiếp thu chất kiến thức Do tri thức chủ đề Giới hạn có mối quan hệ tương quan hỗ trợ lẫn nên việc hệ thống, phân chia khái niệm liên hệ với việc làm cần thiết để dạy học đạt hiệu Khi hệ thống hóa kiến thức cần cho học sinh mối liên hệ yếu tri thức tốn, đặc biệt ý dùng sơ đồ biểu diễn mối liên hệ kiến thức Qua tìm hiểu phân chia sơ đồ hóa khái niệm tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc, tiếp thu chất kiến thứcgiúp học sinh hiểu chất mối quan hệ, hình dung tranh tổng thể khái niệm có liên hệ với sau: X©y dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Giới Giới hạn Giới hạn hạn trái phải hạn  + -  điểm  x điểm x Giới Sơ đồ biểu thị mối liên hệ Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số, Giới hạn mở rộng hàm số Phương thức 5: Tìm hiểu tiếp cận lịch sử phát triển Toán học khái niệm Giới hạn Để kích thích học sinh hứng thú học tập, nêu thêm lịch sử khái niệm Toán học Giới hạn đời nào, nêu ý nghĩa sau khái niệm Giới hạn Toán học đời sống, việc rèn luyện tư Toán học Với việc dạy học học sinh tiếp cận kiến thức khái niệm Giới hạn, xét mặt đó, gần giống với việc nghiên cứu nhà Tốn học Khi học sinh biết từ đâu xuất kiến thức Giới hạn, tạo cho học sinh khơng khí học tập tập dượt nghiên cứu khoa học, từ lĩnh hội kinh nghiệm lịch sử Giới hạn giúp học sinh nắm vững kiến thức mà bồi dưỡng nhân cách cho học sinh, giáo dục không đơn việc dạy học Ngồi ra, có điều kiện ta sử dụng tư liệu lịch sử Toán khái niệm Giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua khơi dậy phát huy tính tích cực nhận thức học sinh tiết dạy tự chọn, ơn luyện hay ngoại khóa, chẳng hạn đưa toán thú vị sau: Bài toán: A-sin (Achilis) đuổi rùa Câu chuyện nghịch lý tiếng D’Elec Zénon (496 – 429) triết gia người Hi lạp cổ đại vào kỷ thứ V trước Cơng ngun, đưa tốn A-sin (Achilis) đuổi rùa lập luận sau: “A-sin (Achilis) lực sĩ thần thoại Hi lạp, người mệnh danh “có đơi chân nhanh gió” đuổi theo môt rùa đường thẳng Nếu lúc xuất phát, rùa điểm R1 cách A-sin điểm A khoảng a  0, chạy nhanh hơn, A-sin khơng đuổi kịp rùa (!)” Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết A-sin cần đến điểm xuất phát R1 rùa Nhưng khoảng thời gian rùa đến điểm R2 Để đuổi tiếp, A-sin lại phải đến điểm R2 Trong thời gian A-sin đến điểm thứ hai R2 rùa X©y dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT lại tiến lên điểm thứ ba R3 … Cứ thế, A-sin không bao giời đuổi kịp rùa (!) Nhưng thực tế nhờ nghịch lý ơng góp phần thúc đẩy xuất Giới hạn từ khái niệm Giới hạn, người nghiên cứu vấn đề liên quan tới vô hạn Giải tích (?): Sau học Giới hạn dãy số, ta có thể lập luận nghịch lý “A-sin không đuổi kịp rùa”? (!): Để đơn giản ta xét trường hợp đặc biệt (còn trường hợp tổng quát giải tương tự, cụ thể minh họa hình vẽ: R1 A R2 R3R4  (!): Ban đầu A-sin vị trí A, rùa vị trí R1 Khi khoảng cách A-sin rùa minh họa đoạn AR1 có độ dài: U1=100(km) (?): Khi A-sin chạy 100(km) (tức chạy đến vị trí R1 ) rùa chạy đến R2, minh họa đoạn R1R2 có độ dài: U2= ? ( U2= 1km) (?): Khi A-sin chạy đến vị trí R2 rùa chạy đến R3, minh họa đoạn R2R3 có độ dài: U3= ? ( U3= km) 100 (?): Khi A-sin chạy đến vị trí R3 rùa chạy đến R4, minh họa đoạn R3R4 có độ dài: U4= ? ( U4= km) 1002 (!):Tương tự