KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­2013 LẦN 1  ĐỀ THI MÔN: TOÁN ­ KHỐI A, A1  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề  I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)  Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số  3 2  2  x  y  x - = -  , có đồ thị là  ( ) C  .  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.  b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết tiếp tuyến d tạo với trục Ox một góc a   sao  cho  1  cos  17 a =  .  Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình:  sin 2 cos 2 5sin cos 3  0  2cos 3  x x x x  x + + - - = -  .  Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  2 2  ( )( 5) 8  ( 1) 3  x y xy y  x y x y + + + = - ì í + + + = î  Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:   3 1 mx x m - - = +  có hai nghiệm  thực phân biệt.  Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông  góc  của  S  lên  mặt  phẳng  (ABCD)  trùng  với  trọng  tâm  tam  giác  ABD.  Cạnh  SD  tạo  với  đáy  (ABCD) một góc bằng  60  o  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng  (SBC) theo a.  Câu 6 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m để với mọi x thuộc  0;  2 p æ ö ç ÷ è ø  ta đều có  8 8 2  tan cot 64cos 2 x x m x + ³ +  .  II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)  A. Theo chương trình Chuẩn  Câu  7.a  (1,0 điểm)  Cho đường  tròn  2 2  ( ) : 4 6 12 0 C x y x y + - + - =  và  điểm  (2; 4 3) M  . Viết  phương trình đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều.  Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của  4  x  trong khai triển thành đa thức của biểu thức:  2 10  (1 4 ) x x + +  .  Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) ( )  2  2 2  2  2 2  4  2  3 7 3 7 2  x x  x x x x + + + + + + - =  .  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu 7.b (1,0 điểm) Cho elíp  2 2  ( ) : 1  9 4  x y  E + =  và điểm  (1; 1) I  . Viết phương trình đường thẳng d  qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN.  Câu 8.b (1,0 điểm) Tính giới hạn:  3  1  2 1 3 2  lim  1  x  x x  x ® - - - -  .  Câu 9.b (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó  luôn có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn.  ­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­  Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới  www.laisac.page.tl SGD&TVNHPHC KKSCLTHIIHCNMHC2012ư2013 HNGDNCHMMễN:TONư KHIA,A1 I.LUíCHUNG: ưHngdnchmchtrỡnhbymtcỏchgiivinhngýcbnphicú.Khichmbihcsinh lmtheocỏchkhỏcnuỳngvýthỡvnchoimtia. ưimtonbitớnhn0,25vkhụnglmtrũn. ưVibihỡnhhcnuthớsinhkhụngvhỡnhphnnothỡkhụngchoimtng ngvi phnú. II.PN: Cõu í Nidungtrỡnhby im 1 a 1,0im TX: \{2}.D = Ă Giihn,timcn: 4 lim lim 3 3 2 x x y x đ+Ơ đ+Ơ ổ ử = + = ỗ ữ - ố ứ 4 lim lim 3 3 2 x x y x đ-Ơ đ-Ơ ổ ử = + = ỗ ữ - ố ứ 2 2 4 lim lim 3 2 x x y x + + đ đ ổ ử = + = +Ơ ỗ ữ - ố ứ 2 2 4 lim lim 3 2 x x y x - - đ đ ổ ử = + = -Ơ ỗ ữ - ố ứ thcúTC: 2x = TCN: 3y = . 0.25 Sbinthiờn: 2 4 ' 0 2 ( 2) y x x = - < " ạ - ,suyrahmsnghchbintrờncỏckhong ( 2) & (2 ) -Ơ +Ơ 0.25 BBT x -Ơ 2 +Ơ y - - y 3 +Ơ -Ơ 3 0.25 th: GiaoviOyti: (0 1) ,giaovi Oxti: 2 0 3 ổ ử ỗ ữ ố ứ th nhn giao im ca hai timcnlmtõmixng. 0.25 b 1,0im Do 1 cos tan 4 17 = ị = a a . 0.5 Vỡ '( ) 0, 2y x x < " ạ suyrahsgúcca d bng 4 - . Gi s d tip xỳc vi (C) ti im 0 0 0 ( ), 2.M x y x ạ 0 0 2 00 1 4 '( ) 4 3. ( 2) x y x x x = ộ = - = - ờ = - ở Vi 0 0 1 1x y = ị = - vi 0 0 3 7x y = ị = 0.25 Vycúhaiphngtrỡnhtiptuyn dthamónl: 4 3y x = - + v 4 19y x = - + . 0.25 2 1,0im sin 2 cos 2 5sin cos 3 0 (1) 2cos 3 x x x x x + + - - = - k: 3 cos 2 , . 2 6 x x k k ạ ạ + ẻ  p p 0.25 (1) sin 2 cos 2 5sin cos 3 0x x x x + + - - = 2 cos (2sin 1) (2sin 5sin 2) 0x x x x - - - + = 0.25 (2sin 1)(cos sin 2) 0x x x - - + = 2 1 6 sin 52 2 6 x k x x k ộ = + ờ = ờ ờ = + ờ ở p p p p 0.25 Kthpiukinsuyraphngtrỡnhcúnghim 5 2 ( ) 6 x k k p p = + ẻ  . 0.25 3 1,0im 2 2 ( ) ( )( 5) 8 ( ) ( ) ( ) 3 x y x y xy x I x y xy x ỡ + + + - + = - ù ớ + - - = ù ợ 0.25 t x y a xy x b + = ỡ ị ớ - = ợ h(I)cúdng: 2 2 ( 5) 8 3 a a b a b ỡ + + = - ù ớ - = ù ợ 2 2 ( 2) 8a a a ị + + = - 3 2 2 8 0a a a + + + = 2 ( 2)( 4) 0 2 1a a a a b + - + = = - ị = 0.25 Vi 2 2 2 2 1 1 3 1 0 x y a x y b xy x x x + = - = - + = - ỡ ỡ ỡ ớ ớ ớ = - = + + = ợ ợ ợ 3 5 2 1 5 2 3 5 2 1 5 2 x y x y ộ ỡ - + = ờ ù ù ờ ớ ờ - - ù = ờ ù ợ ờ ờ ỡ - - ờ = ù ù ờ ớ ờ - + ù ờ = ù ờ ợ ở 0.25 Vyhphngtrỡnhcúnghim 3 5 1 5 3 5 1 5 2 2 2 2 ổ ử ổ ử - + - - - - - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . 0.25 4 1,0im k: 3x Pttngng ( ) 3 1 1 3 1 1 x m x x m x - + - = - + = - 0.25 t 3 1 ( ) 1 x f x x - + = - vi 3x Khiú: 2 5 2 3 '( ) 0 2 3( 1) x x f x x x - - - = = - - 2 5 2 3 0 7 2 3 2 3( 1) x x x x x - - - = = - - - 0.25 BBT x 3 7 2 3 - +Ơ f(x) + 0 - f(x) 1 2 1 3 4 + 0 0.25 T bng bin thiờn suy ra, phng trỡnh cú hai nghim thc phõn bit thỡ 1 1 3 2 4 m + Ê < . (Cútht 3, 0t x t = - ) 0.25 5 1,0im GiHltrngtõmcatamgiỏcABD, Iltrungimca AB. ã 2 5 ( ) 60 3 3 o a SH ABCD SDH DH DI ^ ị = = = 0.25 ã 15 .tan 3 a SH DH SDH ị = = 3 2 . 1 1 15 15 . . . 3 3 3 9 S ABCD ABCD a a V SH S a = = = (vtt). 