OLYMPIC TOÁN 6 KINH môn 2015 2016

Tính số học sinh khối 6 của trường đó.. xOm Tia Om có phải là tia phân giác của góc xOz không?. 2 Cho góc xOy, tia Om là tia phân giác của góc xOy, tia On là tia phân giác của góc xOm.

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán lớp 6

nNă Năm học 2015-2016

Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

C©u 1: (1,5 ®iÓm)

Cho S =2 +2 +2 +2 + +2 0 2 4 6 2014

a) Chứng tỏ S chia hết cho 17

b) Tìm chữ số tận cùng của S

Caâu 2: (2,0 điểm)

a) Tính tổng sau:

210 182 156 132 110 90 72 56 42 30 20

A               

b) So sánh: N = 2015 2016

5 10

10 10

  

và M = 2015 2016

10 5

10 10

  

C©u 3: ( 2 ,5 điểm)

a) Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng

của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

b) Tìm số tự nhiên n để phân số 18 3

21 7

n n



 có thể rút gọn được.

c) Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn: xy - 3x + y - 8=0

C©u 4: ( 1 ,5 ®iÓm)

Số học sinh khối 6 của một trường THCS là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà

khi xếp hàng 20 dư 7, còn khi xếp hàng 25 dư 17 học sinh Tính số học sinh khối 6 của trường đó

C©u 5: (2 ,5 điểm)

1) Cho hai góc kề bù xOz và yOz biết rằng: �xOz  5�yOz

a, Tính số đo của các góc xOz và yOz

b, Trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om sao cho � 0

75

xOm Tia Om

có phải là tia phân giác của góc xOz không ? Vì sao?

2) Cho góc xOy, tia Om là tia phân giác của góc xOy, tia On là tia phân giác của góc xOm Tìm giá trị lớn nhất của góc xOn

_ Hết _

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 6

nNă Năm học 2015-2016

C©u

1

a) S =(2 +2 )+2 (2 +2 )+ +2 0 4 2 0 4 2010 (2 +2 ) 0 4

S là tổng của các số hạng chia hết cho 17 nên S chia hết cho 17

Vậy S chia hết cho 17

0,25 điểm 0,25 điểm b) Xét S' =2 +2 + +2 4 6 2014  2 (2 4 0  2 ) 2 2   2012 (2 0  2 2014 )

S’ chia hết cho 2 và S’ chia hết cho 5 nên S’ chia hết cho 10 Hay S’

có chữ số tận cùng là 0

Do 20 + 22 = 5 nên S có chữ số tận cùng là 5

0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm

C©u

2.

210 182 156 132 110 90 72 56 42 30 20

A               

4.5  5.6  6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 13.14 14.15         ) = - (1 1 1 1 1 1 1 1

4        5 5 6 6 7 14 15  ) = - (1 1

4  15) = 11

60

 Vậy A= 11

60



0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b) So sánh

Xét N = 20155 102016

10 10

  

= 20155 20165 20165

10 10 10

     và: M = 2015 2016

10 10

  

= 2015 2015 2016

10 10 10

    

Ta có: 20165

10

 > 20155 10

 VËy: N > M

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

C©u

3

a) 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2

Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M 3

Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 M 3

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3

Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4

vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của

bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

c) Chứng tỏ rằng 18 3

21 7

n n



 có thể rút gọn được Giả sử 18n+3 và 21n+7 cùng chia hết cho số nguyên tố d

Nên 18n+3d và 21n+7d suy ra 6(21n+7)- 7(18n+3) d

21 d Do d nguyên tố nên d = 3; 7

+ Nếu d = 3 ta có 21n + 73 (vô lý)

+ Nếu d = 7 ta có 18n + 37 �18 3 21 7 18( 1) 7n  M� n M�n1 7M

Nên n = 7k +1 (k N� )

Vậy phân số 18 3

21 7

n n



 rút gọn được khi n = 7k +1 (k N� )

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

c) xy-3x+y-8 = 0  x.(y-3) +1.(y-3) = 5 (x+1).(y-3) = 5

Vì x,y là số nguyên nên x+1;y-3 là các số nguyên

Mà 5=1.5=(-1).(-5)

Bảng giá trị tương ứng của x,y

Vậy các số x,y thảo mãn yêu cầu bài toán là: 6 ; 2 ;  1 ;  2   ; 0 ; 8 ; 4 ; 4

0,25 điểm 0,25 điểm

0,5 điểm

C©u

4

Gọi số HS khối 6 của trường là x (x�N)

x : 20 dư 7 � x + 33 M20

x : 25 dư 17 � x + 33 M25

Suy ra x +33 là BC(20, 25)

