ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012-2013 Môn TOÁN Khối A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012-2013 Môn TOÁN Khối A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012­2013  Môn: TOÁN; Khối A và khối A1  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)  Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2  2 9 12 4 y x x x = - + -  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.  b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N sao cho N cùng  với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 3, biết N có tung độ dương.  Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: ( )  sin sin cos cos x x x x + - = + 2 3 2 3 2 3  Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:  1  ( , )  1 1  3  xy xy x  x y  y y y  x x x ì + + = ï Î í + = + ï î ¡  Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân:  . ln( )  x  x x  I dx  x + + + = ò 2 2 3 1 2 1 3 1  Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA a =  và SA tạo với  mặt phẳng (ABC) một góc bằng 30  0  . Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là  điểm  H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho  . SM MA = 2  Tính khoảng  cách  giữa hai đường thẳng BC, SA và thể tích tứ diện SMHC theo a.  Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương  , , a b c  thỏa mãn  2 2 2  3. ab bc ca + + =  Chứng minh rằng  5 5 5 5 5 5  3 3 3  2 3 2 3 2 3  15( 2)  a b b c c a  a b c  ab bc ca + + + + + ³ + + -  II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)  A. Theo chương trình Chuẩn  Câu 7.a  (1,0  điểm).  Trong mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy cho  đường tròn  (C)  nội  tiếp  hình  vuông ABCD  có  phương trình  2 2  ( 2) ( 3) 10 x y - + - =  . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng chứa  cạnh AB đi qua điểm  ( 3; 2) M - -  và điểm A có hoành độ dương.  Câu 8.a (1,0 điểm).  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  ( ) : P x y z + + - = 2 7 0  và  các  điểm  ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) A B C - 2 0 0 0 3 0 0 0 1  .  Tìm  ( ) M P Π sao  cho  MA MB MC - + 2 3 uuur uuur uuuur  đạt  giá  trị  nhỏ nhất.  Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình:  ( ) ( )  x x  x x - - + - = 2 3 2 2 1 2 0  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết hai  đỉnh thuộc trục tung cùng với hai tiêu điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông có diện tích  bằng 32.  Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình của mặt cầu (S) tiếp xúc  với mặt phẳng Oxy tại điểm  (3;4;0) A  và cắt trục Oz theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 2 11.  