0.25 THkngthngvuụng gúcviBCv ctBCtiE.TrongtamgiỏcSHEk ngcaoHK.Do ( ) ( )SH ABCD SH BC BC SHE ^ ị ^ ị ^ ( ) ( ( ))HK SBC d H SBC HK ị ^ ị = 0.25 Tacú 2 2 3 3 a HE AB = = 2 2 2 2 2 1 1 1 3 9 5 4HK SH HE a a ị = + = + 2 5 57 a HK ị = Do 3 3 3 5 ( ( )) ( ( )) 2 2 57 AC a d A SBC d H SBC HC = ị = = 0.25 6 1,0im Btngthctngngvi ( ) ( ) ( )( ) 2 2 4 4 4 4 4 4 tan cot 8cos 2 2 tan cot 8cos 2 tan cot 8cos 2 2 x x x m x x x x x x m - - - - + - - - Xộtcỏc hms ( ) 4 4 tan cot 8cos 2f x x x x = - + v ( ) 4 4 tan cot 8cos 2g x x x x = - - trờn 0 2 p ổ ử ỗ ữ ố ứ . 0.25 E I K S O D C B A H * Tacú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 5 5 3 3 5 5 1 1 4 tan cot 16sin 2 cos sin 4 tan 1 tan cot 1 cot 16sin 2 4 tan cot 4 tan cot 16sin 2 4.2 tan cot tan cot 16sin 2 16 1 sin 2 0, 0 . 2 f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x p ổ ử = + - ỗ ữ ố ứ ộ ự = + + + - ở ỷ = + + + - ổ ử + - = - " ẻ ỗ ữ ố ứ Suyra ( ) f x ngbintrờn 0 2 p ổ ử ỗ ữ ố ứ .Licú ( ) / 3 3 2 2 1 1 4 tan cot 16sin 2 0 cos sin g x x x x x x ổ ử = + + > ỗ ữ ố ứ vi 0 2 x p ổ ử " ẻ ỗ ữ ố ứ nờn ( ) g x ng bintrờn 0 2 p ổ ử ỗ ữ ố ứ 0.25 *Vi 0 4 x p ổ ự " ẻ ỗ ỳ ố ỷ tacú ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0 . 0 4 4 f x f g x g f x g x p p ổ ử ổ ử Ê = Ê = ị ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Vi 4 2 x p p ộ ử " ẻ ữ ờ ở ứ tacú ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0 . 0 4 4 f x f g x g f x g x p p ổ ử ổ ử = = ị ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 0.25 Vy 0 2 x p ổ ử " ẻ ỗ ữ ố ứ taucú ( ) ( ) . 0f x g x ,dubngxyrakhi 4 x p = nờnbt phngtrỡnh ỳng 0 2 x p ổ ử " ẻ ỗ ữ ố ứ thỡ 2 0 2m m - Ê Ê . 0.25 7.a 1,0im Phngtrỡnh ngthng MI: 2x = ị phngtrỡnh AB: y m = 0.25 HonhcaA, Blnghimcaphngtrỡnh 2 2 4 6 12 0 (1)x x m m - + + - = 2 ' 6 16 0 8 2m m m D = - - + > - < < 1 2 ( ) ( )A x m B x m ị vi 1 2 ,x x lhainghimcaphngtrỡnh(1). 0.25 GiHltrungimcaAB (2 )H m ị 2 2 64 4 24AB m m = - - 2 2 8 3 48MH m m = - + 0.25 tamgiỏcMAB uthỡ: 2 2 2 2 3 4( 8 3 48) 3(4 24 64) 0 4 MH AB m m m m = - + + + - = 0 4 3 9 2 m m = ộ ờ - ờ = ờ ở Vy cúhai ngthng d thamónycbtl: 0y = v 4 3 9 2 y - = . 0.25 H B A I M 8.a  1,0 điểm  Ta có: ( ) ( )  10  10  2 10 2  10  0  (1 4 ) 4 . 1  k  k  k  k  x x C x x - = + + = + å  0.25  10  10 20 2  10  0 0  4  k  k i k k i  k  k i  C C x - - + = = = åå  0.25  Cho  20 2 4 2 16 (0 10) k i k i i k - + = Û - = £ £ £  K  8  9  10  i  0  2  4  0.25  Vậy hệ số của  4  x  trong khai triển trên là:  2 8 0 9 2 10 4  10 8 10 9 10 10  4 . . 4. . . 2370. C C C C C C + + =  0.25  9.a  1,0 điểm  Chia hai vế cho ( )  2  2  2  x x +  ta được  2 2  2 2  4  3 7 3 7  2  2 2  x x x x + + æ ö æ ö + - + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø  0.25  Đặt  2  2  3 7  , 0  2  x x  t t + æ ö + = > ç ÷ è ø  ta được  2  16 1 0 t t - + =  0.25  Giải ra  2  2  3 7  8 63  2  3 7  8 63  2  t  t - é æ ö + ê = + = ç ÷ ê è ø ê æ ö ê + = - = ç ÷ ê ê è ø ë  0.25  Suy ra  2  2  2 2 1 3.  2 2 (vo nghiem)  x x x  x x é + = Û = - ± ê + = - ê ë  0.25  7.b  1,0 điểm  Xét phép  đối xứng tâm  (1; 1) I  :  Đ I  biến  điểm  O thành  điểm  (2; 2) K  , biến elíp  (E)  thành elíp có phương trình  2 2  (2 ) (2 )  ( ') : 1  9 4  x y  E - - + =  và biến điểm M thành điểm  N, N thành M.  0.5  Do vậy M, N là giao điểm của hai elíp (E) và (E’) suy ra tọa độ hai điểm M, N thỏa  0.25 mãn hệ phương trình  2 2  2 2  1  9 4  (2 ) (2 )  1  9 4  x y  x y ì + = ï ï í - - ï + = ï î  Trừ  vế  cho  vế  ta  được  4 9 13 0. x y + - =  Vậy  phương  trình  đường  thẳng  MN  là  4 9 13 0. x y + - =  Cách khác: Xét đường thẳng  1 x =  qua I cắt (E) tại hai điểm phân biệt, không thỏa  mãn  ycbt.  Gọi D là  đường  thẳng  qua I  có hệ  số  góc  k.  Suy  ra  phương  trình  của  : ( 1) 1 y k x D = - +  . M, N là giao điểm của D  và (E), từ điều kiện I là trung điểm  MN suy ra  4  9  k = -  , vậy phương trình D  :  4 9 13 0. x y + - =  0.25  8.b  1,0 điểm  Đặt  3  ( ) 2 1 3 2 (1) 0 f x x x f = - - - Þ = ( )  2  3  2 3 2 3 5  ' '(1)  3 2 6  2 3 2  3 2 1  f f  x  x = - Þ = - = - - -  0.5  Ta có:  1  ( ) (1)  '(1) lim  1  x  f x f  f  x ® - = = -  3  1  2 1 3 2 5  lim  1 6  x  x x  x ® - - - = - -  0.25  Vậy  3  1  2 1 3 2 5  lim .  1 6  x  x x  x ® - - - = - -  Cách khác: Có thể thêm, bớt 1 vào tử số, tách thành hai giới hạn rồi nhân với biểu  thức liên hợp của tử số.  0.25  9.b  1,0 điểm  Giả sử số viết được là  abcde  với { }  , , , , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 a b c d eΠ và  0. a ¹  Trước hết ta đếm các số dạng  abcde  có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt tính  cả trường hợp a = 0.  0.25  Khi đó ta chọn ra 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt rồi hoán vị các chữ số đó, ta  có  3 2  5 5  . .5! C C  số.  0.25  Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt.  Khi đó ta chọn ra 2 chữ số chẵn (khác 0) và 2 chữ số lẻ rồi hoán vị vào các vị trí b, c,  d, e. Ta có  2 2  4 5  . .4! C C  0.25  Từ đó ta có số các số cần tìm là:  3 2 2 2  5 5 4 5  . .5! . .4! 10560 C C C C - =  số.  0.25  ­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­ . KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­2013 LẦN 1  ĐỀ THI MÔN: TOÁN ­ KHỐI A, A1  Thời gian làm bài: 180  phút, không kể thời gian giao đề  I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0