Ta có BCNN(20,25) = 100

BC(20;25) = 100k (k�N)

x + 33 = 100k �x = 100k -33 mà x số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ

nên k = 2 Do đó x =167 (T/m)

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 167 học sinh

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,5 điểm 0,25 điểm

C©u5 1) a.Vì �0x z và �0y z kề bù nhau nên�x z y z0 �0  180 0 (1)

Mặt khác: ��x z0  5 0�y z ( 2)

Từ (1) và (2) � 6 0�y z 180 0 � �y z0  30 ; 0 0 �x z 150 0

x z y z

0,25 điểm 0,25 điểm

1) b Trường hợp 1 : Nếu hai tia Om và Oz cùng thuộc một nửa mặt

phẳng bờ chứa tia Ox

m z

Ta có: �x m x z0 �0 (750 < 1500) � tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oz

(3)

� �m z x z x m0  �0  �0 �m z�0  150 0  75 0  75 0 ��x m m z0 �0  75 0 (4)

Từ (3) và (4) suy ra tia Om là tia phân giác của góc xOz

Trường hợp 2 : Nếu tia Oz và tia Om nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối

nhau có bờ chứa tia Ox Khi đó tia Om không nằm giữa hai tia Ox

và Oz

75 0

y z

m

Vậy trong trường hợp này tia Om không phải là tia phân giác của

góc xOz

Vì Om là tia phân giác của góc xOy nên �0 1�0

2

x m x y (1)

Vì On là tia phân giác của góc xOm nên �0 1�0

2

x n m n (2)

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Từ (1) và (2) suy ra �0 1�0

4

x n x y

Do đó góc xOn đạt giá trị lớn nhất khi góc xOy lớn nhất mà góc xOy

lớn nhất là 1800 Do đó góc xOn đạt giá trị lớn nhất bằng 450

0,25 điểm 0,25 điểm

(Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang, trang số 03

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN-LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề này gồm 5 câu, 01 trang)

Câu 1:( 2,5 điểm)

1) Tính :

9 10

151515 17 1500 1616 a) A

161616 17 1600 1717

�  � �  �

1.4 4.7 7.10 97.100

2) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số

Câu 2:(2,0 điểm)

1) So sánh A và B biết :

A = 20171819 1

2017 1



 , B =

17 18

2017 1

2017 1



 2) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố

Câu 3:( 2,0 điểm )

1) Chứng tỏ rằng 2 1

n n



 là phân số tối giản n N� 

2) Tìm phân số tối giản a

b lớn nhất a b N, � * để khi chia mỗi phân số

8 12 24; ;

21 45 175 cho

a

b , ta đều được các số tự nhiên.

Câu 4 : (2,5 điểm)

1) Cho góc xBy = 550 Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A B,

CB) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300

a) Tính số đo góc DBC

b) Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900 Tính số đo góc ABz

2) Cho 8 điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng Qua hai điểm vẽ được một đường thẳng Tính số đường thẳng tạo thành

Câu 5 : (1,0 điểm)

Chứng minh : S = 1 1 1 1 1 1 1 1

4 16 36 64 100 144 196         � � 10000

không là số tự nhiên

-.Họ và tên thí sinh:……….SBD:……… Chữ kí giám thị 1:……….Chữ kí giám thị 2:………

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC

NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN-LỚP 6 Câu 1: (2,5 điểm)

1.a) A =

9 10

151515 17 1500 1616

161616 17 1600 1717

A = ��15.1010116.10101 17 1 � �� � 15 16.10116 17.101 ��

A = 15 1 15 16

16 17 16 17   

A = 15 15 1 16

16 16 17 17

�  � �   �

A = 1

0,25

0,25

1.b) B =

100 97

3

10 7

3 7 4

3 4

.

