CHUYÊN ĐỀ 1 - BÀI TOÁN RÚT GỌN & CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ 1 - BÀI TOÁN RÚT GỌN & CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN do Thầy giáo TRẦN VĂN TÌNH (TRẦN VĂN) biên soạn. Cấu trúc: Gồm 10 chủ đề chia thành 3 file Word. 1/ Chủ đề 1,2,3,4.doc 2/ Chủ đề 5,6,7.doc 3/ Chủ đề 8,9,10.doc Đây là 10 chủ đề ôn luyện thi vào lớp 10, từ cơ bản đến nâng cao để giúp học sinh làm trọn vẹn 2 điểm của bài rút gọn trong cấu trúc đề thi. Mỗi chủ đề được cung cấp lý thuyết, phân dạng có phương pháp giải và ví dụ đi kèm, sau mỗi chủ đề là phần bài tập vận dụng phong phú.

A/ CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: So sánh số (biểu thức số) chứa căn bậc hai

* Cần so sánh hai số A và B ta vận dụng các cách sau:

Cách 1: Vận dụng đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để đưa hai số A và

B về một trong ba trường hợp sau:

Số trung gian C có thể là số chứa căn bậc hai hoặc không chứa căn bậc hai

* Công thức nâng cao:

n a+ + n a− <2 n với 0 a n< < .1

2 k 1 2 k

k 1 < + −+ với k 0 ≥

Hướng dẫn giải

a) Trong trường hợp này thì Cách 1 & Cách 3 không phát huy tác dụng, do đó việc

tìm ra số trung gian để so sánh là cần thiết

≥



⇔  ≠



f (x) g(x) có nghĩa

f (x) 0g(x) 0

2x

x x 2

−d) 1

3 2x−

e) 42x 3+

f) 2

x 1

−+

Vậy x< −1thì biểu thức có nghĩa

DẠNG 3: Chứng minh một biểu thức luôn có nghĩa với mọi x.

+ Cần chỉ ra các mẫu thức trong biểu thức khác 0 với mọi x.

+ Cần biến đổi các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, sao cho các biểu thức này luôn dương (hoặc không âm).

Ví dụ 6: Chứng minh các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x.

Vậy biểu thức B luôn xác định với mọi x.

DẠNG 4: Từ điều kiện của x để biểu thức có nghĩa suy ra x nguyên để biểu thức

chứa căn bậc hai nhận giá trị nguyên.

Từ việc tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa, ta có miền bị chặn của biến x.

Chọn các giá trị x thuộc miền bị chặn, thay vào biểu thức:

+ Nếu giá trị biểu thức là số nguyên thì giá trị x thỏa mãn.

+ Nếu giá trị biểu thức không nguyên thì giá trị x không thỏa mãn

Ví dụ 8: Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức A 5x 1 x

− và 2 5−

g) 6 1− và 3 h) 2 5 5 2− và 1 i) 8

3 và

34

j) 6 1; 4 1; 132;2 3; 15

4 2 − 5 (Sắp xếp theo thứ tự giảm dần)

Bài 4: Chứng minh: 99− 97 0,1>

Bài 19: Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức

d) − +x2 2x 1− có nghĩa ⇔ − +x2 2x 1 0− ≥

− + − = − − + = − − ≤ ∀ ∈¡Nên − +x2 2x 1− có nghĩa ( )2

⇔ − − = ⇔ =Vậy − +x2 2x 1− có nghĩa khi x 1=

⇒ − − ≤ < với x R∀ ∈

22x 1 0

⇒ − − < với x∀ ∈¡

Nên không có giá trị nào của x để biểu thức −2x2−1 có nghĩa

Bài 9: A có nghĩa ⇔ ≥A 0 Với a 0 : x a a x a; x a x a

x a

≤ −



> ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ⇔  ≥a) 4 x− 2 có nghĩa ⇔ −4 x2 ≥ ⇔0 x2 ≤ ⇔ − ≤ ≤4 2 x 2

Vậy 4 x− 2 có nghĩa khi 2 x 2− ≤ ≤

Do đó căn thức có nghĩa khi:

Căn thức có nghĩa khi:

