PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 2/05/2019 Bài (6,0 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019 x2 2019 x 2018 b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x y x y c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 Bài (4,0 điểm) a Chứng minh a b2 c ab bc ca với số thực a, b, c b Chứng minh với số ngun x biểu thức P số phương P x+5 x+7 x x 11 + 16 Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1 x x x 3x x x x x 12 x x 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AC AB Vẽ đường cao AH H BC Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK Bài (2.0 điểm): ˆ ABC ˆ Đường Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HAC ˆ cắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH phân giác góc BAH F Chứng minh rằng: CF // AE Hết \ ĐÁP ÁN Câu 1: a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x3 2019 x2 2019 x 2018 A = x3 2019 x2 2019 x 2018 A = x3 2019( x2 x 2019) A = (x - 1)(x x 1) 2019( x2 x 1) A = x x 1 ( x 2019) A = (x + x + )(x 2018) b Tìm giá trị x y thỏa mãn: x y x y x2 y x y ( x x 4) ( y y 1) ( x 2)2 ( y 1)2 x y c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 59.5n 59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59 vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) Câu 2: a Chứng minh a b2 c ab bc ca với số thực a, b, c Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a b c a ab ca ; b c a b2 bc ab c a b c ca bc Do đó, suy ra: a2 b2 c2 2(ab bc ca) b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương Ta có: P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16 P ( x 5)( x 11)( x 7)( x 9) + 16 P ( x2 16 x 55)( x 16 x 63)+ 16 P ( x2 16 x 55)2 8( x2 16 x 55)+ 16 P ( x2 16 x 55)2 2( x2 16 x 55).4+ 42 P ( x 16 x 59)2 Vơi x số nguyên P số CP Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1 x x x 3x x x x x 12 x x 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x b) Rút gọn đúng: 1 1 x( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) ( x 4)( x 5) 1 1 1 1 1 = x 1 x x x 1 x x x x x x 1 x x x x 5 P I K B H Q C A Chứng minh: ABC S P Câu KPC ( G.G) b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK PB (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền tam giác vuông) Lại có: HK HA (Giả thiết) Do đó: QH đường trung trực AK Ta có: AQ KQ S (2đ) ˆ HAC ˆ EAH ˆ CAE ˆ ˆ Bˆ BAE Ta có: CEA CAE cân C CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF K Ta có: BE MB MA FA EH KH KH FH (2) BE AB (3) EH AH AB CA CE (theo (1)) CAH CBA đồng dạng AH CH CH AE phân giác ABH (4) Từ (2), (3), (4) FA CE AH EH hay AE CF (đpcm) FH CH FH CH 0,5đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