1







100 97

3

10 7

3 7 4

3 4 1

3 (

=        ) 

100

1 97

1

7

1 7

1 4

1

4

1

1

1

.(

100

297 100

99 3 100

1 1

1



















0,5 0,5

2 Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9

Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99

Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999

Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có :

2006 - 1000 + 1 = 1007 số

Số chữ số của số tự nhiên L là :

9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số )

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 2: ( 2,0 điểm )

1 Ta có: 2017A = 201719 191 2016 1 201619

2017 1 2017 1

   

2017B =201718 181 2016 1 201618

2017 1 2017 1

   

Vì 19 18

2016 2016

2017 1 2017  1

Vậy A< B

0,25 0,25 0,25 0,25

2 + Với p = 2 � p 2 4;   p 4 6   � p + 2 và p + 4 là các hợp số

� p = 2 không thỏa mãn

+ Với p = 3 � p + 2 = 5 là số nguyên tố

p + 4 = 7 là số nguyên tố

� p = 3 thỏa mãn

+ Với p là số nguyên tố và p > 3

� p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k N ) � *

* Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3M3 và p + 2 > 3

� p + 2 là hợp số (trái với đề bài)

* Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6M3 và p + 4 > 3

0,25

0,25 0,25

� p + 4 là hợp số (trái với đề bài)

Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố

0,25

Câu 3: (2,0 điểm)

3.a) Gọi (2n + 1, 6n + 7) = d

Suy ra: 2n1Md �3(2n1)Md �6n3Md (1)

Và 6n M7 d (2)

Từ (1) và (2) �(6n 7) (6n3)Md (Tính chất chia hết của một tổng)

4 d d 1;2;4

Vì 2n +1 là số tự nhiên lẻ n N� nên d = 1.

Vậy 2 1

n

n



 là phân số tối giản n N� 

3.b) a

b là phân số tối giản lớn nhất a b N, � * nên a lớn nhất, b nhỏ nhất

khác không



:

b a có giá trị là số tự nhiên � 8 aM và bM21

b b a có giá trị là số tự nhiên � 4 aM và bM15



:

175 175

b acó giá trị là số tự nhiên � 24 aM và bM175

Từ đó suy ra a = ƯCLN(8, 4, 24) = 4

b = BCNN(21, 15, 175) = 525

Vậy phân số 4

525

a

b 

0,25

0,25 02,5 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 4 : (2,5 điểm)

1.

TH1 TH2

a)Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

Ta có :  ABC =  ABD +  DBC

 DBC=  ABD +  DBC   DBC =  ABC -  ABD

=550 – 300 = 250

b) Xét hai trường hợp:

02,5 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là

AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD

Tính được  ABz = 900 -  ABD = 900- 300 = 600

- Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là

AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

Tính được  ABz = 900 +  ABD = 900 + 300 = 1200

2 Xét 8 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Nối 1 điểm với

7 điểm còn lại ta được 7 đường thẳng

=> ta nối được (7.8):2=28 đường thẳng

Xét 3 điểm không thẳng hàng ta có 3 đường thẳng

Xét 3 điểm thẳng hàng ta có một đường thẳng

=> Số đường thẳng giảm đi là 3-1=2 đường thẳng

Vậy 8 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng nối thì tạo thành là

28-2=26 đường thẳng

Câu 5 : (1,0 điểm)

4 16 36 64 100 144 196         � � 10000





























50

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 1 4 1

Do

2500

1 2499

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1 50

1 3

1 2

1

2 2

2              

= 1

2500

1

1  

Suy ra S<

2

1 2

4

1



Mà S > 0

Nên S không là số tự nhiên

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho đủ số điểm

UBND HUYỆN KINH MÔN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A = (1+ 1

3).(1+ 1

8).(1+ 1

15) (1+ 1

2499)

2) Tính nhanh B =

3 9 27 : 7 49 343

3 9 27 7 49 343

     

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Tìm x, biết: 1 1 1 1 .x 23

1.2 2.3 3.4 8.9 45

�     � 

2) So sánh: E = 201810099 1

2018 1



 và F =

98 99

2018 1

2018 1



 .

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26

2) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0 ), biết ab ba là số chính phương

Câu 4: (3,0 điểm)

1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 6cm, OB =10cm Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA, AB Tính độ dài đoạn thẳng EF

2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho �xOy = 500;

�

xOz = 1000 Vẽ tia Oy' là tia đối của tia Oy Tính số đo �y Oz,

3) Vẽ đường thẳng d không đi qua O Trên đường thẳng d lấy 2018 điểm phân biệt Tính số các góc đỉnh O có cạnh đi qua 2 điểm bất kì trong 2018 điểm đó

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số Tìm giá trị lớn nhất của A abc 1918

a b c

-

Hết -Họ và tên học sinh:………Số báo danh:……… Giám thị 1:……… Giám thị 2:………

UBND HUYỆN KINH MÔN

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018

MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút

( Hướng dẫn gồm có: 5 câu, 04 trang)

điểm

1

1

A = (1+ 1

3).(1+ 1

8).(1+ 1

15)……… (1+ 1

2499)

