ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 MÔN TOÁN KHỐI D

ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 MÔN TOÁN KHỐI D

SGD&TVNHPHC KKSCLTHIIHCNMHC2012ư2013LN1 THIMễN:TONư KHID Thigianlmbi:180phỳt,khụngkthigiangiao I.PHNCHUNGCHOTTCTHSINH (7,0im) Cõu I(2,0im). Chohms 4 2 2 4y x mx = - + - cúth ( ) m C .( m lthamsthc) 1.Khosỏtsbinthiờnvvthhmskhim=2. 2.Tỡmttccỏcgiỏtrcam cỏc imcctrcath ( ) m C nmtrờncỏctrcta. Cõu II(2,0im). 1.Giiphngtrỡnh: ( ) sin tan2 3 sin 3 tan 2 3 3x x x x + - = . 2.Giibt phngtrỡnh: 1 3 3 < - + + x x x . Cõu III(1,0im).Giihphngtrỡnh: ( ) ( ) 2 2 2 3 8 1 0 8 3 13 0 x y y x x x y y ỡ + - + - = ù ớ + + + - = ù ợ CõuIV(1,0im).ChohỡnhlpphngABCD.A'B'C'D'cúonthngnihaitõmcahaimtbờnk nhaucúdibnga.TớnhtheoathtớchkhilpphngABCD.A'B'C'D'vkhongcỏchgiahai ngthng AC' v B'D'. Cõu V(1,0im).Choba sthcdng , ,x y z thayi.Tỡmgiỏtrnhnhtca biuthc: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 x y z P x y z yz zx xy ổ ử ổ ử ổ ử = + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ . II.PHNRIấNG (3,0im):Thớsinhchclmmttronghaiphn(phnAhocB) A.TheochngtrỡnhChun CõuVI.a(1,0im).Trongmtphngvi htrcta Oxy,chongthng(d)cúphng trỡnh 0x y - = vimM(21).Lpphngtrỡnhngthng ( ) D cttrchonhtiA,ctngthng (d) tiBsaochotamgiỏcAMBvuụngcõnti M. CõuVII.a(1,0im).Trongmtphngvi htrctaOxy,chongtrũn(C 1 )cúphngtrỡnh 2 2 25x y + = ,imM(1ư2).ngtrũn(C 2 )cúbỏnkớnhbng 2 10.Tỡmtatõmca(C 2 )saocho (C 2 )ct(C 1 )theomtdõycungqua M cúdinhnht. CõuVIII.a(1,0im). Giibtphngtrỡnh: 3 2 2 2 12 1 3 81. 2 x x x C A A x - - ( * x N ẻ ) B.TheochngtrỡnhNõngcao Cõu VI.b (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho im P(ư78) v hai ng thng ( ) 1 : 2 5 3 0,d x y + + = ( ) 2 :5 2 7 0d x y - - = ctnhautiA.Vitphngtrỡnhngthng(d)i qua P vtovi 1 2 ( ),( )d d mttamgiỏccõnti Avcúdintớchbng 29 2 . CõuVII.b(1,0im).TrongmtphngvihtrctoOxy,chongthng(d)cúphngtrỡnh 2 0x y + + = v ngtrũn (C 1 ) cú phngtrỡnh: 2 2 4 2 4 0x y x y + - + + = . ng trũn (C 2 ) cútõm thuc(d),(C 2 )tipxỳcngoivi(C 1 )vcúbỏnkớnhgpụibỏnkớnhca(C 1 ).Vitphngtrỡnhca ngtrũn (C 2 ). CõuVIII.b(1,0im).Chohms 2 3 1 x mx y x + + = + .Tỡmttccỏcgiỏtrcamhmscúcci, cctiungthihaiimcci,cctiucathnmvhaiphớacangthng (d):2x+yư1=0. ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Ht ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư HƯỚNG DẪN CHẤM  KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012­2013 LẦN 1  MÔN TOÁN ­KHỐI D  ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6   )  Câu  Đáp án  Điểm  1. Khảo sát hàm số  với m = 2.  1,00  Với m = 2, hàm số trở thành:  4 2  y x 4x 4 = - + -  * TXĐ:  R  0,25  * Sự biến thiên của hàm số:  Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:  lim ; lim  x x  y y ®+¥ ®-¥ = -¥ = -¥  0,25  ­ Bảng biến thiên:  +  Ta có: = é = - + = Û ê = ± ë 3 0 ' 4 8 ; ' 0 2 x y x x y x  + Bảng biến thiên:  x  ­ ¥ - 2  0 2  + ¥  y’  +       0  ­  0      +         0  ­  y  0  ­¥  0  ­4  ­¥  ­ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) -¥; - 2  và ( )  0; 2  ­ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) - 2; 0  và ( ) +¥ 2;  ­ Điểm cực đại của đồ thị là ( ) - 2; 0  , ( ) 2; 0  điểm cực tiểu của đồ thị  B(0;­4)  * Đồ thị:  + Đồ thị cắt trục tung tại ( )  0; 4 -  và cắt trục hoành tại điểm ( )  2;0 -  và ( )  2;0  + Nhận xét: Đồ thị  (C) nhận trục tung làm trục đối xứng.  2 ­2 ­4 ­6 ­8  ­5  5  10  f x ( ) =  ­x  4  +4×x   2 ( ) ­4  0,25  0,25  2. Tìm m  để tất cả các cực trị của hàm số ( )  m  C  nằm trên các trục tọa độ.  1,00  I  Ta có: ( )  3 2  2  0  ' 4 4 4 ; ' 0  x  y x mx x x m y  x m = é = - + = - + = Û ê = ë  Nếu  0 m £  thì ( )  m  C  chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại  nằm trên trục  tung.  Nếu  0 m >  thì ( )  m  C  có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai  điểm cực đại có tọa độ  2  ( ; 4) m m - -  ,  2  ( ; 4) m m -  .  Để hai điểm  này nằm trên trục hoành thì  2  4 0 2 m m - = Û = ±  . Vì  0 m >  nên chọn m = 2.  0,25  0,25  0,25 Vy { } ( 0] 2m ẻ -Ơ ẩ lnhnggiỏtrcntỡmthamónyờucubitoỏn. 0,25 1. Giiphngtrỡnhlnggiỏc 1,00 ưk. cos 2x 0 x m ,m Z. 4 2 p p ạ ạ + ẻ Tacú: sin tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3 + - =x x x x (sin tan 2 3 sin ) (3tan 2 3 3) 0 + - + =x x x x sin (tan 2 3) 3(tan 2 3) 0 (tan 2 3)(sin 3) 0x x x x x + - + = + - = tan 2 3 2 ( ). 3 6 2 k x x k x k Z p p p p - - = - = + = + ẻ (thamón) Vy ptcúmthnghim: , . 6 2 = - + ẻ p p x k k Z 0,25 0,25 0,25 0,25 2.Giibtphngtrỡnh 1,00 II +k: x 0 x 3. ạ Btphngtrỡnh 3 x x 1 3 x + < - - 2 2 2x 0 3 x 2x 4x x x 3 x (3 x) x 0 - ỡ > ù - ù - ù < < ớ - - ù ù ù ợ 2 x (3 ) x 10x 9 0 ẻ +Ơ ỡ ớ - + < ợ x (3 ) x (39) x (19) ẻ +Ơ ỡ ẻ ớ ẻ ợ (Thamóniukin) Vytpnghimcabptl:(39) 0,25 0,25 0,25 0,25 Giihphngtrỡnh . 