TÀI LIỆU ôn THI vào 10 TOÁN

Tài liệu ôn thi vào 10 Nội dung Phần I: Các vấn đề Toán Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa - Kiến thức cần nhớ - Một số tốn có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 2: Phương trình bậc hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc – Bậc hai - Một số kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 4: Giải toán cách lập phương trình–Hệ PT - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 5: Hệ phương trình bậc hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max biểu thức - Một số tập tiêu biểu có lời giải Vấn đề 7: Hình học phẳng khơng gian - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải Phần II : Một số đề thi tiêu biểu có đáp án biểu điểm Phần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp PHẦN I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN Tài liệu ôn thi vào 10 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học �x �0 - Một cách tổng quát: x  a � �2 �x  a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a  b � a  b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2  A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu - A xác định (hay có nghĩa) � A �0 b Hằng đẳng thức A2  A - Với A ta có A2  A - Như vậy: + A2  A A �0 + A2   A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A �0 B �0 ta có: A.B  A B + Đặc biệt với A �0 ta có ( A )2  A2  A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương a Định lí: Với A �0 B > ta có: A  B A B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a khơng âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B �0, ta có A2 B  A B , tức + Nếu A �0 B �0 A2 B  A B Tài liệu ôn thi vào 10 + Nếu A < B �0 A2 B   A B b Đưa thừa số vào dấu + Nếu A �0 B �0 A B  A2 B + Nếu A < B �0 A B   A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B �0 B � 0, ta có A  B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B  B B - Với biểu thức A, B, C mà A �0 A �B , ta có C C ( A �B )  A  B2 A �B - Với biểu thức A, B, C mà A �0, B �0 A �B , ta có C ( A � B) C  A B A� B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3  a3  a b Tính chất - Với a < b a  b - Với a, b ab  a b - Với a b �0 a 3a  b 3b A.2 Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( �n �N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)  Mọi số có bậc lẻ  Căn bậc lẻ số dương số dương  Căn bậc lẻ số âm số âm  Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k )  Số âm khơng có bậc chẵn Tài liệu ôn thi vào 10  Căn bậc chẵn số số  Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu d Các phép biến đổi thức  2k  A.B  k 1 A.2 k 1 B với  A, B A.B  k A k B với  A, B mà A.B �0 A2 k 1.B  A.2 k 1 B với  A, B k 1 2k  A2 k  A với  A k 1 2k  A2 k 1  A với  A k 1 2k  A xác định với A A xác định với A �0 k 1 A2 k B  A k B với  A, B mà B �0 A  B k 1 2k A  B  m n  m k 1 k 1 2k A 2k B A với  A, B mà B �0 B với  A, B mà B �0, A.B �0 A  mn A với  A, mà A �0 m An  A n với  A, mà A �0 B MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = 2- +2 b B = + c C = + + + +3 2+ - 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a A = 3- 2= + +2 2( - 3) 4- +4 + +3 2+ - 2 2( + 3) +2 - 2k a  2k a Tài liệu ôn thi vào 10 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3)2 + 2( + 3) = 3- 24 = =- - b B = + = = = =3 = c C = + + = + + = + + =3  Bài 2: Cho biểu thức A =  x x    : x  1 x 1   x1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện  x �1 Với điều kiện đó, ta có: b) Để A = Vậy x  A x  x 1 :   x 1 x 1  x 1  x 1 x x 1  � x  � x  (thỏa mãn điều kiện) x A = c) Ta có P = A - x = � �  x  � x � x x� � x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: x  Suy ra: P �6 1 5 Đẳng thức xảy x  Vậy giá trị lớn biểu thức P  5 x  Bài 3: 1) Cho biểu thức A  x � x x �2 x 9 x 4 Tính giá trị A x = 36 x 2 x 6 Tài liệu ôn thi vào 10 � x � x  16  � �: x  (với x �0; x �16 ) x  x  � � 2) Rút gọn biểu thức B  � � 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36  10   36  1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 2) Với x �0, x  16 ta có : � x( x  4) 4( x  4) � x  (x  16)( x  2) x2   � = � x  16 �x  16 (x  16)(x  16) x  16 � x  16 B= � � 3) Ta có: B( A  1)  x2 � x � x2 2 �  1�   � � x  16 � x  � x  16 x  x  16 Để B(A 1) nguyên, x nguyên x 16 ước 2, mà Ư(2) =  �1; �2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x 16 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x �0, x �16 , để B(A 