PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HỒ XUÂN BÌNH PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DỰA TRÊN MƠ HÌNH TỐN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HỒ XUÂN BÌNH PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DỰA TRÊN MƠ HÌNH TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Đây cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Hồ Xuân Bình MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nhiệm vụ Đối tượng phạm vi nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu .2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Bố cục luận văn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ .4 1.1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1.1 Khái niệm hàm số biến số 1.1.2 Một số mơ hình tốn học thường gặp 10 1.1.3 Hàm hợp 14 1.1.4 Hàm mũ- Hàm ngược Logarit 15 1.1.5 Giới hạn liên tục hàm số biến 18 1.2 HÀM NHIỀU BIẾN .26 1.2.1 Hàm hai biến .26 1.2.2 Đồ thị hàm hai biến 26 1.2.3 Đường mức 27 1.2.4 Hàm ba biến nhiều ba biến 29 1.2.5 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến 30 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ DỰA TRÊN MƠ HÌNH TỐN HỌC 33 2.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 33 2.1.1 Bài toán tiếp tuyến 33 2.1.2 Bài toán vận tốc 34 2.2 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 35 2.2.1 Đạo hàm hàm số điểm 35 2.2.2 Đạo hàm hàm số 36 2.3 PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM 37 2.3.1 Đạo hàm hàm đa thức, lượng giác, hàm mũ 37 2.3.2 Các quy tắc tính đạo hàm 38 2.3.3 Quy tắc tính đạo hàm hàm hợp 38 2.3.4 Công thức vi phân .39 2.3.5 Đạo hàm hàm ẩn 40 2.3.6 Đạo hàm hàm ngược .40 2.3.7 Đạo hàm cấp cao 41 2.3.8 Cực trị hàm số .42 2.3.9 Xấp xỉ nghiệm phương trình 45 2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM-MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐN HỌC .47 2.4.1 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc vào đại lượng 47 2.4.2 Mơ hình quan hệ đại lượng biến thiên 54 2.4.3 Mơ hình tìm đại lượng theo điều kiện ràng buộc 52 2.4.4 Tốc độ biến thiên ứng dụng số lĩnh vực 53 2.5 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 58 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM RIÊNG, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN DỰA TRÊN MƠ HÌNH TỐN HỌC 60 3.1 BÀI TOÁN ĐẶT RA .60 3.2 HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM RIÊNG, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG 60 3.2.1 Đạo hàm riêng 60 3.2.2 Đạo hàm theo hướng vector gradient .62 3.3 PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM 64 3.3.1 Đạo hàm riêng cấp cao 67 3.3.2 Mặt phẳng tiếp xúc xấp xỉ tuyến tính .65 3.3.3 Vi phân hàm nhiều biến .67 3.3.4 Quy tắc tính đạo hàm riêng hàm hợp hàm ẩn 67 3.3.5 Giá trị cực đại giá trị cực tiểu 69 3.3.6 Nhân tử Lagrange - Cực trị có điều kiện .71 3.3.7 Đạo hàm theo hướng cực đại 73 3.3.8 Ý nghĩa vector gradient 73 3.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN- MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐN HỌC 75 3.4.1 Mô hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc hai đại lượng 75 3.4.2 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc hai (ba) đại lượng với điều kiện ràng buộc 76 3.4.3 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc 80 3.5 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 81 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 83 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tên bảng Nồng độ CO2 khơng