ÔN TOÁN LỚP 10 THPT

Gv: Trần Quốc Nghĩa Phần ĐẠI SỐ Bài BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BPT TRÊN TRỤC SỐ Thơng thường bất phương trình có vơ số nghiệm nên kiệt kê hết Người ta chọn cách thể tập nghiệm cách biểu diễn trục số (phần khơng bị xóa) Sau trường hợp thường gặp: a [ (1) {x / x a} b b ] { x / x b} { x / x b} a a b [ ] a (6) [ (8) b ) ( {x / x < a x > b} O x  R (vô số nghiệm) ) a b ] b ( {x / a < x < b} {x / x ≤ a x ≥ b} (9) ) (4) {x / a ≤ x ≤ b} (7) ( (2) {x / x a} (3) (5) a O (10) x   (vô nghiệm)  Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuông “[, ]” tức tập nghiệm có x = a, ngược lại biểu diễn ngoặc đơn “(, )” x = a không thuộc tập nghiệm 1.1 Biểu diễn tập nghiệm sau lên trục số: a) S   x | x  5 b) S   x | x  2 c) S   x | x  1 d) S   x | x  1 e) S   x | 1  x  2 f) S   x | x  2 hoac x  1 Tốn 10 – Khóa hè 2019 Bài BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, THƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bất phương trình tích  A  x   A  x  B  x     B x      A  x   A  x  B  x      B  x    A  x   Dạng A  x  B  x      B  x    A  x   A  x  B  x      B  x   Bất phương trình thương  A  x   A x Dạng 0  B  x B x      A  x   A x 0  B  x  B  x    A  x   A x Dạng 0  B  x  B  x    A  x   A x 0  B  x  B  x   Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  x  a   a  x  a (với a  ) Dạng  A  x     B  x    A  x     B  x    A  x     B  x    A  x     B  x    A  x     B  x    A  x     B  x    A  x     B  x    A  x     B  x    x  a  x   a x  a (với a  )  Một số bất phương trình đặc biệt:  a   a  a 0a0  a 0a0  a   a  Gv: Trần Quốc Nghĩa Bất phương trình bậc hai a) Bất phương trình bậc hai bất phương trình có dạng: (1): ax  bx  c  (2): ax  bx  c  (3): ax  bx  c  (4): ax  bx  c  (trong a , b , c số thực a  )  Một số bất phương trình đặc biệt:  a2   a    a2   a   a2   a   a2   a   b) Cách giải:  Cách 1: Đưa bất phương trình tích cách phân tích vế trái thành nhân tử  Cách 2: Đưa bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: X  A  X  A2  X  A   A  X  A   X  A X  A  X  A2  X  A   X  A  Cách 3: Xét dấu (Học HKII lớp 10) 1.2 1.3 Giải bất phương trình sau biểu diễn nghiệm trục số: a) x  x – 1  b)  x –  x –   c)  x  5 – x   d)  x  1 x – 3  e) x – x  f)  – x  x  3  g) x2 0 x 3 h) x2 0 x 5 i) x 1 1 x3 j) 2 x  1 3x  k) x 1 0 x2 l) x2  0 x3 Giải bất phương trình sau biểu diễn nghiệm trục số: a) x –  b) x  x –  c) x – x –  d) x – 3x –10  e) x – x  f) – x  x –  Toán 10 – Khóa hè 2019 1.4 g) x –10 x  16  h) – x  x –10  i) x –15 x  50  k) x – x   m) x – x   j) – x  x   l) x – x – 20  n) – x  12 x – 32  Giải bất phương trình sau biểu diễn nghiệm trục số: a) x  b) x  c) x   d) x   e) x   x  f)  x  x  Bài PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1.5 Cho phương tình: x  x   có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính tổng x1  x2 tích x1 , x2 Từ tính giá trị biểu thức L 1.6  x12  x22   10 x1 x2 x1 x2  x12  x22  Cho phương trình x   m  1 x  2m  , với m tham số Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình, tìm tất giá trị m cho x12  x1  x2   2m 1.7 Cho phương trình: x  mx  m   (1) ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m x12  x22  b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  4 x1  x2  1.8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó: a) mx   m  