20 đề HSG toán 9 năm 2013 2016

Chứng minh rằng: và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.. Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P: y = x2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB...

– 2016 Môn: Toán

( làm bài: - Đề có r )

Bài 1(3 đ ểm):

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9

b) Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2  2 chia hết cho 5 thì 4  4

a  b a b

 Chứng minh rằng:

và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng

c) Chứng minh tỷ số

3

P

233

12

33

12

33

0,5

Câu b( đ ể )

Ta cã: (x2  y2)2  1 nªn

b a

y x b

y a

) 2

( )

( )

0 ) ( 2  2 2 

y x b

y a

1008 1008 1008

1 ( )

 KL:…

y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm

KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1)

Bài 1 (2 điểm)

1) Cho x là số thực âm thỏa mãn x2 + 12

x = 23, tính giá trị của biểu thức

A = x3 + 13

x 2) Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: x4

– 2y4 – x2y2 + x2 + y2

Bài 2 ( 3 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, ABC = 600 Trung tuyến CD = 3

4cm Tính diện tích tam giác ABC

2) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y = (m + 1)x – m, m là tham số Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P): y = x2

tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho OA vuông góc với OB

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013 – 2014

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ

ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 29 tháng 6 năm 2013

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm có 01 trang

= (x2 + y2)(x2 - y2 – y2 + 1) = (x2 + y2)(x2 - 2y2 + 1)

Bài 2 1) Đặt BC = 2x (x > 0) Vì ABC= 600

=>C= 300 => AB = x => AD = 1

2x;

AC = 3x Tam giác ADC vuông tại A =>

2 2 13 2 13 2 104

2) Phương trình hoành độ của hai đồ thị là x2

– (m + 1)x +m = 0 (*) Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B  PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình đường thẳng đi qua O và A là y = x

Phương trình đường thẳng đi qua O và B là y = mx

Đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng OB  m 1 = -1  m = -1

Vậy với m = -1 thì đường thẳng và parabol cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho OA vuông góc với OB

4 xy xy   xy => P  1 + 8 = 9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

2 Thỏa ĐK Vậy minP = 9  x = y = 1

2

60 0

cm 3 4

D

\

\

C B

A

2 không nguyên)

=> với x nguyên thì y nguyên khi và chỉ khi 17

2x 1nguyên  17 2x – 1  2x

-1 là ước của -17 Mà -17 có các ước là 1; 17

Do x nguyên dương nên 2x – 1  1 => 2x – 1 = 1 hoặc 2x – 1 = 17 => x = 1 hoặc x = 9

*) Chứng minh: G/s (O’) đi qua

O và A => O’ nằm trên đường trung trực của AO, gọi giao điểm của đường trung trực đó với AO là H, giao điểm của OA với PQ là I, giao của OO’ với PQ

là K, OO’ cắt đường tròn (O’) ở

M

Ta có OO’ là đường trung trực của PQ => OO’  PQ

OKI đồng dạng với OHO’(g.g)

(Do OO’ = 1

2OM và AO = 2.OH)

Ta có OPM = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => OPM vuông tại P, lại có PQOO’ => OP2 =

OK.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

 OI =

OA OA không đổi

Do O cố định, OI không đổi nên I cố định

Vậy đường thẳng PQ đi qua 1 điểm cố định

Bài 5 Không thể lát sân mà không phải cắt gạch vì nếu gọi số gạch lát theo chiều dài và chiều rộng của viên gạch là x, y thì hệ PT sau phải có nghiệm

nguyên:

100 350

25 350

x y

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian

a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2  , b = 10 11 8

n

(B gồm n chữ số 8) Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương

Bài 4 (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm

M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD

a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp

b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD

c) Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi

M thay đổi trên đường thẳng d

d) Chứng minh

2 2

MD HA =

HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Hướng dẫn này gồm 4 trang)

b) Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x1 = 2; x2; x3

trong đó x2; x3 là hai nghiệm phân biệt của pt (*) 0,25 Khi đó x12

+ x2 2

+ x3 2

A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO 0,25

 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO

b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

tứ giác CHOD nội tiếp

c) Gọi Q là giao điểm của AB và OI

Hai tam giác vuông MIO và QHO có IOH chung

(R là bán kính (O) không đổi) 0,25

O, I cố định  độ dài OI không đổi

 lại có Q thuộc tia OI cố định

 Q là điểm cố định  đpcm

0, 5 d)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU 3,5 MÔN TOÁN CHUYÊN HÀ NAM

Câu 3: Từ giả thiết ta có

2 1 2 2 2

4.111 1 4(10 10 1) 2.888 8 16.111 1 16(10 10 1)

