13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6

13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 13 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6

NÂNG CAO PHÁT TRIỂN & BỒI DƯỠNG HSG THEO CHUYÊN ĐỀ 13 chun đề MƠN TỐN LỚP ******* CHUN ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ CỦNG CỐ VỀ SỐ TỰ NHIÊN Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích  DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó: a b c d e Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < Tập hợp C số tự nhiên x mà x – = x + Tập hợp D số tự nhiên x mà x : = x : Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bài 2: Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó: a Tập hợp A số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị b Tập hợp B số tự nhiên có ba chữ số mà tổng chữ số Bài 3: Cho tập hợp: A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5} Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài 4: Cho tập hợp: A = {1; 2; 3; 4} a Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b Viết tập hợp A Bồi dưỡng HSG Toán mạng  DẠNG 2: ĐẾM Bài 1: Trong số tự nhiên từ đến 100, có số: a Chia hết cho mà không chia hết cho 3? b Chia hết cho hai số 3? c Không chia hết cho không chia hết cho 3? Bài 2: Trong số tự nhiên từ đến 1000, có số: a Chia hết cho số 2, 3, 5? b Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Tốn, 60 học sinh thích Văn a Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? b Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? c Có học sinh khơng thích hai mơn Văn Tốn? Bài 4: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? Bài 5: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5? Bài 6: Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên phải dùng tất 1998 chữ số a Hỏi sách có trang? b Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Bài 7: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: a b c d Chứa chữ số 4? Chứa hai chữ số 4? Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? Chia hết cho 3, khơng chứa chữ số 3? Bài 8: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên A a b c d Số A có chữ số? Tính tổng chữ số số A? Chữ số viết lần? Chứ số viết lần? Bồi dưỡng HSG Toán mạng Bài 9: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất số tự nhiên mà chữ số có mặt lần Tính tổng số  DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có viết thêm chữ số vào đằng trước số Bài 2: Tìm số tự nhiên có tận 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Bài 3: Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 Bài 4: Hiệu hai số Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Bài 5: Tìm hai số, biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng Bài 6: Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích Bài 7: Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng cột nên tích 30524 Tìm số bị nhân? Bài 8: Tìm thương phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư không đổi? Bài 9: Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta thương dư Nếu xóa chữ số số bị chia xoát chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ  DẠNG 1: TẬP HỢP TRÊN SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó: Bồi dưỡng HSG Tốn mạng a) Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = x=8:2=4  A ={4} b) Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < x x ≥ 35 Có 35 học sinh thích hai môn Văn Tốn Bài 4: Có số tự nhiên chia hết cho gồm bốn chữ số, chữ số tận 2? HƯỚNG DẪN: Các số phải đếm có dạng Chữ số a có cách chọn Với cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn Với cách chọn a, b chữ số c có cách chọn (1, 3, 5, 7, 9) để tạo với chữ số tận làm thành số chia hết cho Tất có: 10 = 450 số Bài 5: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5? HƯỚNG DẪN: Chia loại số: Bồi dưỡng HSG Toán mạng - Số đếm có dạng : : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn số thuộc loại có: 9.9 = 81 số - Số đếm có dạng : chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách chọn số thuộc loại có : 8.9 = 72 số - Số đếm có dạng : số thuộc loại có: 8.9 = 72 số Vậy số số tự nhiên có ba chữ số có chữ số