3 x  m   b) 1  4m  x  4mx  m   1.9 Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với m thuộc  : a) x   m  1 x  4m   b) 2 x   m  1 x  m  m  Gv: Trần Quốc Nghĩa 1.10 Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dấu: a)  m  1 x   m   x  m   b)  m  1 x   m   x  m  1.11 Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: a) x   m  1 x  m  b) mx   m   x  m   1.12 Cho phương trình x  mx   ( m tham số khác ) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: 2  x1   x2        47  x2   x1  1.13 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 , x2 độc lập với tham số m phương trình x   m   x   2m  1  1.14 Tìm m để phương trình x   3m   x   3m  1  có nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức x1  x2  1.15 Cho phương trình: x – 2mx  m –  a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 m b) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Định m để phương trình có hai nghiệm âm 1.16 Biết ax  bx  c  có hai nghiệm x1 , x2 f  x   ax  bx  c  a  x – x1  x – x2  Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2m  3m – b) –3 x  x  10 c) y  y – 21 d) 2m  5m – e) h – 2h – 63 f) n6 – 9n3  g) z –10 z  16 h) t – 7t  10 Tốn 10 – Khóa hè 2019 i) x –15 x  50 j) p – p – k) m – 6m  l) k – k – 20 m) g – g  n) u –12u  32 o) v  6v  q) m2 – m – p) m – 3m –10 r) m2  m – s) t –   3 t–   t) t   t  Bài PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC Phương trình trùng phương: a x4 + b x2 + c = (a  0)  Cách giải phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a  0) t  x  ax  bx  c  ( )   at  bt  c  ( )  Số nghiệm phương trình trùng phương: Để xác định số nghiệm phương trình (1) ta dựa vào số nghiệm phương trình (2) dấu chúng:  (1) vơ nghiệm  (2) vơ nghiệm (2) có nghiệm kép âm (2) có nghiệm âm  (1) có nghiệm   (1) có nghiệm  (2) có nghiệm kép (2) có nghiệm 0, nghiệm lại âm (2) có nghiệm kép dương (2) có nghiệm dương, nghiệm âm  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm nghiệm dương  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm dương phân biệt Một số dạng khác: a) Dạng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (với a + b = c+ d)  Đặt t = (x + a)(x + b) t = (x + c)(x + d) ta phương tình bậc hai theo ẩn t Gv: Trần Quốc Nghĩa  Giải phương tìm t từ suy x b) Dạng 2: (x + a)4 + (x + b) = m (1)  Nếu m < phương trình (1) vơ nghiệm  Nếu m = thì: - Nếu a  b: (1) vơ nghiệm - Nếu a = b: (1) có nghiệm bội x1 = x2 = x3 = x4 = – a ab  Nếu m > 0: đặt t  x  đưa (1) dạng phương trình trùng phương theo t c) Dạng 1: ax + bx + cx + bx + a = (a  0) Vì x = khơng nghiệm (1) Chia hai vế (1) cho x2, ta   1  được: a  x    b  x    c  x   x  1  t  x2    x2   t  x x x Ta đưa phương trình bậc hai theo t Tính t  tính x  Tổng quát: Phương trình hồi quy: Đặt t  x  ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (a  0) e d   a b Phương pháp giải:  x = không nghiệm  Khi x  chia hai vế phương trình cho x2 d Đặt t  x  (giải tiếp trên) bx d) Dạng 4: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex (1) (với ad = bc) (1)  [(x + a)(x + d] [(x + b)(x + c] = ex (2)  Xét x =  Xét x  0: chia hai vế cho x2, ta được: x  ( a  d )x  ad x  ( b  c )x  bc (2)  e x x ad   bc   xad   x  b  c    e x   x   Tốn 10 – Khóa hè 2019 Đặt t  x  ad phương trình theo t Tính t  x x 1.17 Giải phương trình sau: a)  x 1 x 2x  x  x2  c) 1  x 1 