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N Chứng minh OMN là tam giác vuông

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 4 3 2

Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/

) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/

) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng

Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F  ( O/

) Gọi M là giao điểm của

AE và DF; N là giao điểm của EB và FC Chứng minh rằng:

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9

3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho x2

Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có:

AB = AD = a; DAJBAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

5

AEBCFD90 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/

Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFN INF

Trong đường tròn (O) có: FEN EAB 1 sđ EB

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang)

3 3

22

Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là một điểm di

động trên đoạn OA (H khác A) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt

cung nhỏ AB tại M Gọi K là hình chiếu của M trên OB

a) Chứng minh HKM2AMH

b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần

lượt tại D và E OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G Chứng minh OD.GF =

OG.DE

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 ab6bc2ac7abc Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 4

Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám

khảo vẫn cho điểm tối đa

63 21

b B

t t

x

x x

8

1

x y

x y

Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) A1M (2) 1 0.25

Tứ giác MHOK nội tiếp O1K (cùng chắn 1 MH ) (3) 0.25

1

H

K O A

M

2sđBM;O1 O2 1

2sđBM A1O 1  tứ giác AMGO nội tiếp (5)

giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB

2

F

G E

D

H O A

M

2 1

A' I

H O A

M

0.25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

23aa

3024 55

3024 55

b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn

13zz1,3yy

0 4 8y x 4xy 2y

3x 2 2

2 2

Câu 4( 7,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm Gọi A là

chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo

bằng  không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt

BC lần lượt tại M và N Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành

a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng

khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định

Họ và tên thí sinh số báo danh

Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

) 12 8 5 ( 5 ) 1 (

2 2

2

0 4 16 )

2 2 ( 0 12 8y 4x 4xy 5y

suy ra x2 ; 13 ; 22 ; 35 ; 47 ; 57 ; 68 ; 79 ; 90

Cách khác

 (x - 1) 1 11 11  (x - 1) 1 11 2

14x 3x

x P(x)  3 2    3  x   3  

Suy ra (x-1)3 chia co 11 dư 1 suy ra x-1 chia cho 11 dư 1 suy ra x chia cho 11 dư 2 mà x<100 suy ra kết quả

Câu 2( 4,0 điểm)

a)Tính gía trị biểu thức

25a4aa

23aa

3024 55

3024 55

b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn

13zz1,3yy

) 2 ( 3

) 1 ( 3

) ( 3

) ( 3

) ( 3

1 3

1 3

1 3

2 2

2 2

2 2

3 3

3 3

3 3

3 3 3

z xz x

z zy y

y xy x

x z x z

z y z

y

y x y

x

z z

y y

x x

trừ (1) cho (2) ta được (xz)(xyz)  0 xyz 0

cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 2 (x2 y2z2) xyyzxz 9(*)

mà tù x+y+z=0 suy ra

2

2 2 2

z y x xz yz

thay vaò (*) ta có đpcm

Câu 3( 4,0 điểm)

a) Giải phương trình 3x 1

4x

1 x 1

0 4 8y x 4xy 2y

3x 2 2

2 2

Hướng dẫn

a) HD đkxđ

3 1

1 3 2 1 3 2 4

1 3 2 4 1

3 2 16

1 3x 4 1 3 12 1 3x 4 1 ) 1 3 ( 4 1 3x 4x

1 x 1

3x

2 2

2

x x

x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

y 2 4x y 2 2x

0(1) 4 8y x 4xy 2y

3x 0

3 y 2x

y

x

0 4 8y x 4xy 2y

3x

2 2

2 2 2

1 2 ( 0 2 ) 2 (

x y

; 3

109 7

; 6

109 13

; 3

109 7

; 3 5

a) ENB=EFM suy ra ENM+EFM=1800

b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có DPF=DMF =EAF=

mặt khác EAF=EPF nên EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC

mà AOBC AOEP gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra HOI=HPF=

 ( không đổi)

suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng 

c) khi BC=R ; EAF==600 thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta chứng minh được OI min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều khi

I

K

H

P D

M N

F

A

B

C E

O

E

đó IM//AO ta tính BQ;QM được áp dụng Talet tam giác BIM có AO//IM tính

được OI

Câu 5 Hướng dẫn Lời giải 1

4 ( )

4 ( )

4 (

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z x y z xz

xyz

z y y x yz

xyz

z x y x

M

3

3 3

3 12 )

4 )(

4 )(

4 (

6 )

4 )(

4 )(

4

(

6

) 4 (

1 )

4 (

1 )

4 (

1 2 ) 4 (

1 )