1) nguyên x � 14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biểu thức: x P ( x  y )(1  y )  y x   xy    y) x 1  y  x  x  1  a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện để P xác định :; x  ; y  ; y 1 ; x  y  P     x(1   x  x )  y (1    1  x  y  x  y y )  xy x   1  y  y x y  xy  y  xy    y 1  ( x  y )  x x  y y  xy  x   y 1  y x  x  1  y  x  1  y   x    x  1  x  1  y  x 1  y  1  y   y 1  y  x  y  y  y x  1  y  1  y  x   x   x 1 y  x 1  x  xy  y y  Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy P = x  xy  y b) ĐKXĐ: x  ; y  ; y 1 ; x  y  P =  x  xy  y =     x1   y   x  11  y  1  y 1 � x  x = 0; 1; 2; ; Ta có: + y �1  x  �1 ۣ Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) x Bài 5:Cho biểu thức M =  x  x 6 x 1 x3  x 3 2 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x  Z để M  Z HƯỚNG DẪN GIẢI: M= x9 x x 6  x 1 x x 3  2 a.ĐK x 0; x 4; x 9 Rút gọn M = x  9  0,5đ  M= x   x      x  x   x 1 x x Biến đổi ta có kết quả: M = b M 5  x     x x  x    x  3 x 1  x   x   2 x x M  5   x  5 x   x  5 x  15  16 4 x 16  x  4  x 16 Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9 Vậy x = 16 M = x 1 x Tài liệu ôn thi vào 10 c M = x 1 x  x  34 x 1  x Do M  z nên x  ước  x  nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta được:  x  1;4;16;25;49 x 4  x  1;16;25;49 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ P( a a1 a1  ) (  ) 2 a a1 a1 a a  ( a  1)2  ( a  1)2 P( ) a ( a  1)( a  1) P( P a  a  a  1 a  a  ) a a (a  1)4 a 1 a  4a a Vậy P = 1 a Víi a > a ≠ a b) Tìm a để P < Với a > a ≠ nên >  P = <  - a <  a > ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( + ) : a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q= -(1+): Tài liệu ôn thi vào 10 = - = - = = = b) Khi có a = 3b ta có: Q= = = Bài 8: Cho biểu thức  x3  y x  x y  y3  1  A     : y  x  y x y   x x y  xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1  1  A     :  a)   x y  x y x  y    x y x  y    :   xy xy x  y     x  y    :  xy  xy     x y xy b) Ta có    A x y  xy  x  y x   xy x  y  xy  x  y  xy x x  y xy y y  0   x x y x y xy  Vậy A = Bài 9: Cho biểu thức: xy xy  xy 0 x  y 2 16 16 1  xy  y  xy x  y y  x  y x  Do  x3  y x  x y  y3 xy ( xy = 16 ) � �x  y � x  y  � xy  16 �   Tài liệu ôn thi vào 10    x     x  P   x  x   x 2  x  x  x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P c) Tính giá trị P với x 3  2 HƯỚNG DẪN GIẢI:  x 0   x  0 a Biểu thức P có nghĩa :    x 0   x   0 x 0  x 1  x 1       x 2  x 2  x 3   x 3 b) Đkxđ : x 1; x  2; x 3  P       x x  x x 1 x  x x     x   x  x    2 x  x  3       x     x x 1 x 1  x 2  x  x    x  x 2  x  x   x  3 x    x  x     x   x    x    x 2 x            x  x   x  3 x      x    x 2 x x  x 1 x    x  x 1 x 1   x1     x     1 x   c) Thay x 3  2   vào biểu thức P  P 2    21  21 2  2 21 21  2 2 x x 2 1 21 Bài 10: Cho biểu thức: x 8x x 1  ):(  ) P =( 2 x 4 x x2 x x x x  , ta có: 21  1   x   Tài liệu ôn thi vào 10 *) x12  x 22  (x1  x )  2x1x  (m)  2(m  3)  m  2m  *) x13  x 32  (x1  x )3  3x1x (x1  x )  (m)3  3(m  3)(m)  m  3m  9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x �  �0 Khi x12  x 22  m  2m  Do x12  x 22  � m  2m   � m  2m  15   '(m)  (1)  1.(15)   15  16  0;  (m)  => phương trình có hai nghiệm : m1  1 1  5; m   3 1 +) Với m  �   7  => loại +) Với m  3 �    => thỏa mãn Vậy với m = - phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12  x 22  d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x �  �0 Thử lại : �x1  x   m �x1 x  m  Khi theo định lý Vi-et, ta có : � (a) (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = (c) Từ (a) (c) ta có hệ phương trình : 3x  3x  3m x  3m  �x1  x  m � �x  3m  � �� � �1 � �1 � 2x1  3x  � 2x1  3x  x   m  x1 x  2m  � � � �x1  3m  vào (b) ta có phương trình : �x  2m  Thay � (3m  5)(2m  5)  m  � 6m  15m  10m  25  m  � 6m  26m  28  � 3m  13m  14   ( m)  132  4.3.14   13   2 2.3 => phương trình có hai nghiệm phân biệt : 13  m2   2.3 Thử lại : +) Với m  2 �   => thỏa mãn 7 25 +) Với m  �    => thỏa mãn Vậy với m  2; m   phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Phương trình (1) có nghiệm x1  3 � (3)2  m.(3)  m   � 2m  12  � m  Khi : x1  x   m � x  m  x1 � x  6  (3) � x  3 m1  Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � ac  � 1.