GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN có lời giải

GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN _ I Giá trị riêng vector riêng ma trận – Chéo hóa ma trận: Tìm giá trị riêng vector riêng ma trận: Ví dụ: Cho ma trận A a) Xác định đa thức đặc trưng A b) Xác định giá trị riêng i A c) Xác định chiều sở không gian vectơ riêng E A ( i ) d) Xác định sở S gồm vectơ riêng A Giải a) Đa thức đặc trưng PA (t ) A PA (t )  t  tr( A)t  det A  t  8t  15 b) Các giá trị riêng  i A nghiệm phương trình đặc trưng f A (t )  Phương trình đặc trưng f A (t )  có nghiệm 3, Vậy 1    giá trị riêng ma trận A c) Với 1  Các véc tơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng 1  nghiệm không tầm thường hệ phương trình tuyến tính  x1  x2   x a   4 x1  x2   x2  2a Vậy không gian véc tơ riêng EA (3) A ứng với giá trị riêng 1  E A (3)  {(a, 2a) | a  }  {a(1, 2) | a  }  (1, 2) Vậy dim EA(3) 1 {(1, 2)} sở EA (3) * Với   Các véc tơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng   nghiệm khơng tầm thường hệ phương trình tuyến tính  x1  x2   x a   4 x1  x2   x2  a Vậy không gian véc tơ riêng EA (5) A ứng với giá trị riêng   E A (5)  {(a, a) | a  }  {a(1, 1) | a  }  (1, 1) Vậy dim EA(5) 1 {(1, 1)} sở EA (5) d) Đặt S  {(1, 2),(1, 1)} gồm véc tơ riêng A độc lập tuyến tính S sở Bài tập: 1) Cho ma trận A 4 3 a) Xác định đa thức đặc trưng A b) Xác định giá trị riêng i A c) Xác định chiều sở không gian vectơ riêng E A ( i ) d) Xác định sở S gồm vectơ riêng A Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự ví dụ 1 2) Cho ma trận A 1 1 1 1 a) Xác định đa thức đặc trưng fA(t ) A b) Xác định giá trị riêng i A c) Xác định chiều sở không gian vectơ riêng E A ( i ) d) Xác định sở S gồm vectơ riêng A Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự ví dụ Đa thức đặc trưng PA (t ) A 1 t 1 1 t 1 PA (t )  det( A  tI )   (t  1) (t  1)(t  3) 1 1 t 1 1 t Chứng minh tính chất giá trị riêng vector riêng: 1) Cho  giá trị riêng A  M n ( K ) ,   K k  Chứng minh a)  giá trị riêng ma trận  A Do b)  k giá trị riêng ma trận Ak c)    giá trị riêng ma trận A   I d) f ( ) giá trị riêng ma trận đa thức f ( A) Hướng dẫn: a) Do  giá trị riêng A  M n ( K ) nên tồn v  K n cho Av  v  A v   ( Av)  v    v Vậy  giá trị riêng ma trận  A b) Ta có Ak v  Ak 1  Av   Ak 1  v    Ak 1 (v)    k v Vậy  k giá trị riêng ma trận Ak c) Ta có ( A   I )v  Av   Iv  v   v  (   )v Vậy    giá trị riêng ma trận A   I n n n d) Giả sử f (t )   t  K [t ] Khi đó, f ( )    , f ( A)  Ai i i i 1 i 1   n n  i 1 i 1 i 1   Và f ( A)v    Ai  v    Ai v      i v      i  v  f ( )v n  i 1 n  i 1  Vậy f ( ) giá trị riêng f (A) Sinh viên cho ví dụ minh họa cho kết 2) Cho  giá trị riêng A  M n ( K ) Chứng minh a) Nếu A khả nghịch  1 giá trị riêng ma trận A1 b) Nếu A khả nghịch    1 giá trị riêng ma trận A  A1 Hướng dẫn : a) Vì A khả nghịch nên   Ta có, A1v   1 A1   v    1 A1 Av   1v Vậy Nếu A khả nghịch  1 giá trị riêng ma trận A1 b) Vì A khả nghịch nên A1v   1v Khi đó, ta có ( A  A1 )v  Av  A1v  v   1v  (   1 )v Nếu A khả nghịch    1 giá trị riêng ma trận A  A1 Sinh viên tìm ví dụ minh họa cho kết 3) Cho A ma trận vuông cấp n K 1 , 2 ,, n giá trị riêng Chứng minh det A  12 n Hướng dẫn: Do 1 , 2 ,, n giá trị riêng A nên 1 , 2 ,, n nghiệm đa thức đặc trưng f A (t ) Do đó, f A (t )  det( A   I )  (1)n (t  1 )(t  2 ) (t  n ) Lấy t = 0, ta có: det A  f A (0)  (1)n (0  1 )(0  2 ) (0  n )  12 n Sinh viên tìm ví dụ minh họa cho kết 4) Cho A ma trận vuông cấp n K 1 , 2 ,, n giá trị riêng Chứng minh a) det( A)   n12 b) det Ak  1k 2k n nk c) det( A   I )  (1   )(2   ) d) det f ( A)  f (1 ) f (2 ) (n   ) f (n ) Hướng dẫn: a) Do 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên 1 ,  ,,  n giá trị riêng ma trận A Do det(A)  (1 )( ) ( n )   n1 n Sinh viên cho ví dụ minh họa b) Do 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên 1k ,  k2 ,,  kn giá trị riêng ma trận Ak Do det Ak  1k  2k  kn c) Do 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên 1  ,   , n   giá trị riêng ma trận A  I Do det( A  I )  (1  )(  ) ( n  ) d) Do 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên f (1 ), f ( ),, f ( n ) giá trị riêng ma trận f ( A) Do det f ( A)  f (1 ) f ( ) f ( n ) Sinh viên cho ví dụ minh họa 5) Cho A ma trận vuông cấp n K 1 , 2 ,, n giá trị riêng Chứng minh a) Nếu A khả nghịch det A1  1121 n1 b) Nếu A khả nghịch det( A  A1 )  (1  11 )(2  21 ) (n  n1 ) c) Nếu   K khơng giá trị riêng A ma trận A   I khả nghịch n 1 det( A   I )   i 1 i   Hướng dẫn: a) Do 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên 11 ,  21 ,,  n1 giá trị riêng ma trận A1 Do det A1  11 21  n1 b) Do 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên 1  11 ,    21 ,,  n   n1 giá trị riêng ma trận A  A1 Do det( A  A1 )  (1  11 )(   21 ) ( n   n1 ) c) Do  không giá trị riêng A nên định thức ma trận A  I khác Vậy A  I khả nghịch Theo giả thiết 1 ,  ,,  n giá trị riêng A nên 1  ,   ,,  n   giá trị riêng ma trận A  I (1  )1 ,(  ) 1 ,,( n  ) 1 giá trị riêng ( A  I )1 n n i 1 i 1 Vậy det( A  I ) 1   ( i  ) 1   i   Sinh viên cho ví dụ minh họa Chéo hóa ma trận: Cách chéo hóa ma trận: Cho A ma trận vng cấp n Để chéo hóa ma trận A ta làm sau: Tìm giá trị riêng vector riêng độc lập tuyến tính A, cách tìm đa thức đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm giá trị riêng sau ứng với giá trị riêng tìm vector riêng Khi xảy hai khả sau: TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính A bé n kết luận A khơng chéo hóa TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính A n kết luận A chéo hóa Khi ma trận P cần tìm ma trận mà cột vector riêng độc lập tuyến tính A viết theo cột 1     1  ma trận chéo  giá trị riêng A ứng với P AP   i   0   n  vector riêng vector cột thứ i ma trận P Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau: 0 1  A  1  1  Hướng dẫn:  Đa thức đặc trưng ma trận A là: PA ( )   1 PA ( )     3      1,   Vậy ma trận A có hai giá trị riêng   1,   Ứng với   1 , giải hệ pt: 1 1  1 1      1 1   0 0  1 1  0 0  1    3    x1  t2  t3  Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]  x2  t2  x  t   3 Không gian riêng ứng với giá trị riêng   1 E (1)  {(t2  t3 , t2 , t3 ) | t2 , t3  } Cơ sở E(-1) gồm hai vector 1  (1,1, 0);  (1, 0,1) Ứng với giá trị riêng   , để tìm vector riêng ta giải hệ pt: 2 1   1 2  1 2  1 2           2    2   0 3   0 3   1 2   2 1  0 3  0 0  Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số  x1  t   x2  t x  t   Do đó, khơng gian riêng A ứng với giá trị riêng   E (2)  (t , t , t ) | t  } Cơ sở E (2) gồm vector 3  (1,1,1) Nhận xét: Các vector 1 ,  ,  độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa Khi đó, tồn ma trận khả nghịch P cho P 1 AP  D với D ma trận chéo  1 1 1  1 0  P   1 D   1   1  0  Bài tập:  3 Cho ma trận A  0 3 Hỏi ma trận A có chéo hóa khơng? Tìm ma trận C 0 3 làm chéo hóa A (nếu có) Hướng dẫn: SV Làm tương tự ví dụ Cho A, B P ma trận cho A  PBP 1 Chứng minh Ak  PB k P 1 với k Hướng dẫn: Sử dụng tính chất Ak  PBP1.PBP 1 PBP 1 (k lần) P.P 1  I Sinh viên cho ví dụ minh họa  3 Cho ma trận A     1 a) Xác định đa thức đặc trưng giá trị riêng A b) Xác định sở không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ A chéo hóa Tìm ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D cho A  PDP 1 d) Tính Ak với số nguyên dương k Hướng dẫn: Các câu a); b); c) làm tương tự ví dụ tài liệu Câu d) áp dụng tính chất 2.(Tức A  PDP 1 Ak  PD k P 1 ) 2 1 Cho ma trận A  1   2  a) Xác định đa thức đặc trưng giá trị riêng A b) Xác định sở không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ A chéo hóa Tìm ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D cho A  PDP 1 d) Tính Ak với số nguyên dương k Hướng dẫn: Làm tương tự  3 12  3  2 Cho ma trận A    , u1  1 , u2  1  Chứng minh u1 , u2 vector riêng    2    A Hãy tìm ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D để A  PDP 1 Hướng dẫn: Để chứng minh u1 , u2 vector riêng A cần tìm giá trị 1 ; 2 cho Au1  1u; Au2  2u Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng diag (1 , 2 ) Cho ma trận vuông cấp A có giá trị riêng 5, 3, -2 Giả sử không gian vector riêng ứng với giá trị riêng   có chiều Hỏi ma trận A có chéo hóa khơng? Hướng dẫn: Dựa vào điều kiện chéo hóa ma trận Hãy xác định đa thức đặc trưng sở không gian vector riêng ma trận sau Trong số ma trận sau ma trận chéo hóa được, tìm ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D cho A  PDP 1 2 7 a)   7 2  3  4    1 1 b)  1   1 0 c)  1  1 1 1  1 0  1  4 4     2   2     3 0 1  1  1 0  3    1   2 2 4   12    2 4     4 10  1 1 1  1  1 0 Xác định đa thức đặc trưng ma trận sau a a b 1 b   A    a c  B   c  b c   d b c a d d a c b d  c  b   a Chéo hóa ma trận sau (nếu được) 3 1 1    5 1 0 5   16  7 2 8    2 2 5 0 1  1  1  1 2   3     3  4 2 2 2    2   3  1    3 0  0  0 1 1 1  1  1 0 10 Cho ma trận A trường số thực 9 2  0  2 sau 7 9 1 8 4  A 0 6   1  0 a) Tính det A b) Tính det( A   I ) với   c) Tính det f ( A) biết f ( x)  x n  x  Hướng dẫn: a) Đa thức đặc trưng A : (t  5)2 (t  6)(t  7) Giá trị riêng 5, 6, detA= 5.5.6.7 = 1050 b) Đa thức det( A   I )  (5   )(5   )(6   )(7   )  (5   )2 (6   )(7   ) c) det f ( A)  f (5) f (5) f (6) f (7)  (5n  24)2 (6n  35)(7n  48) 1 1 11 Chéo hoá ma trận A     1 1 2   4 13) Chéo hoá ma trận A    1 1 0 14) Chéo hóa