4 (

1 )

(

2

) 4 (

2 2 ) 4 (

2 2 ) 4

(

2 2

xy xz

yz xyz xy

xz yz

xyz xy

xz yz

xyz

N

yx x

yz zx yz y yx

y yz x yz

z

N

yx yx

z x xz

xz

z x yz

yz

z y

N

N yx xyz

yz xz xz

xyz

yz xy yz

xyz

xz xy

4

12 3

4

4 4

4 3 ) 4 )(

y x z

y

x

3 3

4

3 3 ) 4 )(

4 )(

4 ( 3 81 4

12 3

) 4 )(

3 12 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 08/04/2014

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và

BC sao cho AN = CM Gọi K là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC

b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC) Biết BC = 44 3 và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2 Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC

Câu 5 (3 điểm)

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C) Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2

qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014

MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

I Hướng dẫn chung:

1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án và đúng thì giám khảo căn

cứ vào thang điểm của đáp án để cho điểm hợp lí

2 Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong Hội đồng chấm thi

3 Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

Câu Nội dung Điểm

0,25

Câu Nội dung Điểm

0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

Giải phương trình (2) được nghiệm X1 = X2 = 2  x = y = 2

Vậy hệ đã cho có nghiệm: x = 2, y = 2, z = –2

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Câu Nội dung Điểm

abc + a2 + b2 + c2 + 1 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0

 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

Câu Nội dung Điểm

Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với

0,25 0,25 0,25

5

(3đ)

Hình vẽ

a) Kéo dài ED cắt (O) tại I

AB là tiếp tuyến của (O1) ABDBED

AC là tiếp tuyến của (O2) ACDCED

 Tứ giác ABEC nội tiếp (O)

 AI//BC  I cố định

Vậy DE luôn đi qua điểm cố định I

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

A

2 2

x x x x

+

2 3

2 2

x x x x

1 Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P > 1

2 Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Giải phương trình

x x

x x

2 3 3

1 3

Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD Gọi I, Q, H, P lần

lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD

1 Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau

2 Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng

Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường

cao AH dài 36cm Tính độ dài BD, DC

Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =

4

9 Hãy tìm GTNN của P = 4

1 a + 4

1 b

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

2 (

) 1 )(

1 )(

2 (

x x

x

+

2 ) 1 )(

2 (

) 1 )(

1 )(

2 (

x x

=

1

) 1 ( 2





x x

P > 1 

1

) 1 ( 2

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

2

1

Điều kiện x – 3 + 3  2x  0 Phương trình tương đương 5

3 x - x 1 - 4 2 x 3 - 4x + 12 = 0 (*)

Xét x <

-2

3 Thì (*)  - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

Xét 2

Xét 1 ≤ x <

3

5 Thì (*)

 - 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

 x =

8

3 (loại)

Xét x ≥

3

5 Thì (*)  3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

 x =

-5

2 (Loại)

Vậy phương trình có nghiệm x 

0

xy xy

1

y x

+ Nếu x + y  0  (x + y)2 là số chính phương xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố cùng nhau Do đó không thể cùng là số chính phương

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); 1; 1)

1 ) = xy +

xy

1 +

x

1 ) < 2(x -

x

1 )(x2 + 12

x + 1)

 3(x +

x

1 ) < 2(x2 + 12

x + 1) (1)

( Vì x > 1 nên x -

x

1 > 0)

 HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1)

Mà PH // BC  BQ1P = HPQ (So le trong) (2)

QH // AD  AP1P = HQP (So le trong) (3)

Từ (1); (2); (3) Suy ra AP1P = BQ1P ( đpcm)

0,5 0,5

0,5

0,5

2

Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của EF, DF, CE

Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF và dựa vào tính chất của đường trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)

Suy ra MHP = NHQ  MHQ = NHP  MHN và PHQ có cùng

0,5

tia phân giác Mặt khác dễ có IPHQ và KMHN là các hình thoi

Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ Suy ra

H, I, K thẳng hàng

0,5 0,5

452 = 75cm Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác

75 (1)

Mặt khác x + y = 40 (2) Thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn được

Dấu “=” xảy ra  a =

2 1

Từ (1) và (2)  P ≥

17

8 2

Áp dụng Côsi ta có:

a  a2 +

4 1

b  b2 +

4 1

ab 

2

2 2

b

a 

Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được

) (

4 5

 a2 + b2 ≥ (

4

5

- 2

1 ):

2

3 = 2

1 Thay vào (  )

P ≥ 17

8 2

1  = 2 17

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

2

17 khi a = b =

2 1

0,5

0,5

0,5

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương

- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm