Tiết 2-4 Ngày soạn: §1 SỰ ĐÔNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I MỤC TIÊU Kiến thức: Học sinh nắm tính đơn điệu dấu đạo hàm quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Kỹ năng: Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu hàm số Thái độ : Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề tốn học cách lôgic hệ thống Năng lực hướng tới: Xét biến thiên hàm số cách xét dấu đạo hàm II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên: Giáo án Hình vẽ minh hoạ Học sinh: SGK, ghi, kiến thức học đạo hàm lớp 11 III PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC Phương pháp nêu giải vấn đề IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC TIẾT 2: Dạy mục 1, 2.1, 2.2 (quy tắc) TIẾT 3: Dạy mục 22, 2.3, (bài 1) TIẾT 4: Dạy mục (bài 2, 3) Hoạt động khởi động/Tạo tình Đồ thị hàm số y = x Hàm số y = x đồng biến khoảng nào? Hàm số y = x nghịch biến khoảng nào? y ' > nào? y ' < nào? Dựa vào đồ thị hàm số y = x bảng xét dấu đạo hàm nó, nêu mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm hàm số Vậy biết dấu đạo hàm ta có biết đồng biến, nghịch biến hàm số khơng? Hoạt động hình thành kiến thức: 2.1 Tính đơn điệu hàm số Lập bảng xét dấu đạo hàm hàm số y = x I Tính đơn điệu hàm số Nhắc lại định nghĩa (SGK) Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ K y = f(x) đồng biến K Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ K y = f(x) nghịch biến K Chú ý: Nếu f ′ (x) = 0, ∀x ∈ K f(x) khơng đổi K Ví dụ: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau +∞ −1 X −∞ − − y' + Y − Hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng nào? Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = + 3x − x TXĐ : D = ¡ Ta có : y ' = − x y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên x + y' y −∞ +∞ − 25 −∞ −∞ 3 3 Hàm số đồng biển −∞; ÷ Hàm số nghịch biến ; +∞ ÷ 2 2 Khẳng định ngược lại định lí có khơng? Nói cách khác, hàm số đồng biến (nghịch biến) K đạo hàm có thiết phải dương (âm) hay khơng? Chằng hạn: Xét đồ thị hàm số y = x hình bên Ta có : y ' = 3x ≥ 0, ∀x Có bảng biến thiên −∞ +∞ x y' + + +∞ y −∞ Chú ý : Giả sử y = f(x) có đạo hàm K Nếu f ′ (x) ≥ (f′ (x) ≤ 0), ∀x ∈ K f′ (x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x + x + x − 2.2 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Nêu vấn đề: Để xét tính đơn điệu hàm số ta phải thực bước nào? II Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Quy tắc B1) Tìm tập xác định B2) Tính f′ (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …, n) mà đạo hàm không xác định B3) Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên B4) Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Áp dụng Ví dụ: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số a) y = x3 − x2 − x + ; b) y = x−1 x+1 Giải: a) Hàm số đồng biến (–∞; –1), (2; +∞) nghịch biến (–1; 2) > 0,∀x∈ D b) TXĐ : D = ¡ \ { −1} Ta có : y' = x+1 Suy : hàm số đồng biến ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) Luyện tập Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số a) y = + x − x2 ; b) y = − x3 + x2 − ; c) y = x4 − x2 + Giải: a) y = + 3x − x TXĐ : D = ¡ Ta có : y ' = − x y' = ⇔ x = Bảng biến thiên −∞ x + y' y +∞ − 25 −∞ −∞ 3 KL : Hàm số đồng biển −∞; ÷ 3 2 Hàm số nghịch biến ; +∞ ÷ 2 2 2 3 3 c) ĐB: ( −1;0 ) , ( 1;+∞ ) ; NB: ( −∞; −1) , b) ĐB: 0; ÷, NB: ( −∞; ) , ; +∞ ÷ Bài Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số a) y = x x +1 Giải a) y = ; b) y = x − x2 , x x2 + TXĐ : D = ¡ Ta có : y ' = − x2 (1+ x ) 2 y ' = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên : −∞ −1 x − y' 0 y − +∞ − + 2 Vậy hàm số đồng biến ( −1;1) nghịch biến ( −∞;1) ; ( 1; +∞ ) b) y = x − x2 1− x TXĐ : D = [ 0; 2] Ta có: y ' = Bảng biến thiên : x P y' x − x2 1 + y y' = ⇔ x =1 − P 0 Vậy hàm số đồng biến ( 0;1) nghịch biến ( 1; ) Bài 3: Cho hàm số y = x − ( m − 1) x + x − m a) Xét tính đơn điệu hàm số m = b) Tìm m để hàm số đồng biến ¡ Giải a) Khi m = 1, ta có : y = x + x − TXĐ : D = ¡ y ' = x + > 0, ∀x ∈ D Vậy hàm số đồng biển ¡ b) Ta có : y ' = x − ( m − 1) x + 2 ycbt ⇔ tìm m để x − ( m − 1) x + ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ m − 2m − ≤ ⇔ m ∈ − 3; Vậy m ∈ − 3; giá trị cần tìm Ứng dụng mở rộng: π Bài 1: Chứng minh : x > sin x khoảng 0; ÷ 2 π Giải: Xét hàm số y = sin x − x 0; ÷ Hàm số liên tục 2 Ta có : y ' = − cos x ≥ ( y ' = ⇔ x = ) π 0; ÷ π Hàm số đồng biến 0; ÷ Khi : π π ⇒ y( ) < y( x ) ⇔ < sin x − x Hay x > sin x , ∀x ∈ 0; ÷ (đpcm) 2 Bài Cho hàm số f ( x ) = x x − 0< x< a) CMR : hàm số đồng biến [ 2;+∞ ) b) CMR : phương trình x x − = 11 có nghiệm Hướng dẫn học sinh học nhà: 5.1 Hướng dẫn học sau tiết Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau : a) y = 1 3 − ; b) y = x + x − x + ; c) y = x − x + x − x + 11 x x−2 4 Bài Chứng minh : Hàm số y = x − đồng biến khoảng [ 3; +∞ ) 5.2 Hướng dẫn học sau tiết Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau : x +1 ; b) y = x + x + ; c) y = x − x + ; d) y = x − x + x + 12 x 5 Bài Chứng minh : Hàm số y = x + nghịch biến khoảng [ 0;2 ) ( 0; 2] x a) y = 5.3 Hướng dẫn học sau tiết Bài Cho hàm số : y = ( m + 1) x − ( m − ) x + ( m + ) x + a) Khi m = tìm khoảng đơn điệu hàm số b) Tìm m để hàm số đồng biến ¡ 3 Bài Với giá trị a, hàm số f ( x ) = − x + x + ( 2a + 1) x − 3a + nghịch biến ¡ Bài Với giá trị m, hàm số : y = x + + m đồng biến khoảng xác định x −1