ta xây dựng được: U  1 ;U  ;U  ; 100 100 1005 (?): Dãy (Un ) có đặc điểm nào? (!): Dãy (Un ) cấp số nhân, có cơng bội q = Un = , số hạng tổng quát 100 n tăng Un nhỏ, tức A-sin ngày gần rùa Un 100n  nhỏ được, miễn n đủ đủ lớn Khi n   Un  Vậy chắn đến lúc A-sin đuổi kịp rùa Như vậy, việc sử dụng chất liệu cụ thể nhằm tạo môi trường cho tư nhận thức trò hoạt động tích cực để phát huy cao tính tích cực nhận thức học sinh học tập mơn Tốn nói chung học chủ đề Giới hạn nói riêng cần thiết Từ gây hứng thú, tạo động cơ, ý chí học tập học sinh nâng cao chất lượng kết dạy học 3.2 Dự đốn khó khăn sai lầm học sinh học chủ đề Giới hạn đưa hướng khắc phục Khi học chủ đề Giới hạn học sinh làm quen với đối tượng mới, kiểu tư mang tính biện chứng Do học sinh gặp phải nhiều khó khăn sai lm Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiĨu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT khơng thể tránh khỏi Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm có ích việc xây dựng tri thức, đặc biệt tạo nên xem xét lại tri thức biết trước Vì q trình dạy học Tốn trường THPT, việc tìm hiểu khó khăn, sai lầm chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh tri thức toán học đưa giảng dạy bước đầu bỏ qua trình tìm kiếm phương pháp dạy học hiệu nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức + Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu lý phát sinh chất tri thức cần dạy, mặt khác trở ngại mà nhà khoa học gặp phải trình xây dựng phát triển tri thức Đây sở cho việc xác định nguồn gốc khoa học luận khó khăn mà học sinh phải vượt qua để nắm vững tri thức + Ở mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chương trình SGK làm sáng tỏ đặc trưng việc dạy tri thức q trình chuyển hóa sư phạm Nghiên cứu giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm khó khăn mà học sinh thường gặp Từ việc phát khó khăn chướng ngại tri thức Tốn học, giáo viên dự đốn sai lầm thường gặp học sinh lĩnh hội tri thức Như ta biết, sai lầm hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ người theo chủ nghĩa kinh nghiệm chủ nghĩa hành vi, mà hậu kiến thức có từ trước, kiến thức có ích việc học tập trước lại sai lầm đơn giản không phù hợp việc lĩnh hội kiến thức Những sai lầm kiểu không dự kiến trước được, chúng tạo nên từ chướng ngại Những sai lầm sinh từ chướng ngại thường tồn dai dẳng tái xuất sau chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức Vì giúp học sinh tìm sai lầm, phân tích ngun nhân dẫn đến sai lầm tìm cách khắc phục khó khăn sai lầm trình lĩnh hội khái niệm việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trình dạy học Thực tiễn cho thấy trình học tập học sinh thường gặp phải khó khăn sai lầm: 3.2.1 Khó khăn sai lầm kiến thức a) Các khó khăn sai lầm liên quan đến việc nắm chất khái niệm, định lý: Nếu xét Giải tích trường THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng khó hình thành cho học sinh học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng X©y dùng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giíi h¹n cho häc sinh THPT khía cạnh tinh vi lập luận xung quanh vấn đề này, muốn nắm vững chất đích thực vấn đề Còn lâu tìm Giới hạn học sinh nặng thuật tốn, nói cách khác thiên cú pháp