1,00 III +iukin: 2 2 3 0, 8 0x y y x + + t ( ) 2 2 3 , 8 , 0u x y v y x u v = + = + +Tac: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 13 13 (2 1) 13 - = = - = - ỡ ỡ ỡ ớ ớ ớ + = + = + - = ợ ợ ợ u v v u v u u v u v u u 2 2 1 2 1 2 2 3 5 4 12 0 6 ( ) 5 = - ỡ ù = - = ỡ ỡ = ù ộ ớ ớ ớ ờ = - - = - ợ ợ ù ờ = ù ở ợ v u v u u u v u u u loai +Khiú 2 2 2 2 2 2 2 4 33 2 3 4 4 8 9 8 3 8 9 3 ỡ - = ù ỡ + = ỡ + = ù ù ù ớ ớ ớ ổ ử - + = ù + = ợ ù ù ợ + = ỗ ữ ù ố ứ ợ x y x y x y x y x y x x 0,25 0,25 0,25 2 4 2 4 3 8 72 65 0 ỡ - = ù ớ ù - + - = ợ x y x x x 2 2 2 1 4 4 1 3 3 1 5 ( 1)( 5)( 4 13) 0 5 7 x x y x y y x x x x x x x y ộ = ỡ ỡ - = ớ ỡ ờ - ù = = ù ù ợ ờ ớ ớ ờ = ộ = - ỡ ù ù - + - + = ờ ờ ợ ớ ù = - = - ở ờ ợ ợ ở Kthpviiukinbanutathuctphpnghimcahphngtrỡnh l: { } (11),( 5 7)S = - - 0,25 Tớnhthtớch. 1,00 IV BC AD MK N B' C' I A'D' +GiM,Nlnltl2tõmca2hỡnhvuụngABB'A'ADD'A' 1 MN B'D' B'D' 2a A 'B' a 2 2 ị = ị = ị = '''''''' '. DCBADCBABCDA SAAV = ( ) 3 2 2222 aaa = = (vtt) +GiIlgiaocaB'D'vA'C' Trong(AA'C')k '' ACKACIK ẻ ^ Vỡ '''')'( '''' ''' DBIKDBCAA DBCA DBAA ^ ị ^ ị ỵ ý ỹ ^ ^ Vy: IKDBACd =)'','( IKC' D ngdngvi C'AA ' D . IK C'I AA'.C'I a 2.a a IK AA' C'A C'A a 2. 3 3 ị = ị = = = Ktlun:KhongcỏchgiahaingthngACvBDbng 3 a . 0,25 0,25 0,25 0,25 TỡmGTNNcabiuthc. 1,00 V Tacú: xyz zyxzyx P 222333 2 3 + + + ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + + = pdngbt: zxyzxyzyxbaabba + + + + ị " + 22222 ,,2 . ngthcxyrakhix=y=z. ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + + ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + + ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + ị + + + + + ị z z y y x x P xyz zxyzxyzyx P 2 3 2 3 2 3 2 3 333333 0,25 + Xộthms t t tf 2 3 )( 3 + = vi 0 >t 2 4 2 2 22 )(' t t t ttf - = - = 4 20)(' = = ttf +BBT t 0 4 2 +Ơ ( ) / f t - 0 + ( ) f t +Ơ +Ơ 4 8 3 2 Vy 4 84 P ngthcxyrakhi 4 2 = = = zyx . Hay 4 min 84 =P 0,25 0,25 0,25 Chngtrỡnhchun a.Vitphngtrỡnhngthng. 1,00VI Ox ( 0), ( )A A a B d B b b ẻ ị ẻ ị , (21) ( 2 1), ( 2 1)M MA a MB b b ị = - - = - - uuur uuur . TamgiỏcABMvuụngcõntiMnờn: 2 2 2 ( 2)( 2) ( 1) 0 . 0 ( 2) 1 ( 2) ( 1) a b b MA MB MA MB a b b - - - - = ỡ ỡ = ù ù ớ ớ = - + = - + - ù ù ợ ợ uuuuruuur Nhnxộtb=2khụngthamónhphngtrỡnhny. Tacú: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 ( 2) 1 ( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 2 - ỡ - = - ỡ ù - = - ù ù - ớ ớ - ổ ử ù ù - + = - + - + = - + - ợ ỗ ữ ù - ố ứ ợ b a b a b b b a b b b b b 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 ( 2) ( 1) . 