TÀI LIỆU ôn THI vào 10 TOÁN

Tài liệu ôn thi vào 10 Nội dung Phần I: Các vấn đề Toán Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa - Kiến thức cần nhớ - Một số tốn có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 2: Phương trình bậc hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc – Bậc hai - Một số kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 4: Giải toán cách lập phương trình–Hệ PT - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 5: Hệ phương trình bậc hai ẩn số - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải - Một số tập tự luyện Vấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max biểu thức - Một số tập tiêu biểu có lời giải Vấn đề 7: Hình học phẳng khơng gian - Kiến thức cần nhớ - Một số tập có lời giải Phần II : Một số đề thi tiêu biểu có đáp án biểu điểm Phần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp PHẦN I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN Tài liệu ôn thi vào 10 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học x ≥ - Một cách tổng quát: x = a ⇔  x = a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b khơng âm ta có: a < b ⇔ a < b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu - A xác định (hay có nghĩa) ⇔ A ≥ b Hằng đẳng thức A2 = A - Với A ta có A2 = A - Như vậy: + A2 = A A ≥ + A2 = − A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A ≥ B ≥ ta có: A.B = A B + Đặc biệt với A ≥ ta có ( A )2 = A2 = A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương a Định lí: Với A ≥ B > ta có: A = B A B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a khơng âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có A2 B = A B , tức + Nếu A ≥ B ≥ A2 B = A B Tài liệu ôn thi vào 10 + Nếu A < B ≥ A2 B = − A B b Đưa thừa số vào dấu + Nếu A ≥ B ≥ A B = A2 B + Nếu A < B ≥ A B = − A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B ≥ B ≠ 0, ta có A = B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B = B B - Với biểu thức A, B, C mà A ≥ A ≠ B , ta có C C ( A ± B) = A − B2 A±B - Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ A ≠ B , ta có C ( A ± B) C = A− B A± B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3 = a3 = a b Tính chất - Với a < b a < b - Với a, b ab = a b - Với a b ≠ a 3a = b 3b A.2 Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( ≤ n ∈ N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) • Mọi số có bậc lẻ • Căn bậc lẻ số dương số dương • Căn bậc lẻ số âm số âm • Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k ) • Số âm khơng có bậc chẵn Tài liệu ơn thi vào 10 • Căn bậc chẵn số số • Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu d Các phép biến đổi thức • A xác định với ∀A A xác định với ∀A ≥ k +1 A2 k +1 = A với ∀ A k +1 2k • 2k • A.B = k A k B với ∀ A, B mà A.B ≥ A2 k +1.B = A.2 k +1 B với ∀ A, B k +1 2k • A.B = k +1 A.2 k +1 B với ∀ A, B k +1 2k • A2 k = A với ∀ A A2 k B = A k B với ∀ A, B mà B ≥ A = B k +1 2k A = B • m n • m k +1 k +1 2k A 2k B A với ∀ A, B mà B ≠ B với ∀ A, B mà B ≠ 0, A.B ≥ A = mn A với ∀ A, mà A ≥ A =A n m n với ∀ A, mà A ≥ B MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = 2- +2 b B = + c C = + + + +3 2+ - 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a A = 3- 2= + +2 2( - 3) 4- +4 + +3 2+ - 2 2( + 3) +2 - 2k a − 2k a Tài liệu ôn thi vào 10 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ +1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - b B = + = = = =3 = c C = + + = + + = + + =3  Bài 2: Cho biểu thức A =  x− x +   : x −1 ( x +1 ) x −1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện < x ≠ Với điều kiện đó, ta có: b) Để A = Vậy x = A= x ( x +1 : ) ( x −1 x +1 ) x −1 = x −1 x x −1 = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) x A = c) Ta có P = A - x =   − x = −9 x + ÷+ x x  x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ –si cho hai số dương ta có: x + Suy ra: P ≤ −6 + 1= −5 Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị lớn biểu thức P = −5 x = Bài 3: 1) Cho biểu thức A = x ⇔ x= x ≥ x 9 x +4 Tính giá trị A x = 36 x +2 x =6 Tài liệu ôn thi vào 10  x  x + 16 + ÷ ÷: x + (với x ≥ 0; x ≠ 16 ) x + x −   2) Rút gọn biểu thức B =  3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có :  x( x − 4) 4( x + 4)  x + (x + 16)( x + 2) x+2 + = ÷ = ÷ x − 16  x + 16 (x − 16)(x + 16) x − 16  x − 16 B =  3) Ta có: B(A − 1) = x+2  x+4  x+2 2  − 1÷ = = ÷ x − 16  x +  x − 16 x + x − 16 Để B(A− 1) nguyên, x nguyên x− 16 ước 2, mà Ư(2) = { ±1; ±2 } Ta có bảng giá trị tương ứng: x− 16 −1 −2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 16 , để B(A− 1) nguyên x ∈ { 14; 15; 17; 18 } Bài 4: Cho biểu thức: P= x ( x + y )(1 − y ) − y x + ( xy − ) ( y) x +1 )( x + 1− y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện để P xác định :; x ≥ ; y ≥ ; y ≠ ; x + y ≠ P= = = = ( x(1 + ( x + x ) − y (1 − ( ) (1 + x + y )( x − y y ) − xy x + ) (1 − y ) y +x− y ) xy + y − xy = ) ( y 1+ ) ( x − y ) + x x + y y − xy ( x + )( y 1+ )( y) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( + x ) ( − x ) (1 + x ) (1 − y ) x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y ) x − y + y − y x = (1 − y ) (1 − y ) x + )( x ( )( ( x 1− x + y ) x 1− = x + xy − y y ) Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy P = x + xy − y b) ĐKXĐ: x ≥ ; y ≥ ; y ≠ ; x + y ≠ P = ⇔ x + xy − y = ⇔ ⇔ ( ( x1+ ) ( y − )( x −1 + ) ) y +1 =1 y =1 Ta có: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) x −9 Bài 5:Cho biểu thức M = + x−5 x +6 x +1 x −3 + x+3 2− x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x ∈ Z để M ∈ Z HƯỚNG DẪN GIẢI: M= x −9 x−5 x +6 + x +1 x −3 x +3 + 2− x a.ĐK x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Rút gọn M = x −9 − ( 0,5đ ( Biến đổi ta có kết quả: M = M= x −1 b M =5 ⇔ ( x −3 )( ) ( )( x + x − + x +1 x − x −3 ( ( ( )( ) x − x −2 x −2 )( )( x −3)( x +1 x −3 x −2 ) ) ⇔M x −2) x −2 ) = =5 ) ⇒ x +1 =5 x −3 ⇔ x +1 =5 x −15 ⇔16 =4 x 16 ⇒ x = =4 ⇒x =16 Đối chiếu ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Vậy x = 16 M = x +1 x −3 Tài liệu ôn thi vào 10 c M = x +1 x −3 = x −3 + x −3 =1 + x −3 Do M ∈ z nên x − ước ⇒ x − nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta được: ⇒ x ∈ {1;4;16;25;49} x ≠ ⇒ x ∈ {1;16;25;49} Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ P=( a a−1 a+1 − ) ( − ) 2 a a+1 a−1 a a − ( a − 1)2 − ( a + 1)2 P=( ) a ( a + 1)( a − 1) P=( P= a − a − a + 1− a − a − ) a− a −(a − 1)4 a 1− a = 4a a Vậy P = 1− a Víi a > a ≠ a b) Tìm a để P < Với a > a ≠ nên >  P = <  - a <  a > ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( + ) : a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q= -(1+): Tài liệu ôn thi vào 10 = - = - = = = b) Khi có a = 3b ta có: Q= = = Bài 8: Cho biểu thức  1  A =  + + + y  x + y x  x 3 1 x + y x + x y + y : y  x y + xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1  A = + + +  a)  y  x + y x  x 1 : y   x+ y x + y  = + :   xy xy x + y   (  x + y  = + :  xy  xy   ( = x+ y xy b) Ta có   ) A= xy ) x+ y x+ = xy y y xy ≥ Vậy A = Bài 9: Cho biểu thức: ) ( x+ y y  ≥ ⇔ x + y −  x− x+ )( x + y x − xy + y + xy xy ( x + y ) ⇔ Do x y + xy y ( x + y) x+ xy ( x3 + y x + x y + y3 xy xy = x+ 16 16 xy ≥ y ≥2 =1 xy ( xy = 16 )   x= y ⇔ x = y =  xy = 16   ) ( x+ y ) Tài liệu ôn thi vào 10  x −  x+ 2  P =  −   − x − −  − x x − x   x − x−1 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa c) Tính giá trị P với x = − 2 b) Rút gọn biểu thức P HƯỚNG DẪN GIẢI:    a Biểu thức P có nghĩa :     x > x ≥1 x ≥1   ⇔ ⇔x ≠ x ≠ x ≠   x ≠ b) Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ ( ( )( − x ≠0 x −1 − ≠ x −3 x + x −1 x − x −1 x −1 ≥   −   x −1 −  − x  P = −   x − x −1  =  x >0 ) x + x −1 ( ( x − 3) ( − ) ( x+ 2  2x − x   x −1 − ) )  −  x −1 +  − x x −1 + )( ) x  x + x − ( x − 3) x − +  x − x − = −  x − ( x − ) ( x − ) − x 2− x   ( ) ( ( )  x + x − ( x − 3) x − +  − − x  =  −  x 2− x x −3  x − x +1  = ( ) − x1 = ( x + x −1 − x −1 − c) Thay x = − 2 = P= 2− ( ( ( ) −1 ) −1 ) ( ) x − ( − 1) x ) ) = 2 − vào biểu thức P = = 2− −1 −1 = (   2− x  x+ 2− x x 2− x , ta có: x − +1 −1 Bài 10: Cho biểu thức: x 8x x −1 + ):( − ) P =( 2+ x 4−x x −2 x x = −1 = +1 ) Tài liệu ôn thi vào 10 *) x13 + x 32 = (x1 + x )3 − 3x1x (x1 + x ) = (−m)3 − 3(m + 3)(−m) = −m + 3m + 9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x ⇔ ∆ ≥ Khi x12 + x 22 = m − 2m − Do x12 + x 22 = ⇔ m − 2m − = ⇔ m − 2m − 15 = ∆ '(m) = (−1) − 1.(−15) = + 15 = 16 > 0; ∆ (m) = => phương trình có hai nghiệm : m1 = 1+ 1− = 5; m = = −3 1 +) Với m = ⇒ ∆ = −7 < => loại +) Với m = −3 ⇒ ∆ = > => thỏa mãn Vậy với m = - phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x ⇔ ∆ ≥ Thử lại :  x1 + x = − m  x1 x = m + Khi theo định lý Vi-et, ta có :  (a) (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = (c) Từ (a) (c) ta có hệ phương trình :  x1 + x = −m 3x + 3x = −3m  x = −3m −  x = −3m − ⇔ ⇔ ⇔   2x1 + 3x = 2x1 + 3x =  x = − m − x1  x = 2m +  x1 = −3m − vào (b) ta có phương trình :  x = 2m + Thay  (−3m −5)(2m +5) = m +3 ⇔−6m −15m −10m − 25 = m +3 ⇔−6m − 26m −28 = ⇔3m +13m +14 = ∆(m) =132 − 4.3.14 =1 > −13 + = −2 2.3 => phương trình có hai nghiệm phân biệt : −13 − m2 = =− 2.3 Thử lại : +) Với m = −2 ⇒ ∆ = => thỏa mãn −7 25 +) Với m = ⇒ ∆ = > => thỏa mãn Vậy với m = −2; m = − phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Phương trình (1) có nghiệm x1 = −3 ⇔ (−3) + m.(−3) + m + = ⇔ −2m + 12 = ⇔ m = Khi : x1 + x = − m ⇔ x = − m − x1 ⇔ x = −6 − (−3) ⇔ x = −3 m1 = Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < ⇔ 1.(m + 3) < ⇔ m + < ⇔ m < −3 Vậy với m < - phương trình có hai nghiệm trái dấu Tài liệu ơn thi vào 10 g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có :  x1 + x = −m  m = − x1 − x ⇔ ⇔ − x1 − x = x1x −   x1x = m +  m = x1 x − Vậy hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – = Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? HƯỚNG DẪN GIẢI: a) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ ⇔ m ≥ phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m ≥ + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 = ⇔ m = Khi x = − (thoả mãn m ≠ 1) 1 =− =3 m −1 −1 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = với m = 2 phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = ⇔ 4m – = ⇔ m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1= − ≠ 0) 4 −3 −3 = = 12 ⇒ x = Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − − Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy m = nghiệm lại x2 = Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - - m = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 15 a) Ta có: ∆’ = (m-1)2 – (– – m ) =  m −  +  2 15 1  Do  m −  ≥ với m; > ⇒ ∆ > với m 2  ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < P > 2(m − 1) < m < ⇔ ⇔ ⇔ m < −3 − (m + 3) > m < −3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥  m ≥   m ≥  m ≥   m ≥  2 m − ≥  ⇔ ⇔ ⇔  m ≤  m ≤   m ≤     2m − ≤  m ≤  Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy m ≥ m ≤ e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm  x1 + x = 2(m − 1)  x + x = 2m − ⇔   x1 x = −(m + 3) 2 x1 x = −2m − Theo định lí Viet ta có:  ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - ⇔ x1(1+2x2) = - ( +x2) ⇔ x1 = − + x2 + x2 8+ x Vậy x1 = − + x ( x2 ≠ − ) 2 Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + x ; y = x + x với x1; x2 nghiệm phương trình HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo ∆' ≥ 2 − m ≥ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m=2 m − = m = P =    Vậy m = b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ – m ≥ ⇔ m ≤ (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3)  x1 + x = −2  x + x = −4 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ 3 x1 + x = 3 x1 + x =  x1 + x = −2  x = −7 Từ (1) (3) ta có:  Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m ≤ phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) 1 x +x −2 2m Khi đó: y1 + y = x1 + x + x + x = x1 + x + x x = −2 + m − = − m (m≠1) 2 Tài liệu ôn thi vào 10 y1 y = ( x1 + 1 1 m2 )( x + ) = x1 x + + = m −1+ +2= (m≠1) x2 x1 x1 x m −1 m −1 2m m2 ⇒ y1; y2 nghiệm phương trình: y y + = (m≠1) 1− m m −1 Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = (1) Tìm tất số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên HDẫn : * m = : -2x + = ⇔ x = * m≠1 : m - + (-2m) +m +1 = ⇒ x1 = ; x = ⇒ m − = ±1;±2 ⇒ m ∈ { − 1;0;2;3} m +1 = 1+ m −1 m −1 Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = Xác định m n để phương trình có nghiệm -2 HDẫn : 6m − 3n = m = ⇔  4m + 3n = 14 n = Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau có nghiệm : mx2 + (mn + 1)x + n = HDẫn :  m ≠  m = −2   ⇔ ∆ = n=− m    + ( mn + 1) + n = 4 Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + = (1) x2 + x - 2m - 10 = (2) CMR : Với m, phương trình có nghiệm Tài liệu ôn thi vào 10 HDẫn : ∆ + ∆ = 26 > ⇒ có biệt số khơng âm Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR với m, phương trình có nghiệm HDẫn : ∆ = (m − 1)(m − 4) ; ∆ = 16(1 − m)(m − 4) ∆ ∆ = −16(m − 1) (m − 4) ≤ ⇒ có biệt số khơng âm Bài 6: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = HDẫn : (m -2)x = m - nghiệm) : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( vô + m ≠ : x = ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = : + m = : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = HDẫn : (m - 4)x = m - ( vô nghiệm) + m ≠ : x = ; m = -2 Bài : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phương trình (1) thoả mãn : x1 − x = HDẫn : * ∆ = (3k + 4) ≥ ⇔ k ≠ − k = 32 *  k =− 15  (t/m) Bài : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = Xác định m để hai x1 , x ta có hệ thức : x1 x − 5( x1 + x ) + = nghiệm HDẫn : * ∆ = 4m − ≥ ⇔ m ≥ m = *  m=  loại m = Bài 10: Cho phương trình x − 2( m + 2) x + m + = Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) = m Tài liệu ôn thi vào 10 HDẫn : 3  * ∆' =  m +  + >  2 m = m = −2 * x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) = m ⇔ x1 + x − x1 x = m ⇔ m( m + 2) = ⇔  Bài 11: Cho phương trình x − 2( m − 3) x + 2m − = (1) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1, x2 tìm m để HDẫn : 1 + =m x1 + x + * ∆ = ( m − 4) ≥ 1 ± 33 * x + + x + = m ⇔ 2m − m + = ⇔ m = 2 Bài 11: Cho phương trình x - ( 2m + 1)x + m + m = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2 −2 ⇔ ⇔ −2 < m <  m <  x2 < Bài 12: Tìm giá trị tham số a cho phương trình: x2 + 2ax + = (1) có 2 x  x  nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện   +   ≥  x2   x1  HDẫn :  a ≤ −2 * ∆' = a2 - ≥ ⇔  a ≥  ( x + x ) − x1 x2  x  x  x x  *   +   =  +  − ≥ ⇔   ≥5 x1 x2  x2   x1   x2 x1    ⇔ 4a − ≥ 2  a ≤ −2 (  nên 4a2 - > ) a ≥  ⇔ a ≥ + ⇔ a ≥ + (t / m ) Bài 13: Cho phương trình bậc hai mx − ( 5m − 2) x + 6m − = 1-Tìm m để phương trình có nghiệm đối ( m = 1) (m= ) 2-Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo Bài 14: Tìm giá trị m để phương trình: a) 2x2 + mx + m - = Có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương ( 0 +     S >  m > −1 ⇔ ⇔ m = 6  P > m >    x + x =  m = 6; m = −4    Bài 16: Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình bậc hai : ( m − 2) x − 2( m − 1) x + m = Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứngvới cạnh huyền  m ≠     ∆' ≥ m <  ⇔ HD GIẢI*    P > m >    S >    * x1 + x2 =      5 ⇔ m = 4(t / m) x1 = 1; x2 = Bài 17: Cho hai phương trình x − ( 2m + n ) x − 3m = (1) x − ( m + 3n ) x − = (2) Tìm m n để phương trình (1) (2) tương