SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2019 – 2020 MƠN THI: TỐN CHUN Ngày thi: 03 tháng năm 2019 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Giải phương trình x x x 5x x 4y 4y b) Giải hệ phương trình x 3xy 2y x y Lời giải a) Điều kiện x Ta có x x x 5x 5 1 x x 5 x x 1 1 x 5 1 x 1 x 5x x 5x x x x 1 x 1 x 1 x 4(l ) x 1(n ) b) Xét hệ phương trình x 4y 4y x 4y 4y x 3xy 2y x y (x y )2 (x y )(y 1) x 4y 4y (x y )(x 2y 1) x 1 Nếu x y x 4x 4x 3x 4x x 2 Nếu x 2y x 1 2y Thay vào x 4y 4y , ta có (1 2y )2 4y 4y 4y 4y 4y 4y 7 7 Đẳng thức vơ lí Vậy hệ có hai nghiệm (1,1), , 3 TRƯỜNG HỌC THÔNG MINH 789.VN Bài a) Cho biểu thức P abc(a 1)(b 4)(c 6) với a, b, c số nguyên thỏa mãn a b c 2019 Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n để biểu thức Q n n n số nguyên Lời giải a) Ta có P abc(a 1)(b 4)(b 6) với a b c 2019 Ta chứng minh | P | P Thật vậy, - Nếu a, b, c lẻ a chẵn nên | P - Ngược lại, có số a, b, c chẵn dễ thấy có | abc | P Do đó, P ln số chẵn - Nếu số a, b, c có số chia hết cho | abc , tức | P - Nếu ba số a, b, c khơng chia hết cho | a b c nên số a, b, c phải có số dư chia cho ta có hai khả năng: o Nếu a b c (mod 3) | a nên | P o Nếu a b c (mod 3) | b nên | P b) Ta chứng minh bổ đề sau: a b a, b số phương Ta có a b n a n b a n 2n b b b Do b số phương Tương tự ta suy a số phương Đặt t n 2, t Khi n t Thay vào t t2 t d | t Gọi d gcd(t 2, t 1) Suy d | d | t Nếu d đặt t 3k Khi (t 2)(t 1) 9k(k 1) (vơ lí) Do d Ta suy t p p q (p q )(p q ) t q p q p t 2n p q q TRƯỜNG HỌC THÔNG MINH 789.VN Thử lại thấy n thỏa Vậy n Bài Cho biểu thức K ab 4ac bc với a, b, c số thực không âm thỏa a b 2c a) Chứng minh K b) Tìm giá trị lớn biểu thức K Lời giải Ta chứng minh ab 4ac 4bc Điều tương đương với 2(ab 4ac 4bc ) 2(ab 4ac 4bc ) 2(ab 4ac 4bc ) 2(ab 4ac 4bc ) 2(ab 4ac 4bc ) a b 4c 2ab 4ac 4bc 2ab 8ac 8bc a b 4c 2ab 4ac 4bc a b 4c 4ac 12bc a b 4c 4ab 12ac 4bc (a 2c )2 b 12bc (b 2c )2 a 4ab 12ac Hai bất đẳng thức cuối nên ta suy điều cần chứng minh Vậy K 1 1 1 a 0, b , c ; max K a , b 0, c 2 2 Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn (O ) Gọi điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt đoạn thẳng BC điểm J , cắt đường tròn (O ) điểm thứ hai M ( M khác A ) a) Chứng minh MI MJ MA b) Kẻ đường kính MN đường tròn (O ) Đường thẳng AN cắt tia phân giác góc ABC góc ACB điểm P vàQ Chứng minh N trung điểm PQ c) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ MC đường tròn (O ) ( E khác M ) Gọi F điểm đối xứng với điểm I qua điểm E Gọi R giao điểm hai đường thẳng PC QB Chứng minh bốn điểm P,Q, R, S thuộc đường tròn TRƯỜNG HỌC THƠNG MINH 