ma trận A   1  1 1  1 7 15) Cho ma trận A   2 8   4 16 a) Chéo hoá ma trận A 1 5  12  1  0  1 b) Hãy tính luỹ thừa ma trận An  1 7 16) Cho ma trận A   2 8   4 16 5  12  a) Hãy tính đa thức ma trận f ( A) , f (t )  t n  t  1 [t ] b) Hãy tìm ma trận B trường số thực cho B2  A 0 17) Cho ma trận A 0 a) Chéo hóa A 0 b) Đặt 0 Tính lim n a22 (n ) a 32 (n ) n a11(n ) a12 (n ) a13 (n ) a21(n ) a22 (n ) a23 (n ) a 31(n ) a 32 (n ) a 33 (n ) 3 S aij (n ) i i Hướng dẫn: 2 0 Đặt A    Tính An cách chéo hố ma trận A   * Đa thức đặc trưng f A (t ) ma trận A f A (t )  (t  2)(3  t ) Giải phương trình đặc trưng f A (t )  , ta nhận nghiệm phân biệt 2,3 Do giá trị riêng phân biệt ma trận A t  2,3 * Với t  , ta có E A (2)  (1,0,0),(0,0,1) sở S1  {v1  (1,0,0), v2  (0,0,1)} Với t  , ta có E A (1)  (0,1,1) sở S2  {v3  (0,1,1)} * Do S  S1  S2  S3  {v1 , v2 , v3} nên ma trận A chéo hoá D  P 1 AP , ma trận khả nghịch P với cột véc tơ riêng v1 , v2 , v3 ma trận đường chéo D với phần tử đường chéo 2,2,3 tương ứng với véc tơ riêng v1 , v2 , v3 1 0   0   P  [v1 v2 v3 ]  0  D  diag(2, 2,3)  0  0 1   0 3 A  PD P n n 1 1 0    0   0 1    2n  0 3n  3n  2n  0  1    0 1  0 0  0 2n  0   a22 (n) 3n  lim n  n  a ( n) n   n 32 a) Ta có a22 (n)  3n , a32 (n)  3n  2n lim 3 b) Ta có S   aij (n)  2n  3n  3n  2n  2n  2n  2·3n i 1 i 1 II Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm sở khơng gian vector V để ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở ma trận chéo Ví dụ: Cho T tốn tử tuyến tính xác định T ( x1 , x2 , x3 )  (2 x1  x2  3x , 4 x1  x2  3x3 ,3x1  3x2  x3 ) Hãy xác định giá trị riêng vector riêng T Giải Ma trận toán tử tuyến tính sở tắc là: 2 3 A   4 6 3  3  Đa thức đặc trưng ma trận A f A (t )  t  3t   (t 1)(t  2)2 Giải phương trình đặc trưng f A (t )  ta nghiệm t = t = Vậy ma trận A có hai giá trị riêng   1;   2 Khi tìm sở không gian riêng E A (1) E A (1) ta được: 1  1   Cơ sở E A (1) u1   1 sở EA (2) u2        Vậy f khơng chéo hóa Chú ý: Để nghiên cứu phép biến đổi tuyến tính f : V  V , ta quy việc nghiên cứu ma trận f Từ dẫn đến việc cần tìm sở để ma trận f sở ma trận chéo Để tìm sở ta thực sau: - Đầu tiên ta tìm vector riêng độc lập tuyến tính f - Nếu f có n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) khơng có sở f để ma trận f sở ma trận chéo - Nếu f có n vector riêng độc lập tuyến tính n vector riêng làm thành sở B V mà ma trận A f sở B ma trận chéo Cụ thể: Cho ma trận cấp 2, A, đa thức đặc trưng cho phương trình Số (a+d) gọi vết A (denoted tr(A)), rõ ràng số (ad-bc) định thức A Nên đa thức đặc trưng A viết lại sau Cho giá trị ma trận B = A2 - tr(A) A + det(A) I2 Ta có Ta dẫn đến Nói cách khác, ta có Phương trình gọi định lí Cayley-Hamilton Nó cho ma trận vng có cấp tùy ý đa thức đặc trưng A Ta có số tính chất giá trị riêng ma trận Định lí Cho A ma trận vng cấp n Nếu giá trị riêng A, thì: giá trị riêng Am, với Nếu A khả nghịch, giá trị riêng A-1 A không khả nghịch giá trị riêng A Nếu số tùy ý, giá trị riêng Nếu A B đồng dạng nhau, then they have chúng có đa thức đặc trưng (điều đãn đến có giá trị riêng) Câu hỏi tự nhiên