mà coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn sau học xong khái niệm Giới hạn hàm số (mà chưa học đến định lý Giới hạn hàm số f(x) liên tục) học sinh cho việc tìm Giới hạn f(x) x  a đơn giản: việc thay x = a tính f(a) Khi lim f(x) =f(a) điều phản ánh học sinh chưa hiểu chất kí hiệu: x a lim x  18 x  81 Tính lim với cách nghĩ nên việc tìm Giới hạn x 9 x9 Ví dụ 1: x  18 x  81 thay x = vào kết quả, suy nghĩ kiểu dẫn đến x9 cho lim x 9 x  18 x  81 không tồn x9 Để cho học sinh xem xét đồng thời đối tượng thõa mãn định nghĩa khái niệm định lí (qua ví dụ) đối tương khơng thõa mãn khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ) qua làm sáng tỏ cho học sinh hiểu nắm vững chất khái niệm hay định lí, chẳng hạn: Ví dụ 2: Tính lim x 9  81  x (?): Học sinh cho rằng: lim x 9  81  x 2 lim x 9  x9  81  x    x  = f(9) =  81    99 =   x9 = (!): Thực hàm số f(x) =  81  x  81  x  tập xác hàm số f(x):   x     x  khơng có Giới hạn x =  x  , tức tập xác định K = 9 Do khơng thể áp dụng định nghĩa lim f(x) khơng thể lấy dãy x n  x 9 để thõa mãn điều kiện định nghĩa là:  xn  K , xn  mà x n   9, nên hàm số cho khơng có Giới hạn x = b) Khó khăn sai lầm hình thức (như hiểu sai cơng thức, kí hiệu…) Với số sách phổ thơng nước ta sử dụng có kí hiệu  để viết Giới hạn vô cực dãy số Nên tùy vào trường hợp mà kí hiệu  này, hiểu theo cách khác +   Vì vậy, nên xét Giới hạn vô cực dãy số phải xét cụ thể rõ ràng, Giới hạn +  hay Giới hạn  tức lim un = +  lim un =  Do  tập hợp thứ tự nên không n   n   thể kết luận chung chung Giới hạn  hay viết lim un=  Bản chất +  n   X©y dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT  khơng phải số thực cụ thể lớn đó, mà nói đến lân cận +  tức khoảng ( a ; +  ) lân cận  khoảng (  ; a) với a   , khơng thể thực qui tắc hay phép toán đại số chúng Chẳng hạn: lim xa f x   lim f  x  = L lim g  x  = +  x a x a g x  viết lim xa f x  f  x  lim L  xa   g  x  lim g  x    xa Nhưng kết Giới hạn (nếu có) dãy số un là: Giới hạn hữu hạn ( 0, số L  ) Giới hạn vô cực (   ), nên ta xem kí hiệu +   Giới hạn dãy số Như vậy, thực hành giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, hai khái niệm ''Giới hạn hữu hạn'' ''Giới hạn vô cực'', việc biến đổi phép toán Giới hạn dẫn đến sai lầm kí hiệu như: ( +  ) - ( +  ) = ? ;  = ?  n   n Học sinh A: lim  n   n  = lim  n    lim n  ()  ()  ; Ví dụ 3: Tính lim n   2 n   Học sinh B: lim n   Học sinh C: lim n   n  n   n n        n = lim n   1     ; n   n     n = lim n    n    n  lim  n  1 lim  n        2 n   n   c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy: Học sinh hay sai lầm áp dụng công thức, khái niệm cho trường hợp suy biến Trong lịch sử điển hình sai lầm vận dụng phép tương tự: Ví dụ 4: Tính tổng: S        Cách 1: S  (1  1)  (1  1)  (1  1)   Cách 2: S   (1  1)  (1  1)  (1  1)   Cách 3: S  1        1  (1  1)  (1  1)   1 Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu cách tính tổng sau: S         S   1        S  S   S  Với ba cách giải đầu áp dụng tính chất kết hợp tổng hữu hạn số hạng cho tổng vô hạn số hạng Một tổng hữu hạn số hạng không phụ thuộc vào thứ tự số hạng Với ba cách giải đầu áp dụng tính chất kết hợp tổng hữu hạn số hạng cho tổng vô hạn số hạng Một