đương H.DẪN *Phương trình (2) có ac = - 6 2  * Q = 2007( x1 + x ) − 4014 x1 x = 2007( 2m + 2) − 4014( m − 3) = 16056 VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC (KHUYẾT) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho trước a ≠ b Tính chất Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0, trùng với đường thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = -b/a ta điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Tài liệu ôn thi vào 10 Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) Khi a = a ' b ≠ b ' + d // d ' ⇔  + d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a ' a = a ' b = b ' + d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 + d ≡d'⇔  e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) • Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương • Hệ số góc đường thẳng y = ax + b -Hệ số a y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng y = ax +b II Hàm số bậc hai a Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax2 (a ≠ 0) b Tính chất - Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác đinh với giá trị c thuộc R và: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía dười trục hồnh, O điểm cao đồ thị Kiến thức bổ xung Cơng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A ) - Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức x A + xB y + yB ; yM = A 2 ≠ Quan hệ Parabol y = ax (a 0) đường thẳng y = mx + n (m ≠ 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi  y = ax - Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình   y = mx + n xM = - Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình ax2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*) Tài liệu ơn thi vào 10 + Nếu (*) vơ nghiệm (P) (d) khơng có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) - Đồ thị (C1): y = f(x) + b suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn vị - Đồ thị (C2): y = f(x + a) suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị - Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy - Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên Ox, bỏ phần (C) nằm bên Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên Ox qua Oy III Tương quan đồ thị Hàm số bậc – Hàm số bậc hai Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi đó: Hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình ax2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*) + Nếu (*) vơ nghiệm (P) (d) khơng có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt B MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Bài tập 1: Trên mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y = 2x2 đường thẳng (d) y=(m-2)x+1 (d’)y=-x+3 (m tham số ) Xác định m để (P) ,(d) (d’) có điểm chung Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d’): 2x2=-x+3 ⇔ 2x2+x-3=0 (a+b+c=0) ⇒ x1 = 1; x2 = −3 +Khi x=1 y=2 +Khi x = −3 y = 2 −3  ;   2  Vậy (d’) cắt (P) điểm phân biệt A( 1;2) & B   = (m− 2).1+  A∈ d  ⇔ ⇔ Để (P) ,(d) (d’) có điểm chung   B ∈ d  = (m− 2)(− ) + 2 Vậy với m=3 hay m=  m=   m= −  −1 (P) ,(d) (d’) có điểm chung Tài liệu ơn thi vào 10 Thày liên hệ 0989.832560 ( có zalo ) để có trọn Trung tâm GD Sao Khuê nhận cung cấp giáo án, soạn powerpoit, viết SKKN, chuyên đề, tham luận, thi e-Learing cấp… Tài liệu ôn thi vào 10 Tài liệu ôn thi vào 10 Tài liệu ôn thi vào 10 ... powerpoit, viết SKKN, chuyên đề, tham luận, thi e-Learing cấp… Tài liệu ôn thi vào 10 Tài liệu ôn thi vào 10 Tài liệu ôn thi vào 10 ... 4m2 – 6m + 10 Theo A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥  m ≥   m ≥  m ≥   m ≥  2 m − ≥  ⇔ ⇔ ⇔  m ≤  m ≤   m ≤     2m − ≤  m ≤  Tài liệu ôn thi vào 10 Vậy m ≥ m... chung Tài liệu ôn thi vào 10 Thày cô liên hệ 0989.832560 ( có zalo ) để có trọn Trung tâm GD Sao Khuê nhận cung cấp giáo án, soạn powerpoit, viết SKKN, chuyên đề, tham luận, thi e-Learing cấp… Tài