4z +4z 1+ = 2z +2.2z 1+ = 2z 1+ ≥ ∀ ∈0, x ¡Nên 4z2 +4z 1 0, x+ ≥ ∀ ∈¡

Vậy biểu thức luôn có nghĩa x∀ ∈¡

5) x2 +2x 1+ có nghĩa khi x2 +2x 1 0+ ≥

x +2x 1+ = x 1+ ≥ ∀ ∈0, x ¡ Nên x2+2x 1 0,+ ≥ ∀ ∈x ¡

Vậy biểu thức luôn có nghĩa với mọi giá trị của x∈¡

6) 2x 5+ có nghĩa khi: 2x 5 0 x 5

2

−+ ≥ ⇔ ≥

Vậy biểu thức có nghĩa khi x 5

Vậy biểu thức có nghĩa khi x 8

5

−

≥5) x2−9 có nghĩa khi: x2 − ≥ ⇔9 0 (x 3 x 3+ ) ( − ≥) 0

(3x 2 x 1+ ) ( − ) có nghĩa khi: (3x 2 x 1+ ) ( − ≥) 0+ TH1:

2

x 13

−

+ < <

Lần lượt thay các giá trị nguyên của x vào biểu thức A ta thấy chỉ có x = 1 và

HAI

CHỦ ĐỀ 2 RÚT GỌN BIỂU THỨC SỐ CHỨA CĂN BẬC

HAI

Để đưa về các căn thức đồng dạng, ta vận dụng kiến thức sau:

 Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương:

* Với hai số A và B không âm thì:

Khai phương một tích

A.B = A B

Nhân các căn thức bậc hai

Chú ý: Với A ; A ; ; A1 2 n ≥0 thì A A A1 2 n = A A A1 2 n

* Với hai số A không âm và B > 0 thì:

Khai phương một thương

B = B

Chia các căn thức bậc hai

 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: A B = A B với B ≥ 02

Nếu A ≥ 0 thì: A B = 2 A B Nếu A < 0 thì: A B = A B2 −

 Đưa thừa số vào trong dấu căn:

Hướng dẫn giải Cách 1: Biểu diễn biểu thức dưới dấu căn dưới dạng bình phương của một biểu

thức:

* Tìm hướng giải: Để biểu diễn được 5 2 6+ và 5 2 6− dưới dạng bình phươngcủa một biểu thức ta nghĩ đến việc vận dụng hằng đẳng thức “bình phương của một tổnghay hiệu hai số”

* Tổng quát: Nếu biểu thức B = a b+ ± a b− mà a2−b2 là một số chính phương

và có thể nhận biết được B > 0 hoặc B < 0 thì ta tính B rồi từ đó suy ra giá trị của B.2

( )

2 2

được điều này ta cần biểu diễn 13 4 3+ dưới dạng bình phương của một biểu thức bằngcách vận dụng hằng đẳng thức “bình phương của một tổng hay hiệu hai số”

Đến đây, nhận thấy (2− 3 2)( + 3) = − =4 3 1, là một số chính phương, dó đó ta

đi tính A , rồi suy ra giá trị của A.2

* Tìm hướng giải: Ở ví dụ này ta nhận thấy biểu thức D không có dạng

a b+ ± a b− , nên việc áp dụng Cách 2 – Ví dụ 4 là không thể Như vậy ta chỉ còn

cách biểu diễn 14 5 3+ và 2− 3 dưới dạng bình phương của một biểu thức Tuy nhiên

cả 5 3 và 3 lại không có dạng 2.a.b Do đó để thuận lợi cho việc biểu diễn 14 5 3+

và 2− 3 dưới dạng bình phương của một biểu thức ta cần nhân 2 vào biểu thức D vìkhi đó các biểu thức dưới dấu căn sẽ xuất hiện số hạng 2.a.b

DẠNG 3: Rút gọn biểu thức chứa căn ở mẫu.

Với dạng toán này ta thường thực hiện:

- Rút gọn thừa số chung của tử và mẫu nếu có.

- Sử dụng hằng đẳng thức để đưa biểu thức số ra khỏi căn.

- Nếu mẫu số chứa căn thì nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp mẫu để triệt tiêu căn ở mẫu.

- Quy đồng mẫu nếu cần để rút gọn.

( ) ( )( ) ( ( ) )

2 5 5 2 5 2

++

- Thường chọn vế phức tạp để biến đổi sao cho bằng vế còn lại.

- Thực chất của việc làm này là rút gọn một hoặc cả hai vế của đẳng thức sao cho hai vế bằng nhau.

Ví dụ 11: Chứng minh các đẳng thức sau:

2 2 3 2− + +1 2 2 −2 6 9=

= =3

3 1+ 3 2+ 3 3

2 6 16

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

5) Biến đổi vế trái ta được:

Vậy đẳng thức đã được chứng minh

7) Nhân 2 vào vế trái của đẳng thức, ta được:

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

CHỦ ĐỀ 3 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC

HAI.

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

A/ CÁC DẠNG TOÁN.

