Sở Giáo dục và đào tạo Hải Dơng Đề thi chính thức Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 06 tháng 07 năm 2009 (buổi chiều) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu I: (2,0 điểm) 1. Giải phơng trình: 2(x - 1) = 3 - x 2. Giải hệ phơng trình: 2 2 3 9 y x x y = = Câu II: (2,0 điểm) 1. Cho hàm số y = f(x) = 2 1 2 x . Tính f(0); f(2); f( 1 2 ); f( 2 ) 2. Cho phơng trình (ẩn x): x 2 - 2(m + 1)x + m 2 - 1 = 0. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 2 +x 2 2 = x 1 .x 2 + 8. Câu III: (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: A = 1 1 1 : 1 2 1 x x x x x x ữ + + + + Với x > 0 và x 1. 2. Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đờng AB dài là 300km. Câu IV(3,0 điểm) Cho đờng tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ Ab lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN (KAN). 1. Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn. 2. Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK. 3. Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất. Câu V:(1,0 điểm) Cho x, y thoả mãn: 3 3 2 2x y y x+ = + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x 2 + 2xy 2y 2 +2y +10. ----------------Hết------------------ Gợi ý lời giải: E K H M N B A O Câu I: 1. x = 5 3 2. 3 1 x y = = Câu II: 1. f(0) = 0; f(2) = -2 ; f(1/2) = -1/8 ; f(- 2 )=-1. 2. = 8m+8 0 m -1. Theo Viét ta có: 1 2 2 1 2 2 2 . 1 x x m x x m + = + = Mà theo đề bài ta có: x 1 2 + x 2 2 = x 1 .x 2 + 8 (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 .x 2 = x 1 .x 2 + 8 m 2 + 8m -1 = 0 m 1 = - 4 + 17 (thoả mãn) m 2 = - 4 - 17 (không thoả mãn đk) Câu III: 1. A = 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 : . ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x x x x x + = = + + + 2. Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x (km/h) (x>10) => Vận tốc ô tô thứ hai là x-10(km/h) Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng là: 300 x (h) Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đờng là: 300 10x (h) Theo bài ra ta có phơng trình: 300 300 1 10x x = Giải phơng trình trên ta đợc nghiệm là x 1 = -50 (không thoả mãn) x 2 = 60 (thoả mãn) Vậy vận tốc xe thứ nhất là 60km/h, xe thứ hai là 50 km/h. Câu IV: 1. Tứ giác AHMK nội tiếp đờng tròn đờng kính AM( vì ã ã 0 90AKM AHM= = ) 2. Vì tứ giác AHMK nội tiếp nên ã ã KMH HAN= (cùng bù với góc KAH) Mà ã ã NAH NMB= (nội tiếp cùng chắn cung NB) => ã ã KMN NMB= => MN là tia phân giác của góc KMB. 3. Ta có tứ giác AMBN nội tiếp => ã ã KAM MBN= => ã ã ã MBN KHM EHN= = => tứ giác MHEB nội tiếp => ã ã MNE HBN= =>HBN đồng dạng EMN (g-g) => HB BN ME MN = => ME.BN = HB. MN (1) Ta có AHN đồng dạng MKN ( Hai tam giác vuông có góc ANM chung ) => AH AN MK MN = => MK.AN = AH.MN (2) Từ (1) và (2) ta có: MK.AN + ME.BN = MN.AH + MN.HB = MN(HB+AH) = MN.AB. Do AB không đổi, nên MK.AN + ME.BN lớn nhất khi MN lớn nhất => MN là đờng kính của đ- ờng tròn tâm O.=> M là điểm chính giữa cung AB. Câu V: Từ 3 3 2 2x y y x+ = + => 3 3 2 2x y y x+ + = (1) ĐK: x,y -2 Xét các trờng hợp sau: Nếu x>y -2 => x 3 >y 3 => VP= y 3 - x 3 <0 Mặt khác ta có:x>y -2 => x+2>y+2 0 => 2 2 2 2 0x y x y+ > + => + + > => không tồn tại x,y thỏa mãn (1). Tơng tự : Nếu y>x -2 => VP>0, VT<0 => không tồn tại x,y thỏa mãn (1). Vậy x=y thay vào B = x 2 + 2xy - 2y 2 +2y +10 => B = x 2 +2x + 10 =(x+1) 2 +9 9 => Min B =9 x=y=-1 Cỏch 2 K: 2; 2x y T 3 3 2 2x y y x + = + x 3 - y 3 + 2x + - 2y + =0 (x-y)(x 2 + xy + y 2 ) + 2 2 x y x y + + + = 0 (x-y)( x 2 + xy + y 2 + 1 2 2x y + + + ) = 0 x = y ( do x 2 + xy + y 2 + 1 2 2x y + + + = 2 2 3 ( ) 2 4 y y x + + + 1 2 2x y + + + > 0 2; 2x y ) Khi ú B = x 2 + 2x + 10 = (x+1) 2 + 9 9 Min B = 9 x = y = -1 (tha món K). Vy Min B = 9 x = y = -1. Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Hải Dơng Đề thi chính thức Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 08 tháng 07 năm 2009 (buổi chiều) (Đề thi gồm có: 01 trang) Cõu 1(2.0 im): 1) Gii phng trỡnh: x 1 x 1 1 2 4 + + = 2) Gii h phng trỡnh: x 2y x y 5 = = Cõu 2:(2.0 im ) a) Rỳt gn biu thc: A = 2( x 2) x x 4 x 2 + + vi x 0 v x 4. b) Mt hỡnh ch nht cú chiu di hn chiu rng 2 cm v din tớch ca nú l 15 cm 2 . Tớnh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht ú. Cõu 3: (2,0 im) Cho phng trỡnh: x 2 - 2x + (m 3) = 0 (n x) a) Gii phng trỡnh vi m = 3. b) Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 v tha món iu kin: x 1 2 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 c) Cõu 4:(3 im) Cho tam giỏc MNP cõn ti M cú cnh ỏy nh hn cnh bờn, ni tip ng trũn ( O;R). Tip tuyn ti N v P ca ng trũn ln lt ct tia MP v tia MN ti E v D. a) Chng minh: NE 2 = EP.EM b) Chng minh t giỏc DEPN k t giỏc ni tip. c) Qua P k ng thng vuụng gúc vi MN ct ng trũn (O) ti K ( K khụng trựng vi P). Chng minh rng: MN 2 + NK 2 = 4R 2 . Cõu 5:(1,0 im) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: A = 2 6 4x x 1 + -----------Ht---------- Giải Câu I. a, x 1 x 1 1 2(x 1) 4 x 1 x 1 2 4 − + + = ⇔ − + = + ⇔ = − Vậy tập nghiệm của phương trình S= { } 1− b, x 2y x 2y x 10 x y 5 2y y 5 y 5 = = = ⇔ ⇔ − = − = = Vậy nghiệm của hệ (x;y) =(10;5) Câu II. a, với x ≥ 0 và x ≠ 4. Ta có: 2( 2) 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) 1 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2) x x x x x x x A x x x x x x x − − + − − + = + = = = − + + − + − + b, Gọi chiều rộng của HCN là x (cm); x > 0 ⇒ Chiều dài của HCN là : x + 2 (cm) Theo bài ra ta có PT: x(x+2) = 15 . Giải ra tìm được :x 1 = -5 ( loại ); x 2 = 3 ( thỏa mãn ) . Vậy chiều rộng HCN là : 3 cm , chiều dài HCN là: 5 cm. Câu III. a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x 2 - 2x ( 2) 0x x ⇔ − = ⇒ x = 0 hoặc x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình S= { } 0;2 b, Để PT có nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thì ' 0 4 0 4 (*)m m∆ > => − > => < . Theo Vi-et : 1 2 1 2 2 (1) 3 (2) x x x x m + = = − Theo bài: x 2 1 - 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 => x 1 (x 1 + x 2 ) -2x 2 =-12 ⇒ 2x 1 - 2x 2 = -12 ) ( Theo (1) ) hay x 1 - x 2 = -6 . Kết hợp (1) ⇒ x 1 = -2 ; x 2 = 4 Thay vào (2) được : m - 3 = -8 ⇒ m = -5 ( TM (*) ) Câu IV . a, ∆ NEM đồng dạng ∆ PEN ( g-g) 2 . NE ME NE ME PE EP NE => = => = b, · · MNP MPN= ( do tam giác MNP cân tại M ) · · · ( ùng )PNE NPD c NMP = = => · · DNE DPE = . Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DE và cùng nhìn DE dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác DNPE nội tiếp . H E D F I P O N K M c, ∆ MPF đồng dạng ∆ MIP ( g - g ) 2 . (1) MP MI MP MF MI MF MP => = => = . ∆ MNI đồng dạng ∆ NIF ( g-g ) 2 IF .IF(2) NI NI MI MI NI => = => = Từ (1) và (2) : MP 2 + NI 2 = MI.( MF + IF ) = MI 2 = 4R 2 ( 3). · · NMI KPN= ( cùng phụ · HNP ) => · · KPN NPI= => NK = NI ( 4 ) Do tam giác MNP cân tại M => MN = MP ( 5) Từ (3) (4) (5) suy ra đpcm . Câu V . 2 2 6 8 x 8 6 0 (1) 1 x k k x k x − = <=> + + − = + +) k=0 . Phương trình (1) có dạng 8x-6=0 x= 2 3 +) k ≠ 0 thì (1) phải có nghiệm ' ∆ = 16 - k (k - 6) ≥ 0 2 8k <=> − ≤ ≤ . Max k = 8 ⇔ x = 1 2 − . Min k = -2 ⇔ x = 2 . . tô thứ nhất là x (km /h) (x>10) => Vận tốc ô tô thứ hai là x-10(km /h) Thời gian ô tô thứ nhất đi h t quãng đờng là: 300 x (h) Thời gian ô tô thứ hai. Với x > 0 và x 1. 2. Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh h n ô tô thứ hai mỗi giờ 10km nên đến B sớm h n ô tô thứ hai 1 giờ.