tìm vectơ riêng Trong phần thảo luận vấn đề tìm vectơ riêng Tính vectơ riêng Co ma trận A vng cấp n Ta phải có giá trị riêng X vectơ riêng A ứng với Đây hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số Bởi vectơ alf nghiệm, hệ có nghiệm Thật vậy, ta đề cập trang khác ccấu trúc nghiệm hệ phong phú Trong phanà ta thảo luận vần đề có tìm nghiệme Nhận xét Khá dễ dàng để thấy X vectơ thỏa mãn , vectơ Y = c X (cho số c tùy ý) thỏa mãn phương trình Nói cách khác, ta biết X vectơ riêng, cX vectơ tương ứng với vectơ riêng Chúng ta bắt đầu với ví dụ Ví dụ Xét ma trận Trước hết ta tìm giá trị riêng A Chúng nghiệm đa thức đặc trưng Suy Nếu ta khai triên định thức theo cột thứ ba, ta Sử dụng biến đổi đại số, ta có dẫn đến giá trị rieneg A 0, -4, Tiếp theo ta tìm vectơ riêng Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng cho hệ phương trình tuyến tính điều viết lại Có nhiều cách để giải hệ phương trình Phương trình thứ ba đồng với phương trình đầu Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = Nên hệ tương đương với Do vectơ X cho Vì vậy, giá trị riêng X A tương ứng với giá trị riêng cho c số tùy ý Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng cho hệ điều viết lại Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải Tước hết ta xét ma trận bổ sung , Ta sử dụng phép biến đỏi dòng để nhận ma trận chéo Chuyển đổi dòng cho ta Tiếp, ta lấy dòng đầu nhân với cộng vào dòng thứ hai, nhân với cộng vào dòng ba Thu Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta Cuối cùng, trừ dòng thứ hai cho dòng thứ ba Tiếp, ta đặt z = c Từ dòng thứ hai, nhận y = 2z = 2c dòng đầu nhạn x = 2y+3z = -c Do Vì thế, vectơ riêng X A tương ứng với giá trị riêng -4 cho c só Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc Sử dụng mô tả tương tự trên, vectơ riêng X of A tương ứng với cho c số Nhận xét Tổng quát, giá trị riêng ma trận tất nghiệm phân biệt phương trình đặc trưng Ví dụ Xét ma trận Phương trình đặc trưng A cho Do giá trị riêng A -1 Với giá trị riêng 8, dễ thấy vectơ riêng X cho c số tùy ý Ta tập trung vào giá trị riêng -1 Vectơ riêng tương ứng cho hệ điều viết lại Rõ ràng, phương trình thứ ba hai tương đương với phương trình đầu Nói cách khác hệ này, hệ tương đương với mọt phương trình 2x+y + 2z= ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước tìm số thứ ba Ví dụ, ta ðặt ta cho Do đó, vectơ riêng X A tương ứng với giá trị riêng -1 , Nói cách khác, với vectơ riêng X A ứng với giá trị riêng -1 tôe hợp tuyến tính hai vectơ Ví dụ Xét ma trận Phương trình đặc trưng cho Do ma trận A có giá trị riêng -3 Ta tìm vectơ riêng tương ứng Chúng cho hệ phương trình tuyến tính viết lại sau Hệ tương đương với mọt phương trình hệ x - y = Nên đặt x = c, vectơ riêng X A tương ứng với giá trị riêng -3 cho Tổng kết lại ví dụ Tóm tắt: Cho A ma trận vuông cấp n Giả sử riêng tương ứng, ta làm bước sau: giá trị riêng A Để tìm vectơ Viết hệ phương trình tương ứng Giải hệ phương trình Viết lại vectơ X dạng tổ hợp tuyến tính vectơ đữ biết Trong ví dụ trên, giả sử giá trị riêng số thực Tổng quát, this is not the case except for