Chuyên đề bất đẳng thức

Công thức, bất đẳng thức giúp các bạn nắm chắc kiến thức chuyên sâu bất đẳng thức, ôn luyện kỳ thi học sinh giỏi, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và chuyên sâu ngành toán học

LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC & CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phần I: Kiến thức cần nhớ: A Vấn đề chung: Khái niệm – Định nghĩa – Lý thuyết: - Trong toán học, bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng + Ký hiệu a < b có nghĩa a nhỏ b + Ký hiệu a > b có nghĩa a lớn b + Những quan hệ nói gọi bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngồi ta có a ≤ b có nghĩa a nhỏ b a ≥ b có nghĩa a lớn b a ≥ a có nghĩa |a| lớn a - Người ta dùng ký hiệu khác để đại lượng lớn nhiều so với đại lượng khác + Ký hiệu a >> b có nghĩa a lớn b nhiều - Các ký hiệu a, b hai vế bất đẳng thức biểu thức biến Sau ta xét bất đẳng thức với biến nhận giá trị tập số thực tập - Nếu bất đẳng thức với giá trị tất biến có mặt bất đẳng thức, bất đẳng thức gọi bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu bất đẳng thức với số giá trị biến, với giá trị khác bị đổi chiều hay khơng goị bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức hai vế thêm vào bớt giá trị, hay hai vế nhân hay chia với số dương Một bất đẳng thức bị đảo chiều hai vế nhân hay chia số âm - Hai toán thường gặp bất đẳng thức - Chứng minh bất đẳng thức với trị giá trị biến thuộc tập hợp cho trước, tốn chứng minh bất đẳng thức Tìm tập giá trị biến để bất đẳng thức Đó tốn giải bất phương trình Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ biểu thức hay nhiều biến Đó gọi tìm cực trị Áp dụng hàm đơn điệu vào hai vế bất đẳng thức - Từ định nghĩa hàm đơn điệu (tăng giảm) ta đưa hai vế bất đẳng thức trở thành biến hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết - Ngược lại ta áp vào hai vế bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt lúc ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để bất đẳng thức - Điều có nghĩa là: + Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) f(x) hàm đơn điệu tăng f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều) f(x) hàm đơn điệu giảm f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều) + Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b) f(x) hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt f(a) < f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (khơng đảo chiều) f(x) hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt f(a) > f(b) (hoặc f(a) b b > c ⇒ a > c (Tính chất bắc cầu) a > b ⇔ a + c > b + c (Liên hệ thứ tự phép cộng) ac > bc (c > 0) a > b ⇔  ac < bc (c < 0) ⇔ (Liên hệ thứ tự phép nhân) a > b ⇔ b < a III Hệ quả: a > b c > d ⇒ a + c > b + d a + c > b ⇔ a > b - c a > b ≥ c > d ≥ ⇒ ac > bd a > b ≥ n∈ N* ⇒ an > bn a > b ⇒ an > bn (n: lẻ) a > b ⇒ an > bn (n: chẵn) m > n > A > ⇒ Am > An m > n > < A < ⇒ Am < An a > b ≥ ⇔ a > b 10 a > b ⇔ a > b 1 11 a < b a.b > ⇒ > a b a a > 12 a + b a + b+ c a a+ c a 13 > ⇒ > b b b+ c LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG a a+ c c a c > ⇒ > > b d b b+ d d a a+ c a 15 < ⇒ < b b b+ c 16 < a < b < c < d ⇒ < ac < bd IV Một số bất đẳng thức: a2 ≥ với a (Dấu = xảy a = 0) an ≥ với a ( Dấu = xảy a = ) a ≥ với a (dấu = xảy a = ) - a ≤ a ≤ a a+ b ≥ a + b ( dấu = xảy a.b > 0) a− b ≤ a − b ( dấu = xảy a.b < 0) V Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: - a ≤ a ≤ a a∈ R x < a ⇔ -a < x < a (a > 0) x < − a x > a ⇔  (a > 0) x > a a − b ≤ a + b ≤ a + b (a,b∈ R) * Một số bất đẳng thức nhỏ khác: Bất đẳng thức tam giác: |b-c| < a < b + c |a-c| < b < a + c |a-b| < c < b + a a ≥ b ≥ c ↔ A ≥ B ≥ C ↔ sinA ≥ sinB ≥ sinC ↔ cosA ≤ cosB ≤ cosC Bất đẳng thức vector: a + b ≥ a + b Dấu “=” xảy a ↑↑ b 14 a b ≥ a.b Dấu “=” xảy a || b VI Bất đẳng thức AM - DM (Trung bình cộng & Trung bình nhân): Đối với hai số khơng âm: - Với a ≥ 0, b ≥ ta có: a + b≥ ab - Dấu xảy & khi: a = b Đối với ba số không âm: a + b+ c - Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ ta có: ≥ abc - Dấu xảy & khi: a = b = c Hệ quả: - Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG - Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Ứng dụng: - Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn - Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ Phần II: Chứng minh bất đẳng thức: A PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Để chứng minh bất đẳng thức f(a, b,…, k) > g(a, b,…, k) tập giá trị chữa a, b,…, k định nghĩa ta tực bước sau: Bước 1: Lập hiệu f(a, b,…, k) > g(a, b,…, k) Bước 2: Chứng minh hiệu tương đương với giá trị cho a, b,…, k Tương tự, kĩ thật áp dụng để chứng minh bất đẳng thức: f ≥ g, f < g, f ≤ g I Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh a > b Ta chứng minh a - b > Tương tự, kĩ thuật áp dụng để chứng minh bất đẳng thức: ab Chú ý đến bất đẳng thức x2 > 0, x∈ R *Bước làm: Bước 1: Ta xét hiệu: H = a - b Bước 2: Biến đổi: H = (c + d)2 H = (c + d)2 + + (e + f)2 Bước 3: Kết luận a > b II Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương: Lưu ý: - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh III Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc: *Giới thiệu số bất đẳng thức: Bất đẳng thức Bunyakovsky Bất đẳng thức Azuma Bất đẳng thức Bernoulli Bất đằng thức Boole Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức Chernoff Bất đẳng thức Cramer-Rao Bất đẳng thức Hoeffding 10 Bất đẳng thức Holder 11 Bất đẳng thức Jensen 12 Bất đẳng thức Markov 13 Bất đẳng thức Minkowski 14 Bất đẳng thức Nesbitt LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG 15 Bất đẳng thức Pedoe 16 Bất đẳng thức tam giác 17 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Một số bất đẳng thức hay dùng: a Các bất đẳng thức phụ: x2 + y2 ≥ 2xy x2 + y2 ≥ xy (dấu “=” xảy x = y = 0) (x + y)2 ≥ 4xy a b + ≥2 b a b Bất đẳng thức Cô-si (Bất đẳng thức AM - GM): Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh trung bình cộng trung bình nhân n số thực khơng âm phát biểu sau: *Đối với hai số không âm: - Với a ≥ 0, b ≥ ta có: a + b ≥ ab - Dấu xảy a = b *Đối với ba số không âm: a + b+ c - Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ ta có: ≥ abc - Dấu xảy & khi: a = b = c *Đối với n số không âm: a1+ a + + a n ≥ n a1a a n (a > 0) n - Dấu xảy khi: a1 = a2 = a3 = … = an Chú ý: * Trung bình có hệ số Cho n số x1, x2, , xn ≥ hệ số α1, α2, , αn > Đặt - Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hai giá trị trung bình có hệ số, sau: Dấu " = " xảy - Với loại trung bình khác Đẳng thức c Bất đẳng thức Bunhiacopski: *Đối với hai cặp số thực: - Với hai cặp số thực: (a,b) (x,y) ta có: (ax + by)2 ≥ (a2 + b2)(x2 + y2) - Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh cách khai triển, rút gọn biến đổi thành: (ay - bx)² ≥ LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG - Dấu xảy & khi: ay = bx Chú ý: a b - Khi xy khác 0, điều kiện ay = bx viết dạng x = y *Đối với hai ba số thực: - Với hai ba số thực: (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) ta có: (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ≤ (a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) a1 a a - Nếu b1b2b3 khác đẳng thức xảy khi: b = b = b *Đối với n số thực, số có n số khơng âm: (a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn)2 ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2)(b12 + b22 + b32 + + bn2) Dấu "=" xảy với quy ước số bi (i = 1, 2, 3, , n) tương ứng d Bất đẳng thức Trê-bư-sép: *Đối với dãy số, dãy có số: a ≤ b ≤ c aA+ bB+ cC a + b+ c A+ B+ C ⇒ ≥ - Nếu  3 A ≤ B ≤ C a ≤ b ≤ c aA+ bB+ cC a + b+ c A+ B+ C ⇒ ≤ - Nếu  3 A ≥ B ≥ C a = b = c - Dấu “=” xảy  A = B = C *Đối với dãy số, dãy có n số: a1 ≤ a ≤ ≤ a n a b + a b + + a n b n a1 + a + + a n b1+ b + + b n - Nếu  1 2 ≥ n n n b1 ≤ b ≤ ≤ b n a ≤ a ≤ ≤ a a b + a b + + a n b n a1 + a + + a n b1+ b + + b n n - Nếu  1 2 ≤ n n n b1 ≥ b ≥ ≥ b n a = a = = a n - Dấu “=” xảy & khi:  b1 = b = = b n  e Bất đẳng thức Bernouli Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli bất đẳng thức cho phép tính gần lũy thừa + x Dạng nguyên thủy: - Cho a ≥ -1 , < n ∈ Z (1 + a)n ≥ +na a = - Dấu “=” xảy & khi:  n = Nếu số mũ n làchẵn, bất đẳng thức với số thực a Dạng mở rộng: - Cho a ≥ -1 , α ≥ (1 + a)n ≥ + na LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức n Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG - Cho a ≥ -1 , < α < (1 + a) ≤ + na a = - Dấu “=” xảy & khi:  α = Chú ý: Bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt sau: với số nguyên r ≥ với số thực x ≥ −1 với x ≠ * Các bất đẳng thức liên quan: Bất đẳng thức ước lượng lũy thừa bậc r + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, có với e = 2.718 Bất đẳng thức chứng minh cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e f Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Bất đẳng thức phát biểu x y phần tử khơng gian tích thực hay phức Dấu đẳng thức xảy x y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học chúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt x y chúngtrực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học vng góc ) tích chúng zero Một dạng khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn hiểu chuẩn không gian tích g Bất đẳng thức cộng Chebyshev Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, phát biểu rằng: Nếu cho Tương tự, h Bất đẳng thức Fano - Trong lý thuyết thông tin, bất đẳng thức Fano liên hệ lượng thông tin bị kênh nhiễu với xác suất phân loại sai Nó tìm Robert Fano đầu thập niên 1950 dạy semina tiến sĩ lý thuyết thơng tin MIT, sau đưa vào sách năm 1961 ơng - Nó dùng để tìm chặn cho xác suất lỗi giải mã *Bất đẳng thức Fano Đặt biến ngẫu nhiên X Y đại diện cho thông điệp vào (trong số r+1 thơng điệp có thể) với xác suất hợp Bất đẳng thức Fano LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG entropy có điều kiện, xác suất lỗi, entropy nhị phân tương ứng i Bất đẳng thức Golden–Thompson Trong toán học, bất đẳng thức Golden–Thompson, chứng minh độc lập Golden (1965) Thompson (1965), khẳng định với ma trận Hermit A B, tr vết ma trận, eA lũy thừa ma trận k Bất đẳng thức Harnack Bất đẳng thức Harnack bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích Cho cầu mở f hàm điều hòa D cho f(z) không âm với Khi bất đẳng thức sau với : Đối với miền tổng quát bất đẳng thức phát biểu sau: Nếu hàm khả vi hai lần, điều hòa khơng âm, miền bị chặn với , có số khơng phụ thuộc vào cho l Bất đẳng thức Hölder Trong giải tích tốn học, bất đẳng thức Hưlder, đặt theo tên nhà tốn họcĐức Otto Hưlder, bất đẳng thức liên quan đến không gian Lp: giả sử S mộtkhông gian đo, với ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) g thuộc Lq(S) Khi fg thuộc L1(S) Các số p q nói gọi liên hợp Holder lẫn Bất đẳng thức Holder dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát không gian Lp, bất đẳng thức Minkowski dùng để chứng minh Lp đối ngẫu với Lq Các trường hợp đặc biệt đáng ý · Với p = q = bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz · Trong trường hợp không gian Euclide, tập S {1, ,n} với độ đo kiểu đếm, có kết với x, y Rn (Cn) · Nếu S=N với độ đo kiểu đếm, có bất đẳng thức Holder cho dãy từ không gian lp LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG · Trong trường hợp không gian hàm giá trị phức khả tích, có · Trong trường hợp khơng gian xác suất , ký hiệu để không gian biến ngẫu nhiên với momentp hữu hạn, , ký hiệu giá trị kỳ vọng Bất đẳng thức Holder trở thành Trường hợp tổng quát Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau phương pháp quy nạp Giả sử Giả sử cho Khi ta có m Bất đẳng thức Jensen Với hàm lồi có Với hàm lõm và ta ta có Lưu ý: hàm lồi ta có > hàm lõm ta có 0, Dưới dạng ngơn ngữ lý thuyết độ đo, bất đẳng thức Markov khẳng định (X, Σ, μ) độ đo, ƒ hàm đo nhận giá trị thực, , Hệ quả: bất đẳng thức Chebyshev Bất đẳng thức Chebyshev sử dụng phương sai để chặn xác suất biến ngẫu nhiên sai khác nhiều so với giá trị kỳ vọng Cụ thể là: với a>0 Ở Var(X) phương sai X, định nghĩa sau: Có thể thu bất đẳng thức Chebyshev cách áp dụng bất đẳng thức Markov cho biến ngẫu nhiên Theo bất đẳng thức Markov, w Áp dụng định lý Lagrange (lớp 12) (Tr.13/Cẩm nang kiến thức mơn Tốn) v Áp dụng dấu tam thức bậc hai: Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì: af(x) ≥ ∀ x ↔ ∆ = b2 - 4ac ≤ x Áp dụng phương pháp khảo sát hàm số (Lớp 12) (Tr.14/Cẩm nang kiến thức mơn Tốn) IV Phương pháp dùng tính chất tỉ số: a a+ c a  b > ⇒ b > b+ c Cho a, b, c số dương thì:  a  < ⇒ a < a+ c  b b b+ c 12 LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG a c a a+ c c < Nếu b, d > từ  < ⇒ < b b+ c d b d V Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác: - Nếu a,b,c số đo ba cạnh tam giác a,b,c > b− c < a < b+ c; a − c < b < a + c; a − b < c < b+ a VI Phương pháp làm trội: - Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn * Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 + u2 +…+ un - Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp uk = ak - ak+1 $ Khi đó: S = (a1 - a2) + (a2 - a3) + + (an - an+1) = a1 - an+1 * Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un - Biến đổi số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp a k uk = a k +1 a a1 a a n = Khi đó: P = a a a n +1 a n+ VII Phương pháp dùng tính chất bắc cầu: a > b , b > c a > c VIII Phương pháp sử dụng hình học & tọa độ: IX Phương pháp đổi biến số: X Phương pháp dùng tam thức bậc hai: Định lí 1: - Cho f(x) = ax2 + bx + c a > f(x) > 0, x ⇔  Δ < a > f(x) ≥ 0, x ⇔  Δ ≤ a < f(x) < 0, x ⇔  Δ < a < f(x) ≤ 0, x ⇔  Δ ≤ ∆ = b - 4ac ∆ ’ = b’2 - ac biệt thức & biệt thức thu gọn tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c Định lí 2: f(x) = có hai nghiệm x1 < a < x2 ⇔ a.f.(a) < f(x) = có hai nghiệm: XI Phương pháp dùng quy nạp toán học: 13 LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG - Đề chứng minh bất đẳng thức n > n0 ta thực bước sau: XII Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A > B Ta giả sử A ≤ B, lập luận vận dụng kiến thức phổ thông suy A ≤ sai suy đpcm 14 ... Bunyakovsky Bất đẳng thức Azuma Bất đẳng thức Bernoulli Bất đằng thức Boole Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức Chernoff Bất đẳng thức Cramer-Rao Bất đẳng thức Hoeffding... đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh III Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc: *Giới thiệu số bất đẳng thức: Bất đẳng thức Bunyakovsky Bất. .. Hoeffding 10 Bất đẳng thức Holder 11 Bất đẳng thức Jensen 12 Bất đẳng thức Markov 13 Bất đẳng thức Minkowski 14 Bất đẳng thức Nesbitt LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th