tổng hữu hạn số hạng khơng phụ X©y dùng mét sè phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới hạn cho häc sinh THPT thuộc vào thứ tự số hạng 3.2.2 Khó khăn sai lầm kĩ Hiện trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sánh tạo, học sinh yếu Học sinh trường chun lớp chọn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho tốn, tự giải nhiệm vụ học tập, đại đa số học sinh ỷ lại thầy cơ, sách giải tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác định lý dạng tập bản, dẫn đến học tập cách máy móc, rập khn, khơng phát huy kỹ sáng tạo không rèn kỹ kỹ xảo giải tốn giải tốn thừơng gặp khó khăn sai lầm a) Khó khăn sai lầm vận dụng định nghĩa, định lý, cơng thức: Ví dụ 5: Tính lim x 1 x 1 = x 1 x  (?): Học sinh cho kết quả: lim (!): Nhưng kết không tồn mà lúc ta phải phân biệt ra: lim x 1 1 =  lim = +  , lim không tồn x  x  x 1 x 1 x 1 Ví dụ 6: (?): lim n   Tính lim n      n n2     n n = lim = 0+0+ +0 =  lim   lim 2 n   n  n   n  n   n  n 2 (!): Các định lý phép toán Giới hạn phát biểu cho hữu hạn số hạng Trong lời giải áp dụng cho Giới hạn tổng vô hạn số hạng nên dẫn đến sai lầm Lời giải là: Ta có:      n  n  n  1 n n    n nn  1 n = Do đó: lim = lim = lim = lim 2 n   n   n   n   2n  n 2 2n   2 n 1 (!) Nhận xét: Tổng vô hạn đại lượng có Giới hạn chưa có Giới hạn (tức phép toán Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương phát biểu sử dụng cho hữu hạn số hạng) Vì thường sử dụng phép đánh giá kẹp phép biến đổi phân tích để tính tốn tổng vơ hạn đại lượng có Giới hạn Ví dụ 7:   1 Tính lim n   n n Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiĨu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT (?): Khơng tồn Giới hạn dãy số xét có: u1 = , u2 = , u3 = , … không tăng không giảm (!): Lời giải đưa khơng đúng, định lý dãy đơn điệu bị chặn có Giới hạn nêu lên điều kiện đủ mà điều kiện cần để dãy số có Giới hạn Mặt khác cần lưu ý rằng: Những số hạng dãy số không ảnh hưởng tới tồn Giới hạn dãy số Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ 102007 dãy số bắt đầu tiến bị chặn dãy số có Giới hạn, số hạng từ ( 102007 -1) trở trước không cần quan tâm Sự quan tâm tới số hạng dãy giúp cho phán đốn mà thơi, lời giải sau:   1 Vì   n  N * n n n     1 lim = nên lim = n   n   n n n  1n Ví dụ 8: Tính lim n   n2  (?): Học sinh áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất: un 0 n   v n Nếu lim un= L lim vn=   lim n   n   n  Tức: Với un = (-1)n , = lim n    1n n2   (!): Kết nhầm lẫn lim (-1)n khơng có Giới hạn n   Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp hai đai lượng có Giới hạn là: 1  2n 1 n2  n2 1  n2    1n n2  1  n2   n  1 = 1 Do lim = lim = nên lim n   2n n   n n   n 1 n Khái niệm Giới hạn hàm số khái niệm khó hiểu học sinh (thậm chí giáo viên), dạy khái niệm Giới hạn giáo viên không quan tâm tới giải thích tập xác định hàm số có vai trò tính Giới hạn nào? Ví dụ 9: Tính lim x 1   x2  x   Có học sinh lập luận: Ta có lim  x  lim x   x 1 x 1 Vậy theo định lí Giới hạn tổng hai hàm số thì: lim x 1    x  x  = Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiĨu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT Thực hàm số f(x) =  x  x  khơng có Giới hạn x = lẽ biểu thức  x  x  có