symmetric matrices.Chứng minh điều phức tập, dễ dàng với ma trận vuông cấp Xét ma trận vuông đối xứng Phương trình đặc trưng Đây phương trình bậc hai Nghiệm phụ thuộc vào dấu định thức Biến đổi đại số ta Do đó, số dương, suy giá trị riêng A nững số thực Nhận xét Chú ý ma trận A có giá trị riêng, nghiệm kép phương trình, Nhưng điều a=c b=0 Nói cách khác, Ta có A = a I2 Phần thảo luận giá trị riêng phức TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC Trước tiên, ta chứng tỏ tồn ma trận với giá trị riêng phức Ví dụ Hãy xét ma trận Phương trình đặc trưng cho Phương trình bậc hai có nghiệm phức cho Vì ma trận có giá trị riêng phức Bí xem giá trị riêng phức số thực Nghĩa xem số làm tính tốn bình thường cho vectơ riêng Ta xem tính tốn Với , vectơ riêng tương ứng cho hệ phương trình tuyến tính tính A X = (1+2i) X Có thể viết lại sau Thực ra, hai phương trình đồng (2+2i)(2-2i) = Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống phương trình (1-i)x - y = Đặt x=c, y=(1-i)c Do đó, ta có c số tùy ý Nhận xét Rõ ràng mong đợi có phần tử phức vectơ riêng Chúng ta thấy (1-2i) giá trị riêng ma trận Vì phần tử ma trận A số thực, ta dễ dàng giá trị riêng phức liên hợp giá trị riêng Hơn nữa, X vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng , vector , có từ X thay số phức liên hợp phần tử X, vectơ riêng ứng với giá trị riêng Vì vậy, vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng (1-2i) cho c số tùy ý Chúng ta tóm tắt lại làm ví dụ Tóm tắt: Cho A ma trận vuông Giả sử giá trị riêng phức A Để tìm vectơ riêng tương ứng, ta làm theo bước sau đây: Viết hệ phương trình tuyến tính tương ứng Giải hệ phương trình Các phần tử X số phức Viết lại vectơ X tổ hợp tuyến tính vectơ chưa biết với phần tử số phức Nếu A có phần tử số thực số phức liên hợp giá trị riêng Các vectơ riêng tương ứng cho phương trình tương ứng, tìm thấy 3, ta lấy liên hợp phần tử vectơ tổ hợp tuyền tính lại Nói chung, ma trận vuông với phần tử số thực có giá trị riêng phức Điều bình thường Ta đặt câu hỏi liệu có tồn lớp ma trận có giá trị riêng thực Điều với ma trận đối xứng Chứng minh kỹ thuật trình bày trang khác Nhưng ma trận vuông cấp 2, chứng minh dễ Chúng ta trình bày Xét ma trận vng đối xứng Phương trình đặc trưng cho Đây phương trình bậc hai Nghiệm (là giá trị riêng A) phụ thuộc vào dấu hiệu biệt thức  Sử dụng thao tác đại số, ta có Vì  số dương nên ta suy giá trị riêng A số thực Nhận xét Lưu ý ma trận A có giá trị riêng, tức phương trình đặc trưng có nghiệm kép, Nhưng điều xảy a = c b = Nói cách khác, ta có A = a I2 Chéo hóa Ma trận Khi giới thiệu giá trị riêng vectơ riêng , ta đặt câu hỏi ma trận vng đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước ma trận vng A, có tồn ma trận chéo D cho ? (tức có tồn ma trận P -1 khả nghịch cho A = P DP) Nói chung, số ma trận khơng tương tự ma trận đường chéo Ví dụ, ta xét ma trận Giả sử tồn ma trận chéo D cho A = P-1DP Ta có tức đồng dạng với Vì vậy, chúng có phương trình đặc trưng Do A D có giá trị riêng Vì giá trị riêng D số đường chéo, giá trị riêng A 2, nên ta phải có Như ta có, A = P-1DP = I2, Điều