x 1 1.18 Giải phương trình sau : a) x  x   c) x  x   b)  1 x 1 x  d) x 1 3x   x 2x  2 b) x  3x   d) x  x   1.19 Giải phương trình sau : a) x   c) x  x  11x   b) x  x  x  d) x  x  x   1.20 Giải phương trình sau : a)  x  x   x  x    b)  x   x  5 x   x    1680 1.21 Giải phương trình sau: a)  x  x    x  x    b) x  2 x  x    1.22 Giải phương trình sau: 3 3 a)  x  1   x     3x   b)  x  1   x  3   x   3 c)  x  3   x  3  27 x3    d) 64 x  x   x   3 1.23 Giải phương trình sau: a) x  x3  10 x  x   b) x  25 x  12 x  25 x   c) x  10 x  26 x  10 x   d) x  x  x  x   e) x  x  11x  x   f) x  x  14 x  x   Gv: Trần Quốc Nghĩa 1.24 Giải phương trình sau: 1    a)  x     x    x  x   1 1   c)  x    13  x   x  x   b) x  12  d) x  36 24  4x  5 x x 9 1  x 7 x 2 x 1.25 Giải phương trình sau (phương trình đẳng cấp bậc hai): 2 a)  x  x  1   x  x  1 x  1   x  1  2 b)  x  x  1   x  1   x  1  2 c)  x  x  1   x  x  1  x  5   x    2 d)  x  1   x  1 x     x    2 e)  x  x  1   x  1  13  x  1 f)  x  x  1  x   x  1  2 x2   x2  x2 g)   44  12  0    x2   x 1   x 1  1.26 Giải phương trình sau: a)  x  112 x  1 x   x  1  b)  x    x  3 x  1  147 c)  x  1 x  x  1 x    d)  x    3x   x  1  35 e)  x   x   x   x    f)  x  1 x   x   x    112 g)  x  1  x   x  3  16  Tốn 10 – Khóa hè 2019 14 có  x  3 Ta có: f  x    x  x    x  x    x  3 (3 nhóm)  x  x  3  x  x  3   x  3   x  3  x  x  1 Cách 3: Dùng sơ đồ Hoorer: Bước 1: Xác định hệ số, kẻ bảng điền hệ số vào: f ( x )  1x  4x  4x   3 a b c d Bước 2: Tính:  Tính a: a khơng cần tính, cần hạ số xuống  Tính b: b  a   3   1  3    Tính c: c  b   3   1  3    Tính d: d  c   3   1  3   f ( x ) : x3  f ( x )  1x  4x  4x   3  g( x ) : x x2  1 x x1  0 x x0  Vậy f  x   x  x  x    x  3  x  x  1 Cách 4: Đồng hệ số : Ta thấy f  x  có bậc , x  có bậc g  x  phải có bậc Do g  x  có dạng g  x   ax  bx  c Khi đó: f  x    x  3 g  x   x  x  x    x  3  ax  bx  c  Nhận xét :  Hệ số trước x f  x   a.1   a   Hệ số tự f  x   c.3   c  Do ta viết lại: x  x  x    x  3  x  bx  1 x  x  x   x   b  3 x   3b  1 x  Gv: Trần Quốc Nghĩa 15 b   b  Đồng hệ số, ta được:    b 1 3b   b  Vậy f  x   x  x  x    x  3  x  x  1 1.36 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x  x  x  b) c) x  x  x  d) e) x  3x  10 x  24 f) g) x  x  h) i) x  x  24 x  36 j) x3  x2  5x  x3  x  x  x  x  17 x  60 x3  x  x  x  19 x  60 §2 Giải phương trình bậc cách đưa phương trình tích Phương pháp giải: Xét phương trình: ax3  bx  cx  d  (1)  Phân tích vế trái (1) thành nhân tử (đã học 1) Giả sử ax3  bx  cx  d    mx  n   px  qx  k    Giải phương trình tích vừa tìm  mx  n    mx  n   px  qx  k      px  qx  k  Ví dụ minh họa: a) Gỉải phương trình x  x  x   Ta có: x3  x  x     x  3  x  x  1   x   x  x    x    x  3  x  x   : phương trình vơ nghiệm   3  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  3 b) Gỉải phương trình x  x   (1x  0x  x   Nháp: Vì a  b  c  d     3   2   nên phương trình f ( x ) : x3  x2  x1  x0  Tốn 10 – Khóa hè 2019 16 có nghiệm x  1 Ta có: x  x  x     x  1  x  x     x   x  x    x    x  1  x2  x   : Vì a  b  c    1   2   nên phương trình có nghiệm phân biệt x1  1, x2  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 1.37 Giải phương trình sau: a) x  x  x   c) x3  3x  x   b) d) x3  x2  5x   x3  x  x   e) g) i) x  3x  10 x  24  x3  3x   x  x  24 x  28  f) h) j) x  x  17 x  60  x3  x   