a Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của tham số m.. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm của đoạn AO.. Các đườ
Trang 1SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
- TrườngTHPT Chuyên Lê Qúi Đôn, năm học 2007-2008
Đề chính thức Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi: 21/6/2007.
Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh đẳng thức:
+
Câu 2: (3, 0 điểm).
Cho phương trình bậc hai: 4x2 + 2(2m + 1)x + m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của tham số m
b) Tính x12 +x22 theo m
Câu 3 (1, 5 điểm).
Cho hàm số y = ax + b Tìm a và b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm M(1; 2)
Câu 4: (3, 0 điểm).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm của đoạn AO Các đường thẳng vuông góc với AB tại M và O cắt nửa đường tròn đã cho lần lượt tại D và C
a) Tính AD, AC, BD và DM theo R
b) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD
c) Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng HI vuông góc với AB
Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho a + b2 chia hết cho a2b – 1
Trang 2
I
D
C
Hướng dẫn giải Câu1:
+
(Vì : 1+ 3 0f ) Vậy đẳng thức được chứng minh
Câu2:
a) Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m:
Pt: 4x2 + 2(2m + 1)x + m = 0 (1)
(a = 4; b’ = 2m +1 ; c = m)
' 2m 1 4m
∆ = + − = 4m2 + 4m + 1 - 4m = 4m2 + 1 > 0 với mọi m
( Vì m2 ≥ 0 với mọi m)
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
b) Tính x12 + x 2 theo m:2
Theo câu a) pt (1) luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m
Định lí Viét ta có: x1 + x2 = 2 1
2
− ; x1x2 =
4
m
Vậy :
x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =
Câu 3:
Vì đthị hàm số y = ax + b // đthị hàm số y = x + 5 Nên a = 1.
Hàm số lúc đó là: y = x + b
Vì đthị hàm số y = x + b đi qua điểm M(1; 2) Nên : 2 = 1 + b => b = 1
Vậy hàm số cần tìm là: y = x +1
Câu 4:
a) Tính AD, AC, BD và DM theo R:
Ta có: ·ACB ADB=· =90o (Nội tiếp nửa đường tròn (O))
Xét ABD∆ vuông tại D có DM là đường cao (Vì DM ⊥AB)
Ta có: AD2 = AB.AM =
2R.(R-2
R
) = 2R
2
R
=> AD = R
Và BD2 = AB.BM = 2R.(2R -
2
R
) = 2R.3
2
R
= 3R2
=> BD = R 3
Và: DM AB = AD.BD => DM = AD BD.
Trang 3Xét ABC∆ vuông tại C, có CO là đường cao (Vì CO⊥AB)
=> AC2 = AB.OA = 2R.R = 2R2
=> AC = R 2
b) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD :
Ta có: ABD∆ vuông tại D => Sin ·BAD = 3 3 · 60
BAD
AB = R = => = o
ABC∆ vuông tại C => Sin ·ABC = AC
R
R = => ·ABC=45o Mặt khác tứ giác ABCD nội tiếp (Do bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một đường tròn (o) )
Nên từ : ·BAD=60o => ·BCD=120o
Và : ·ABC=45o => ·ADC=135o
c) Chứng minh HI ⊥AB:
Xét ABI∆ có AC và BD là đường cao (do ·ACB ADB=· =90o)
=> H là trực tâm của ABI∆ => IH là đường cao của ABI∆ => IH⊥AB
Câu 5:
Nếu a = b = 1 thì a2b – 1 = 0, không thoã mãn đề bài Vậy a, b không đồng thời bằng 1.Vì a,b nguyên dương => a + b2 và a2b – 1 là nguyên dương
Mà: a + b2M a2b – 1 => tồn tại số nguyên dương q sao cho: a + b2 = (a2b – 1)q
<=> a + q = b(a2q – b) Vì a,b q nguyên dương => a2q – b là nguyên dương
Đặt: m = a2q – b, => m là nguyên dương
Vậy: a + q = bm (1)
Và a2q = b + m (2)
Xét: (m – 1)(b -1) = bm – (b + m) + 1 = a + q – a2q + 1 = (a + 1)(1 + q – aq)
Hay (m – 1)(b -1) = (a + 1)(1 + q – aq) (3)
Vì b, m nguyên dương => (m – 1)(b -1) ≥ 0 => (a + 1)(1 + q – aq) ≥ 0 => 1 + q – aq ≥ 0
(Vì a > 0 => a +1 > 0) q(a -1) ≤ 1 Mà a nguyên dương => a - 1 là số nguyên không âm => q(a – 1) là số nguyên không âm Tức là: q(a – 1) là số nguyên thoã: 0 ≤ q(a – 1) ≤ 1 => q(a – 1) = 0, hoăc
q(a – 1) = 1 => a = 1 (do q > 0) hoặc q = 1; a = 2
+ Nếu a = 1 : Từ (3) ta có (m -1)(b -1) = 2 Vì m, b nguyên dương Nên các số : m – 1,
b -1 nguyên không âm Vậy : b – 1 = 1 hoặc b – 1 = 2 => b = 2 hoặc b = 3
b = 2 , b = 3
+ Nếu q = 1 ; a = 2 : Từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 0 => m = 1 , hoặc b = 1.
- Khi m = 1 Từ (1) => b = 3 => a = 2
b = 3
- Khi: b = 1 => a = 2
b = 1
Vậy các giá trị cần tìm của a và b là: (a, b) = (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2; 3) , (2 ; 1)