khí Quả bóng rơi theo thời gian Số liệu dân số giới Bảng giá trị lân cận Giới hạn đến vô Trang 11 12 13 19 22 DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Tên Hình Biểu đồ máy hàm f Biểu đồ vector Biểu diễn Container Tiêu chuẩn đường thẳng đứng Tính đối xứng hàm chẵn Tính đối xứng hàm lẻ Tính đơn điệu hàm số Mơ hình tốn học Hàm hợp Đồ thị hàm mũ Đồ thị hàm logarit Hình thành khái niệm giới hạn f(x) liên tục a f(x) không liên tục x =1, 3, Định lý giá trị trung gian Đồ thị hàm hai biến Đường mức Một số đường mức đồ thị tương ứng Mặt mức đồ thị hàm ba biến Minh họa định nghĩa giới hạn hàm hai biến Giới hạn dần theo hướng khác Tiếp tuyến đường cong Bài toán vận tốc Cực trị hàm số Minh họa định lý Fecma Xấp xỉ nghiệm phương trình Mơ hình tốn tối ưu Mơ hình quan hệ đại lượng biến thiên Mơ hình tìm đại lượng theo điều kiện ràng buộc Sơ đồ phương pháp dạy học đạo hàm hàm số biến số Sự thay đổi hàm nhiều biến theo hướng vector đơn vị Mặt cong tham số Minh họa dz số gia z Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng Cực trị địa phương Trang 5 8 9 10 15 16 18 19 25 25 26 27 28 29 30 31 31 33 34 43 44 46 48 51 52 59 61 67 68 70 71 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 Cực trị với điều kiện ràng buộc Cực trị với hai điều kiện ràng buộc Ý nghĩa Vector Gradient Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc vào hai đại lượng Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc vào hai (ba) đại lượng với điều kiện ràng buộc Khu Phicnic Khối hộp Mô hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc Sơ đồ phương pháp dạy học đạo hàm hàm nhiều biến 73 74 75 76 78 78 79 81 82 71 ) với (x,y) thuộc S Khi S trùng với tập xác định f cực đại (cực tiểu) địa phương gọi cực đại (cực tiểu ) tồn cục Hình 3.5 Cực trị địa phương Các điểm cực đại, cực tiểu địa phương gọi chung cực trị địa phương, cực trị Điều kiện cần cực trị: Nếu f có cực trị địa phương M có đạo hàm riêng M đạo hàm riêng không Định nghĩa 3.8 Điểm M nằm miền xác định f gọi điểm dừng hàm f đạo hàm riêng tồn không, đạo hàm riêng không tồn Chú ý: Từ điều kiện cần cực trị, ta xây dựng bước sau để tìm cực trị hàm * Các bước tìm cực trị hàm hai biến Giả sử f(x,y) hàm khả vi tập xác định D B1 Tìm điểm dừng( điểm nghi ngờ) nghiệm hệ � �f x ( x, y )  � �f y ( x, y )  +) Nếu hệ vô nghiệm, hàm số khơng có cực trị D +) Nếu hệ có nghiệm (x0,y0), sang B2 72 B2 Tính �2 f �2 f �2 f A  ( x0 , y0 ), B  ( x0 , y0 ), C  ( x0 , y0 ) ,   AC  B � x �� x y � y +)  > 0, A > 0: f đạt cực tiểu (x0,y0) +)  > 0, A < 0: f đạt cực đại (x0,y0) +)  < 0: f khơng có cực trị (x 0,y0).( điểm (x0,y0) gọi điểm yên ngựa) +)  = 0: Khơng có kết luận Ví dụ : Tìm cực trị hàm số f ( x, y )  x  xy  y  y  x Giải : Tập điểm dừng có nghiệm hệ � ' �x  � f  x  y   �x � �� �' �f y  x  y   �y  � �1 � Vậy f có điểm dừng � , � Ta có A = 2, B = 1, C = 2, Do �3 � �1 � �1 �    Vậy f(x,y) đạt cực tiểu � , �với giá trị cực tiểu f � , �  �3 � �3 � b Giá trị lớn giá trị bé Định lý 3.2 Nếu f hàm liên tục tập đóng, bị chặn D R f đạt giá trị lớn nhất, bé điểm D Các bước tìm giá trị lớn nhất, bé hàm hai biến f liên tục tập đóng bị chặn (i)Tìm điểm tới hạn f D (ii)Tìm giá trị lớn nhỏ hàm f biên D dựa vào (i), (ii) suy giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị lớn (nhỏ nhất) (i) (ii) 3.3.6 Nhân tử Lagrange - Cực trị có điều kiện 73 a Cực trị với điều kiện ràng buộc *Phương pháp bội Lagrange: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f(x,y) với điều kiện ràng buộc g(x,y) = k