x  x  19 x  60  k) m) o) q) x  64  5x3 – x – 5x   x3  x – x  x3 – 5x  x –  l) n) p) r) x –125  x3 – x  x   30 x  x  x   x3 – 5x – x   s) x  3x – x –  t) 1, x – x – 0, x  u) x – x  11x –  §3 Phương trình bậc có chứa tham số Phương pháp giải: Cho phương trình ax3  bx  cx  d  a , b , c , d có chứa tham số m Ví dụ: 1 x3  x   2m   x  4m   Gv: Trần Quốc Nghĩa 17  2 x3  2mx2   m  1 x   m  1 m  3  Khi việc nhẩm nghiệm khó so với phương trình bậc khơng có tham số Sau cách nhẩm tìm nghiệm phương trình loại Bước 1: Khai triển vế trái: 1  x3  x2  2mx  x  4m   Bước 2: Nhóm theo nhóm: nhóm thứ chứa tất số hạng có chứa m , lại cho vào nhóm thứ   2mx  4m    x3  x  x    Bước 3: Cho nhóm có chứa tham số m 0, giải tìm x : 2mx  4m   2m  x     x    x  Bước 4: Kiểm tra xem với giá trị x vừa tìm có phải nghiệm (1) hay không ? Thế x  vào (1), ta được: 23  5.22  2m.2  5.2  4m     (đúng)  PT(1) có nghiệm x  Bước 5: Phân tích VT thành nhân tử, biết ràng có nhân tử  x   Làm theo cách Bài Ví dụ minh họa Cho phương trình: x  x   2m   x  4m   (1) a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Nhẩm tìm nghiệm (1) b) Tìm giá trị m để x12  x22  x32  11 Ta tìm nghiệm x =  có thừa số (x – 2) Hướng dẫn giải: a) Ta có: x  x   2m   x  4m    x  x  x   2mx  4m    x  x    3 x  x     x     2mx  4m    x  x    3x  x     x    2m  x    Tốn 10 – Khóa hè 2019 18   x    x  x   2m   x   x     x  3x   2m   x  3x   2m  (2) Để phương trìngh (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có nghiệm phân biệt khác  (2) phải có nghiệm phân biệt    (vì a   ) 13  13  8m   m   (2) có nghiệm khác  2  3.2   2m   m  13 Vậy với m  m  phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 13 m  phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3  , x1 , x2 nghiệm phương trình (2) b) Theo câu a, với m  Theo định lí Vi-et, ta có: x1  x2  3, x1 x2  2m  Theo đề : x12  x22  x32  11  x12  x22  11   ( x3  2)  ( x1  x2 )  x1 x2     2m  1    4m    4m   m  (TMĐK) Vậy với m  phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12  x22  x32  11 2 Cho phương trình: x3  2mx   m  1 x   m  1 m  3    Tìm m để phương trình có nghiệm ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Giải: Nháp nhẩm nghiệm: Ta có x3  2mx   m  1 x   m  1 m  3   x3  2mx  m x  2mx  x  m  4m   Gv: Trần Quốc Nghĩa 19   x  x  3   m x  m    2mx  2mx  4m   Cho nhóm có m 0: 2 x 1  m x  m  m  x  1     2 2mx  2mx  4m  2m  x  x     x  x   Ta thấy x  nghiệm hệ Thay x  vào phương trình (2) thỏa mãn Vậy (1) có nghiệm x  Ta tiến hành phân tích vế trái (2) nhân tử, biết nhân tử  x  1 Giải : Ta có x3  2mx   m  1 x   m  1 m  3    x  x    x  x    x  3    m x  m    2mx  2mx  4m    x  x  1  x  x  1   x  1  m2  x  1  2m  x  1 x      x  1 2 x  x   m  2m  x       x  1  x  x   m  2mx  4m     x  1 2 x   m  1 x  m  4m  3   x   x   m  1 x  m  4m    x  x   m  1 x  m  4m   (3) Để phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt phương trình (3) phải có nghiệm phân biệt khác 1: a       2 2 1   m  1 1  m  4m   2     m  1   m  1 m  3   2  2m   m  4m    m  1  m    5  m  1    5  m  1 m  6m   m  1, m  Vậy với 5  m  1 phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt Tốn 10 – Khóa hè 2019 20 Nhận xét: Với phương trình có tham số, ta dùng phương pháp tách, thêm bớt hạng tử dài dễ bị sai sót Do đó, gặp loại em nên dùng sơ đồ Horrner Cách làm sau: Nháp: 2 2m 2( m  ) m2  2m  ( m  )( m  ) ( m  )( m  ) Làm: Ta có:     x  1 2 x   m  1 x   m  1 m  3   … 1.38 Tìm m để phương trình sau đây: a) x   m  x  1  có nghiệm phân biệt b) 2 x  x   m  x  1 có nghiệm phân biệt c) x   2m  1 x   m   x  m  12  có nghiệm phân biệt d) mx3   3m   x   3m   x  m   có nghiệm e) x   m  1 x   2m  3m   x  2m  2m  1  có hai nghiệm phân biệt 1.39 Cho phương trình:  m –  x –  5m –  x  x – m –  Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt 1.40 Cho phương trình: x –  2m  1 x   m  m  1 x –  m – m  1  Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt 1.41 Cho phương trình: x – mx  m –1  Tìm m để phương trình: i) có nghiệm ii) có ba nghiệm phân biệt Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.42 Giải hệ phương trình sau : x  y  4 x  y  21 a)  b)  2 x  y  x  y  Gv: Trần Quốc Nghĩa  x  y  c)   x  y  21 3  x  y  d)  1 x  y    1.43 Giải hệ phương trình sau : 2  x  y 1 4  x  1   y    18  a)  b)  1   3  x  1   y    19  x y   x  y  x  y  1  c)    3  x  y x  y  5x  y  yx   d)    x  y   7  x  y  x  ay  1.44 Cho hệ phương trình:  Tìm giá trị a b để hệ bx  y  14 phương trình có nghiệm 1;   y  x 1 1.45 Với giá trị k hệ phương trình:  có nghiệm x  y  k  x  ; y  x   z  1.46 Giả hệ phương trình sau phương pháp  y   3z  z  3x  y    Bài HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b 1.47 Với giá trị k hàm số bậc nghịch biến ? a) y   – k  x  b) y   – k   x  100 1.48 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:  d1  : y  x – ,  d  : 3x  y  ,  d3  :  m   x – 2my  3m Tốn 10 – Khóa hè 2019 22 1.49 Cho đường thẳng:  d1  : y  x   d  : y   x – a) Viết phương trình đường thẳng  d3  qua M  4; –5  song song với đường thẳng  d1  b) Viết phương trình đường thẳng  d  qua N  3;  vng góc với đường thẳng  d  c) Viết phương trình đường thẳng  d5  qua hai điểm M N Bài HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 1.50 Cho hàm số y  x có đồ thị  P  x2 b) Viết phương trình đường thẳng  d1  //  d   d1  tiếp xúc a) Tìm tọa độ giao điểm  P   d  : y  với  P  M Tìm tọa độ điểm M c) Viết phương trình đường thẳng  d  tiếp xúc với  P  N có hồnh độ điểm N –1 1.51 Cho parabol  P  : y   x điểm A  3; 8  Viết phương trình đường thẳng  d  qua điểm A tiếp xúc với  P  Gv: Trần Quốc Nghĩa 23 Phần HÌNH HỌC Bài ĐỊNH LÍ TA-LÉT TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 2.1 Cho ABC Trên cạnh AB , AC lấy điểm P , Q AP AQ cho:  Chứng minh rằng: AB AC AP AQ PB QC  a) b)  PB QC AB AC 2.2 Trên cạnh góc đỉnh A , đặt đoạn thẳng liên tiếp AB  cm , BC  cm Trên cạnh thứ hai đặt đoạn thẳng AD  7,5 cm Nối BD qua điểm C vẽ đường thẳng song song với BD cắt cạnh thứ hai M Tính độ dài DM 2.3 Cho ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC cắc cạnh AB, AC đường cao AH theo thứ tự điểm B, C H AH  BC  a) Chứng minh:  AH BC b) Biết AH   AH S ABC  67,5 (cm ) Tính S AB 'C ' 2.4 Cho đường tròn  O  điểm M  O  Kẻ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC Chứnh minh: MA2  MB.MC 2.5 Cho đường tròn  O  có đường kính AB ;  tiếp tuyến với  O  A Trên  lấy điểm P , PB cắt  O  Q Chứng minh: a) PA2  PQ.PB b) PA AB  PB AQ Bài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2.6 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Biết AB  , AC  Tính BC , BH , CH , AH 2.7 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Biết BH  , AC  Tính CH , BC , AH , AB Tốn 10 – Khóa hè 2019 2.8 2.9 24   60 , BC  a Tính góc C Cho tam giác ABC vng A , có B cạnh AB , AC Cho tam giác ABC vuông C Đường cao CD Biết DA  , DB  16 Tính CD , AC , BC 2.10 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Biết CH  21 , BH  84 Tính BC , AH , AC , AB 2.11 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Biết AH  30 , AB  AC Tính CH , BH   60 , AC  a Tính diện 2.12 Cho tam giác ABC vuông A , có B tích tam giác ABC 2.13 Cho ABC có độ dài cạnh a, kẻ đường cao AH Tính AH S ABC theo a 2.14 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Tính độ dài đường chéo diện tích hình vng theo a Từ suy độ dài cạnh huyền tam giác vng cân có độ dài cạnh a   60 2.15 Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh a Biết BAD a) Chứng minh tam giác ABD BCD tam giác b) Tính độ dài đường chéo AC BD S ABCD theo a   90 ) có AB  BC  a , 2.16 Cho hthang vuông ABCD (  A B AD  2a a) Chứng minh AC  CD b) Tính độ dài đoạn thẳng AC , CD , BD S ABCD theo a   90 ) có AB  AD  2a , 2.17 Cho hình thang vng ABCD (  A D CD  a a) Tính BC S ABCD theo a b) Gọi I trung điểm AD , K hình chiếu vng góc I BC Tính IK theo a 2.18 Cho hình thoi ABCD với AC  2a , BD  2a Gọi H trọng tâm tam giác ABC Kẻ CK  DH K Tính S ABCD CK Gv: Trần Quốc Nghĩa 25   90 ) có AB  2a , 2.19 Cho hình thang vng ABCD (  A B BC  1, 5a , AD  3a Gọi H trung điểm BD Kẻ CK  BD K ; BF  AH F Tính S ABCD , CK BF 2.20 Cho ABC Chứng minh S ABC  AB AC.sin A 2.21 Cho ABC có AM trung tuyến Chứng minh: S ABM  S ACM  SABC Bài MỘT SỐ BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG Bổ đề tam giác: 2.22 Cho ABC , tia phân giác góc A cắt BC D Lấy điểm M kỳ AB , gọi N điểm đối xứng với M qua AD Chứng minh N thuộc AC 2.23 Trên cạnh AB , AC tma giác ABC , lấy hai điểm M N cho MN // BC Gọi I trung điểm cạnh BC , K giao điểm đường thẳng AI với đoạn thẳng MN Chứng minh K trung điểm đoạn thẳng MN 2.24 Cho ABC vuông A , AH đường cao Gọi M , N trung điểm AH CH Chứng minh: BMAN 2.25 Cho ABC cân A , AH đường cao Kẻ HM  AC M Gọi I trung điểm HM Chứng minh: AI  BM 2.26 Cho ABC vuông A Gọi H hình chiếu A cạnh BC ; D điểm đối xứng B qua H ; K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD ; M trung điểm AC Chứng minh: A đối xứng với K qua MH 2.27 Cho ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D cho AB  AD Gọi H hình chiếu B CD ; M trung điểm đoạn CH Chứng minh: AM  BM Bổ đề hình vng – hình chữ nhật: 2.28 Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm BC CD Chứng minh: AN  DM Tốn 10 – Khóa hè 2019 26 2.29 Cho hình vng ABCD , gọi E điểm thuộc cạnh BC ; F giao điểm đường thẳng AE CD ; I giao điểm ED BF Chứng minh: CI  AF 2.30 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E , F , N , M trung điểm AB , DH , AD CH Chứng minh: EF  MN 2.31 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K điểm đối xứng với C qua B ; gọi M , N , I trung điểm BH , CH AD Chứng minh: KH  IN 2.32 Cho hình vng ABCD , gọi M , N trung điểm AB BC CM cắt DN I Chứng minh: AD  AI 2.33 Cho hình vng ABCD , cạnh AB , AD lấy hai điểm F , E thỏa mãn: AF  AE Gọi H hình chiếu vng góc A lên BE Chứng minh: HC  HF 2.34 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC , M N trung điểm AH BH , cạnh CD lấy điểm K cho MNCK hình bình hành Chứng minh: MK  MB Bổ đề hình thang 2.35 Cho hình