Câu 9.b (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi  n nguyên dương ta có  0 1 1 2 2 0  2 2 2 2 3  . . . .  n n n n n  n n n n n n n n n  C C C C C C C C C - - + + + ××× + =  ­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­  Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) gửi tới www.laisac.page.tl ỏpỏnKSL2,mụnToỏnKhiAvA1,trang 1/5 Hvtờnthớsinh: .Sbỏodanh: SGD&TVNHPHC PNKSCLTHIIHCLN2NMHC2012ư2013 Mụn:TONKhiAvkhiA1 I.LUíCHUNG: ưHngdnchmchtrỡnhbymtcỏchgiivinhngýcbnphicú.Khichmbihcsinhlm theocỏchkhỏcnuỳngvýthỡvnchoimtia. ưimtonbitớnhn0,25vkhụnglmtrũn. ưVi Cõu5nuthớsinhkhụngvhỡnhphnnothỡkhụngchoimtng ngviphnú. II.PN: Cõu í Nidungtrỡnhby im 1 a 1,0im TX: D = Ă Giihn: ( ) 3 2 3 2 3 9 12 4 lim 2 9 12 4 lim 2 x x x x x x x x x đ+Ơ đ+Ơ ổ ử - + - = - + - = +Ơ ỗ ữ ố ứ ( ) 3 2 3 2 3 9 12 4 lim 2 9 12 4 lim 2 x x x x x x x x x đ-Ơ đ-Ơ ổ ử - + - = - + - = -Ơ ỗ ữ ố ứ 0.25 Sbinthiờn: 2 1 ' 6 18 12 ' 0 2 x y x x y x = ộ = - + = ờ = ở Bngbinthiờn x -Ơ 1 2 +Ơ y + 0 - 0 + y -Ơ 1 0 +Ơ 0.25 Hm s ng bin trờn cỏc khong ( 1) -Ơ v (2 ) + Ơ nghch bin trờn (1 2) . imcctr:C(1 1) ,CT (2 0) . 0.25 th Giaovi Oyti (0 4) - Giaovi Oxti ( ) 1 0 , 2 0 2 ổ ử ỗ ữ ố ứ 0.25 b 1,0im (C)cúhaiimcctr (1 1), (20) 2A B AB ị = .Phngtrỡnh ngthng : 2 0AB x y + - = . 1 ( ). 3 ( ) 3 2 2 ABN S d N AB AB d N AB D = = = 0.25 Gi dlngthngiqua Nv / /d AB .Phngtrỡnhca dcúdng 0x y c + + = 4 (0 4) ( ) | 2 | ( , ) ( , ) 3 2 8 (35) 2 c N loai c d A d d N AB c N = - ộ ộ + ị = = ị ờ ờ = - ở ở 0.25 Vi (3 5)N ,gis 0 0 ( )M x y .Pttiptuynvi(C)tiM l: 0 0 0 '( )( )y y x x x y = - + . 0.25 (ỏpỏncú5trang) ỏpỏnKSL2,mụnToỏnKhiAvA1,trang 2/5 DotiptuyniquaNnờn tacú: 2 3 2 0 0 0 0 0 0 5 (6 18 12)(3 ) 2 9 12 4x x x x x x = - + - + - + - 0 2 0 0 0 3 ( , ) ( 3) (4 3) 0 3 4 x loai vi N M x x x = ạ ộ ờ - - = ờ = ở .Vy 3 25 . 4 32 M ổ ử ỗ ữ ố ứ 0.25 2 1,0im Phngtrỡnhóchotngngvi: 3 1 3 1 1 .sin 2 cos2 3 sin cos 0 2 2 2 2 x x x x ổ ử + - - + = ỗ ữ ố ứ 0.25 cos sinx x p p ổ ử ổ ử - + - + = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 1 2 3 0 3 6 0.25 sin sin sin sin (loai) x x x x ộ p ổ ử + = ỗ ữ ờ p p ố ứ ổ ử ổ ử ờ + - + = ỗ ữ ỗ ữ ờ p ố ứ ố ứ ổ ử + = ờ ỗ ữ ố ứ ở 2 0 6 2 3 0 6 6 3 6 2 0.25 Vi sin 0 , . 6 6 x x k k p p ổ ử + = ị = - + p ẻ ỗ ữ ố ứ  0.25 3 1,0im K: 0 0.x y > Chiahaivphngtrỡnhthnhtcahchoxtac 1 1 1 1 3 y y x x y y y x x x ỡ + + = ù ù ớ ù + = + ù ợ 0.25 t 1 a b y x = = tac 2 2 3 3 1 3 a b ab a b a b ỡ + + = ù ớ + = + ù ợ 0.25 Suyra 3 3 2 2 2 2 ( 3 )( ) ( 2 2 ) 0 0a b a b a b ab b b ab a b + = + + + + + = ị = (vỡ 0a > ) 0.25 Vi 0 0 1b y x = ị = ị = .Vyhcúnghimduynht 1 0 x y = ỡ ớ = ợ . 