là: 81 + 72 +72 = 225 số Bài 6: Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên phải dùng tất 1998 chữ số a) Hỏi sách có trang? Ta có : Từ trang đến trang phải dùng chữ số ( viết tắt c/s ) Từ trang 10 đến trang 99 phải dùng (99-10)+1=90 số có c/s = 180 c/s Vì trang gồm số có c/s Còn lại: 1998 - (180 +9 ) = 1809 c/s đánh dấu trang có c/s Có: 1809:3=603 số có c/s Vậy: Cuốn sánh có : 603 + 99 =702 ( từ trang 1->99 có 99 trang ) Cuốn sách có 702 trang b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào? Chữ số thứ 1010 chữ số 374 Bài 7: Trong số tự nhiên có ba chữ số, có số: a) Chứa chữ số 4? Các số phải đếm có dạng: có 9.9 = 81 số có 8.9 = 72 số có 8.9 = 72 số Tất có: 81 +72 +72 = 225 số b) Chứa hai chữ số 4? Các số phải đếm gồm dạng: , , , có 26 số c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? Bồi dưỡng HSG Toán mạng Số có ba chữ số, chia hết cho gồm 180 số số khơng chứa chữ số có dạng , a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn (là 0) gồm 8.9 = 72 số Vậy có: 180 – 72 = 108 số phải đếm d) Chia hết cho 3, khơng chứa chữ số 3? Số phải tìm có dạng , a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn ( a + b = 3k c = 0; 3; 6; 9, a + b = 3k + c = 2; 5; Nếu a + b = 3k + c = 1; 4; 7), có 8.9.3 = 216 số Bài 8: Viết dãy số tự nhiên từ đến 999 ta số tự nhiên A HƯỚNG DẪN: a) Số A có chữ số? Từ đến có số gồm: 1.9 = chữ số Từ 10 đến 99 có 90 số gồm: 90.2 = 180 chữ số Từ 100 đến 999 có 900 số gồm : 900.3 = 2700 chữ số Số A có: + 180 + 2700 = 2889 chữ số b) Tính tổng chữ số số A? Giả sử ta viết số B số tự nhiên từ 000 đến 999(mỗi số viết chữ số), tổng chữ số B tổng chữ số A B có: 3.1000 = 3000 chữ số, chữ số từ đến có mặt 3000 : 10 = 300 (lần) Tổng chữ số B (cũng A): (0+1+2+…+9).300 = 45.300= 13500 c) Chữ số viết lần? Cần đếm số chữ số dãy: 1, 2, 3, …, 999 (1) Ta xét dãy: 000, 001, 002, …, 999 (2) Số chữ số hai dãy Ở dãy (2) có 1000 số, số gồm chữ số, số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến 9) có mặt: 1000 : 10 = 300 (lần) Vậy dãy (1) chữ số viết 300 lần d) Chữ số viết lần? Ở dãy (2) chữ số có mặt 300 lần So với dãy (1) dãy (2) ta viết thêm chữ số 0: - Vào hàng tram 100 lần ( chữ số hàng tram số từ 000 đến 099); - Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục số thừ 000 đến 009); - Vào hàng đơn vị lần (chữ số hàng đơn vị 000) Vậy chữ số dãy (1) viết là: 300 – 111 = 189 (lần) Bồi dưỡng HSG Toán mạng Bài 9: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất số tự nhiên mà chữ số có mặt lần Tính tổng số HƯỚNG DẪN: Ta lập 4.3.2.1 = 24 số tự nhiên bao gồm bốn chữ số 1, 2, 3, Mỗi chữ số có mặt lần hàng Tổng 24 số nói bằng: 60 + 600 + 6000 + 60000 = 66660  DẠNG 3: TÌM SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số HƯỚNG DẪN: Gọi số cần tìm là: Theo ta có: (a khác 0) =  10 +2 = 3.200000 +  = 599998  = 85714 Thử lại: 857142 = 285714 Vậy số cần tìm 857142 Bài 2: Tìm số tự nhiên có tận 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị HƯỚNG DẪN: Vì xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có chữ số Bồi dưỡng HSG Tốn mạng Gọi số tự nhiên cần tìm Theo ta có – 1992 =  10   (a≠ 0) + - 1992 = = 1989 = 221 Vậy số cần tìm 2213 Bài 3: Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 HƯỚNG DẪN: Gọi ba chữ số cần tìm là: a, b , c (a > b > c > 0) Theo ta có: + = 1444 100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 1444 200a + 11b + 11c = 1444 200a + 11(b + c) = 1400 + 11.4 a = 7; b =3; c =1 Vậy số cần tìm 1; 3; Bài 4: Hiệu hai số Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số HƯỚNG DẪN: Gọi số a, b (a>b) Theo ta có: a – b = => b = a – (1) Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60  3a – b = 60(2) Bồi dưỡng HSG Toán mạng 10 C Góc tù D Góc bẹt Bài 9: Khi + = Khi tia Ox nằm hai tia Om, Oy ; Khi tia Om nằm hai tia Ox, Oy C) Khi tia Oy nằm hai tia Ox, Om ; D) Khi ba tia Om, Ox, Oy nằm đường thẳng Bài 10 : Góc bù với góc có số đo 80 có số đo : A 10 B 110 C 100 D 90 = 118o Tính Bài 11: Vẽ hai góc kề bù xOy yOy’, biết Bài 12 : Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy Ot cho = 300 = 600 Tia nằm hai tia lại? Vì sao? Tính ? Tia Oy có tia