Đại số - Bất phương trình

Lý thuyết bất phương trình giúp các bạn học sinh lớp 10 ôn tập chuẩn bị cho các kỳ thi học kỳ, ôn luyện thi đại học, rất đầy đủ và chi tiết

Chương I: Bất phương trình I Khái niệm bất phương trình ẩn Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) - Tập xác định Df Dg Đặt D = Df ∩ Dg - Mệnh đề chứa biến f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x): Bất phương trình ẩn + x gọi ẩn + D gọi tập xác định bất phương trình II Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm - Nếu bất phương trình f1(x) < g1(x) tương đương với bất phương trình f2(x) < g2(x) ta viết: (Tương tự với bất phương trình lại) f1(x) < g1(x) ⟺ f2(x) < g2(x) Chú ý: - Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có tập xác định D (hay có điều kiện ta kí hiệu D) tương đương với nhau, ta nói: + Hai phương trình tương đương với D, + Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với Các phép biến đổi tương đương Cho bất phương trình f(x) < g(x) - Tập xác định: D - y = h(x): hàm số xác định D - Khi đó, D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình sau: • f(x) + h(x) < g(x) + h(x) • f(x).h(x) < g(x).h(x) với h(x) > 0, x ϵ D • f(x).h(x) > g(x).h(x) với h(x) < 0, x ϵ D (Phần chứng minh xem thêm sách tài liệu chun Tốn Đại số 10 - Đồn Quỳnh/Trang 117) III Hệ Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D Bất phương trình f1(x) < g1(x) gọi bất phương trình hệ bất phương trình f(x) < g(x) tập nghiệm chứa tập nghiệm bất phương trình f(x) < g(x) - Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba: f(x) < g(x)  [f(x)]3 < [g(x)]3 - Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: f(x), g(x) ≥ 0,  x ϵ D f(x) < g(x)  [f(x)]2 < [g(x)]2 Chú ý: - Nếu hai phương trình tương đương phương trình hệ phương trình lại *Quy tắc hệ phương trình: - Nếu hệ phương có n ẩn (x, y, z,…) hệ phương trình phải có n phương trình (tương tự với bất phương trình) - Nếu phương trình có bậc n phương trình có nhiều n nghiệm (khơng dùng cho bất phương trình) IV Dấu nhị thức bậc - Nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a ≠ 0) - Dấu nhị thức bậc x  f(x) = ax + b -(a)  b a Trái dấu a  +(a) Cùng dấu a Xét dấu biểu thức - Phân tích biểu thức thành tích số, thương số nhị thức bậc xét dấu thừa số suy dấu biểu thức V Giải bất phương trình bậc - Chuyển số hạng sang vế - Quy đồng mẫu số phân tích f(x) thành tích, thương thừa số bậc - Xét dấu f(x) - Chọn miền nghiệm thích hợp VI Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - |f(x)| < g(x)  -g(x) < f(x) < g(x)  f(x)  g(x)  - |f(x)| > g(x)  f(x)   g(x) - Dạng chứa nhiều trị tuyệt đối: Lập bảng, phân khoảng, phá trị tuyệt đối, giải khoảng VII Giải biện luận bất phương trình bậc ẩn Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < TXĐ: D = R - Nếu a > ax + b < - Nếu a < ax + b <  x b  b   ;  a a Tập nghiệm ax + b < S =   x   b  b   ;  a Tập nghiệm ax + b < S=  a - Nếu a = ax + b <  0x < -b + b ≥ S = Ø + b < S = R Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b > TXĐ: D = R - Nếu a > ax + b >  b  b   ;  a Tập nghiệm ax + b < S =  a  x   x  - Nếu a < ax + b >  b b   ;  a a Tập nghiệm ax + b < S=  - Nếu a = ax + b <  0x < -b + b ≤ S = Ø + b > S = R Tìm điều kiện tham số để bất phương trình bậc ẩn thỏa mãn điều kiện nghiệm Xét bất phương trình dạng ax + b < 0, kí hiệu S ập nghệm bất phương trình - Điều kiện cần để bất phương trình vơ nghiệm hay vơ số nghiệm: Cho a = 0, tìm m - Điều kiện đủ: Với m vừa tìm được, ta nhận giá trị m thỏa yêu cầu toán VIII Hệ bất phương trình:  f (x, y)  g (x, y) 1  f (x, y)  g (x, y)  Cho hệ bất phương trình  - Tập xác định: D - h(x,y): Một hàm số xác định D, h(x,y) số * Khi D, hệ bất phương trình cho tương đương với hệ sau:  f (x, y)  h(x, y)  g (x, y)  h(x, y)   1  f (x, y)  g (x, y)  f (x,y).h(x,y)  g (x,y).h(x,y)    f2(x,y)  g2(x,y) h(x,y)  0x D * Khi D, hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình hệ hệ bất phương trình trên:  f (x,y)  g (x,y) 1 h(x,y)  0 x D   f2(x,y) f1(x,y).h(x,y)  g2(x,y) g1(x,y).h(x,y) IX Hệ bất phương trình bậc ẩn Giải hệ bất phương trình bậc ẩn - Giải bất phương trình hệ lấy giao tập nghiệm thu x A  x  max{A,B}  x B - Giao tập nghiệm  max{A,B}  A B  | A B | x A  x  min{A, B}  x B min{A, B}  A B  | A B | Có thể kết hợp giải, minh họa trục số Bài toán điều kiện có nghiệm, vơ nghiệm xem xét đủ trường hợp xảy Giải biện luận hệ bất phương trình ẩn  ax b    cx d  - Xét: a = 0, c =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  .. .- Nếu hệ phương có n ẩn (x, y, z,…) hệ phương trình phải có n phương trình (tương tự với bất phương trình) - Nếu phương trình có bậc n phương trình có nhiều n nghiệm (khơng dùng cho bất phương. .. VIII Hệ bất phương trình:  f (x, y)  g (x, y) 1  f (x, y)  g (x, y)  Cho hệ bất phương trình  - Tập xác định: D - h(x,y): Một hàm số xác định D, h(x,y) số * Khi D, hệ bất phương trình cho... điều kiện nghiệm Xét bất phương trình dạng ax + b < 0, kí hiệu S ập nghệm bất phương trình - Điều kiện cần để bất phương trình vơ nghiệm hay vơ số nghiệm: Cho a = 0, tìm m - Điều kiện đủ: Với