0.25 4 1,0im Tacú ln( ) . x x I x dx dx J K x + + = + = + ũ ũ 2 2 2 1 2 1 1 1 3 0.25 Tớnh: . ( ) . ln ln x x x J x dx d x + + + = = + = = ũ ũ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 3 117 3 3 1 2 2 3 3 0.25 Tớnh: ln( )x K dx x + = ũ 2 2 1 1 .t ln( ) ' ' u x u x v v x x ỡ = + = ỡ ù ù ù + ị ớ ớ = ù ù = - ợ ù ợ 2 1 1 1 1 1 .Suyra 0.25 Đáp án KSL2, môn Toán Khối A và A1, trang 3/5  ln( ) ln ln ln  ln ln  ( )  ln ln  ln ln ln ln .  x dx x  K dx  x x x x x x + - æ ö = - + = - + + - = + ç ÷ + + + è ø - = + - = - ò ò 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 3 3 2 3 2 3 2 2  Vậy  ln ln  ln  I = + - 117 3 3 2 3 3 2  .  0.25  5  1,0 điểm  Xét DSHA(vuông tại H), có  cos  a  AH SA = = 0 3 30 2  . Mà DABC đều cạnh a suy  ra H là trung điểm cạnh BC, vậy AH ^ BC.  0.25  Lại có SH ^ BC suy ra BC^(SAH). Hạ HK  vuông góc với SA suy ra HK là  khoảng cách giữa BC và SA. Ta có  sin  AH a  HK AH = = = 0 3 30 2 4  , vậy  d(BC,SA)=  a 3 4  0.25  Dễ thấy  . . . . .  SHA SMH SAH  a a a a a  SH S SH AH S S = Þ = = = Þ = = 2 2 1 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 8 3 12  0.25  Mà  ( ) . . .  SMHC SMH  a a a  CH SHA V CH S ^ Þ = = = 2 3 1 1 3 3 3 3 2 12 72  .  0.25  6  1,0 điểm  Ta chứng minh bất đẳng thức  5 5  3 2 3  2 3  5 10 10  a b  a ab b  ab + ³ - +  với  , 0 a b >  (1)  0.25  Thật vậy ( ) ( ) ( )  5 5 3 2 3 5 4 2 3 4 5  4  (1) 2 3 5 10 10 0 2 5 10 10 3 0  2 3 0  a b ab a ab b a a b a b ab b  a b a b Û + - - + ³ Û - + - + ³ Û - + ³  Bất đẳng thức cuối luôn đúng.  0.25  Tương tự  5 5  3 2 3  2 3  5 10 10  b c  b bc c  bc + ³ - +  ;  5 5  3 2 3  2 3  5 10 10  c a  c ca a  ca + ³ - +  0.25  Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được ( ) ( ) ( )  5 5 5 5 5 5  3 3 3 2 2 2 3 3 3  2 3 2 3 2 3  15 10 15 2  a b b c c a  a b c ab bc ca a b c  ab bc ca + + + + + ³ + + - + + = + + -  0.25  A  S  H  B  C  K  M ỏpỏnKSL2,mụnToỏnKhiAvA1,trang 4/5 7.a 1,0im Phngtrỡnh ngthng iqua M(ư3ư2)cúdng 2 2 3 2 0( 0)ax by a b a b + + + = + > . ngtrũn(C)cútõm I(23)vbỏnkớnh 10R = . 0.25 (C)tipxỳcviABnờn ( ) d I AB R = hay 2 2 2 2 2 32 3 3 2 10 10( ) 25( ) ( 3 )(3 ) 0 3 a ba b a b a b a b a b a b b a a b = - + + + ộ = + = + + + = ờ = - + ở Doúphngtrỡnh ABl ư 3 ư3 0x y = hocAB:3 ư 7 0x y + = . 0.25 +Nu AB:3 ư 7 0x y + = .Gi A(t3t+7)vỡAcúhonh 0 A x > nờn t>0vdo 2 2 2. 20IA R = = nờn ( ) ( ) 2 2 2 0 2 3 4 20 10 20 20 20 2 t t t t t t = ộ - + + = + + = ị ờ = - ở (loi) 0.25 +Nu AB: ư3 ư 3 0x y = .Gi A(3t+3t)vỡAcúhonh 0 A x > nờn t>ư1vdo 2 2 2. 20IA R = = nờn ( ) ( ) 2 2 2 1 3 3 20 10 10 20 1t t t t + + - = + = ị = . SuyraA(61) ị C(ư25)v B(0ư1) D(47) Vycỏcimcntỡml (61) (0 1) ( 25) (47)A B C D - - . 