1 0 ( 2) 3 ộ = ỡ - ỡ - = ớ ờ ù = - ù ợ ờ ớ ờ ộ ự = ỡ ù ộ ự - + - - = ờ ờ ỳ ở ỷ ớ ù - = ở ỷ ợ ờ ợ ở a b a b b a b b b b Vi 2 1 a b = ỡ ớ = ợ ngthng D quaA,Bcúphngtrỡnh 2 0x y + - = Vi 4 3 a b = ỡ ớ = ợ ngthng D quaA,Bcúphngtrỡnh 3 12 0x y + - = Vycúhaingthngthamón: 2 0x y + - = v 3 12 0x y + - = . 0,25 0,25 0,25 0,25 a.Tỡmtatõmngtrũn 1,00VII (C 1 ) A (C 2 ) OMI B +(C 1 )cútõmO(00),bỏnkớnhR=5 ( ) ị < ị = ị - ROMOMOM 521 Mnmtrongngtrũn(C 1 ) +Gis(C 2 )ct(C 1 )tiAvB.GiHltrungimonAB. 222 25222 OHOHOAAHAB - = - = = .MOHlnnhtkhiHtrựngvi M. 0,25 Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB. AB qua M và vuông góc với OM.  + Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0. Tọa độ của A,B là nghiệm hệ: î í ì = + = - -  25  0 5 2  2 2  y x  y x  . Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(­3;­4).  + Giả sử A(5;0); B(­3;­4). Phương trình của OM: 2x + y = 0.  Gọi I là tâm của (C 2 ); Do  ) 2 ; (  t t I OM I - Þ Î  .  Mà IA  =  10 2  =>  40 4 ) 5 (  2 2 = + -  t t  .Giải ra: t = ­1 hoặc t = 3.  t 1 I( 1,2) = - Þ -  ;  ) 6 , 3 ( 3 - Þ =  I t  Vậy tâm của (C 2 ) có tọa độ (­1 ; 2) hoặc (3, ­6).  0,25  0,25  0,25  a. Tìm nghiệm của BPT….  1,00  VIII  + Đk :  3 ; ³ Π x N x  81  )! 2 2 (  )! 2 (  .  2  1  )! 2 (  ! . 3  )! 3 ( ! 3  !  .  12 - - ³ - - - Û  x  x  x  x  x  x  x  bpt  5  3  17  0 85 2 3  81 ) 1 2 ( ) 1 ( 3 ) 1 )( 2 ( 2  2 £ £ - Û £ - + Û - - ³ - - - - Û  x x x  x x x x x x  + Kết hợp điều kiện ta được { } . 5 ; 4 ; 3 Πx  Vậy tập nghiệm của pt là { }  5 ; 4 ; 3  0,25  0,25  0,25  0,25  Chương trình nâng cao  b. Viết phương trình….  1,00  VI  d1  d  d2  H  C  B  A  P  Ta có  1 2  A d d = Ç Þtọa độ của A là nghiệm của hệ ( )  2 5 3 0 1  1; 1  5 2 7 0 1  x y x  A  x y y + + = = ì ì Û Þ - í í - - = = - î î  Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi  1 2  , d d  là ( ) ( )  1 2  : 7 3 4 0, : 3 7 10 0 x y x y D + - = D - - =  .  Vì  d  tạo với  1 2  , d d  một tam giác cân tại A nên  1 1  2 2  3 7 0  7 3 0 ^ D - + = é é Þ ê ê ^ D + + = ë ë  d x y C  d x y C  . Mặt khác  ( 7;8) ( ) - ΠP d  nên  1 2  77, 25 C C = =  .  Suy ra:  :3 7 77 0  :7 3 25 0  d x y  d x y - + = é ê + + = ë  Gọi  1 2  , B d d C d d = Ç = Ç  . Thấy  1 2  (d ) (d ) ^ Þ  tam giác ABC vuông cân tại A  nên:  2  1 1 29  . 