789.VN MAC MAB nên hai tam giác MBJ MAB đồng dạng Suy Lời giải a) Ta có MBJ MB MJ MIB A B nên tam giác MBI MB MA MJ Ta có MBI MA MB 2 cân M MI MB Do MI MA MJ P N A G Q H I B C J E M F R b) Dễ thấy N trung điểm cung lớn BC (O ) nên AN phân giác Suy 90 P,Q tâm bàng tiếp góc B,C tam giác ABC Do PBQ ACB AQB 180 (QAB QBA ) 180 2ACB Từ Mặt khác, ta có ANB ta có NQB tam giác cân N , NB NQ Điều kéo theo BN trung tuyến tam giác vuông BPQ nên NP NQ 90 c) Dễ thấy R tâm bàng tiếp góc A tam giác ABC nên R AI Vì IBR MB MI nên M trung điểm IR Mặt khác, E trung điểm IF nên ME RF Lại gọi G , H giao điểm IP, IQ với (O ) Tương tự, ta có G , H trung điểm IP, IQ Do đó, ta có EG FP, MH RQ,GH PQ Vì nên tứ giác RFPQ có cạnh tương ứng song song với cạnh tứ giác MEGH , mà tứ giác MEGH nội tiếp (O ) nên tứ giác RFPQ nội tiếp Bài Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ TRƯỜNG HỌC THÔNG MINH 789.VN a) Chứng minh mặt phẳng tồn hai điểm tơ màu có khoảng cách d b) Gọi tam giác có ba đỉnh màu tam giác đơn sắc Chứng minh mặt phẳng tồn hai tam giác đơn sắc hai tam giác vuông đồng dạng theo tỉ số k 2019 Lời giải a) Gọi A điểm màu đỏ Xét đường tròn (C ) tâm A bán kính d Nếu tồn điểm B đường tròn có màu đỏ cặp điểm A, B thỏa mãn u cầu tơ màu có khoảng cách d Ngược lại, điểm đường 60 thỏa tròn (C ) có màu xanh hai điểm C , D nằm đường tròn với CAD mãn u cầu tơ màu có khoảng cách d (vì CAD nên CD AD d ) b) Theo câu a, ta thấy với độ dài d tùy ý, tồn hai điểm A, B cách khoảng d đươc tô màu, giả sử màu xanh Xét đoạn AB có độ dài 2019 Trêm đường tròn đường kính AB, lấy điểm tạo thành lục giác Khi đó, nguyên lý Dirichlet, ta có “nửa tam giác đều” có ba đỉnh tơ màu Lại xây dựng tương tự với đoạn A’B’ có độ dài tồn “nửa tam giác đều” Khi đó, tam giác thu vuông, đơn sắc đồng dạng với Lời giải thực bởi: Thầy Huỳnh Công Thái, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Quốc Anh, Đoàn Văn Bộ, Trần Bá Đạt, Nguyễn Trường Hải, Huỳnh Quốc Thắng tập thể GV Tốn trường THPT Đơng Đơ TPHCM (789.VN) TRƯỜNG HỌC THƠNG MINH 789.VN ... c 2019 Chứng minh giá trị biểu thức P chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n để biểu thức Q n n n số nguyên Lời giải a) Ta có P abc(a 1)(b 4)(b 6) với a b c 2019 Ta... sắc Chứng minh mặt phẳng tồn hai tam giác đơn sắc hai tam giác vuông đồng dạng theo tỉ số k 2019 Lời giải a) Gọi A điểm màu đỏ Xét đường tròn (C ) tâm A bán kính d Nếu tồn điểm B đường tròn... dài d tùy ý, tồn hai điểm A, B cách khoảng d đươc tô màu, giả sử màu xanh Xét đoạn AB có độ dài 2019 Trêm đường tròn đường kính AB, lấy điểm tạo thành lục giác Khi đó, nguyên lý Dirichlet, ta