ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2012 MÔN TOÁN ĐỀ SỐ 212

Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi thử đại học, cao đẳng môn toán giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!

Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 212) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh) Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x 3 - 3x 2 + 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. Câu 2 (2đ) 1. Giải hệ phương trình:      += −=− 2 2 3 1 9 1218 yxy xxy 2. Giải phương trình: 9 x + ( x - 12).3 x + 11 - x = 0 Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m. Câu 4 (1đ) Tính tích phân: ∫ ++−= 2 2 0 )]4ln()2([ dxxxxI Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c. Thoả mãn hệ điều kiện:      =+ =+ 2 2 )( )( cabb bcaa CMR: CBA sin 1 sin 1 sin 1 += II. PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) 1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2x - 6y + 9 = 0 Tìm những điểm M ∈ (C) và N ∈ (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 2. Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P 1 ): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P 2 ): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d): 3 4 21 2 − = − = − + zyx Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ). Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x 2 - x 3 ) 4 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . + a 12 x 12 . Tính hệ số a 7 . Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 và điểm M       5 7 , 5 1 . Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 2. Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 3 = 0. Tìm những điểm M ∈ (S), N ∈ (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: x xx xf 2131 )( 3 +−+ = khi x ≠ 0, và 0)0( = f ; tại điểm x 0 = 0. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 212) Diemthi.24h.com.vn I. PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM Câu 1 (2đ) y = 2x 3 - 3x 2 + 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thiên: + Giới hạn: −∞→ x ylim = ∞− , −∞→ x ylim = ∞+ 0,25đ + Bảng biến thiên: y’ = 6x 2 - 6x = 6x (x - 1) y' = 0    == == ⇔ )0(;1 )1(;0 yx yx 0,25đ Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ * Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác. 0,25đ 2) Tìm M ∈ (C) ? Giả sử M (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) ⇒ y 0 = 2x 0 3 - 3x 0 2 + 1 Tiếp tuyến ( ∆ ) của (C) tại M: y = (6x 0 2 - 6x 0 ) (x - x 0 ) + 2x 0 3 - 3x 0 2 + 1 0,25đ ( ∆ ) đi qua điểm P(0 ; 8) ⇔ 8 = -4x 0 3 + 3x 0 2 + 1 ⇔ (x 0 + 1) (4x 0 2 - 7x 0 + 7) = 0 0,25đ ⇔ x 0 = -1 ; (4x 0 2 - 7x 0 + 7 > 0, ∀ x 0 ) 0,25đ Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm. 0,25đ Câu 2 (2đ) 1) Giải hệ:      ≥⇒≥⇒+= ≤⇒≥−⇒−=− 3232 3 1 9 320121218 2 22 xyyxyxy xxxxy 0,25đ 1832 =⇒=⇒ xyx 0,25đ { } 32;32 −∈⇒ x , tương ứng y { } 33;33 −∈ 0,25đ Thử lại, thoả mãn hệ đã cho Vậy, ( ) ( ) ( ){ } 33;32,33;32; −−∈ yx 0,25đ 2) Giải phương trình: ( ) ( ) 0113123 2 =−+−+ xx xx     −= = ⇔ x x x 113 13    =−+= = ⇔ (*)0113)( 0 xxf x x (a + b + c = 0) 0,5đ (*) 0)2( ,013ln3)(' ⇒    = ∀>+= f xxf x có nghiệm duy nhất x = 2 0,25đ Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ Câu 3 (1đ) S N A C M Diemthi.24h.com.vn O B SO ⊥ (ABC) S.ABC chóp ∆ đều ⇒ O là tâm tam giác đều ABC. MBCAO =∩ ⇒ )(SAMBC BCSO BCAM ⊥⇒    ⊥ ⊥ Trong ∆ SAM kẻ đường cao MN ⇒ MN = m 2 3 2 3 3 60sin2 0 a AOAM aa AO ==⇒== 0,25đ 3 SOSAhSO 2 222 a hAO +=+=⇒= SA.MN = SO.AM ( ) 22222 3 4 43 mahma =−⇔         < am 2 3 0,25đ 22 433 2 ma am h − =⇔ ; và S (ABC) = 4 3 a 2 0,25đ 22 3 436 ).