(m  3)  � m   � m  3 Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy với m < - phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có : m   x1  x �x1  x  m � �� �  x1  x  x1x  � m  x1x  �x1x  m  � Vậy hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – = Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm lại(nếu có)? HƯỚNG DẪN GIẢI: a) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2   m  phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m  + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2 =  m = Khi x =  (thoả mãn m ≠ 1) 1  3 m 1 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = với m = 2 phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - =  4m – =  m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1=  ≠ 0) 4 3 3  12  x 6 Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m   Tài liệu ôn thi vào 10 nghiệm lại x2 = Vậy m = Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - - m = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22  10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI:  15  a) Ta có:  = (m-1) – (– – m ) =  m    2  ’ 2 15 1  Do  m   0 với m;    > với m 2   Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – – m <  m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm  S < P >  2( m  1)      (m  3)  m 1  m3  m   Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A  10  4m2 – 6m   2m(2m-3)    m 0   m  0      m 0    2m  0   m 0   m  3  m        m    m     m   Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy m  m  e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm  x1  x 2(m  1)  x  x  2m     x1 x  (m  3)  x1 x  2m  Theo định lí Viet ta có:   x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m 8 x f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = -  x1(1+2x2) = - ( +x2)  x1   x 8 x Vậy x1   x ( x2  ) 2 Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1  x ; y  x  x với x1; x2 nghiệm phương trình HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo  ' 0    P 1   m 0    m  1  m 2  m 2   m 2 Vậy m = b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm     – m   m  (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3)  x1  x   x  x   Từ (1) (3) ta có:   x1  x    x  x    x1 5   x  x   2   x1 5   x  Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m  phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) 1 x x  2m Khi đó: y1  y  x1  x  x  x  x1  x  x x   m  1  m (m≠1) 2 Tài liệu ôn thi vào 10 y1 y ( x1  1 1 m2 )( x  )  x1 x   m   2  (m≠1) x2 x1 x1 x m m 2m m2  y1; y2 nghiệm phương trình: y y + = (m≠1) 1 m m Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = (1) Tìm tất số ngun m để phương trình (1) có nghiệm nguyên HDẫn : * m = : -2x + =  x 1 * m 1 : m - + (-2m) +m +1 =  x1 1 ; x   m  1;2  m    1;0;2;3 m 1 1  m m Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = Xác định m n để phương trình có nghiệm -2 HDẫn :  6m  3n 6  m 2     4m  3n 14  n 2 Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau có nghiệm : mx2 + (mn + 1)x + n = HDẫn :   m 0  m        0 n  m      mn  1  n 0 4 Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + = (1) x2 + x - 2m - 10 = (2) CMR : Với m, phương trình có nghiệm Tài liệu ơn thi vào 10 HDẫn :     26 >  có biệt số khơng âm Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR với m, phương trình có nghiệm HDẫn :  (m  1)(m  4) ;  16(1  m)(m  4)    16(m  1) (m  4) 0  có biệt số khơng âm Bài 6: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = HDẫn : (m -2)x = m - nghiệm) : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( vô + m 2 : x = ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = : + m = : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = HDẫn : (m - 4)x = m - ( vô nghiệm) + m 4 : x = ; m = -2 Bài : Gọi x1 x nghiệm phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phương trình (1) thoả mãn : x1  x 6 HDẫn : *  (3k  4) 0  k   k 0 32 *  k  15  (t/m) Bài : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = Xác định m để hai x1 , x ta có hệ thức : x1 x  5( x1  x2 )  0 nghiệm HDẫn : *   m  0  m   m 2 *  m  loại m = Bài 10: Cho phương trình x  2 m  2 x  m  0 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để x1 1  x   x 1  x1  m Tài liệu ôn thi vào 10 HDẫn : 3  * ' =  m     2   m 0 * x1 1  x   x 1  x1  m  x1  x  x1 x m  m m  2 0    m  Bài 11: Cho phương trình x  2 m  3 x  2m  0 (1) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1, x2 tìm m để HDẫn : 1  m x1  x  *  =  m  4 0 1  33 * x   x   m  m  m  0  m  2 Bài 11: Cho phương trình x - ( 2m + 1)x + m + m = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2