Hình 3.6 Cực trị với điều kiện ràng buộc i)Tìm tất điểm (x,y) giá trị (được gọi bội Lagrange) thoả mãn hệ ii)Tính giá trị f tất điểm tìm (i), Giá trị lớn giá trị lớn giá trị tìm được, giá trị nhỏ giá trị nhỏ giá trị tìm *Tương tự việc tìm giá trị lớn nhỏ hàm ba biến f(x,y,z)với điều kiện ràng buộc g(x,y,z) = k i)Tìm tất điểm (x,y,z) giá trị (được gọi bội Lagrange) thoả mãn hệ ii)Tính giá trị f tất điểm tìm (i), Giá trị lớn giá trị lớn giá trị tìm được, giá trị nhỏ giá trị nhỏ giá trị tìm 74 b Cực trị với hai điều kiện ràng buộc Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm ba biến f(x,y,z) với hai điều kiện ràng buộc g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c Hình 3.7 Cực trị với hai điều kiện ràng buộc i)Tìm tất điểm (x,y,z) giá trị (được gọi bội Lagrange) thoả mãn hệ ii)Tính giá trị f tất điểm tìm (i), Giá trị lớn giá trị lớn giá trị tìm được, giá trị nhỏ giá trị nhỏ giá trị tìm 3.3.7 Đạo hàm theo hướng cực đại Cho f hàm có đạo hàm theo hướng điểm, hướng lấy đạo hàm ta có tốc độ thay đổi hàm f, ta cần tìm hướng f có tỉ lệ biế thiên cực đại Định lý 3.3 Cho f hàm khả vi, giá trị lớn đạo hàm theo hướng Du f | �f ( x, y ) | xuất u hướng với vector gradient f điểm 3.3.8 Ý nghĩa vector gradient 75 Cho S mặt mức hàm ba biến F(x,y,z) = k,là P( x0 , y0 , z0 ) điểm S C đường cong nằm S qua P Đường cong C mô tả hàm vector liên tục r(t) = Cho t tham số hoá điểm P, r (t0 ) ( x0 , y0 , z0 ) Đường cong C nằm S, F(x(t),y(t),z(t)) = k (3.3.8) Nếu F, x, y, z hàm khả vi từ (3.3.8) suy hay t = t0 Phương trình vector gradient F ( x0 , y0 , z0 ) vng góc với vector phương r'(t0) đường cong C nằm S qua P Hình 3.8 Ý nghĩa Vector Gradient 76 Vậy F ( x0 , y0 , z0 ) 0 mặt phẳng tiếp xúc mặt mức S điểm P mặt phẳng qua P nhận vector F ( x0 , y0 , z0 ) làm pháp vector, phương trình mặt phẳng tiếp xúc có dạng: Đường thẳng pháp S P đường thẳng qua P nhận F ( x0 , y0 , z0 ) làm vector phương: 3.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN- MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐN HỌC 3.4.1 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc hai đại lượng Xây dựng hàm số cho Tìm phương án tối ưu đại lượng Mơ hình hóa theo hai biến phụ thuộc vào hai đại lượng Kiểm thử Phương án đại lượng cần tìm max Tìm Max(Min) hàm số Đưa tối ưu Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Hình 3.9 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc vào hai đại lượng Ví dụ: Một quầy tạp hố huyện nơng thơn nhỏ có bán hai loại nước táo, loại thứ mua với giá 30 cent thùng loại thứ hai mua với giá 40 cent thùng Người chủ tạp hố ước tính loại thứ bán với giá x cent thùng loại thứ hai bán với giá y cent thùng, ngày bán xấp xỉ 70 - 5x +4y thùng loại thứ 77 80 + 6x -7y thùng loại thứ hai Hỏi chủ tạp hoá nên bán hai loại nước táo với giá để lợi nhuận hàng ngày lớn từ việc bán loại nước táo? Giải: Ta có Tổng lợi nhuận = (lợi nhuận bán loại thứ nhất) + (lợi nhuận bán loại thứ hai) Suy lợi nhuận hàng ngày từ việc bán hai loại nước táo cho hàm Tính đạo hàm riêng f x  10 x  10 y  20 f y  10 x  14 y  240 10 x  10 y  20  x  y  � � �x  53 � � �� 10 x  14 y  240  x  y  120 � � �y  55 Giải hệ � Suy (53, 55) điểm tới hạn f Tiếp theo áp dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai Ta có f xx  10 Suy : f yy  14 D(53,55)  40  f xy  10 f xx (53,55)  10  Do f có cực đại (tương đối) x = 53 y = 55 Tức là, để lợi nhuận hàng ngày lớn người chủ tạp hoá nên bán loại thứ với giá 53 cent/thùng loại thứ hai với giá 