phân giác Gọi Om tia đối tia Oy Tính khơng? Vì sao? ? Kể tên cặp góc kề bù có hình vẽ Bài 13 : Cho hình vẽ H.1 biết ∠ xOy = 300 ∠ xOz = 1200 Suy ra: A yOz góc nhọn z B yOz góc vng y C yOz góc tù Bài 14 : Nếu D yOz góc bẹt ∠A= 350 ∠B A A B hai góc bù C A B hai góc kề bù 120 30 x = 550 Ta nói: B A B hai góc kề D A B hai góc phụ Bài 15 : Với điều kiện sau, điều kiện khẳng định tia Ot tia phân t giác xOy? A ∠ xOt = ∠ yOt B ∠ xOt + ∠ tOy z = ∠ xOy 35 x y H.2 Bồi dưỡng HSG Toán mạng 251 C ∠ xOt + ∠ tOy = ∠ xOy ∠ xOt = ∠ yOt D Tất câu sai Bài 16 : Cho hình vẽ H.2, A 1450 B 350 C 900 D 550 ∠ tMz có số đo là: Bài 17 : Cho hình vẽ H.3, đường tròn tâm O, bán kính 4cm Một điểm A ∈ (O;4cm) thì: A OA = 4cm B OA = 2cm C OA = 8cm D Cả câu sai H.4 Bài 18 : Hình vẽ H.4 có: A tam giác D tam giác B A M N H.4 B tam giác C C tam giác Bài 19 : Đinh nghĩa tam giác ABC Bài 20 : vẽ nêu cách vẽ tam giác ABC có độ dài AB=3, AC=4, BC=5 Bài 21 : Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xác định hai tia Oy Ot cho xOy = 300 xOt = 700 Tia nằm hai tia lại? Vì sao? Tính yOt? Tia Oy có tia phân giác xOt khơng? Vì sao? Gọi Om tia đối tia Ox Tính mOt? Bài 22 : Cho hai điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết AB = 5cm, AM = cm, BN = cm Chứng tỏ rằng: Bốn điểm A, B, M, N thẳng hàng Bồi dưỡng HSG Toán mạng 252 Điểm N trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròn tâm A qua N, chúng cắt C Tính chu vi tam giác CAN Bài 23: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ điểm N nằm M B Cho biết MN = a(cm), NB = b (cm) Tính AB Lấy điểm O nằm đường thẳng AB Giả sử = 1000; = 600 ; = 200 Hỏi tia ON có phải tia phân giác góc MOB khơng? Vì sao? PHẦN 2: CHUYÊN ĐỀ 13: GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1: Cho ba điểm A, B, C khơng nằm đường thẳng a, đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB AC Đường thẳng a có cắt đoạn thẳng BC khơng? Bài 2: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 190 góc Tính n? Bài 3: Bốn điểm A, B, C, D không nằm đường thẳng a Chứng tỏ đường thẳng a không cắt cắt ba cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Bài 4: Cho hai tia Ox, Oy đối Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om, On cho Chứng tỏ Om, On hai tia đối Bài 5: Cho góc , tia OC nằm góc Gọi OM, ON theo thứ tự tia phân giác góc AOC, BOC Tính Bồi dưỡng HSG Tốn mạng ? 253 Bài 6: Cho góc OC tia phân giác góc Trong góc vẽ tia OD, OE cho giác góc Chứng tỏ tia OC tia phân Bài 7: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a điểm nằm đường thẳng Có tam giác có đỉnh ba 11 điểm trên? Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C, điểm E nằm A B Các đoạn thẳng BD CE cắt K Nối DE Tính xem có tam giác hình vẽ? Bài 9: Cho tam giác ABC Chứng tỏ vẽ đường thẳng không qua ba đỉnh tam giác cắt ba tia AB, AC, BC Bài 10: Cho điểm O nằm tiam giác ABC Hãy chứng tỏ rằng: Tia BO cắt đoạn thẳng AC điểm D nằm A C Điểm O nằm hai điểm B va D Trong ba tia OA, OB, OC không coa tia nằm hai tia lại Bài 11: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD tạo thành góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm chung Tính số đo góc biết rằng: Bài 12: Cho góc đo góc Tính khơng có điểm chung có số Bài 13: Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia OA, vẽ cá tia OB OC cho Tìm giá trị để OA tia phân giác góc Bài 14: Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 vẽ tia On cho góc yOn 900 Chứng minh góc xOn góc yOm Bồi dưỡng HSG Tốn mạng 254 Gọi Ot tia phân giác góc xOy.Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn Bài 15: Cho hai góc kề bù xOy yOz Trên tia Oy lấy điểm A, tia Ox lấy điểm B, tia AD lấy điểm C cho AB < AC Tia Ox có nằm hai tia OA OC khơng? Vì sao? Cho góc yOz = 1300; góc zOc = 1500 Tính số đo góc AOC Bài 16: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Bài 17: Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: Góc xOy = góc xOz = góc yOz Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia lại Bài 18: Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 Tính góc AOC Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD Bài 19: Cho tam giác ABC có AB=AC