A = 4 9 16 .2500

3 8 15 2499

=2.2 3.3 4.4 .50.50 1.3 2.4 3.5 49.51

A = 2.3.4 50 2.3.4 50 1.2.3 49 3.4.5 51

=50 2. 100

1 51  51 Vậy A=100

51

0,25 0,25 0,25 0,25

2

B =

3 9 27 : 7 49 343

3 9 27 7 49 343

     

B =

3 9 27 : 7 49 343

3 9 27 7 49 343

�    � �    �

�    � �    �

B = 1: 4 1

2  8

Vậy B =1

8

0,50

0,25 0,25

2

1

x 1.2 2.3 3.4 8.9 45

�     � 

1 1 1 1 1 1 1 1 23

x

1 2 2 3 3 4 8 9 45

�         � 

1 1 23 x

1 9 45

�  � 

8 23 x

9  45

23 8 23

x :

45 9 40

  Vậy x 23

40



0,25 0,25 0,25 0,25

Ta có E = 201810099 1

2018 1



 � 2018.E =

100 100

2018 2018

2018 1





� 2018.E = 1- 100

2017

2018  1

F = 20189999 1

2018 1



 � 2018.F =

99 99

2018 2018

2018 1



 � 2018.F = 1- 201799

2018  1

Vì 100

2017

2018  1< 99

2017

2018  1 �1 - 100

2017

2018  1> 1- 99

2017

2018  1

hay 2018 E > 2018 F � E > F

Vậy E > F

0,25

0,25

0,25 0,25

3

1

+ Với y = 2, ta có 112 = 121 > 26 �y = 2 không thỏa mãn

Do y là số tự nhiên nên y � 0;1

+ Với y = 1, ta có 5x +11 = 26�5x = 15 vì x là số tự nhiên

� không có giá trị nào của x thỏa mãn 5x = 15� y =1

không thỏa mãn

+ Với y = 0 ta có 5x + 1 = 26�5x = 25 = 52 nên x = 2 (thỏa

mãn)

Vậy x = 2; y = 0

0,25 0,25 0,25 0,25

2

Ta có ab ba  9.(a b )

Do a, b là các chữ số, ablà số nguyên tố, nên 3 � b

�9.(a - b) là số chính phương khi a - b� 1; 4

+ Với a - b =1 mà ab là số nguyên tố � ta được số ab = 43

+ Với a - b = 4 mà ab là số nguyên tố �ta được số ab = 73

Vậy ab�43;73

0,25

0,25

0,25 0,25

O

Vì hai điểm A,B cùng nằm trên tia Ox mà OA<OB

( 6 cm < 10 cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B�

OA+AB =OB

Thay số 6 + AB = 10 �AB=4 cm.Vậy AB= 4cm

Vì E là trung điểm của OA nên EA =

2

OA

Thay số EA = 6 : 2 = 3 cm

F là trung điểm của AB nên AF =

2

AB

Thay số AF = 4 : 2 = 2 cm

Do A nằm giữa O và B, mà E là trung điểm của OA, F là

trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F �

EF = EA + AF = 3+2 = 5cm.Vậy EF = 5cm

0,25

0,25

0,25

0,25

2

y'

z

y

x O

Vì hai tia Ox, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia

Ox, mà

�

xOy < �xOz nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

� �xOy+ �yOz=xOz� Thay số 500 +�yOz = 1000 � �yOz= 500

Do tia Oy' là tia đối của tia Oy � �y Oz, , �yOzlà hai góc kề bù

� �y Oz, +�yOz= 1800 Thay số:�y Oz, + 500=1800 � �y Oz, = 1300

Vậy �y Oz, = 1300

0,25

0,25 0,25

0,25

3

Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được 1 góc

tại đỉnh O

Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy

nhiêu góc đỉnh O

Cứ 1 điểm trong số 2018 điểm nối với 2017 điểm còn lại ta

được 2017 đoạn thẳng

Có 2018 ta được 2018.2017:2 = 2 035 153 đoạn thẳng

Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :

2 035 153 (góc)

Vậy có 2 035 153 góc.

t

0,25 0,25

0,25

0,25

5

100 10

A

 

+ Nếu b = c = 0 thì A = 100 + 1918 = 2018

+ Nếu b hoặc c khác 0 thì

100 100 100

1918 100 1918 2018

A

a b c

 

Nên A� 2018

Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a�1;2; ;9 ; b = c = 0

0,25 0,25

0,25 0,25

* Chú ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa