Chuyên đề 6:Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất A- Tóm tắt kiến thức cơ bản I... Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất... Xác định giá trị đó.
Trang 1Chuyên đề 6:
Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất
A- Tóm tắt kiến thức cơ bản
I Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định với x D
Nếu có hằng số M sao cho:
M x
f D x
D x M x f
) ( : , ) (
0 0
thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x)
Kí hiệu: M = max f(x)
Nếu có hằng số m sao cho:
m x
f D x
D x m x f
) ( : , ) (
0 0
thì m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x)
Kí hiệu: m = min f(x)
Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa
II Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số
1) Dùng tính chất A A Dấu “=” xãy ra A 0
Ta có:
+ A 0 Dấu “=” xãy ra khi A = 0
+ x y x + y Dấu “=” xãy ra khi xy0
+ x y x - y Dấu “=” xãy ra khi x = y
2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 và g(x) > 0
+ Cho f(x) = A +
)
(x
g B
Khi đó: * f(x) lớn nhất g(x) nhỏ nhất
* f(x) nhỏ nhất g(x) lớn nhất
+ Cho f(x) = A -
)
(x
g
B
Khi đó: * f(x) lớn nhất g(x) lớn nhất
* f(x) nhỏ nhất g(x) nhỏ nhất
3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn
Ta có F(x) 2n
0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n N
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho: + y = M - g(x) 2n , n Z+ y M
Do đó y max = M g(x) = 0
+ y = m + h(x) 2k , k Z+ y M
Do đó ymin = m h(x) = 0
4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết
+ Luỹ thừa bậc chẳn:
A2k 0 với mọi k Z+, dấu “=” xãy ra A = 0
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm
Với a,b 0, ta có
2
b
a
ab Dấu “=” xãy ra a=b + Bất đẳng thức Bunhiacốpski
Với các số a,b,c,d ta có: (ac + bd)2 (a2 + b2) (c2 + d2)
Dấu “=” xãy ra ad – bc = 0
5) Dựa vào tập giá trị của hàm số
Trang 2Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
Nếu phơng trình y = f(x) có nghiệm thuộc D a y b thì min f(x) = a và max f(x) = b
B- bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) A = 3,7 + 4 , 3 x
b) B = 3x 8 , 4 - 14,2
c) C = 4x 3 +5y 7 , 5 + 17,5
Giải
a) Vì 4 , 3 x 0 với x, do đó A 3,7 với x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3,7 khi 4 , 3 x = 0 hay x = 4,3
b) Vì 3x 8 , 4 0 với x, do đó B -14,2 với x
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -14,2 khi 3x 8 , 4 = 0 hay x = - 2,8
c) Vì 4x 3 0 với x và 5y 7 , 5 0 với y
4x 3 +5y 7 , 5 0 với x, y C 17,5 với x,y
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi 4x 3 = 0 và 5y 7 , 5 = 0
hay x= 0,75 và y = -1,5
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) D = 5,5 - 2x 1 , 5
b) E = - 10 , 2 3x - 14
c) F = 4 - 5x 2 - 3y 12
Giải
a) Vì 2x 1 , 5 0 với x nên D = 5,5 - 2x 1 , 5 5,5 với x
Vậy giá trị lớn nhất của D là 5,5 khi 2x 1 , 5 = 0 hay x = 0,75
b) Vì 10 , 2 3x 0 với x nên E = - 10 , 2 3x - 14 = -14 - 10 , 2 3x
-14
với x
Vậy giá trị lớn nhất của E là -14 khi 10 , 2 3x = 0 hay x = 3,4
c) Ta có F = 4 - 5x 2 - 3y 12 = 4 - [ 5x 2 + 3y 12 ]
Vì 5x 2 + 3y 12 0 với x,y nên F 4 với x,y
Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi 5x 2 + 3y 12 = 0
0 12 3
0 2 5
y x
4 4 , 0
y
x
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = x 2002 + x 2001
Giải
Ta có
M = x 2002 + x 2001 = x 2002 + 2001 x x 2002 2001 x =1 (áp dụng tính chất x y x + y )
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x – 2002 và 2001 – x cùng dấu nhĩa là
2001 x 2002
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A= (x-3)2 + (y-1)2 + 5
b) B = x 3 + x2 + y2 + 1
c) C = x 100 + (x - y)2 +100
Giải
a) Ta có (x-3)2 0 với x
(y-1)2 0 với y
(x-3)2 + (y-1)2 0 với x,y
A = (x-3)2 + (y-1)2 +5 5 với x,y
Trang 3Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi (y 1 ) 2 0 y 1
b) Ta có x 3 0 với x; x2 0 với x; y2 0 với y
x 3 + x2 + y2
0 với x, y x 3 + x2 + y2 + 1 1 với x, y
Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất là 1 nếu
0 0 3
2
y x
0 3
y
x
không tồn tại x thoả mãn
Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất
c) Ta có x 100 0 với x; (x - y)2
0 với x, y
x 100 +(x - y)2
0 với x, y x 100 +(x - y)2 + 100 100 với x, y
Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi
0 )
(
0 100
2
y x x
y x
x = y = 100
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
a) A = 100 – (y2 – 25)4
b) B = - 125 – (x – 4)2 – (y - 5)2
Giải
a) Vì (y2 – 25)4
0 với y nên 100 – (y2 – 25)4
100 với y Vậy giá trị lớn lớn nhất của biểu thức A là 100 khi (y2 – 25)4 = 0 y2 – 25 = 0
y = 5
b) Ta có B = -125 – {(x - 4)2 + (y – 5)2}
Vì (x - 4)2 0 với x , (y – 5)2 0 với y nên B -125 với x,y
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -125 khi
0 ) 5 (
0 ) 4 (
2 2
y x
5 4
y x
Bài 6:
a) Tìm các số nguyên để biểu thức
A = x 1+ x 2 đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm giá trị của x để biểu thức
B = 10 - 3 x 5 đạt giá trị lớn nhất c) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức
C = -15 - 2x 4 - 3y 9 đạt giá trị lớn nhất
Giải
a) Xét các trờng hợp sau:
+ Nếu x < 1 thì A = 1 – x + 2 – x = 3 – 2x Do x < 1
vì thế A = 3 – 2x > 3 – 2 = 1 (*)
+ Nếu 1 x 2 thì A = x – 1 + 2 – x = 1 (**)
+ Nế x > 2 thì A = x – 1 + x – 2 = 2x – 3 > 4 – 3 = 1 (***)
Từ (*), (**) và (***) suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 1 1 x 2
Vì x Z nên x = 1; 2
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2
b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi và chỉ khi x = 5
c) Giá trị lớn nhất của C là -15 khi và chỉ khi x = 2; y = -3
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 1
Giải
Ta có thể viết A = (x + y + 1)2 + (x – 2)2 – 4 - 4
A min = - 4
0 ) 2 (
0 ) 1 (
2 2
x y x
3 2 (
y x
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
y = 6 x + x 2
Trang 4Điều kiện: 6 – x 0, x + 2 0 -2 x 6
Ta có y2 = ( 6 x + x 2)2 , y > 0
Chọn a = 1, c = 6 x, b = 1 , d = x 2
áp dụng bất đẳng thức (ac + bd)2 (a2 + b2) ( c2 + d2)
Ta có y2
(1 + 1) ( 6 – x + x + 2) = 2.8 = 16
y 4 - 4 y 4
Do y > 0 nên ta có 0 y 4
Vậy y max = 4
Bài 8: Cho y =
1
4 2
x
x
Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất Xác định giá trị đó
Giải
Ta có a2 + b2
2ab nên suy ra x4 + 1 = (x2)2 + 12
2x2
1
1
2
4
2
x
x = 2y
Xét
1
2
4
2
x
x = 1
x4 – 2x2 + 1 = 0 (x2 - 1)2 = 0 x2 = 1 x = 1
Do đó x = 1 thì y max =
2 1
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x20 – 5x4 + 9
Giải
Ta có y = (x20 – x4) – 4(x4 – 1) + 5 = x4(x16 – 1) – 4(x4 – 1) + 5
= x4{(x4)4 – 1} – 4(x4 – 1) + 5 = (x4 – 1)(x16 + x12 + x8 + x4 – 4) + 5 Với x 1 thì x16
x12
x8
x4
1
x4 – 1 0 và x16 + x12 + x8 + x4 – 4 0 y 5
Với x < 1 thì x16 < x12 < x8 < x4 < 1
x4 – 1 0 nên x16 + x12 + x8 + x4 – 4 nên y > 5
Do đó y min = 1 khi x = 1
c Bài tập về nhà
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
A = x 1 x 4
B = x 8 x
Bài 2: Với giá trị nào nguyên của x thì biểu thức D =
x
x
4
14
có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó?
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 5 – 3(2x – 1)2; B =
3 ) 1 ( 2
1
2
2
8
2 2
x x
Bài 4: Tìm giá trị của n N để phân số
3 2
8 7
n
n
đạt giá trị lớn nhất
Hớng dẫn
Bài 1: Tơng tự bài 4a
Bài 2: D = 1 +
x
4 10
Dmax 4 – x đạt giá trị nguyên nhỏ nhất
Trang 5Bµi 3: max A = 5; max B =
3 1
; max C = 4