55 cent/thùng 3.4.2 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc hai (ba) đại lượng với điều kiện ràng buộc Tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc vào hai (ba) đại lượng với điều kiện ràng buộc Mơ hình hóa Tìm Max(min) HS với điều kiện ràng buộc Kiểm thử Phương án tối ưu Xây dựng hàm số cho đại lượng cần tìm max theo hai (ba) biến Đưa Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 78 Hình 3.10 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc vào hai (ba) đại lượng với điều kiện ràng buộc Ví dụ 1: Một vùng đất dọc đường quốc lộ dự định xây khu giải trí cho người lái xe mơ tơ dọc theo đường quốc lộ Người ta dự định xây hình chữ nhật với diện tích 5,000 m rào xung quanh ba phía trừ phía bên quốc lộ Hỏi lượng rào thỏa mãn yêu cầu? Giải: Hình 3.11 Khu Phicnic Kí hiệu bên khu giải trí hình giả sử f kí hiệu lượng rào yêu cầu Do đó, Mục tiêu tìm giá trị nhỏ f thỏa mãnràng buộc khu phải có diện tích 5,000 m2; tức là, thỏa mãn ràng buộc xy = 5000 Đặt g(x, y) = xy tính đạo hàm riêng fx  fy  gx  y g y  x 79 Ta có ba phương trình Lagrange: 1 y  x xy  5000 Từ phương trình thứ thứ hai ta được:  y  x (vì y �0 x �0) Suy  y x x  2y Thay x = 2y vào phương trình Largange thứ ba ta y  5000 � y  �50 Thay y = 50 vào phương trình x = 2y ta x = 100 Do x = 100 y = 50 giá trị mà hàm f(x, y) = x + 2y đạt giá trị nhỏ thỏa mãn ràng buộc xy = 5,000, Nghĩa là, diện tích khu giải trí tối ưu rộng 100 mét (dọc theo quốc lộ), theo hướng quốc lộ 50 mét, lượng rào yêu cầu 100 + 50 + 50 = 200 mét Ví dụ 2: Một hộp trang sức làm từ nguyên liệu có chi phí 1$/cm2 cho phần dưới, 2$/cm2 cho phần bên, 5$/cm cho phần Nếu tổng thể tích 96 cm3 Hỏi kích thước hộp để tổng chi phí làm hộp bé nhất? Hình 3.12 Khối hộp Giải: Giả sử hộp có chiều cao x, chiều rộng y, chiều dài z, hình bên Thể tích hộp V = xyz tổng chi phí làm hộp là: 80 Dưới bên Ta cần tìm (x, y, z) để C = 6yz + 4xy + 4xz nhỏ thỏa V = xyz = 96 Giải phương trình Largange C x  Vx � y  z   ( yz ) C y  Vy � z  x   ( xz ) C z  Vz � y  x   ( xy ) Và xyz = 96 Giải phương trình ba phương trình theo  , ta Bằng cách nhân chéo phương trình , ta Có thể đơn giản cách khử số hạng xyz từ vế phương trình Và sau chia hai vế phương trình đầu cho z 2, phương trình thứ hai cho y2, phương trình thứ ba cho x2 ta 4x  y 4x  6z y  4z hay yz x Cuối cùng, thay biểu thức vào phương trình ràng buộc xyz = 96, ta 81 suy x = Do Vậy tổng chi phí bé hộp trang sức có chiều cao cm với đáy hình vng, có cạnh cm 3.4.3 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc Tìm phương án tối ưu đại Mơ hình hóa Xây dựng hàm số cho đại lượng phụ thuộc vào ba đại lượng cần tìm max lượng với hai điều kiện ràng theo ba biến buộc Kiểm thử Phương án Tìm Max(min) HS với hai điều kiện ràng buộc Đưa tối ưu Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Hình 3.13 Mơ hình tìm phương án tối ưu đại lượng phụ thuộc ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc Ví dụ: Một hộp hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 1500 cm2 tổng độ dài cạnh 200 cm kích thước cạnh để thể tích khối hộp lớn nhất? Giải Gọi kích thước ba cạnh lần lược x , y , z Thể tích khối hộp: f(x,y,z) = xyz Ta có : 82 2( xy  yz  xz )  1500 �g ( x, y, z )  xy  yz  xz  750 � �� � 4( x  y  z )  200 h( x, y, z )  x  y  z  50 � � Giải hệ �f   �g  �h � � �g ( x, y, z )  750 �h( x, y, z )  50 � Ta � 50  50 50  50 x y ,z  � 3 � � 50  50 50  50 x y ,z  � 3 � So sánh giá trị V điểm, hộp tích lớn x y 50  50 50  50 ,z  3 3.5 