vô lý Do đó, A khơng đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa Một ma trận chéo hóa đồng dạng với ma trận chéo Nhận xét Ở mục trước, ta thấy ma trận có ba giá trị riêng khác Và ta chưng minh A chéo hóa Trong thực tế, có kết chung dọc theo dòng Định lý Cho A ma trận vng cấp n Giả sử A có n giá trị riêng phân biệt Khi A chéo hóa Hơn nữa, P ma trận với cột C1, C2, , Cn n vectơ riêng A, ma trận P-1AP ma trận chéo Nói cách khác, ma trận A chéo hóa Bài tốn: Điều xảy với ma trận vng cấp n có ít n giá trị riêng? Chúng ta có câu trả lời phần cho toán Định lý Cho A ma trận vuông cấp n Để biết liệu A có chéo hóa khơng, làm bước sau: Ghi lại đa thức đặc trưng Phân tích thành nhân tử p( ) Trong bước này, ta có đó, i , i = 1, …, k , số thực số phức Với i, lũy thừa ni gọi số bội (đại số) giá trị riêng i Với giá trị riêng, tìm vectơ riêng tương ứng Chẳng hạn, với giá trị riêng i, vectơ riêng tương ứng cho hệ phương trình tuyến tính Sau giải hệ trên, ta tìm vectơ X chưa biết dạng tổ hợp tuyến tính vectơ, tức , đó, j , j = 1, …, mi số tùy ý Số nguyên mi gọi số bội hình học i Nếu với giá trị riêng số bội đại số số bội hình học, ta có điều suy ta đặt vectơ riêng Cj, tìm 3., cho tất giá trị riêng, ta có n vectơ Đặt P ma trận vuông cấp n mà cột vectơ riêng Cj Khi P khả nghịch ma trận chéo với phần tử đường chéo giá trị riêng A Vị trí vectơ Cj P đồng với vị trí giá trị riêng tương ứng đường chéo D Điều suy A đồng dạng với D Vì vậy, A chéo hóa Nhận xét Nếu số bội đại số ni giá trị riêng i 1, rõ ràng có mi = Nói cách khác, ni = mi Nếu có giá trị riêng mà số bội đại số khơng số bội hình học, A khơng chéo hóa Ví dụ Ta xét ma trận Để biết liệu A có chéo hóa khơng, thực theo bước Đa thức đặc trưng A Như vậy, -1 giá trị riêng với số bội -2 giá trị riêng với số bội Để biết liệu A có chéo hóa khơng, ta quan tâm đến giá trị riêng -1 Thật vậy, vectơ riêng tương ứng vơi giá trị riêng -1, cho hệ Hệ giảm xuống phương trình -y + z = Đặt ta có y =  , Vì số bội hình học -1 số bội đại số Vì vậy, ma trận A chéo hóa Để tìm P ma trận, cần phải tìm vectơ riêng ứng vơi giá trị riêng -2 Hệ phương trình tương ứng giảm xuống thành hệ Đặt , ta có Đặt Nhưng ta đặt Chúng ta thấy A B đồng dạng, An biểu diễn dễ dàng qua Bn Thật vậy, ta có A = P-1BP, ta có An = P-1BnP Đặc biệt, D ma trận chéo Dn dễ dàng tính Đây ứng dụng chéo hóa ma trận Trong thực tế, bước giải sử dụng để tìm bậc hai bậc ba ma trận Thật vậy, xét ma trận Đặt Do A = P D P-1 Đặt Khi ta có B3 = A Nói cách khác, B bậc ba A ... giá trị riêng vector riêng: 1) Cho  giá trị riêng A  M n ( K ) ,   K k  Chứng minh a)  giá trị riêng ma trận  A Do b)  k giá trị riêng ma trận Ak c)    giá trị riêng ma trận A... ta làm sau: Tìm giá trị riêng vector riêng độc lập tuyến tính A, cách tìm đa thức đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm giá trị riêng sau ứng với giá trị riêng tìm vector riêng Khi xảy hai... ma trận đường chéo D có dạng diag (1 , 2 ) Cho ma trận vng cấp A có giá trị riêng 5, 3, -2 Giả sử không gian vector riêng ứng với giá trị riêng   có chiều Hỏi ma trận A có chéo hóa khơng?