CHUYÊN ĐỀ 1 - BÀI TOÁN RÚT GỌN & CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN do Thầy giáo TRẦN VĂN TÌNH (TRẦN VĂN) biên soạn. Cấu trúc: Gồm 10 chủ đề chia thành 3 file Word. 1/ Chủ đề 1,2,3,4.doc 2/ Chủ đề 5,6,7.doc 3/ Chủ đề 8,9,10.doc Đây là 10 chủ đề ôn luyện thi vào lớp 10, từ cơ bản đến nâng cao để giúp học sinh làm trọn vẹn 2 điểm của bài rút gọn trong cấu trúc đề thi. Mỗi chủ đề được cung cấp lý thuyết, phân dạng có phương pháp giải và ví dụ đi kèm, sau mỗi chủ đề là phần bài tập vận dụng phong phú.
20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 CHỦ ĐỀ SO SÁNH SỐ (BIỂU THỨC SỐ) CHỨA CĂN BẬC HAI ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN A/ CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1: So sánh số (biểu thức số) chứa bậc hai * Cần so sánh hai số A B ta vận dụng cách sau: Cách 1: Vận dụng đưa thừa số vào (hoặc ngoài) dấu để đưa hai số A B ba trường hợp sau: A = a B = b , đó: a < b ⇒ a < b ⇒ A < B A = m a B = n a , đó: m < n ⇒ A < B (m, n thừa số dương) A = m + k a B = n + k a , đó: m < n ⇒ A < B Cách 2: Nếu A, B dương A > B2 A > B Cách 3: So sánh A B với số trung gian: Nếu A < C C < B A < B Số trung gian C số chứa bậc hai không chứa bậc hai * Công thức nâng cao: n + a + n − a < n với < a < n < k + − k với k ≥ k +1 Ví dụ 1: So sánh số sau a) 28 148 b) −3 −7 c) 21; 7; 15 3; − 127 (sắp xếp theo thứ tự tăng dần) Hướng dẫn giải a) 28 148 Cách 1: Đưa thừa số vào để so sánh a với b 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 28 = 22.28 = 112 < 148 Cách 2: So sánh bình phương hai số ( Ta có: 28 ) = 4.28 = 112 ; ( 148 ) = 148 2 28 > Do 148 > 112 nên 148 > 28 148 > b) −3 −7 −3 < ⇒ so sánh −3 = −7 = Có −7 < Cách 1: Đưa thừa số vào để so sánh a với b = 32.7 = 63 ; = 2.3 = 147 Do 63 < 147 ⇒ < ⇒ −3 > −7 Cách 2: So sánh bình phương hai số (3 7) = 9.7 = 63 ( Do 63 < 147 ⇒ ( 3) ) < ( 3) 2 = 49.3 = 147 ⇒ < ⇒ −3 > −7 ⇒ < ⇒ −3 > −7 c) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 21; 7; 15 3; − 127 Ta có: − 127 < 21; 7; 15 dương, nên − 127 nhỏ Ta so sánh số dương 21; 7; 15 , ta có: 21 = 144 ; = 28 ; 15 = 675 Do 28 < 441 < 675 ⇒ 28 < 441 < 675 ⇒ < 21 < 15 Vậy số xếp theo thứ tự tăng dần là: − 127 < < 21 < 15 Ví dụ 2: Hãy so sánh số sau: a) 15 + 24 với 101 − b) 13 − với 2 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 Hướng dẫn giải a) Trong trường hợp Cách & Cách khơng phát huy tác dụng, việc tìm số trung gian để so sánh cần thiết 15 + 24 < 16 + 25 = + = ; 101 − > 100 − = 10 − = ⇒ 101 − > 15 + 24 2 17 − 15 17 − 16 17 − 13 − > = = ⇒ b) ÷ > ÷ = 2,25 6 2 ( 2) =2 17 − 15 ⇒ ÷ > ( ) 2 ⇒ 17 − 15 > Ví dụ 3: So sánh số sau: a) b) 21 − 20 − 6 + 20 + Hướng dẫn giải a) b) 20 − < 21 − < 21 − + 20 = ( ) 6+ + + >1 Vì ⇒ 6+2 = ( ) + + >1+ ⇒ + 20 > + DẠNG 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức chứa có nghĩa ⇔ f (x) ≠ f (x) f (x) có nghĩa ⇔ f (x) ≥ f (x) có nghĩa ⇔ g(x) ≠ g(x) f (x).g(x) ≥ f (x) có nghĩa ⇔ g(x) g(x) ≠ 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 f (x) f (x) ≥ có nghĩa ⇔ g(x) g(x) > Ví dụ 4: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) −5x b) − 3x c) −3x + Hướng dẫn giải a) −5x có nghĩa ⇔ −5x ≥ ⇔ x ≤ Vậy x ≤ biểu thức có nghĩa b) − 3x có nghĩa ⇔ − 3x ≥ ⇔ ≥ 3x ⇔ x ≤ Vậy x ≤ 4 biểu thức có nghĩa c) −3x + có nghĩa ⇔ −3x + ≥ ⇔ −3x ≥ −2 ⇔ x ≤ Vậy x ≤ biểu thức có nghĩa Ví dụ 5: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) d) 2x + + x−2 x−2 − 2x b) e) x −1 + x−2 x+2 2x + Hướng dẫn giải a) x − ≠ 2x + ⇔ x−2>0⇔ x >2 + x − có nghĩa ⇔ x − ≥ x−2 Vậy x > biểu thức có nghĩa b) x + ≠ x ≠ −2 x −1 ⇔ ⇔x≥2 + x − có nghĩa ⇔ x+2 x − ≥ x ≥ Vậy x ≥ biểu thức có nghĩa c) f) 2x + x2 x − x −4 −2 x +1 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x − ≠ x ≠ x ≠ ±2 2x ⇔ ⇔ ⇔x>2 + x x − có nghĩa ⇔ c) x −4 x ≥ x − ≥ x ≥ Vậy x > biểu thức có nghĩa d) có nghĩa − 2x Vậy x < e) biểu thức có nghĩa 4.( 2x + 3) ≥ −3 ⇔ 2x + > ⇔ 2x > −3 ⇔ x > có nghĩa ⇔ 2x + 2x + ≠ Vậy x > f) ( − 2x ) ≥ ⇔ − 2x > ⇔ > 2x ⇔ x < 3 − 2x ≠ −3 biểu thức có nghĩa −2 ( x + 1) ≥ −2 ⇔ x + < ⇔ x < −1 có nghĩa ⇔ x +1 x + ≠ Vậy x < −1 biểu thức có nghĩa DẠNG 3: Chứng minh biểu thức ln có nghĩa với x + Cần mẫu thức biểu thức khác với x + Cần biến đổi biểu thức dấu bậc hai, cho biểu thức dương (hoặc khơng âm) Ví dụ 6: Chứng minh biểu thức sau ln có nghĩa với x a) A = x + x + + b) A = 3x − x − 2x + 2x x2 + + x2 − x +1 Hướng dẫn giải a) Ta có: 1 x + ≠ với x x + x + = x + ÷ + > với x 2 2 Do biểu thức cho ln có nghĩa với x b) Ta có: x − 2x + = ( x − 1) + > với x 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 1 x − x + = x − ÷ + > với x 2 Do biểu thức cho ln có nghĩa với x Ví dụ 7: Chứng minh biểu thức B = 5x + x − 9x + xác định với x Hướng dẫn giải x − 9x + ≠ Biểu thức B xác định ⇔ 9x + ≥ Ta có: 9x + > ln với x x − 9x + < x − 9x = x − x ≤ x − x ≤ x − x = với x ⇒ x − 9x + ≠ với x Vậy biểu thức B xác định với x DẠNG 4: Từ điều kiện x để biểu thức có nghĩa suy x nguyên để biểu thức chứa bậc hai nhận giá trị nguyên Từ việc tìm điều kiện để biểu thức chứa bậc hai có nghĩa, ta có miền bị chặn biến x Chọn giá trị x thuộc miền bị chặn, thay vào biểu thức: + Nếu giá trị biểu thức số nguyên giá trị x thỏa mãn + Nếu giá trị biểu thức khơng ngun giá trị x khơng thỏa mãn Ví dụ 8: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức A = 5x + x + nhận giá trị x −1 15 − 2x nguyên Hướng dẫn giải 5x + ≥ 15 −1 ≤x< ⇔ Biểu thức A có nghĩa ⇔ x ≠ 15 − 2x > x ≠ Mà x nguyên nên ta có: x ∈ { ; ; ; ; ; ; 7} Với x = ⇒ A = −1∈¢ 20 CHUN ĐỀ TỐN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – Với x = ⇒ A = 11 + GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 ∉¢ 11 Với x = ⇒ A = ∈¢ Với x = ⇒ A = 21 + ∉¢ Với x = ⇒ A = 26 + ∉¢ Với x = ⇒ A = 31 + ∉¢ Với x = ⇒ A = 13 ∉¢ Vậy với x ∈ { ; ; 7} A nhận giá trị