Để rút gọn một biểu thức ta cần:

1) Đặt điều kiện để cho biểu thức tồn tại (Nếu bài chưa cho).

+ Điều kiện biểu thức trong căn dương (không âm)

+ Điều kiện mẫu thức khác 0

2) Sử dụng các phương pháp như: Phân tích thành nhân tử; rút gọn thừa số chung;

quy đồng mẫu thức để thu gọn biểu thức

DẠNG 1: Rút gọn, tính giá trị biểu thức khi biết giá trị của biến.

+ Nếu bài cho trước giá trị x thì chỉ cần thay giá trị x vào biểu thức rút gọn.

+ Nếu số x đã cho có dạng một biểu thức số chứa căn bậc hai thì trước khi thay giá

trị x vào biểu thức ta cần rút gọn số x

19

−++ −

DẠNG 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức khi biết x thỏa mãn phương trình nào đó.

+ Nếu số x cho thỏa mãn một phương trình nào đó, thì ta tiến hành giải phương trình để tìm x (chỉ lấy nhận nghiệm x thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức và

Thay a = 3 vào biểu thức A, ta được: A= −2 3

Việc chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là đi rút gọn biểu thức sao cho kết quả rút gọn là một hằng số.

Ví dụ 7: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Bài 3: Cho biểu thức : P = 2 x x 1 : 1 x 2

b) Tính giá trị của A khi x =1.

b) Tính giá trị của Q khi x= 3 2010+

Bài 8: Cho biểu thức: P x y x y : 1 x y 2xy

Bài 9: Cho biểu thức: A (1 1). 1 2 3.( 1 1 )

b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 - 5

Bài 10: Cho biểu thức:

x x x 4 x 4 x x x 4 x 4A

b) Tính giá trị của E khi x = + ( 4 15 )( 10 − 6 ) 4 − 15

Bài 13: Cho biểu thức

= , hãy tính giá trị của A.

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

−+

3 3

Bài 4:

a) Điều kiện: a 0 ; b 0 ; a b> > ≠ .

Bài 6: a) Điều kiện: x 2

23.1 4 1 7A

3 3

x x

=  + + + − + +  + x + 

x x x

x x

x

3 3 )

3 3 )(

3 (

3 3

3

2 2

x x

x

3

3 3 )

3 3 )(

3 (

3 3 ) 3

−+

=

Bài 8: a) Điều kiện: x 0; y 0; xy 1≥ ≥ ≠ .

( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy

(t 1)(t 1)(t 2) (t 1)(t 1)(2 t)

15 a 11 3 a 2 2 a 3B

( ) ( )( ) ( ( )( ) )

Bài 12:

a) Điều kiện: x 0 ; x 1 > ≠ Kết quả rút gọn:

2 2

4x E

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Vậy biểu thức F không phụ thuộc vào biến.

* Nếu hiệu A k 0− ≥ hoặc A k 0− ≤ thì cần kiểm tra xem dấu “=” xảy ra ứng với

giá trị xcó thỏa mãn điều kiện rút gọn không

Dấu bằng xảy ra: x 2 0− = ⇔ =x 4 (TMĐK)

DẠNG 2: So sánh hai biểu thức đã rút gọn A và B (thường ta đi xét hiệu: A – B)

⇒ − ≥ với mọi x 0 ; x 1.> ≠

Dấu “=” xảy ra ⇔ =x 0 (không thỏa mãn ĐK)

Vậy với mọi x 0 ; x 1> ≠ 1.x 3 x 0 1.x 3 x

DẠNG 3: So sánh biểu thức rút gọn A với A hoặc A 2 với A

+ So sánh A với 1 bằng cách xét hiệu A 1− theo điều kiện x đã có:

- Nếu 0 A 1< < thì A A> .

- Nếu A 1> thì A A> .

(chỉ xét với biểu thức A dương)

( )( ) ( )( )

+Vậy 0 A 1< < với mọi x 0 ; x 4> ≠ ⇒A2 <A với mọi x 0 ; x 4> ≠ .

b) Chứng minh rằng A 2 0− > với mọi x thỏa mãn điều kiện x 0> và x 1≠

Bài 7. Rút gọn các biểu thức sau: ( ) 1 1 x x

Bài 11: Cho biểu thức:

b) Gọi M A.B = So sánh M với M.

( )

2 2

2( x 1)

03(x x 1)

− − <

10

3< ⇔A < 1

3

Bài 9: Điều kiện: x 0 ; x 4 ≥ ≠

b) Ta có P 2

=+ + ( với x 0; x 1> ≠ )