( 3 1 ma ma hABCSV − ==         < am 2 3 0,25đ Câu 4 (1đ) Tính tích phân ∫ −= 2 0 )2( dxxxI + ∫ + 2 0 2 )4ln( dxx = 21 II + ∫∫ =−−=−= 2 0 2 2 0 1 2 )1(1)2( π dxxdxxxI (sử dụng đổi biến: tx sin1 += ) 0,25đ ∫∫ + −+=+= 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 4 2|)4ln()4ln( dx x x xxdxxI (Từng phần) 0,25đ 42ln6 −+= π (đổi biến tx tan2 = ) 0,25đ 2ln64 2 3 21 +−=+= π III 0,25đ Câu 5 (1đ) ∆ ABC:      =+ =+ )2()( )1()( 2 2 cabb bcaa (1) ⇒ sin 2 A + sinAsinC = sin 2 B (Đl sin) ⇒ sinAsinC = 2 1 (cos2A - cos2B) ⇒ sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) ⇒ sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) Diemthi.24h.com.vn ⇒ A = B - A ; (A, B là góc của tam giác) ⇒ B = 2A 0,25đ Tương tự: (2) ⇒ C = 2B A + B + C = π , nên A = 7 π ; B = 7 2 π ; C = 7 4 π 0,25đ Ta có: CB sin 1 sin 1 + = 7 3 sin 7 cos 7 sin2 7 cos 7 3 sin2 7 4 sin 7 2 sin 7 2 sin 7 4 sin πππ ππ ππ ππ = + 0,25đ = Asin 1 7 sin 1 = π (đpcm) 0,25đ II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chương trình cơ bản Câu 6a (2đ) 1) Tìm M ∈ (C), N ∈ (d)? (d): 3x - 4y + 5 = 0 (C): (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 d (I ; d) = 2 ⇒ (d) ∩ (C) = Ø Giả sử tìm được N 0 ∈ (d) ⇒ N 0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d) ⇒ N 0 = (d) ( ) ∆∩ , với: ( ) ( ) ( )    −=⇒⊥∆ −∋∆ ∆ 4;3)( )3;1( ud I 0,25đ ( )       ⇒    −= +−= ∆⇒ 5 7 ; 5 1 43 31 : 0 N ty tx 0,25đ Rõ ràng ( ) ∩∆ (C) = {M 1 ; M 2 } ; M 1       − 5 11 ; 5 2 ; M 2       − 5 19 ; 5 8 M 0 ∈ (C) để M 0 N 0 nhỏ nhất ⇒ M 0 ≡ M 1 và M 0 N 0 = 1 0,25đ Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán. M       − 5 11 ; 5 2 ; N       5 7 ; 5 1 0,25đ 2) Phương trình mặt cầu (S) ? (P 1 ): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P 2 ): 2x + y - 2z - 4 = 0 Giả sử I (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ (d): 3 4 21 2 − = − = − + zyx Diemthi.24h.com.vn ⇒ I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P 1 ), (P 2 ) ⇔ d (I, (P 1 )) = d (I ; (P 2 )) ⇔    −= −= ⇔+=+ 1 13 1610 3 1 39 3 1 t t tt 0,25đ ⇒ I 1 = (11 ; 26 ; -35) ; I 2 (-1 ; 2 ; 1) ⇒ R 1 = 38 ; R 2 = 2 0,25đ Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S 1 ): (x - 11) 2 + (y - 26) 2 + (z + 35) 2 = 38 2 (S 2 ): (x + 1) 2 + (y - 2) 2 + (z - 1) 2 = 2 2 0,25đ Câu 7a (1đ) Tính hệ số a 7 ? (1 - x + x 2 - x 3 ) 4 = (1 - x) 4 (1 + x 2 ) 4 0,25đ = ( )             − ∑∑ == 4 0 2 4 4 0 4 1 i ii k kk k xCxC 0,25đ (Gt) { } ( ) ( ) ( ){ } 2;3,3;1; 4,3,2,1,0, 72 ∈⇒    ∈ =+ ⇒ ik ik ik 0,25đ 40 2 4 3 4 3 4 1 47 −=−−=⇒ CCCCa 0,25đ Chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1) Tìm N ∈ (C)? (C): (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M       5 7 ; 5 1 2 5 8 ; 5 6 =⇒       −= MIIM 0,25đ Giả sử tìm được N ∈ (C) ⇒ MN ≤ MI + IN = 3 0,25đ Dấu “=” xảy ra ⇔ N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C). (IM):        −= +−= ty tx 5 8 3 5 6 1 ; ( ) ( ) { } 21 ; NNCIM =∩       −⇒ 5 11 ; 5 2 1 N ,       − 5 19 ; 5 8 2 N ; MN 1 < MN 2 0,25đ Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán:       − 5 19 ; 5 8 N 0,25đ 2) Tìm M ∈ (S) , N ∈ (P) ? Diemthi.24h.com.vn (S): (x + 1) 2 + (y - 2) 2 + (z - 1) 2 = 1 Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1 (P): x - 2y + 2z - 3 = 0 ⇒ d ( )( ) PI; = 2 Ø)()( =∩⇒ SP Giả sử tìm được N 0 ∈ (P) ⇒ N 0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ ( ) ( ) PdN ∩=⇒ 0 , với: ( )      −=⇒⊥ −∋ )2;2;1()()( )1;2;1( d uPd Id ( )      += −= +−= ⇒ tz ty tx d 21 22 1 :       −⇒ 3 7 ; 3 2 ; 3 1 0 N 0,25đ =∩ )()( Sd {M 1 ; M 2 }       −⇒ 3 5 ; 3 4 ; 3 2 1 M ,       − 3 1 ; 3 8 ; 3 4 2 M 0,25đ M 1 M 0 = 1 < M 2 M 0 = 3 M 0 ∈ (S) để M 0 N 0 nhỏ nhất ⇒ M 0 ≡ M 1 Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán.       − 3 5 ; 3 4 ; 3 2 M ,       − 3 7 ; 3 2 ; 3 1 N 0,25đ Câu 7b (1đ) Đạo hàm bằng định nghĩa: x fxf x )0()( lim 0 − → = 2 3 0 2131 lim x xx x +−+ → 0,25đ = 2 3 0 21)1()1(31 lim x xxxx x +−+++−+ → 0,25đ = ( ) ( ) xx xxxx x xx 21)1( 1 lim 1311)31( 3 lim 0 2 3 3 2 0 +++ + ++++++ + − →→ 0,25đ = -1 + 2 1 = - 2 1 . Vậy, 2 1 ' )0( −= f 0,25đ Diemthi.24h.com.vn