Chuyên đề 6: Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất A- Tóm tắt kiến thức cơ bản I. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định với x D. Nếu có hằng số M sao cho: = MxfDx DxMxf )(: ,)( 00 thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) Kí hiệu: M = max f(x). Nếu có hằng số m sao cho: = mxfDx Dxmxf )(: ,)( 00 thì m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) Kí hiệu: m = min f(x) Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số 1) Dùng tính chất AA . Dấu = xãy ra 0 A . Ta có: + A 0. Dấu = xãy ra khi A = 0 + yx + x + y . Dấu = xãy ra khi xy 0 + yx x - y . Dấu = xãy ra khi x = y 2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 và g(x) > 0. + Cho f(x) = A + )(xg B Khi đó: * f(x) lớn nhất g(x) nhỏ nhất * f(x) nhỏ nhất g(x) lớn nhất. + Cho f(x) = A - )(xg B . Khi đó: * f(x) lớn nhất g(x) lớn nhất * f(x) nhỏ nhất g(x) nhỏ nhất. 3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn Ta có [ ] F(x) 2n 0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n N Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho: + y = M - [ ] g(x) 2n , n Z+ y M Do đó y max = M g(x) = 0 1 + y = m + [ ] h(x) 2k , k Z+ y M Do đó y min = m h(x) = 0 4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết + Luỹ thừa bậc chẳn: A 2k 0 với mọi k Z+, dấu = xãy ra A = 0 + Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm Với a,b 0, ta có 2 ba + ab . Dấu = xãy ra a=b + Bất đẳng thức Bunhiacốpski Với các số a,b,c,d ta có: (ac + bd) 2 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) Dấu = xãy ra ad bc = 0 5) Dựa vào tập giá trị của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Nếu phơng trình y = f(x) có nghiệm thuộc D a y b thì min f(x) = a và max f(x) = b B- bài tập áp dụng Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) A = 3,7 + x 3,4 b) B = 4,83 + x - 14,2 c) C = 34 x + 5,75 + y + 17,5 Giải a) Vì x 3,4 0 với x, do đó A 3,7 với x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3,7 khi x 3,4 = 0 hay x = 4,3 b) Vì 4,83 + x 0 với x, do đó B -14,2 với x Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -14,2 khi 4,83 + x = 0 hay x = - 2,8 c) Vì 34 x 0 với x và 5,75 + y 0 với y 34 x + 5,75 + y 0 với x, y C 17,5 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi 34 x = 0 và 5,75 + y = 0 hay x= 0,75 và y = -1,5 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) D = 5,5 - 5,12 x b) E = - x32,10 - 14 c) F = 4 - 25 x - 123 + y Giải a) Vì 5,12 x 0 với x nên D = 5,5 - 5,12 x 5,5 với x Vậy giá trị lớn nhất của D là 5,5 khi 5,12 x = 0 hay x = 0,75 b) Vì x32,10 0 với x nên E = - x32,10 - 14 = -14 - x32,10 -14 với x. Vậy giá trị lớn nhất của E là -14 khi x32,10 = 0 hay x = 3,4 c) Ta có F = 4 - 25 x - 123 + y = 4 - [ 25 x + 123 + y ] Vì 25 x + 123 + y 0 với x,y nên F 4 với x,y 2 Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi 25 x + 123 + y = 0 =+ = 0123 025 y x = = 4 4,0 y x Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2002 x + 2001 x Giải Ta có M = 2002 x + 2001 x = 2002 x + x 2001 xx + 20012002 =1 (áp dụng tính chất yx + x + y ) Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x 2002 và 2001 x cùng dấu nhĩa là 2001 x 2002 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A= (x-3) 2 + (y-1) 2 + 5 b) B = 3 x + x 2 + y 2 + 1 c) C = 100 x + (x - y) 2 +100 Giải a) Ta có (x-3) 2 0 với x (y-1) 2 0 với y (x-3) 2 + (y-1) 2 0 với x,y A = (x-3) 2 + (y-1) 2 +5 5 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi = = 0)1( 0)3( 2 2 y x = = 1 3 y x b) Ta có 3 x 0 với x; x 2 0 với x; y 2 0 với y 3 x + x 2 + y 2 0 với x, y 3 x + x 2 + y 2 + 1 1 với x, y Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất là 1 nếu = = = 0 0 03 2 2 y x x = = = 0 0 3 y x x không tồn tại x thoả mãn. Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất. c) Ta có 100 x 0 với x; (x - y) 2 0 với x, y 100 x +(x - y) 2 0 với x, y 100 x +(x - y) 2 + 100 100 với x, y Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi = = 0)( 0100 2 yx x = = yx x 100 3 x = y = 100 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: a) A = 100 (y 2 25) 4 b) B = - 125 (x 4) 2 (y - 5) 2 Giải a) Vì (y 2 25) 4 0 với y nên 100 (y 2 25) 4 100 với y Vậy giá trị lớn lớn nhất của biểu thức A là 100 khi (y 2 25) 4 = 0 y 2 25 = 0 y = 5 b) Ta có B = -125 {(x - 4) 2 + (y 5) 2 }. Vì (x - 4) 2 0 với x , (y 5) 2 0 với y nên B -125 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -125 khi = = 0)5( 0)4( 2 2 y x = = 5 4 y x Bài 6: a) Tìm các số nguyên để biểu thức A = 1 x + 2 x đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 10 - 3 5 x đạt giá trị lớn nhất c) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức C = -15 - 42 x - 93 + y đạt giá trị lớn nhất Giải a) Xét các trờng hợp sau: + Nếu x < 1 thì A = 1 x + 2 x = 3 2x. Do x < 1 vì thế A = 3 2x > 3 2 = 1 (*) + Nếu 1 x 2 thì A = x 1 + 2 x = 1 (**) + Nế x > 2 thì A = x 1 + x 2 = 2x 3 > 4 3 = 1 (***) Từ (*), (**) và (***) suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 1 1 x 2 Vì x Z nên x = 1; 2 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2 b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi và chỉ khi x = 5 c) Giá trị lớn nhất của C là -15 khi và chỉ khi x = 2; y = -3 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 + 2xy + y 2 2x + 2y + 1 Giải Ta có thể viết A = (x + y + 1) 2 + (x 2) 2 4 - 4 A min = - 4 = =++ 0)2( 0)1( 2 2 x yx = = 3 2( y x 4 Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = x 6 + 2 + x Giải Điều kiện: 6 x 0, x + 2 0 -2 x 6 Ta có y 2 = ( x 6 + 2 + x ) 2 , y > 0 Chọn a = 1, c = x 6 , b = 1 , d = 2 + x áp dụng bất đẳng thức (ac + bd) 2 (a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) Ta có y 2 (1 + 1) ( 6 x + x + 2) = 2.8 = 16 y 4 - 4 y 4 Do y > 0 nên ta có 0 y 4 Vậy y max = 4 Bài 8: Cho y = 1 4 2 + x x . Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó. Giải Ta có a 2 + b 2 2ab nên suy ra x 4 + 1 = (x 2 ) 2 + 1 2 2x 2 1 1 2 4 2 + x x = 2y Xét 1 2 4 2 + x x = 1 x 4 2x 2 + 1 = 0 (x 2 - 1) 2 = 0 x 2 = 1 x = 1 Do đó x = 1 thì y max = 2 1 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x 20 5x 4 + 9 Giải Ta có y = (x 20 x 4 ) 4(x 4 1) + 5 = x 4 (x 16 1) 4(x 4 1) + 5 = x 4 {(x 4 ) 4 1} 4(x 4 1) + 5 = (x 4 1)(x 16 + x 12 + x 8 + x 4 4) + 5 Với x 1 thì x 16 x 12 x 8 x 4 1 x 4 1 0 và x 16 + x 12 + x 8 + x 4 4 0 y 5 Với x < 1 thì x 16 < x 12 < x 8 < x 4 < 1 x 4 1 0 nên x 16 + x 12 + x 8 + x 4 4 nên y > 5 Do đó y min = 1 khi x = 1 c. Bài tập về nhà Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức A = 41 + xx B = xx + 8 Bài 2: Với giá trị nào nguyên của x thì biểu thức D = x x 4 14 có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó? Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 A = 5 – 3(2x – 1) 2 ; B = 3)1(2 1 2 +− x ; C = 2 8 2 2 + + x x Bµi 4: T×m gi¸ trÞ cña n ∈ N ®Ó ph©n sè 32 87 − − n n ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Híng dÉn Bµi 1: T¬ng tù bµi 4a Bµi 2: D = 1 + x − 4 10 ⇒ D max ⇔ 4 – x ®¹t gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt Bµi 3: max A = 5; max B = 3 1 ; max C = 4 6 . và 5 ,75 + y 0 với y 34 x + 5 ,75 + y 0 với x, y C 17, 5 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17, 5 khi 34 x = 0 và 5 ,75 + y = 0 hay x= 0 ,75 và. 3 ,7 + x 3,4 b) B = 4,83 + x - 14,2 c) C = 34 x + 5 ,75 + y + 17, 5 Giải a) Vì x 3,4 0 với x, do đó A 3 ,7 với x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 ,7 khi