TOÁN CHUYÊN TPHCM lớp 10

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2019 – 2020 MƠN THI: TỐN CHUN Ngày thi: 03 tháng năm 2019 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu Cho a, b, c ba số thực thỏa điều kiện a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a  b  c  3(ab  c )(c  1) Lời giải Trước hết, khai triển biểu thức 3(ab  c )(c  1)  3abc  3(ab  bc  ca ) Thay vào biểu thức cho, ta có A  a  b  c  (3abc  3(ab  bc  ca )) Sử dụng đẳng thức quen thuộc a  b  c  3abc  (a  b  c )((a  b )2  (b  c )2  (c  a )2 ) kết hợp điều kiện a  b  c  , ta có: A  (a  b  c )((a  b )2  (b  c )2  (c  a )2 )  3(ab  bc  ca )  ((a  b)2  (b  c )2  (c  a )2 )  3(ab  bc  ca )  (a  b  c )2  Vậy nên ta A  Câu a) Giải phương trình x   x   3x  2(x  y )  xy  b) Giải hệ phương trình  xy(x  y  4)  2  Lời giải a) Điều kiện: x  Đặt u  x  1, v  x  Khi 5u  v  25 2 u  v  5u  v  5u  v 5u  v   8 5u  v   5u  v   Trường hợp Với 5u  v  , suy v  5u  x   x   x  Trường hợp Với 5u  v  Trường học thông minh 789.vn (nhận)  x  41   41 13 x   x   x   x    x  x   41  13x     13   144 x  1216 x  1856  58   x     Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2;    b) Đặt S  x  y, P  xy, S  4P  , ta có 2S  P  P  2S  P  2S          P(S  4)  2 (2S  4)(S  4)  2 (S  2)(S  4)  1    P  2S  P      (nhận) S  6S   S    X  Do x y hai nghiệm phương trình X  3X     X  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1, 2),(2,1) Bài Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P Gọi K hình chiếu vng góc M lên NP Chứng minh KM phân  giác BKC Lời giải A E N P D B K M C Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu B,C lên PN Theo tính chất tiếp tuyến, ta có Trường học thơng minh 789.vn AP  AN , BM  BP ,CM  CN   APN   ANP   CNE  nên BPD CNE (g.g ) Do Ta có BPD BD BP BM   CE CN CM BM DK BD DK  , suy  Điều CM EK CE EK   CKE  kéo theo hai tam giác BDK CEK (c.g c ) nên BKD Vì BD  MK  CE nên theo định lý Ta-lét, ta có   90  BKD   90  CKE   CKM  BKM  Vậy nên KM phân giác BKC Câu Cho x , y, z số thực thuộc đoạn [0, 2] thỏa mãn điều kiện x  y  z  a) Chứng minh rằng: x  y  z  b) Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y  z  3xyz Lời giải a) Do x , y, z  [0, 2] nên x  2x , y  2y, z  2z Do x  y  z  2(x  y  z )  Tuy nhiên dấu bất đẳng thức xảy x  {0, 2}, y  {0, 2}, z  {0, 2}  , vơ lí  x  y  z   Vậy ta có x  y  z  b) Do x , y, z  [0, 2] nên xyz  xyz       (x  2)(y  2)(z  2)  xyz  2(xy  yz  xz )  4(x  y  z )     Suy 2(xy  yz  xz )  xyz  4(x  y  z )   4.3    xy  yz  xz  Ta có: Trường học thơng minh 789.vn x  y  z  3xyz  (x  y  z )((x  y  z )2  3(xy  yz  xz ))  3(9  3(xy  yz  xz ))  3(9  3.2)  Dấu xảy x  0, y  1, z  hoán vị chúng   30 Câu Cho tam giác ABC Gọi M , N hai điểm cạnh BC cho MAN ( M nằm B N ) Gọi K giao điểm hai đường tròn (ABN ) (ACM ) Chứng minh a) Hai điểm K C đối xứng qua AN b) Đường thẳng AK qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Lời giải A X B Z Y N M C K Gọi X ,Y tâm ngoại tiếp hai tam giác (ABN ),(ACM )   x ,CAN   y x  y  30 Ta có ANB   60  y nên Đặt BAM   2ANB   120  2y AXB  180  AXB 180  (120  2y )   , điều cho Suy XAB    30  y  x  BAM 2 thấy A, X , M thẳng hàng Chứng minh tương tự, ta có A,Y , N thẳng hàng   ABN   60  ACN  Vì K  (ACM ) nên YK  YC Ta có AKN Trường học thơng minh 789.vn   nên suy N  ACN Lấy điểm K  đối xứng với C qua AN YK   YC , đồng thời AK   Do K  K  K ,C đối xứng qua AN N  AKN YK  YK  AK   CAN   y Gọi Z tâm đường tròn (AMN ) b) Theo câu a KAN   2AMN   2(60  x )  120  2x nên AZN  180  AZN 180  (120  2x )  ZAN    30  x  y 2   ZAN  , kéo theo A, Z , K thẳng hàng hay Z  AK Vì nên KAN Câu Cho m, n hai số nguyên Chứng minh 7(m  n )2  2mn chia hết cho 225 mn chia hết cho 225 Lời giải Ta có 7(m  n )2  2mn  (mod 225)  14(m  n )2  4mn  (mod 225) Mà 4mn  (m  n )2  (m  n )2 nên suy  15(m  n )2  (m  n )2  (mod 225) (1) Xét theo mod 15, ta có (m  n )2  (mod 15) m  n (mod 3)    m  n (mod 15) m  n (mod 5)  (2) Suy (m  n )2  225 Theo (1), ta có (m  n )2  15 Chứng minh tương tự trên, ta có m  n 15 Kết hợp với (2), ta có m  15 n 15 , nên mn chia hết cho 225 Lời giải thực bởi: Thầy Huỳnh Công Thái, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Quốc Anh, Đoàn Văn Bộ, Trần Bá Đạt, Nguyễn Trường Hải, Huỳnh Quốc Thắng tập thể GV Tốn trường THPT Đơng Đơ TPHCM (789.VN) Trường học thông minh 789.vn ... Đồn Văn Bộ, Trần Bá Đạt, Nguyễn Trường Hải, Huỳnh Quốc Thắng tập thể GV Tốn trường THPT Đơng Đơ TPHCM (789.VN) Trường học thông minh 789.vn