nghĩa điểm x = nên tập xác định f(x) K= 1 Do khơng thể định nghĩa lim f(x) được, khơng thể lấy bất x 1 kì dãy x n  với x n  K , x n  mà x n  dần tới Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề Giới hạn hàm số cho nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng g(x) x  a  Ví dụ 10: Tìm giới hàm số f(x) =  h(x) a  x  b (x) x  b  Rất nhiều học sinh suy nghĩ x   ; a  lim g(x)  g(a) Thực x a lời giải phải xét Giới hạn bên phải, bên trái x = a b) Khó khăn sai lầm kĩ biến đổi Ví dụ 11: Tìm x2 1 lim x 1 x  x2  x2 1  x   lim (?): Học sinh giải: = limx  1 = 2, kết x 1 x  x 1 x 1 x2   x  dấu xảy ra, x 1 chúng có tập xác định hồn tồn khác thật sai lầm biến đổi đồng (!): Ta hiểu chất chọn dãy xn  1, xn  , n  N *   Khi lim x 1 Ví dụ 12: xn   xn  xn  x2 1 = limx  1 = x 1 x 1 Tìm lim x  x  x   3x 16 x   x  (?): Học sinh biến đổi là:   2 x        3 2 x x x  x   3x x x   lim lim = = = lim x  1 1  x 16 x   x  x  16    x  16     x x x x   (!): Thực học sinh thường hay nhầm lẫn đưa biểu thức khỏi dấu dạng x  x , kết x  +  nên phải biến đổi, Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT x2  x    x  Ta có:  16 x    x 16  x x x  3 x  x   3x x x  lim   Khi lim x  1 16 x   x  x 16    x x 1 c) Khó khăn sai lầm định hướng kĩ tính tốn Ví dụ 13: Tính lim n   4n   2n  n  4n   n (?): Thực hiện: lim n     1 1  4 2  n      n n n n  4n   2n   lim  = = lim   n    n  4n   n n      1 n    1   n n n n     đến gặp dạng vô định học sinh tính tốn tiếp để khử dạng vơ định cách nhân chia tử mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức phức tạp, khó khăn tính tốn, dễ đến kết (!): Khi tìm Giới hạn, số học sinh khơng có thói quen định hướng xác định dạng, trước biến đổi tính tốn đại số, từ đầu xác định n    tử số mẫu số có dạng vơ định (  -  ) ta phải khử dạng vơ định trước, cụ thể: Tính: lim n   lim n   4n 4n   2n  n  4n   n     2n  1  n  4n   n  2    =       1   n n n  4n   n n     1  lim   1 4n   2n  n   n         n   n2 n     Khi tìm Giới hạn, số học sinh khơng có thói quen xác định dạng thuộc loại vơ định trước định hướng biến đổi tính tốn đại số, xem dạng: (-  ) + (-  ), (+  ) + (+  ), (+  ) - (-  ), (-  ) - (+  ) thuộc dạng vô định (  ) - (  ), nên hay áp dụng kỷ thuật tính tốn khử dạng vơ định để giải Đôi việc áp dụng cho phép tính kết Giới hạn, đa số trường hợp khác dẫn tới dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: X©y dùng mét sè phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới hạn cho häc sinh THPT Ví dụ 14: Tìm Ví dụ 15: Tìm x  1 x  x x = +; = lim lim (x2 – x) = lim x   x   x  x x   1  x x lim x   x   x  lim x2   x x   1  x  lim x    thực biến đổi    x   1 x   x  lim x    1 1 x2 0 (dạng ) Nên dạng hiểu chất kết hợp với bảng kết phép tốn vơ cực lập (ở mục 2.1.4.3.e ) có đáp số: lim (x2 – x) = lim x2 - lim x = +  x   lim x   x x    x     x = lim x     x   lim x = +  x   Hoặc xét sau, cụ thể:  1 lim (x2 – x) = lim x 1     x   x  x   lim x   x     x   x = lim x      lim  x   1   x   x x  x    x   3.3 Thiết kế sử dụng mơ hình động hỗ trợ học sinh nâng cao hiểu biết Giới hạn Hiện nay, nước ta giới có nhiều phần mềm hỗ trợ dạy học toán như: The Geometer's Sketchpad (bản quyền Keypress), Cabri 2D&3D (bản quyền Cabrilog), GeoGebra (phần mềm mã nguồn mở phát triển Markus Hohenwater), Maple (bản quyền Maplesoft) Từ phần mền này, GV tạo mơ hình động nhằm giúp HS hiểu rõ chất khái niệm toán học Trong dạy – học Giới hạn GV, HS tạo mơ hình động để mơ tả Giới hạn dãy số hàm số cách trực quan Rõ ràng, HS cảm nhận khái niệm Giới hạn khơng khó khăn thơng qua mơ hình Việc tạo hình ảnh động trước không dễ dàng, tầm tay GV biết cách sử dụng phần mềm tính tốn phù hợp Các nghiên cứu giáo dục năm gần cho thấy việc sử dụng mơ hình nói chung mơ hình động nói riêng tạo mơi trường học tập tích cực cho HS Các mơ hình làm cho HS có nhìn trực quan khái niệm tốn học Bằng hình ảnh chuyển động liên tục, mơ hình động mang đến cho HS niềm tin vào đoán thân mối quan hệ, quy luật có đối tượng tốn học mơ hình hóa Một đốn ca HS l chớnh xỏc Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới hạn cho häc sinh THPT “liều thuốc kích thích” em, để em tiếp tục đường khám phá tri thức Mỗi mơ hình động chứa đựng nội dung toán học để HS khám phá, quan sát, đặt giả thiết thông qua thao tác tay, chuột hay bàn phím kéo rê, thay đổi giá trị biến… Từ có cảm nhận toán học ban đầu trực giác Khi HS đặt mơi trường kích thích say mê, hứng thú học tập hệ tất yếu em tích cực tìm tòi, suy nghĩ, tư để giải vấn đề; Chủ động đặt câu hỏi, đưa giả thuyết, xây dựng phản ví dụ để chứng minh cho luận điểm cá nhân Cũng thông qua mơ hình, HS biết cách đặt câu hỏi: “tại sao… ?” hay “liệu …?”; HS giao tiếp ngơn ngữ tốn học với mơ hình Qua phát triển tư phê phán, tư sáng tạo cho HS Với cách học vậy, HS phát huy tối đa khả tích cực, chủ động, sáng tạo Qua HS thơi khơng xem tốn học khơng thuộc em “bất lực” với Các mơ hình đề tài thiết kế phần mền The Geometer's Sketchpad 5.0 a) Các mơ hình dãy số có Giới hạn theo ngơn ngữ “mơ tả”  Mục tiêu Mơ hình nhằm giúp cho HS hình thành củng cố định nghĩa dãy số có Giới hạn (1) n  Mơ hình Giới hạn dãy số (un) với un  n  Thiết kế mơ hình Để thiết kế mơ hình ta thực theo bước sau: B1: Chọn Graph | Define Coordinate System để vẽ hệ trục tọa độ, hệ trục tọa độ thay đổi độ lớn nhỏ đơn vị để dễ quan sát B2: Tạo trượt số tự nhiên n (Bằng cách tự tạo sử dụng công cụ truot-tham so | he so nguyen duong ) Khi tạo trượt ý tạo đơn vị nhỏ để kéo rê điểm n giá trị n tăng nhanh  (1) n  ;0  B3: Thực lệnh Graph | Plot As (x;y) để dựng điểm M   n  B4: Từ M dựng đoạn thẳng vng góc với trục hoành cách chọn M tịnh tiến M lên 0,5 cm điểm N ta thực lệnh Transforn | Translate | 0.5 cm, 90 degrees B5: Dựng đoạn thẳng MN tổ hợp phím tắt Ctrl + L B6: Để tạo vết đoạn thẳng MN ta chọn MN bấm tổ hợp phím tắt Ctrl + T thực lệnh Edit | Preferences | color đánh dấu tích vào Fader X©y dùng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giíi h¹n cho häc sinh THPT Traces Over Time vết nhạt dần B7: Chọn n (1) n thực lệnh Number | Labulate để lập bảng giá trị n  Sử dụng mơ hình HS thực trả lời câu hỏi: - Mở trang Giới hạn dãy số (mô tả) | Dãy số - Kéo rê n để quan sát giá trị dãy số thay đổi trục số H1: Khi n tăng điểm biểu diễn so với điểm nào? H2: Khoảng cách un  từ điểm un đến điểm n đủ lớn? n HD: Kéo rê n quan sát giá trị (1)n n n H3: Bắt đầu từ số hạng khoảng cách un   n H4: Bắt đầu từ số hạng un   ? 