Đề đa HSG toán 9 huyện tiền hải 2016 2017

Đường tròn đường kính AM cắt cạnh AB tại điểm N khác A.. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AM tại E khác D.. a Chứng minh rằng ba điểm C, E, N thẳng hàng.. b Gọi giao đi

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017

m¤N: TOÁN 9

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm)

ç

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = µ3

2

2 Chứng minh rằng: Nếu x2 3 x y4 2  y2 3 x y2 4  thì a 3 x2  3 y2 3 a2

Bài 2 (4,0 điểm)

1 Cho hệ phương trình µ ( )

ïï

íï + - = + ïî

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0

2 Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

a b 2

b c 2



 là số hữu tỉ và a2 + b2 + c2 là số nguyên tố

Bài 3 (4,0 điểm)

1 Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 (m là tham số)

a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Trên parabol (P) lấy 3 điểm phân biệt: A(a, a2), B(b, b2), C(c, c2)

Biết rằng a2 – b = b2 – c = c2 – a

Tính giá trị của biểu thức: M = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1)

2 Giải phương trình: x2- x 1- = 8x 1+

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M khác C và D Đường tròn đường kính AM cắt cạnh AB tại điểm N khác A Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AM tại E khác D

a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, N thẳng hàng

b) Gọi giao điểm của đoạn thẳng MN với DE là H, đoạn thẳng NM cắt đường tròn đường kính CD tại K Chứng minh rằng MK2 = MH.MN

c) Gọi F là giao điểm của DE với cạnh BC Chứng minh rằng MF µ  AC

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: µ

4

ì ¹ ïï ïí

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9

1

(4đ)

a

2

x 1

1

x 1

0.5

2

+

x

b

A = µ3

2 x

2x 3 x 2 0

( 2 x 1 )( x 2 ) 0

c

Đặt

2 3 3









0.25

Ta có: b3b c2  c3bc2 a

Bình phương hai vế được: b3 b c c2  3bc22 b c (b c)2 2  2 a2 0.25

2

3 a b c

2

(4đ)

a

ì

0.5

ïï

Û íï

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm

Với m khác 0 hpt có nghiệm duy nhất

2

ç

b

Đặt a b 2 x

y

b c 2

Vì a, b, c, x, y  Z Þ ay – bx  Z Þ (by – cx) 2 Z

0.25

a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b) 0.25

Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố và a+c – b<a+c+b

Þ a+b – c = 1 Þ a + b + c = a2+ b2 + c2 (1)

Mà a, b, c nguyên dương nên a a2, b b2, c c2 (2)

0.25

Lí luận đưa ra đúng phương trình hoành độ giao điểm: x2 – x – 2 = 0

b

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

(P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt µÛ phương trình (*) có 2 nghiệm

c

8

³

-Đặt 8x 1 y, y 0+ = ³ ta có:

Þ 4x2 + 4x – 3 = y2 + 4y Û (2x+1)2 = (y+2)2

Û y = 2x – 1 hoặc y = -2x – 3

 Với y = 2x – 1 Þ 8x 1 2x 1+ = - , giải ra được x = 3

 Với y = -2x – 3 Þ 8x 1+ =- 2x 3

-4

(6đ)

F K

H

E

M

N

B A

a

Chứng minh DN là đ/kính của đường tròn đi qua các điểm A, D, M, E, N 0.75

b

Có: µDMN DEN· =· (hq góc nội tiếp ) µÞ µDMN 90· = 0 µÞ MN µ

Chứng minh tứ giác BCMN là hình chữ nhật µÞ BN = CM (4) 0.5

Từ (3) và (4) µÞ CF = CM µÞ µDCMF vuông cân tại C mà CA là

5

(2đ)

+) Nếu ac > 0 µÞ a và c cùng dấu, từ 2b c

a ³ a+ > Þ b và a cùng dấu

Þ a, b, c cùng dấu Vì thế ta chỉ cần xét a, b và c cùng dương là đủ

0.5 Với a, b, c cùng dương ta có :

µ

2