nguyên B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: So sánh số sau: 7 3 12 Bài 2: So sánh số sau: a) 1 17 19 2 d) + 11 f) 27 + + b) 3 − 2 +5 e) 30 − 29 + c) 29 − 28 48 Bài 3: So sánh số sau: a) 15 d) 59 41 g) − j) b) 2 − e) h) − c) 15 f) − 10 −2 i) 1 15 ; ; − 132;2 3; (Sắp xếp theo thứ tự giảm dần) Bài 4: Chứng minh: 99 − 97 > 0,1 59 49 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 Bài 5: Cho S = + 1 + + + Chứng minh rằng: 22 < S < 23 144 Bài 6: Cho S = + 1 + + + Chứng minh S < 120 3600 Bài 7: Chứng minh 30 + 30 + 30 + + 30 < Bài 8: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x2 +1 b) 4x + c) 9x − 6x + d) − x + 2x − e) − x+5 f) −2x − Bài 9: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) − x2 b) x − 16 c) x2 − d) x − 2x − e) x(x + 2) f) x − 5x + c) 4− x Bài 10: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x −1 b) d) x − x −1 e) x −1 − − 12x + 4x f) x + x −1 Bài 11: Với giá trị x thức sau có nghĩa: 1) 6x + 2) −3 2+x 3) 4) −2 + 23 −x + 5 − 3x Bài 12: Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa) 1) −8x 2) 4) 2011 − x 7) ( x −7 ( x + 5) 5) − 5x )( x +7 ) 8) 15 − 59 x −7 Bài 13: Với giá trị x thức sau có nghĩa: 3) 6x − 4x 6) −4 x+2 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – 1) ( 4) 4z + 4z + 3−x ) 2) GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 16x − x −7 5) x + 2x + 3) ( x − 6) 6) 2x + Bài 14: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau 1) 4) 7) 49x − 24x + 2) 5) − 5x + − 2a x2 − 3) 12x − 6) ( 3x + ) ( x − 1) 3x − x − Bài 15: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: a) A = a − a − (a + 1)( a − 1) b) B = c) C = x +2 − + x +3 x + x −6 2− x d) D = x x −3 2( x − 3) − x −2 x −3 x +1 x+ y − xy + x− y + xy x+2 x x −1 + + b) E = ÷: x x −1 x + x +1 − x Bài 16: Chứng minh biểu thức P = x − x + + 5x − x2 − x + xác định với x Bài 17: Chứng minh biểu thức sau ln có nghĩa với x a) b) x2 −1 2x + − x − 3x + x −3 x −x+2 + 2x − x + 2 Bài 18: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức B = 2x + 4x − x + nguyên nhận giá trị x −3 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x2 −1 + Bài 19: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức B = nhận giá trị 4( − x2 ) nguyên Bài 20: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên a) A = 3x − − − x b) D = − 4x − x C/ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 7 49 49 = ÷ = 12 9.12 108 49 ; ÷ = 48 49 49 7 7 > ⇒ > > Vì ÷⇒ ÷ 48 108 12 3 12 Bài 2: a) 17 17 153 19 152 = = 19 = = 2 72 72 Vì ( 153 152 153 152 17 > ⇒ > ⇒ > 19 72 72 72 72 2 b) 3 − 2 ) = − 12 + = 17 − 12 = 17 − 15 Xét 12 = 122.6 = 864 > 225 = 15 ⇒ 17 − 12 < 17 − 15 ⇒ 3 − 2 < < c) + < + = 49 = 7 Vì = < ⇒ < 7 ⇒ + < 49 d) + 11 < + 11 < + 25 = + e) Ta có: 10 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x − = ⇔ x = (TMĐK) Dấu xảy ra: DẠNG 2: So sánh hai biểu thức rút gọn A B (thường ta xét hiệu: A – B) - Nếu A − B > ⇒ A > B - Nếu A − B < ⇒ A < B Chú ý: Phải ý đến điều kiện x biểu thức rút gọn x −1 x +1 x − − Ví dụ 1: Cho biểu thức P = ÷ ÷ x −1 x x +1 a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với − x Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x > ; x ≠ x −1 x +1 x P= − − ÷ ÷ = x + x − x ( ) ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) x −1 − −4 x x − − x = = x − x ÷ x Vậy P = 1− x với x > ; x ≠ x ( ) b) Xét hiệu P − − x = Với x > ; x ≠ ⇒ 1− x x +1 +2 x= x x x +1 >0⇒P− − x >0 x ( ) ⇒ P > −2 x x +1 x+2 + + Ví dụ 2: Cho biểu thức Q = x ÷ x + x + 1 − x x x − a) Rút gọn biểu thức Q b) So sánh x với x Q Hướng dẫn giải 82 2 1− x ÷ 2 x 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 a) Điều kiện: x > ; x ≠ x +1 x+2 Q= x + + ÷ x + x +1 − x x x −1 = x = (x+ ) ( x − 1) − x − x − + x + ( x + x + 1) ( x − 1) x +1 ( x x− x )( x +1 ) = ) x −1 x x + x +1 x với x > ; x ≠ x + x +1 Vậy Q = b) Xét hiệu: ⇒ ( x + x +1 x − x = x − x = x − x + = Q x ( x − x ≥ với x > ; x ≠ Q Dấu “=” xảy ⇔ x = (không thỏa mãn ĐK) Vậy với x > ; x ≠ ⇒ ( Ví dụ 3: Cho biểu thức B = 1 x − x > ⇒ x > x Q Q ) a −1 a+ ( ) a −1 − 3−2 ( a a −1 a) Rút gọn biểu thức B b) So sánh B với biểu thức Q = a −1 a −1 Hướng dẫn giải a) Điều kiện: a > ; a ≠ B= ( ) a −1 a+ ( ) a −1 − 3−2 ( ) a −1 a a −1 83 + ) a −1 a −1 + ) x −1 a −1 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – = = = = GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 a − a + 1 − 2a + a − + a + a +1 a a −1 a −1 (a−2 )( a +1 ) a − − + 2a − a + 2a + a + (a+ )( ) a +1 a −1 a a − a − 2a + a + a − + 4a − a + (a+ )( a +1 a a +a+ a (a+ )( a +1 b) Xét hiệu: B − Q = = ) (a+ a −1 ) a −1 ( ) a a + a +1 )( a +1 ) a −1 = a a −1 a a −1 1− a − = = −1 < với a > ; a ≠ a −1 a −1 a −1 ⇒ B < Q với a > ; a ≠ DẠNG 3: So sánh biểu thức rút gọn A với A A với A + Xác định điều kiện x để A > (nếu A chưa phải biểu thức dương) + So sánh A với cách xét hiệu A − theo điều kiện x có: - Nếu < A < - Nếu A > A > A A > A + Chú ý: Dạng có biến thể so sánh biểu thức rút gọn A với A (chỉ xét với biểu thức A dương) 2x + x − 2x x + x − x − + Ví dụ 1: Cho biểu thức A = ÷ với ÷: x 1− x 1+ x x 1− x x > 0; x ≠ ; x ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A với A Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x > 0; x ≠ ; x ≠ 84 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 2x + x − 2x x + x − x A= − + ÷ ÷: x 1− x 1+ x x 1− x = = = = = x ( ( x −1 x x ( ( )( )( ) ( : x −1 x − x −1 x ( ) ( )( ) x +1 x −1 x x +1 x −1 : + x −1 1− x 1+ x 1+ x 1− x + x x −1 ) ) x −1 ( ( ) −1 x + − ) : x −1 : : ) ( (1− x ) (1− x +x ) x ÷ x + x ( 1− x + x + x 1− x ) (1− x ) (1− x −1 )( x +x ) ) ) 1− x + x x c) Biến đổi A = 1− x + x = x+ −1 x x Áp dụng BĐT cosi có: ⇒A= x+ x+ 1 > với x > 0; x ≠ ; x ≠ x −1 > ⇒ A > ⇒ A −1 > ⇒ A x ⇒A− A >0⇒A > A x − Ví dụ 2: Cho biểu thức A = ÷: x−4 2− x x −2 a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A với A Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x > ; x ≠ 85 ( ) A −1 > 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – x A= − = ÷: x−4 2− x x −2 = ( x +2 x −2 )( x +2 ) b) Với x > ; x ≠ A = Mà x +1 < x + ⇒ A = x + x +2 ( x −2 = GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x −2 )( x +2 ) x −2 x +1 x +2 x +1 >0 x +2 x +1 ; x ≠ ⇒ A < A với x > ; x ≠ B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG a +1 + Bài 1: Cho biểu thức: M = với a > 0; a ≠ ÷: a −1 a − a + a− a a) Rút gọn biểu thức b) So sánh M với Bài 2: Cho biểu thức: P = 2x + x x − x x + + − x x− x x+ x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với x+2 x + + Bài 3: Cho biểu thức: A = ÷: x x −1 x + x +1 − x x −1 , với x > x ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh < A < x−y x − y3 P = + Bài 4: Cho x− y y−x ÷: ÷ ( ) + xy ÷ ÷ x+ y ÷ x− y a) Rút gọn biểu thức P c) Chứng minh ≤ P ≤ Bài 5: Cho biểu thức A = 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn biểu thức A 86 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 c) Chứng minh A ≤ x + + Bài 6: Cho biểu thức A = ÷: ÷ (với x >0 x ≠ ) x −1 x −1 x +1 x− x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A − > với x thỏa mãn điều kiện x > x ≠ x + x − − 1÷ Bài Rút gọn biểu thức sau: P = − x ÷ x x −1 1− x ( ) a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P > Bài 8: Cho biểu thức A= x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A < Bài 9: Cho biểu thức A = x −3 x + x − x +1 B = x + x −6 x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A > B ≥ Bài 10: Cho hai biểu thức: P = x x +1 x − x − 5− x Q = − − + với 9−x x −3 x +3 x −3 x ≥ ; x ≠ a) Rút gọn biểu thức P Q b) Khi Q > 0, so sánh P với a2 + a 2a + a − +1 Bài 11: Cho biểu thức: P = a − a +1 a a) Rút gọn P b) Biết a > Hãy so sánh P với P 87 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – x−y x − y3 Bài 12: Cho A = + x− y y−x ÷: ÷ ( GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x− y ) + xy x+ y ( x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y ) a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A A x+2 x x −1 + + Bài 13: Cho biểu thức: P = với x > x ≠ ÷: x x − x + x + 1 − x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với 2P a2 + a 2a + a − +1 Bài 14: Xét biểu thức A = a − a +1 a a) Rút gọn A b) Biết a > , so sánh A với A x−y x − y3 Bài 15: Xét biểu thức H = − x− y x−y ÷: ÷ ( x− y ) + xy x+ y a) Rút gọn H c) So sánh H với H Bài 16: Với x ≥ ; x ≠ 9, cho hai biểu thức: A= x x 3x + x − 2−5 x + − + 1÷ B = ÷. x − x + x − x +1 a) Rút gọn biểu thức B b) Gọi M = A.B So sánh M với M x x +1 + ÷: x −1 x + x +1 x x −1 Bài 17: Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức P b) Với x > So sánh P với P C/ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 88 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – a) Ta có: M = + a ÷ a ( a − 1) b) Xét M − ta có: M − = ( ) a −1 GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 a −1 a = a +1 a −1 a − − a −1 −1 = = ; x ≠ P= = 2x + + x ( )( x( ) −( x −1 x + x +1 ( ) x −1 ) ( )( x( ) b) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương có: x +1 ≥ x ⇒ ( x + 1) ≥ x 2x + x + ≥6>5 x Do đó: P > Bài 3: a) Điều kiện: x > x ≠ x+2 x x −1 A= + − ÷: x −1 x −1 x + x +1 = = ) x +1 x − x + 2x + x + 2x + x + x + + − = x x x x ⇒ 2x + + x ≥ x ⇒ ( x ÷ + − x −1÷ x −1 x + x +1 x + x +1 x+2 )( x +2+ x ( ( ) ) ( ) x −1 − x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 89 ) x +1 x − x +1 x −1 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – = ( ( ) x −1 ) (x+ x −1 GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 ) x +1 = x + x +1 b) Vì x > nên x + x + > Mà A = Vì x > ⇒ x + x + > ⇒ ⇒A>0 x + x +1 < tức A < x + x +1 (1) (2) Từ (1) (2) ta có: < A < Bài 4: a) Điều kiện: x ≥ ; y ≥ ; x ≠ y P= ( x+ y )( x− y x− y ) −( ( )( ) x − y x + xy + y x − xy + y + xy ÷: x+ y x+ y x− y ÷ )( ) x + xy + y x − xy + y = x + y− ÷: x+ y ÷ x+ y = x + xy + y − x − xy − y x+ y b) Ta có: x, y ≥ 0, ⇒ xy ≥ ( x − xy + y = ( x− y ⇒ ( ) x− y x+ y x − xy + y = xy x − xy + y (1) ) + xy ta có x ≠ y ≥ 0, xy > x− y ) + xy > (2) Từ (1) (2) ⇒ P ≥ (*) Xét hiệu P - ta có: P −1 = Ta có: − ( xy x − xy + y ) −1 = xy − x − y + xy x − y < x ≠ y x − xy + y (3) 90 = xy − x − y x − xy + y = − ( x− y ) x − xy + y 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – − Từ (2) (3) ⇒ ( x− y ) GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 < hay P - < suy P < x − xy + y Bài 5: a) Điều kiện: x ≥ ; x ≠ A= = = = 15 x − 11 ( x +3 )( − ) x −1 ( x −2 x +3 − x −1 x +3 15 x − 11 − x − ( )( ) ( x +3 − x +3 )( x −1 x +3 ) )( ) x −1 15 x − 11 − 3x − x + x + − 2x + x − x + ( )( x −1 x +3 ( 2−5 x) ( ( x + 3) ( x − 1) ( x + 3) ( x − 5x − = ) ) = 2−5 x −1 ) x −1 x x +3 2 − x − 15 x − x − −17 x − = = c) Xét hiệu: A − = x +3 3 x +3 x +3 ( Ta có: −17 x ≤ ⇒ −17 x ( x +3 ) ( ) ( ) x + > 0, ∀x ≥ 0; x ≠ ≤0⇒A− 2 ≤0⇒A≤ 3 Bài 6: a) Điều kiện: x >0 x ≠ Kết rút gọn: A = x +1 x ( x − 1) b) Xét hiệu: A − = x Vì với x > x ≠ nên ( ) x − > Do A - > Bài 91 x > ) 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – a) Điều kiện: x > ; x ≠ ; x ≠ GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x + x P = 1− x − − 1÷ ÷ x x −1 1− x x − + x ÷ x + x − x + = 1− x ÷ x − x ÷ x −1 x − x − x + = ÷ ÷ x x − = ( ) ( ) ( ) x − x +1 x x +1 ( = b) Xét hiệu: P − = x − x + − = x − x x ⇒ P − > với x > ; x ≠ ; x ≠ ) x −1 x >0 ⇒ P > Bài 8: a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ A= = x+2 x +1 = x + + x −1− x − x −1 + − ( x − 1)(x + x + 1) x x −1 x + x + x −1 x− x x ( x − 1) x = = ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) x + x + b) Xét hiệu: −( x − 1) x x − x − x − −(x − x + 1) = − = A- = = x + x +1 3(x + x + 1) 3(x + x + 1) 3(x + x + 1) −( x − 1) < −( x − 1) 1 ⇒ ⇒ A > ⇔ x − > ⇔ x > Kết hợp điều kiện, ta có: A > ⇔ x > x ≠ Xét hiệu: B − = x − x + − = x − x + = x −1 ( Ta có: x > ; x ≠ ( x −2 x −1 ) ) x −1 x − ≥ ; x −1 > ⇒ B − ≥ ⇒ B ≥ Vậy B ≥ A > Bài 10: x− x −4 Q= a) Điều kiện: x ≥ ; x ≠ Kết rút gọn: P = ; x −9 b) Ta có: Q > ⇔ >0⇒ x −3>0⇒ x >9 x −3 Xét hiệu P − = x − x − − = x − 2 Với x > ( x −3 x −9 ) x −1 ( x − 9) ) x −1 2( x − 9) 2 ( x − 9) Vậy Q > P > x +1 ( = >0⇒P− 1 >0⇒P> 2 Bài 11: a) Điều kiện: a > Kết rút gọn: P = a − a b) Ta có P = a − a = a ( a − > a − Với a > ⇒ ⇒P >0⇒ P =P a > ) Vậy a > P = P Bài 12: a) Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y 93 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – x−y x − y3 A= + x− y y−x = ( x+ y )( x− y x− y ÷: ÷ ) −( ( ( GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 x− y ) + xy x+ y )( ) x − y x + y + xy x − xy + y + xy ÷: x+ y x+ y x− y ÷ )( ) x + y + xy x − xy + y = x + y− : ÷ ÷ x + y x+ y = ( x + y + xy − x + y + xy x+ y ) x+ y x − xy + y = xy x − xy + y b) Với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y , ta có: A= xy xy = ≥0 x − xy + y x y x y − ÷ + + 2 2 A −1 = ( x− y xy − x + xy − y −1 = =− < ⇒ A ; x ≠ Kết rút gọn: P = b) Ta có P = x + x +1 ( với x > 0; x ≠ ) x + x +1 1 Mà x + x + = x + ÷ + > với x > ) 2 ⇒P= ) 2 > với x > x + x +1 Ta lại có x + x > với x > 94 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 101 – 654 – 973 – 222 – GV – TRẦN VĂN – 0988 339 256 P < nên P ( P − ) < ⇒ P − 2P < ⇒ P < 2P Vậy P < 2P Bài 14: a) Điều kiện: a > A= a ( a + 1)(a − a + 1) a ( a + 1) −2 a − a −1 +1 = a − a +1 a − a +1 =a− a b) Ta có: A = a − a = a ( a − 1) Vì a > nên a > ⇒ a −1 > ⇒ A > ⇒ A = A Bài 15: a) Điều kiện: x ≥ ; y ≥ ; x ≠ y H= ( = x + xy + y ÷ x+ y x+ y − x + y ÷ x − xy + y = ( x+ y )( ) −( x− y x− y ) ( ) )( ) ) x + xy + y − x − xy − y x+ y b) Nhận thấy ( )( x − y x + xy + y ÷ x + y x+ y x − y ÷ x − xy + y x+ y x − xy + y = xy x − xy + y H ln có nghĩa với x ≥ ; y ≥ ; x ≠ y Xét hiệu H − H = H ( ) H −1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương x, y ta có: x + y ≥ xy ⇒ x − xy + y ≥ xy ⇒ xy x − xy + y ≤1 Dấu “=” xảy x = y mà từ điều kiện x ≠ y nên dấu “=” không xảy ⇒ xy x − xy + y , nên x −1 P có nghĩa với x > x +1 −1 = > ⇒ P > với x > x −1 x −1 Khi P > P với x > 96 ... GIẢI Bài 1: 7 49 49 = ÷ = 12 9 .12 10 8 49 ; ÷ = 48 49 49 7 7 > ⇒ > > Vì ÷⇒ ÷ 48 10 8 12 3 12 Bài 2: a) 17 17 15 3 19 15 2 = = 19 = = 2 72 72 Vì ( 15 3 15 2 15 3 15 2 17 ... >2 14 4 1 + + + > 14 5 − > 22 14 4 Từ suy ra: 22 < S < 23 Bài 6: Áp dụng biểu thức 5: 1+ 1 + + + < 3600 − = 11 9 < 12 0 3600 Bài 7: 13 ( 14 5 − 14 4 ) 20 CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 GVTV 10 1... thiết 15 + 24 < 16 + 25 = + = ; 10 1 − > 10 0 − = 10 − = ⇒ 10 1 − > 15 + 24 2 17 − 15 17 − 16 17 − 13 − > = = ⇒ b) ÷ > ÷ = 2,25 6 2 ( 2) =2 17 − 15 ⇒ ÷ > ( ) 2 ⇒ 17 − 15 >