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài toán độ dốc mặt cong Khái niệm đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng Kiến thức đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng Ứng dụng đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng-Một số mơ hình tốn học Hình 3.14 Sơ đồ phương pháp dạy học đạo hàm hàm nhiều biến số 83 Từ kiến thức trình trên, ta đưa phương pháp dạy học đạo hàm hàm nhiều biến số sau: Chỉ cho người học thấy nguồn gốc đạo hàm hàm nhiều biến xuất phát từ tốn tìm độ dốc mặt cong, để giải mơ hình hóa thành khái niệm đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng hình thành kiến thức đạo hàm nhiều biến số Dựa kiến thức đạo hàm hàm nhiều biến số, ta giải tốn đặt hình thành số mơ hình tốn học giải vấn đề thực tế Vậy đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến khái niệm toán học bắt nguồn từ yêu cầu thực tế việc dạy học đạo hàm hàm nhiều biến để phục vụ cho sống thực tế Trong ứng dụng thực tế có liên quan đến đạo hàm hàm nhiều biến số, ta dạy cho học sinh giải toán sở vận dụng mơ hình tốn học tương ứng Vậy việc dạy học đạo hàm theo phương pháp giúp người học nhìn thấy tranh toàn cảnh đạo hàm hàm nhiều biến, nắm cách thức dựa vào mơ hình tốn học giải vấn đề thực tế đặt ra, giúp người học rèn luyện lực tư duy, mô hình hóa 84 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Đề tài sâu nghiên cứu sâu kiến thức đạo hàm, nguồn gốc ứng dụng đạo hàm hàm biến số Nghiên cứu nguồn gốc, kiến thức , ứng dụng đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến Đề tài khái quát khái niệm hàm số, hàm nhiều biến, giới hạn, liên tục, đồ thị hàm biến, hàm nhiều biến Đề tài trình bày chi tiết mơ hình tốn học, đưa mơ hình tốn học thường gặp cách vận dụng giải vấn đề thực tế Dựa tảng kiến thức đạo hàm, mơ hình tốn học, đề tài tiếp tục xây dựng số mơ hình tốn học vận dụng kiến thức đạo hàm, hình thành phương pháp dạy học đạo hàm hàm số dựa mơ hình tốn học Với thời gian hạn chế vậy, khơng thể nghiên cứu tồn lý thuyết đạo hàm mà giải vài khía cạnh vấn đề Việc xây dựng mơ hình tốn học chưa bao quát tất vấn đề liên quan đến đạo hàm Việc xây dựng phương pháp chưa hồn thiện ngun nhân thân thiếu kinh nghiệm mặt phương pháp luận, việc nghiên cứu phương pháp dạy học mơn tốn Chúng ta phát triển đề tài theo ba hướng sau:  Nghiên cứu phát triển thêm số mơ hình toán học dựa kiến thức đạo hàm  Tiếp tục nghiên cứu phương pháp dạy học tích phân dựa mơ hình tốn học  Tiếp tục xây dựng ứng dụng đạo hàm vào thực tế sống 85 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Nguyễn Đình Trí(2006), Giáo trình Tốn cao cấp 1, 2, 3, Nhà xuất Giáo dục [3] Lê Công Triêm(2002), Một số vấn đề PPDH đại học, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [4] Alfio Quarteroni, Mathematical models in Science and Engineering, Internet [5] James Stewart(2008), Calculus, McMaster University ... pháp dạy học đạo hàm hàm số biến số dựa mơ hình tốn học Nguồn gốc, khái niệm, kiến thức đạo hàm hàm số biến số, số mơ hình tốn học ứng dụng đạo hàm hàm biến số, xây dựng phương pháp dạy học đạo hàm. .. hàm hàm số biến số dựa mơ hình tốn học Chương Phương pháp dạy học đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến dựa mô hình tốn học Nguồn gốc, khái niệm, kiến thức đạo hàm hàm nhiều biến, số. .. đạo hàm từ hình thành phương pháp dạy học đạo hàm hàm số dựa mơ hình tốn học 2 Nhiệm vụ:  Tìm hiểu lý thuyết hàm số biến số, giới hạn, đạo hàm hàm số biến số  Tìm hiểu lý thuyết hàm nhiều biến,