M điểm nằm A C, N điểm nằmg A B cho CM=BN Chứng minh đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN, Chứng minh góc B = góc C, BM=CN Bài 20: Vẽ tam giác ABC biết BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm Lấy điểm O tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC H, tia B0 cắt AC I,tia C0 cắt AB K Trong hình có có tam giác Bài 23: Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Bồi dưỡng HSG Tốn mạng 255 Bài 24: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B A1; A2; A3; ; A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành Bài 25: Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm Tình độ dài BM Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = cm Tính độ dài BK Bài 26: Trên đoạn thẳng AB = 5cm, lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM = AN Tính độ dài đoạn thẳng BN BM = 2cm Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, Ay · · · cho BAx = 400 , BAy = 1100 Chứng tỏ Ay tia phân giác NAx Hãy xác định vị trí M đoạn AB để BN có độ dài lớn HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ PHẦN 2: CHUYÊN ĐỀ 13: GĨC VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Bài 1: Cho ba điểm A, B, C không nằm đường thẳng a, đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB AC Đường thẳng a có cắt đoạn thẳng BC khơng? Bồi dưỡng HSG Tốn mạng 256 Giải: Đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB không qua A, B nên A B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a Tương tự vậy, A C thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ a Vậy B, C thuộc nửa mặt phẳng có bờ a, chúng lại khơng nằm a, đoạn thẳng a khơng cắt đoạn thẳng BC Bài 2: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 190 góc Tính n? HD: = 190 n 20 Bài 3: Bốn điểm A, B, C, D không nằm đường thẳng a Chứng tỏ đường thẳng a không cắt cắt ba cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Giải: Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng Xét trường hợp: Nếu bốn điểm A, B, C, D thuộc nửa mặt phẳng a không cắt đoạn thẳng đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD Nếu có điểm (chẳng hạn A) thuộc nửa mặt phẳng, ba điểm (B, C, D) thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD Nếu có hai điểm (chẳng hạn A B) thuộc nửa mặt phẳng, hai điểm (C, D) thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC, AD, BC, BD Bồi dưỡng HSG Toán mạng 257 Bài 4: Cho hai tia Ox, Oy đối Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om, On cho Chứng tỏ Om, On hai tia đối Giải: Các góc , kề bù: = 1800 - Các góc = 1800 – 700 = 1100 , kề bù nên Om, On hai tia đối Bài 5: Cho góc , tia OC nằm góc Gọi OM, ON theo thứ tự tia phân giác góc AOC, BOC Tính ? HD: = + + = Bài 6: Cho góc = = = 550 OC tia phân giác góc Trong góc vẽ tia OD, OE cho giác góc = Chứng tỏ tia OC tia phân HD: Chứng tỏ = = 300 Bài 7: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a điểm nằm đường thẳng Có tam giác có đỉnh ba 11 điểm trên? HD: Có đoạn thẳng nằm đường thẳng a có nhiêu tam giác Đáp số: 45 tam giác Bồi dưỡng HSG Toán mạng 258 Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C, điểm E nằm A B Các đoạn thẳng BD CE cắt K Nối DE Tính xem có tam giác hình vẽ? Đ/s: Có tam giác “đơn”, có tam giác “đơi”, có tam giác “ba”, có tam giác “năm”, tất cos12 tam giác Bài 9: Cho tam giác ABC Chứng tỏ vẽ đường thẳng không qua ba đỉnh tam giác cắt ba tia AB, AC, BC HD: Lấy A’ thuộc tia đối tia CB không trùng C, Lấy B’ nằm A C => A’B’ đường thẳng phải tìm Bài 10: Cho điểm O nằm tam giác ABC Hãy chứng tỏ rằng: Tia BO cắt đoạn thẳng AC điểm D nằm A C Điểm O nằm tam giác ABC nên O nằm góc B, tia BO nằm hai tia BA, BC Ta lại có A C điểm khơng trùng B thuộc tia BA, BC, suy tia BO cắt đoạn thẳng AC điểm D nằm A C Điểm O nằm hai điểm B D Điểm O nằm tam giác ABC nêm O nằm góc C, tia CO nằm hai tia CA, CB Ta lại có B D điểm không trùng C thuộc tia CB CA, suy tia CO cắt đoạn thẳng BD điểm (là điểm O) nằm B D Trong ba tia OA, OB, OC khơng có tia nằm hai tia lại Tia OB khơng cắt đoạn thẳng AC đường thẳng OB có điểm D chung với đoạn thẳng SC D không thuộc tia OB (theo câu b) tia OB khơng nằm hai tia OA OC Lập luận tương tự, tia OC không nằm hai tia OA OB, tia OA không nằm hai tia OB OC Bài 14: Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 vẽ tia On cho góc yOn 900 Chứng minh góc xOn góc yOm Gọi Ot tia phân giác góc xOy.Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn Giải: Bồi dưỡng HSG Tốn mạng 259 Hình vẽ a)Lập luận được: xƠm + mƠy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy ⇒ xÔn = yÔm yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy b) Lập luận : xÔt = tÔy xÔt = xÔn + nÔt tÔy = yÔm + mÔt ⇒ nÔt = mƠt ⇒ Ot tia phân giác góc mOn m t y n O x Bài 16: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Giải: Hình vẽ Bồi dưỡng HSG Tốn mạng 260 t y z 970 x' 400 540 x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy Bài 17: Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: Góc xOy = góc xOz = góc yOz Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia lại Giải: Ta có: góc x ’ Oy = 60o , góc x'Oz = 600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên góc yOz = yOx ' + x'Oz = 120o Vậy Góc xOy = góc xOz = góc yOz Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz góc x 'Oy = góc x'Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy Bồi dưỡng HSG Tốn mạng 261 Bài 18: Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 Tính góc AOC Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD Giải: a) Theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) Vì OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng, Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD Bài 19: Cho tam giác ABC có AB=AC M điểm nằm A C, N điểm nằmg A B cho CM=BN Chứng minh đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN, Chứng minh góc B = góc C, BM=CN Bài 20: Vẽ tam giác ABC biết BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm Lấy điểm O tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC H, tia B0 cắt AC I,tia C0 cắt AB K Trong hình có có tam giác Bồi dưỡng HSG Toán mạng 262 Giải: A a Vẽ đoạn thẳng BC=5cm Vẽ cung tròn (B;3cm) I K O Vẽ cung tròn (C;4cm) Lấy giao đIểm A hai cung B C H Vẽ đoạn thẳng AB, AC ta tam giác ABC b Có tam giác” đơn” AOK; AOI; BOK; BOH; COH; COI Có tam giác “Ghép đơi” AOB; BOC; COA Có tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH Có tam giác “Ghép 6” tam giác ABC Vậy hình có tất 6+3+1+6 = 16(Tam giác) Bài 23: Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ Giải: a) Vì tia với tia lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 5.6 = 15 góc b) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n( n −1 ) (góc) Bài 24: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B A1; A2; A3; ; A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành Giải: Bồi dưỡng HSG Toán mạng 263 Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý MA kết hợp với MA để tam giác MA1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 Bài 25: Cho tam giác ABC BC = 5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm Tình độ dài BM Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 Tính góc CAM Vẽ tia Ax, Ay tia phân giác góc BAC CAM Tính góc xAy Lấy K thuộc đoạn thẳng BM CK = cm Tính độ dài BK Giải: A B x C M y a M, B thuộc tia đối CB CM => C nằm B M => BM = BC + CM = (cm) b C nằm B,M => Tia AC nằm tia AB, AM => c Có = = 200 = + = + Bồi dưỡng HSG Toán mạng 264 = ( + )= = 800 = 400 d +) Nếu K ∈ tia CM => C nằm B K1 => BK1 = BC + CK1 = (cm) +)Nếu K ∈ tia CB => K2 nằm B C => BK2 = BC = CK2 =4 (cm) Bồi dưỡng HSG Toán mạng 265 ... học sinh có 75 học sinh thích học Tốn, 60 học sinh thích Văn a Nếu có học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn có học sinh thích hai mơn Văn Tốn? b Có nhiều học sinh thích hai mơn Văn Tốn? c Có học sinh. .. 62 10 – 7.b = 5 265 Bồi dưỡng HSG Toán mạng 11  7.b = 62 10 – 5 265  7.b = 945  b= 945 : = 135  a= 62 10 : 135 = 46 Vậy hai thừa số cần tìm 46; 135 Bài 7: Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết... –s6 +s7 = 734 số b) Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5? Còn lại 1000 – 734 = 266 số Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích học Tốn, 60 học sinh thích Văn HƯỚNG DẪN: Gọi số học