thang ABCD vng A D có CD  AD  AB Gọi E điểm thuộc đoạn AB cho AB  AE Điểm F thuộc BC cho DDEF cân E Chứng minh: DEF vuông cân E 2.36 Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD  AB Gọi H hình chiếu vng góc D lên AC Điểm M trung điểm HC Chứng minh : BM  DM 2.37 Cho hình thang cân ABCD có AB // CD , CD  AB Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M điểm đối xứng I qua A Chứng minh: MDC vng D Bổ đề đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp 2.38 Cho ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn  O; R  Gọi H trực tâm ABC Vẽ đường kính AD a) Tứ giác BHCD hình ? Vì ? b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh: AH  2OI Gv: Trần Quốc Nghĩa 27 c) Gọi G trọng tâm ABC C/minh: O , H , G thẳng hàng d) So sánh diện tích hai tam giác AHG AOG 2.39 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Gọi H trực tâm, M điểm đối xứng với O qua BC Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp BHC 2.40 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Gọi H trực tâm ABC , K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K   O  2.41 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Tia phân giác góc A cắt  O  K Chứng minh BK tiếp tuyến đường tròn  ADB  2.42 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Tia phân giác góc A cắt  O  K Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC ; J tâm đường tròn bàng tiếp góc A ABC Chứng minh K trung điểm IJ 2.43 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Hai đường cao BE CF Chứng minh OA  EF 2.44 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Các đường cao AD , BE CF cắt H Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp DEF 2.45 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O  Tiếp tuyến A  O  cắt BC P Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh: PA  PD 2.46 Cho ABC nội tiếp  I  Gọi H trực tâm M điểm tùy ý thuộc cung nhỏ BC , gọi P Q đối xứng với M qua AB AC Chứng minh: P , Q , H thẳng hàng Tốn 10 – Khóa hè 2019 28 Mục lục Phần ĐẠI SỐ Bài BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BPT TRÊN TRỤC SỐ .1 Bài BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, THƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài PHƯƠNG TRÌNH BẬC Bài PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC .6 Bài PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: ax3 + bx2 + cx + d = 11 Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH 20 Bài HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b 21 Bài HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 22 Phần HÌNH HỌC 23 Bài ĐỊNH LÍ TA-LÉT TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 23 Bài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 23 Bài MỘT SỐ BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG 25 Mục lục 28 ... thành nhân tử: a) 2m  3m – b) –3 x  x  10 c) y  y – 21 d) 2m  5m – e) h – 2h – 63 f) n6 – 9n3  g) z 10 z  16 h) t – 7t  10 Tốn 10 – Khóa hè 20 19 i) x –15 x  50 j) p – p – k) m – 6m ... trục số: a) x –  b) x  x –  c) x – x –  d) x – 3x 10  e) x – x  f) – x  x –  Tốn 10 – Khóa hè 20 19 1.4 g) x 10 x  16  h) – x  x 10  i) x –15 x  50  k) x – x   m) x – x   j)... g)  x  1  x   x  3  16  Tốn 10 – Khóa hè 20 19 10 h)  x  3  x  1 x  1  810 i)  x   x   x  1 x  3  x j)  x   x   x  10  x  12   x 1.27 Giải phương trình