10 1 1 ? un   ? un   ? 23 n 50 n 1000000 GV: Như số hạng dãy số cho, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước Ta nói  (1)n   có Giới hạn  n  dãy số   Mở rộng mơ hình Để thực cho số dãy số có Giới hạn khác ta cần nhấp đúp chuột (1)n sin n vào công thức đưa vào dãy số mà ta cần thực hành Ví dụ: dãy số n n trang Giới hạn dãy số (mơ tả) | Dãy số X©y dùng mét số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới h¹n cho häc sinh THPT b) Các mơ hình Giới hạn hàm số điểm theo ngôn ngữ “dãy”  Mục tiêu Mơ hình nhằm giúp cho HS hình thành cố định nghĩa Giới hạn hàm số điểm theo ngôn ngữ “dãy”  Mơ hình Giới hạn hàm số f ( x)  2x2  x0  x2  Thiết kế mơ hình B1: Chọn Graph | Plot New Function nhập hàm f(x) vào để vẽ đồ thị vẽ điểm nằm trục hồnh có hồnh độ x0=2 B2: Tạo trượt số nguyên n dương Đầu tiên ta chọn dãy số có Giới hạn 2, để thuận tiện thiết kế mơ hình GSP ta chọn xn   (1)n (Theo n Giới hạn dãy số lim xn  ) (1) n (1) n B3: Chọn Measure | Calculate để tính  f (2  ) n n (1) n ;0) ; điểm B4: Chọn Graph | Plot As (x;y) để dựng điểm M (2  n (1)n (1)n (1)n N (0; f (2  )) điểm Q(2  ; f (2  )) n n n B5: Chọn Number | Labulate để lập bảng cho giá trị n, xn , f ( xn )  Sử dụng mơ hình - Mở file Giới hạn hàm số (nn dãy) | Hàm số - Nhấp nút Show hàm số để hiển thị thông tin đồ thị hàm số f ( x )  2x2  x 2 (1) n n - Kéo rê n từ trái qua phải để quan sát việc di chuyển N M tiến tới điểm có tọa độ (2;0) Quan sát bảng giá trị để thấy thay đổi giá trị - Nhấp nút Show dãy số để hiển thị dãy số xn   n, xn , f ( xn ) H1: Khi n tăng lớn điểm N dần tới đâu? H2: Khi lim xn  giá trị lim f ( xn ) bng bao nhiờu? Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới hạn cho học sinh THPT GV: Như vậy, cho dãy ( xn ) với xn  cho lim xn  mà lim f ( xn )  ta nói hàm số f có Giới hạn x dần tới  Mở rộng mô hình Để thiết kế mơ hình cho số hàm số khác ta cần nhấp đúp chuột vào hàm số f ( x) đưa vào hàm số mà ta cần thực hành Ví dụ: hàm số f ( x)  2 x  x  (mở trang Giới hạn hàm số (nn dãy) | Hàm số 2) Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với phương pháp nêu đề tài áp dụng tiết dạy chủ đề Giới hạn thu số kết khả quan sau: + Khi sử dụng phương thức nhằm tiếp cận khái niệm Giới hạn nhìn chung lớp em tích cực hoạt động, lớp học sơi khơng khí thỗi mái học phát huy tính chủ động, tính độc lập sáng tạo phương pháp dạy học huy động học sinh tham gia vào trình nhận thức phù hợp với trình độ tiếp thu học sinh Nhưng có mặt hạn chế số học sinh lớp bở ngỡ, qua tìm hiểu thực trạng học tập em yếu thực tế em chưa thực ý thức tham gia vào hoạt động học tập cách tích cực + Trong tiết học có áp dụng mơ hình động chúng tơi thấy với mơ hình thiết kế cách trực quan sinh động tạo cho HS hào hứng, tích cực, tự giác X©y dùng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giíi h¹n cho häc sinh THPT việc kiến tạo tri thức cho thân Ngồi ra, với mơ phỏng, giữ bất biến toán học, làm rõ mối quan hệ bên nội dung toán học mơ hình động giúp HS quan sát, khám phá hình thành nên tri thức cho thân + Với việc sai lầm mà học sinh hay mắc phải làm tập chủ đề Giới hạn biện pháp khắc phục làm cho học sinh hiểu rõ chất khái niệm Giới hạn, đồng thời tránh sai lầm đáng tiếc X©y dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT III KẾT LUẬN Qua đề tài này, lần khẳng định tầm quan trọng Giới hạn Tốn học nói chung Tốn học phổ thơng nói riêng Nắm vững nội dung khái niệm Giới hạn khâu đầu tiên, tiền đề quan trọng để xây dựng cho HS khả vận dụng vững chắc, có hiệu kiến thức Giải tích tốn học phổ thơng Qua đề tài này, số yếu việc tiếp thu tri thức Giới hạn phân tích ngun nhân yếu Từ hạn chế mà HS gặp phải giải vấn đề Giới hạn HS nhà giáo dục có biện pháp để giúp HS nâng cao hiểu biết Giới hạn Việc hạn chế lời cảnh tỉnh đến việc dạy phận GV chủ đề Giới hạn “dạy cho xong” Trên sở chúng tơi mạnh dạn đề xuất số phương pháp nhằm nâng cao hiệu cho học sinh THPT tiếp thu khái niệm Giới hạn Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho GV HS trong hoạt động dạy họa chủ đề Giới hạn Các mơ hình nghiên cứu cung cấp cho GV công cụ tích hợp vào giảng, xây dựng kế hoạch học chủ đề Giới hạn hiệu Ngoài ra, có niềm đam mê khám phá tốn học qua phần mềm GSP tìm thấy nghiên cứu công cụ phục vụ cho việc thiết kế mơ hình Giới hạn theo ngôn ngữ khác Trên số kinh nghiệm thân đúc kết trình giảng dạy, có nhiều thiếu sót mong q thầy đóng góp ý kiến đề tài hoàn thiện vào áp dụng Xin chân thnh cm n! Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới hạn cho học sinh THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Đoàn Quỳnh, Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Bùi Văn Nghị, Nguyễn Xuân Liêm (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình sách giáo khoa lớp 11 mơn tốn Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Nguyễn Bá Kim (2008), Phương pháp dạy học mơn tốn, Nhà xuất đại học Sư Phạm, Hà Nội Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử Toán học, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2001), Giới hạn dãy số hàm số, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Khu Quốc Anh (2007), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn lớp 11, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2009), Đại số Giải tích 11 , Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2009), Đại số Giải tích 11 – Sách giáo viên, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2007), Khám phá Đại số Giải tích 11 với The Geometer’s Sketchpad, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Trần Vui (2008), Dạy học có hiệu mơn tốn theo xu hướng mới, Bài giảng dành cho học viên cao học Huế 10 Lê Duy Hiền, Thiết kế sử dụng mơ hình động hỗ trợ học sinh nâng cao hiểu biết Giới hạn, Luận văn thạc sĩ, Huế Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT ... đề Giới hạn đề tài thân, xin đề xuất số kinh nghiệm qua đề tài: ”Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học sinh THPT Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết giới. .. sau: Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiĨu biÕt vỊ giíi h¹n cho häc sinh THPT Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Giới Giới hạn Giới hạn hạn trái phải hạn  + -  điểm  x điểm x Giới Sơ đồ biểu... việc dạy học chủ đề Giới hạn trường THPT thân xin đề xuất số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học sinh THPT sau: Xây dựng số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết Giới hạn cho học