29  2 2 2  ABC  S AB AC AB AB D = = = Þ =  và  2 58 BC AB = =  Suy ra:  29  2  2  58  2  2  58  ABC  S  AH  BC D = = =  0,25  0,25  0,25 Với  : 3 7 77 0 d x y - + =  , ta có  2 2  3.1 7( 1) 77  87 58  ( ; )  2  58  3 ( 7)  d A d AH - - + = = ¹ = + -  (loại)  Với  : 7 3 25 0 d x y + + =  ta có  2 2  7.1 3( 1) 25  29 58  ( ; )  2  58  7 3  d A d AH + - + = = = = +  (t/mãn).  Vậy  :7 3 25 0 d x y + + =  0,25  b. Viết phương trình …  1,00  VII  (C 1 ) có tâm I(2 ;­1); bán kính R 1  = 1.Vậy (C 2 ) có bán kính R 2  = 2  Gọi J là tâm của (C 2 ). Do ( )  2 ; - - Þ Î  t t J d J  (C 1 ) tiếp xúc ngoài với (C 2 ) nên IJ = R 1  + R 2  = 3 hay IJ  2  = 9. ( ) ê ë é - = = Û = - - Û = - - + - Û  1  2  0 2 9 1 ) 2 (  2  2  2  t  t  t t t t  + ( )  4 ) 1 ( ) 1 ( : ) ( 1 ; 1 1  2 2  2 = + + + Þ - - Þ - =  y x C J t + ( )  4 ) 4 ( ) 2 ( : ) ( 4 ; 2 2  2 2  2 = + + - Þ - Þ =  y x C J t Vậy có 2 đường tròn (C  2  ) thỏa mãn là:  4 ) 1 ( ) 1 (  2 2 = + + +  y x  và  4 ) 4 ( ) 2 (  2 2 = + + -  y x  0,25  0,25  0,25  0,25  b. Tìm m để…  1,00  VIII  Ta có ( )  2  2  2 3  '  1  x x m  y  x + + - = +  Hàm số có CĐ, CT khi pt  y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác ­1.  2  2 3 0 x x m Û + + - =  có hai nghiệm phân biệt khác – 1  ' 4 0  4  4 0  m  m  m D = - > ì Û Û < í - ¹ î  Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là ( ) ( )  1 1 2 2  ; , ; A x y B x y  . Khi đó pt đường thẳng đi  qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m. Suy ra  1 1 2 2  2 ;   2 y x m y x m = + = +  .  Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )  1 1 2 2 1 2  2  1 2 1 2  2 1 2 1 0 4 1 4 1 0  16 4 1 1 0  x y x y x m x m  x x m x x m + - + - < Û + - + - < Û + - + + - <  Theo định lý Vi­et  1 2  1 2  2  3  x x  x x m + = - ì í = - î  . Thay vào bpt trên, ta được:  2  6 39 0 3 4 3 3 4 3 + - < Û - - < < - + m m m  .  Vậy  3 4 3 3 4 3 - - < < - + m  0,25  0,25  0,25  0,25 . các góc tạo bởi  1 2  , d d  là ( ) ( )  1 2  : 7 3 4 0, : 3 7 10 0 x y x y D + - = D - - =  .  Vì  d tạo với  1 2  , d d  một tam giác cân tại A nên  1 1  2 2 . Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng  (d)  khi ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )  1 1 2 2 1 2  2  1 2 1 2  2 1 2 1 0 4 1 4 1 0  16 4 1 1 0  x y x y x m x m  x x m x x m