0.25 8.a 1,0im GiI limsaocho IA IB IC - + = 2 3 0 uur uur uur r 0.25 Suyra ( ) A B C I A B C I A B C I x x x x y y y y I z z z z - + ỡ = = ù ù - + ù = = ị ớ ù - + ù = = ù ợ 2 3 1 2 2 3 3 3 1 3 2 2 2 3 3 2 2 .Khiú MA MB MC MI - + = 2 3 2 uuur uuur uuuur uuur tGTNNkhivchkhiMlhỡnhchiucaIlờn (P).Mtphng(P)cúvộctphỏptuyn ( ) (121). P n = r 0.25 Tacú ( ) M P M M x t IM tn y t z t ỡ ù = + ù = ị = + ớ ù ù = + ợ 1 3 2 3 2 uuur r 0.25 ( ) .M P t t t t M ổ ử ẻ ị + + + + + - = ị = - ị ỗ ữ ố ứ 3 1 3 5 5 1 6 4 7 0 2 4 4 2 4 0.25 9.a 1,0im Phngtrỡnhóchotngngvi: ( ) x x x x - + + - = 2 3 2 2 2 0 0.25 ( )( ) ( ) x x x x x x x = ộ - - + - = ờ + - = ở 2 1 2 2 2 0 2 1 0 0.25 Xộthms ( ) , '( ) ln , x x f x x f x x = + - = + > " ẻ 2 1 2 2 1 0 Ă .Vy f(x)ngbin 0.25 R C B A D I M Đáp án KSL2, môn Toán Khối A và A1, trang 5/5  trên  ¡ . Lại có  ( ) f = 0 0 nên phương trình  ( ) f x = 0  có nghiệm duy nhất x=0.  KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm  , . x x = = 0 2  0.25  7.b  1,0 điểm  Phương trình Elíp có dạng  ( );  x y  a b c a b  a b + = > > = - 2 2 2 2 2 2 1 0  .  0.25  (E) có các đỉnh thuộc Oy là B(0;b), B’(0;­b) và hai tiêu điểm là F(c;0), F’(­c;0).  Để bốn điểm này lập thành hình vuông thì b=c.  0.25  Cạnh của hình vuông BFF’B’ là  . . BF OB b b c = = = Þ = = 4 2 2 2 4  0.25  Vậy  a b c b = + = = 2 2 2 2 2 32 . Suy ra phương trình elip là:  .  x y + = 2 2 1 32 16  0.25  8.b  1,0 điểm  Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết  (3;4; ) I z  ;  | | R z =  .  0.25  Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên Oz, ta có  2 2  3 4 5 IH OA = = + =  . Gả  sử (S) cắt Oz tại M, N suy ra H là trung điểm của MN và do đó  1 1  .2 11 11  2 2  HM MN = = =  .  0.25  Theo Pitago,  2 2  25 11 6 6 R IM IH HM z = = + = + = Þ = ±  0.25  Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán là  2 2 2  1  2 2 2  2  ( ) : ( 3) ( 4) ( 6) 36  ( ) : ( 3) ( 4) ( 6) 36  S x y z  S x y z - + - + - = - + - + + =  0.25  9.b  1,0 điểm  Xét khai triển  3  3  3  0  (1 )  n  n k k  n  k  x C x = + = å  (1)  0.25  Lại có  2  3 2  2  0 0  (1 ) (1 ) (1 ) .  n n  n n n i i j j  n n  i j  x x x C x C x = = + = + + = å å  (2)  0.25  Hệ số của  n  x  trong khai triển (1) là  3  n  n  C  Hệ số của  n  x  sau khi nhân ra và rút gọn vế phải của (2) là  0 1 1 2 2 0  2 2 2 2  . . . .  n n n n  n n n n n n n n  C C C C C C C C - - + + + ××× +  0.25  Đồng nhất hệ số của  n  x  theo hai cách khai triển ta được đẳng thức cần chứng  minh.  0.25  Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) gửi tới www.laisac.page.tl  A  I  O  3  4  H  M